Introducción

La idea generalizada de convergencia de una sucesión nos dice que a medida que los índices de una sucesión avanzan entonces los términos se tienen que acercar más entre sí.

Definición.Una sucesión en ${\mathbb{R}}^n$ es cualquier lista infinita de vectores en ${\mathbb{R}}^n$ $\overline{x_1},\overline{x_2},\dots ,\overline{x_k},\dots$ algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión $\overline{x_1},\overline{x_2},\dots ,\overline{x_k},\dots$ se define de manera natural una función de los enteros positivos $\mathbb{N}$ en ${\mathbb{R}}^n$ tal que a cada entero positivo $k$ se le asigna un vector $\overline{x_k}\in {\mathbb{R}}^n$
A la colección ordenada de los elementos de una sucesión la denotaremos

$${\left\{{\bar{x}}_k\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},\left\{{\bar{x}}_k\right\}$$

Ejemplo. Considerando el espacio ${\mathbb{R}}^2$ sea la sucesión ${\left\{\overline{x_k}\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ dada por $\overline{x_k}=(k,\frac{1}{k})$ cuyos elementos podemos listar como sigue:

$$\{(1,1),(2,\frac{1}{2}),(3,\frac{1}{3}),\dots \}$$

Considerando la sucesión $\left\{\overline{x_k}\right\}\in {\mathbb{R}}^n$. Cada vector $\overline{x_k}\in \left\{\overline{x_k}\right\}$ esta dado de la siguiente manera:

$$\overline{x_k}=(x_{1,k},x_{2,k},\dots ,x_{n,k})$$

Es decir, dicho vector define de manera natural $n$ sucesiones $\left\{\bar{x}\right\}$ en $\mathbb{R}$ , las cuales, llamaremos sucesiones componentes o sucesiones proyección, así, la primera sucesión componente del ejemplo anterior es: $\left\{x_{1,k}\right\}=k$ y la segunda sucesión proyección del ejemplo anterior es $\left\{x_{2,k}\right\}=\frac{1}{k}$

Ejemplo. Sea la sucesión ${\left\{\overline{x_k}\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ dada por $\overline{x_k}=(\frac{k+1}{k+2},\frac{1}{2^k})$ cuyas sucesiones componentes son:

$$\overline{x_{1_k}}=\left(\frac{k+1}{k+2}\right)\overline{x_{2_k}}=\left(\frac{1}{2^k}\right)$$

Ejemplo. Sea la sucesión ${\left\{\overline{x_k}\right\}}_1^{\mathrm{\infty }}$ dada por $\overline{x_k}=({(1+\frac{1}{k})}^k,\sqrt[k]{k},\sqrt[k]{\frac{1}{k}})$ cuyas sucesiones componentes son:

$$\overline{x_{1_k}}={(1+\frac{1}{k})}^k\overline{x_{2_k}}=\sqrt[k]{k}\overline{x_{3_k}}=\sqrt[k]{\frac{1}{k}}$$

Convergencia de Sucesiones en ${\mathbb{R}}^n$

Definición. Una sucesión ${\left\{\overline{x_k}\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ en ${\mathbb{R}}^n$ se dice que converge a un vector $\bar{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$ si $$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }{N}_0\in \mathbb{N}talque|\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ\mathrm{\forall }k>N_0$$
En este caso diremos que la sucesión es convergente y que $\bar{x}$ es el limite de la sucesión y escribimos $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_k}=\bar{x}$$

Proposición. Unicidad del Limite: Consideremos una sucesión ${\left\{\overline{x_k}\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ en ${\mathbb{R}}^n$ y sean $\bar{x},\bar{y}\in {\mathbb{R}}^n$ tal que $$\bar{x}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_k}y\bar{y}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_k}$$ entonces $\bar{x}=\bar{y}$

