$\mathit{\text{MATERIAL EN REVISIÓN}}$

Introducción

En esta entrada conoceremos dos lemas más previos a la demostración del teorema de Stone-Weierstrass. Las hipótesis a usar serán las mismas que se mencionaron en la entrada anterior: $K$ es un espacio métrico compacto, $A\subset {\mathcal{C}}^0(K,\mathbb{R}),$ es decir, $A$ es un conjunto de funciones continuas que transforma valores en $K$ en valores reales. Supondremos también que $A$ satisface las propiedades:

a) Para cada $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ y $f,g\in A$ se cumple que $$\lambda f+\mu g\in A.$$ Esto es, $A$ es cerrado bajo combinaciones lineales.

b) Para cada $f,g\in A$ se cumple que $$f\cdot g\in A.$$ Esto es, $A$ es cerrado bajo producto de funciones.

c) $1\in A,$ donde $1$ es la función constante que para cada $x\in K$ asigna el valor $1.$

d) Para cualesquiera $x_1,x_2\in K$ tales que $x_1\ne x_2$ existe una función $\phi \in A$ tal que $\phi (x_1)\ne \phi (x_2).$

Entonces se satisface el siguiente:

Lema 3. Si $\phi \in \bar{A}$ entonces $|\phi |\in \bar{A}.$

Demostración:
Sabemos que $\phi :K\to \mathbb{R}$ es continua. Dado que $K$ es compacto, la imagen $\phi (K)$ es compacta en $\mathbb{R}$, y por tanto es acotada, así $\phi (K)\subset [a,b]$ para algún $a,b\in \mathbb{R}.$ Como la función valor absoluto restringida en $[a,b],$ que denotamos con $h:[a,b]\to \mathbb{R}$ tal que $\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R},h(y)=|y|$ también es continua en su dominio, se sigue que la composición

$$h\circ \phi (x)=|\phi (x)|$$

es continua en $K$.

El siguiente diagrama muestra el comportamiento de las funciones.

Por lo visto en la entrada tal podemos aproximar la función $h:[a,b]\to \mathbb{R}$ con polinomios de Bernstein. Sea

$$B_n(h,y)=a_0+a_{1}y+\dots +a_n{y}^n$$

el polinomio de Bernstein de grado a lo más $n$ de $h$ con $y\in [a,b].$ Entonces

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\Vert B_n(h,y)–h\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0.$$

Si $x\in K,$ $\phi (x)\in [a,b].$ Evaluando el polinomio en $\phi (x)$ tenemos:

$$B_n(h,\phi (x))=a_0+a_1\phi (x)+\dots +a_n\phi (x{)}^n.$$

De modo que la sucesión de polinomios $(B_n(h,\phi (x)){)}_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $h\circ \phi =|\phi |$ en ${\mathcal{C}}^0(K,\mathbb{R}).$

Veamos que cada sumando del polinomio está en $\bar{A}.$ Para ello usaremos los resultados del lema 2 visto en link.

La función constante $1\in \bar{A},$ como $a_0\in \mathbb{R}$ se sigue que el producto $1\cdot a_0=a_0\in \bar{A}.$

Como $\phi \in A\subset \bar{A}$ y $a_1\in \mathbb{R}$ se sigue que el producto $a_1\phi \in \bar{A}.$

Como $\phi \in A\subset \bar{A}$ entonces el producto $\phi \cdot \phi ={\phi }^2\in \bar{A}.$ Como $a_2\in \mathbb{R}$ se sigue que también $a_2{\phi }^2\in \bar{A}.$
.
.
.
Como ${\phi }^{n-1}\in A\subset \bar{A}$ entonces el producto ${\phi }^{n-1}\cdot \phi ={\phi }^n\in \bar{A}.$ Como $a_n\in \mathbb{R}$ se sigue que el producto $a_n{\phi }^n\in \bar{A}.$

Ya que cada sumando está en $\bar{A}$ concluimos que para cada $n\in \mathbb{N},B_n(h,\phi (x))\in \bar{A}.$ Por lo tanto $|\phi |\in \bar{A}.$

Para finalizar esta sección veamos otro resultado.

Lema 4. Sean $\phi ,\gamma \in \bar{A}.$ Entonces las funciones

$$\text{máx}\{\phi ,\gamma \}(x):=\text{máx}\{\phi (x),\gamma (x)\}\text{ y }$$

$$\text{mín}\{\phi ,\gamma \}(x):=\text{mín}\{\phi (x),\gamma (x)\}$$

también están en $\bar{A}.$

Demostración:
Probemos que $\text{máx}\{\phi ,\gamma \}(x)\in \bar{A}.$ Nota que

$$\text{máx}\{\phi (x),\gamma (x)\}={\displaystyle \frac{\phi (x)+\gamma (x)+|\phi (x)–\gamma (x)|}{2}},$$

Ya que ${\displaystyle \frac{\phi (x)+\gamma (x)+|\phi (x)–\gamma (x)|}{2}}$ puede verse como combinación lineal de funciones en $\bar{A}$ (por lo visto en lema 2 y lema 3) se sigue que

${\displaystyle \frac{\phi (x)+\gamma (x)+|\phi (x)–\gamma (x)|}{2}}=\text{máx}\{\phi (x),\gamma (x)\}\in \bar{A}.$

Análogamente se puede probar que se satisface la igualdad

$\text{mín}\{\phi (x),\gamma (x)\}={\displaystyle \frac{\phi (x)+\gamma (x)-|\phi (x)–\gamma (x)|}{2}}$

Y así la función $\text{mín}\{\phi (x),\gamma (x)\}\in \bar{A}.$ La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.

Más adelante…

Terminaremos con la demostración del teorema prometido. Por lo pronto sugerimos algunos ejercicios.

Tarea moral

1. Demuestra que $\text{mín}\{\phi (x),\gamma (x)\}={\displaystyle \frac{\phi (x)+\gamma (x)-|\phi (x)–\gamma (x)|}{2}}.$
2. Identifica bajo qué condiciones las siguientes familias de funciones satisfacen las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass:
   a) Las poligonales.
   b) Las funciones infinitamente diferenciables en $\mathbb{R}.$
   c) Las funciones Lipschitz continuas.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.