Demostración. Supongamos que $\bar{x}\ne \bar{y}$ y tomemos $ϵ=\frac{1}{2}|\bar{x}-\bar{y}|>0$.Por definición $\bar{x}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_k}$ por lo que $\mathrm{\exists }{N}_{0_x}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ$ para $k>N_{0_x}$ y analogamente se tiene que $\bar{y}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_k}$ por lo que $\mathrm{\exists }{N}_{0_y}\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_k}-\bar{y}|<ϵ$ para $k>N_{0_y}$. Sea ahora $N_0=m\acute{a}x\{N_{0_x},N_{0_y}\}$ entonces se cumple simultaneamente que $|\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ$ y $|\overline{x_k}-\bar{y}|<ϵ$ para $k>N_0$ $\therefore$ $$|\bar{x}-\bar{y}|=|\bar{x}-\overline{x_k}+\overline{x_k}-\bar{y}|\le |\bar{x}-\overline{x_k}|+|\overline{x_k}-\bar{y}|<2ϵ=2(\frac{1}{2}|\bar{x}-\bar{y}|)=|\bar{x}-\bar{y}|(falso)$$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Proposición. Sea ${\left\{\overline{x_k}\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión en ${\mathbb{R}}^n$ y sean $${\overline{x_{1_k}}}_1^{\mathrm{\infty }}=(x_{1_1},x_{1_2},\dots )$$ $${\overline{x_{2_k}}}_1^{\mathrm{\infty }}=(x_{2_1},x_{2_2},\dots )$$ $$⋮$$ $${\overline{x_{n_k}}}_1^{\mathrm{\infty }}=(x_{n_1},x_{n_2},\dots )$$ las sucesiones componentes de la sucesión ${\overline{x_k}}_1^{\mathrm{\infty }}$. Entonces la sucesión ${\overline{x_k}}_1^{\mathrm{\infty }}$ converge a $\bar{x}=(x_1,x_2,\dots )$ en ${\mathbb{R}}^n$ si y solo si para cada $j=1,2,\dots$ se tiene que $x_{n_j}$ converge a $x_j$.

Demostración. Supóngase que la sucesión ${\left\{\overline{x_k}\right\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge a $\bar{x}=(x_1,x_2,\dots )$ esto quiere decir que $\mathrm{\exists }{N}_0\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ$ para $k>N_0$ y dado que $$0\le |x_{j_k}-x_j|\le |\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ$$ entonces se tiene que $$0\le |x_{j_k}-x_j|<ϵ$$ lo que significa que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{j_k}=x_j$$
Reciprocamente, supongamos que para cada j $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{j_k}=x_j$$ lo que significa que
$$|x_{j_k}-x_j|<\frac{ϵ}{n}$$
$$\therefore 0\le |\overline{x_k}-\bar{x}|\le |x_{1_k}-x_1|+|x_{2_k}-x_2|+\dots +|x_{n_k}-x_n|<\frac{ϵ}{n}+\frac{ϵ}{n}+\dots +\frac{ϵ}{n}=ϵ$$
$$\therefore \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_{j_k}}=\bar{x}$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejemplo. Consideremos la sucesión $\overline{x_k}=(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1})$ tenemos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_{1_k}}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{k}=0$$ $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_{2_k}}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{k}{k+1}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{k}{k}}{\frac{k}{k}+\frac{1}{k}}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1+\frac{1}{k}}=1$$
$\therefore$ $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\overline{x_k}=(0,1)=\bar{x}$

Ahora para comprobarlo tenemos que $$\Vert \overline{x_k}-\bar{x}\Vert =\Vert (\frac{1}{k},\frac{k}{k+1})-(0,1)\Vert =\sqrt{\frac{1}{k^2}+{(\frac{k}{k+1}-1)}^2}=\sqrt{\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1{)}^2}}<\sqrt{\frac{2}{k^2}}=\frac{\sqrt{2}}{k}$$ $$\therefore \frac{\sqrt{2}}{k}<ϵ\iff \frac{\sqrt{2}}{ϵ}{N}_0\therefore |(\frac{1}{k},\frac{k}{k+1})-(0,1)|<ϵ$$

Definición. Deciimos que $A\subset {\mathbb{R}}^n$ es un conjunto acotado si y solo si $\mathrm{\exists }M>0$ tal que $\mathrm{\forall }\bar{a}\in A$ se cumple $|\bar{a}|\le M$

Proposición. Sea $\left\{{\bar{x}}_k\right\}\subset {\mathbb{R}}^n$, si $\left\{{\bar{x}}_k\right\}$ converge, entonces $\left\{{\bar{x}}_k\right\}$ es acotada.

Si $\left\{{\bar{x}}_k\right\}$ converge entonces $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\bar{x}}_k=\bar{x}\Rightarrow \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{k,j}=x_j\mathrm{\forall }j=1,\dots ,n$ por lo tanto se tiene que $\left\{x_{k,j}\right\}$ es acotada y por tanto $\mathrm{\exists }{M}_j>0$ tal que $|x_{k,j}|\le M_j$ $\mathrm{\forall }k$ $\therefore$ se tiene que $$\Vert \overline{x_k}\Vert \le |x_{1,k}|+|x_{2,k}|+\cdot \cdot \cdot +|x_{n,k}|\le n\cdot max\left\{x_{k,j}\right\}=n\cdot M_j=M$$ $\therefore \left\{{\bar{x}}_k\right\}$ es acotada. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Teorema. Un subconjunto $A\subset {\mathbb{R}}^n$ es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Suponemos que A es cerrado. Sea $\bar{x}$ un punto de acumulación de A y suponemos que $\bar{x}\notin A$. Como $A^c$ es abierto y $\bar{x}\in A^c$ existe $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset A^c$ $\therefore$ $B(\bar{x},r)\cap A=\mathrm{\varnothing }$ $\mathrm{\nabla }$ pues $\bar{x}$ es punto de acumulaión de A.

( $\Leftarrow$ ) Supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulación. Sea $U=A^c$ queremos probar que $U$ es abierto. Sea $\bar{x}\in U$ como $\bar{x}$ no es de acumulación $\mathrm{\exists }r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\cap A=\mathrm{\varnothing }$ $\therefore$ $B(\bar{x},r)\subset A^c$ $\therefore$ $A^c$ es abierto. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Teorema. Sea $A\subset {\mathbb{R}}^n$ y $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^n$. Entonces, $\bar{x}$ es un punto de acumulación de $A$ si y solo si $\mathrm{\exists }\left\{{\bar{x}}_k\right\}\in A$ con $\overline{x_k}\ne \bar{x}$ $\mathrm{\forall }k$ tal que ${\bar{x}}_k\to \bar{x}$$

Demostración. Suponemos que $\bar{x}$ es punto de acumulación de $A$ entonces para cada $k\in \mathbb{N}$ $\mathrm{\exists }$ $\overline{x_k}\in A\cap B(\bar{x},\frac{1}{k})$ con $\overline{x_k}\ne \bar{x}$ $\therefore$ $\overline{x_k}\to \bar{x}$
$\Leftarrow$ Sea $B(\bar{x},r)$ como $\overline{x_k}\to \bar{x}$ $\mathrm{\exists }{k}_0\in \mathbb{N}$ tal que $\overline{x_k}\in B(\bar{x},r)$ $\mathrm{\forall }k>k_0$ $\therefore$ $\mathrm{\exists }$ $\overline{x_k}\in A\cap B(\bar{x},r)$ $\therefore$ $\bar{x}$ es punto de acumulación. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Criterio de Convergencia de Cauchy

Definición. Sea $\overline{x_k}$ una sucesión de puntos de ${\mathbb{R}}^n$. Se dice que $\overline{x_k}$ es una sucesión de Cauchy si dado $ϵ>0$ $\mathrm{\exists }{N}_0\in \mathbb{N}$ tal que $|\overline{x_k}-\overline{x_l}|<ϵ$ $\mathrm{\forall }k,l\ge N_0$

Teorema. Una sucesión $\overline{x_k}\in {\mathbb{R}}^n$ es convergente si y solo si cumple el criterio de Cauchy

Demostración. $\Rightarrow$ Suponemos que $\overline{x_k}\to \bar{x}$ $\therefore$ $|\overline{x_k}-\bar{x}|<ϵ$ $\mathrm{\forall }k>N_0$. Se tiene entonces que $$|\overline{x_k}-\overline{x_l}|=|\overline{x_k}-\bar{x}+\bar{x}-\overline{x_l}|\le |\overline{x_k}-\bar{x}|+|\bar{x}-\overline{x_l}|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$$ $\mathrm{\forall }k,l>N_0$ $\therefore$ $\left\{\overline{x_k}\right\}$ es convergente. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante

Tarea Moral

Sean ${\bar{x}}_k$ y ${\bar{y}}_k$ sucesiones en ${\mathbb{R}}^n$ y $\alpha \in \mathbb{R}$, si ${\bar{x}}_k\to {\bar{x}}_0$ y ${\bar{y}}_k\to {\bar{y}}_0$, prueba que

1.- $\left\{{\bar{x}}_k\right\}+\left\{{\bar{y}}_k\right\}:=\{{\bar{x}}_k+{\bar{y}}_k\}\to {\bar{x}}_0+{\bar{y}}_0$

2.- $\alpha \left\{{\bar{x}}_k\right\}:=\left\{\alpha {\bar{x}}_k\right\}\to \alpha {\bar{x}}_0$

3.- Demuestra que dada una sucesión $\{{\bar{x}}_k=(x_k^1,\dots ,x_k^n)\}$ una sucesión en ${\mathbb{R}}^n$ la sucesión $\left\{{\bar{x}}_k\right\}$ es de Cauchy si y sólo si la sucesión $\{x_k^{(}i)\}$ es de Cauchy para cada $i\in \{1,2,\dots ,n\}$

4.- Da un ejemplo de una sucesión en ${\mathbb{R}}^2$ acotada pero no convergente.

5.- Determina y demuestra el límite de la siguiente sucesión: $x_n=(\frac{n}{n+1},\frac{(-1{)}^n}{n})$

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