Introducción

En está sección estudiaremos el concepto matemático que define los puntos infinitamente cercanos a un conjunto.

Sea A un subconjunto arbitrario de ${\mathbb{R}}^n$. Se dice que $\bar{x}\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ es un $\mathit{\text{punto de acumulación}}$ de $A$, si toda bola abierta con centro en $\bar{x}$ contiene un punto de $A$ distinto de $\bar{x}$ es decir $$\mathrm{\forall }r>0(B(\bar{x},r)-\bar{x})\bigcap A\ne \mathrm{\varnothing }$$
Al conjunto de puntos de acumulación de $A$ se le denomina el conjunto derivado de $A$ y se le denota $A^a$

Lema 1.-$\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n$ es punto de acumulación de $A$ si y solamente si $\overline{x}\in \overline{A-\overline{x}}$

Demostración. Si $\overline{x}$ es un punto de acumulación de A entonces \quad $\mathrm{\forall }r>0$ \quad $B(\overline{x},r)-\overline{x}\cap A\ne \varnothing$ esta expresión es equivalente a $$B(\overline{x},r)\cap A-\overline{x}\ne \varnothing$$
por lo que $$B(\overline{x},r)\cap {\overline{x}}^c\cap A=[B(\overline{x},r)\cap {\overline{x}}^c]\cap A=B(\overline{x},r)\cap A-\overline{x}\ne \varnothing$$
pero esto significa que $\overline{x}$ es un punto de
adherencia de $A-\overline{x}$
$\therefore$ $\overline{x}\in \overline{A-\overline{x}}$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejercicio. Pruebe que $A^{\prime }\subset \bar{A}$

Demostración. Sea $x\in A^{\prime }$ se tiene entonces
$$x\in A^{\prime }\Rightarrow x\in \overline{A-\overline{x}}\underset{\overline{A-\overline{x}}\subset \bar{A}}{\underbrace{\Rightarrow }}x\in \bar{A}$$
por lo tanto $A^{\prime }\subset \bar{A}$

Ejercicio. Pruebe que $A\subset B\Rightarrow A^{\prime }\subset B^{\prime }$

Demostración. Sea $x\in A^{\prime }$ se tiene entonces
$$x\in A^{\prime }\Rightarrow x\in \overline{A-x}\underset{\overline{A-x}\subset \overline{B-x}}{\underbrace{\Rightarrow }}x\in \overline{B-x}\Rightarrow x\in B^{\prime }$$
por lo tanto $A^{\prime }\subset B^{\prime }$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Proposición 1.-Si $\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n$ es un punto de acumulación de $A$, entonces toda bola abierta $B(\overline{x},r)$ contiene una infinidad de puntos de $A$.

Demostración. Sea $B(\overline{x},r)$ una bola abierta arbitraria con centro $\overline{x}$,
supongase que esta bola tuviese solamente un número finito de puntos de $A$, digamos ${\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_k$ cada uno distinto de $\overline{x}$ elijamos
$r_0=mind(\overline{x},{\overline{x}}_1),\dots ,d(\overline{x},{\overline{x}}_k)$ $\therefore$ $d(\overline{x},{\overline{x}}_i)\le r$. Consideremos ahora la bola abierta $B(\overline{x},r_0)$. Es claro que $B(\overline{x},r_0)\subset B(\overline{x},r)$ y de la desigualdad se sigue que $B(\overline{x},r_0)$ no contiene puntos de $A$ distintos de $\overline{x}$ pues todo punto de $A$ que estubiese en $B(\overline{x},r_0)$ también sería elemento de $B(\overline{x},r)$ lo cual no es posible ya que ${\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_k$ son los únicos elementos de $A$ que están en $B(\overline{x},r)$. Entonces la bola abierta $B(\overline{x},r_0)$ no tiene puntos de $A$ diferentes de $\overline{x}$, esto contradice la hipotesis de que $\overline{x}$ es punto de acumulación. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Teorema 1.- Un conjunto $A$ es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración. Sea $\overline{x}$ un punto de acumulación de $A$. si $\overline{x}\notin A$, el conjunto abieto $A^c$ es una vecindad de $\overline{x}$, que debe contener cuando menos un punto de $A$, pero esto no es posible, por lo tanto se concluye $x\in A$.
Inversamente:Si A contiene a todos sus puntos de acumulación se habrá de probar que
$A^c$ es abierto.
Sea $y\in A^c$ entonces $y$ no es punto de acumulación de $A$. Por lo tanto, existe una vecindad $r$ de $y$ tal que $A\cap v=\varnothing$.
En consecuencia $v_y\subset A^c$. Dado que esto es válido $\mathrm{\forall }y\in A^c$ se deduce que $A^c$ es abierto $\therefore$ $A$ es cerrado. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejercicio. Sean $A,B\in {\mathbb{R}}^n$. Pruebe que $$(A\bigcup B{)}^{\prime }=A^{\prime }\bigcup B^{\prime }$$

Demostración. Tenemos que
$$x\in (A\bigcup B{)}^{\prime }\Rightarrow x\in \overline{A\bigcup B}-x$$
$$\Rightarrow x\in \overline{A-x}\bigcup \overline{B-x}$$
$$\Rightarrow x\in \overline{A-x}\acute{o}x\in \overline{B-x}$$
$$\Rightarrow x\in A^{\prime }\acute{o}x\in B^{\prime }$$
$$\Rightarrow x\in A^{\prime }\bigcup B^{\prime }$$
Inversamente
$$A\subset A\bigcup B\Rightarrow A^{\prime }\subset (A\bigcup B{)}^{\prime }$$
$$B\subset A\bigcup B\Rightarrow B^{\prime }\subset (A\bigcup B{)}^{\prime }$$
de lo anterior se tiene
$$A^{\prime }\bigcup B^{\prime }\subset (A\bigcup B{)}^{\prime }$$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Ejercicio. Pruebe que $(A\bigcap B{)}^{\prime }\subset A^{\prime }\bigcap B^{\prime }$

Demostración.

$$A\bigcap B\subset A\Rightarrow (A\bigcap B{)}^{\prime }\subset A^{\prime }$$
$$A\bigcap B\subset B\Rightarrow (A\bigcap B{)}^{\prime }\subset B^{\prime }$$
de lo anterior se tiene
$$(A\bigcup B{)}^{\prime }\subset A^{\prime }\bigcup B^{\prime }$$ $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante

Tarea moral

1.- Prueba que si $A\subset {\mathbb{R}}^n$ es un conjunto arbitrario entonces

$$int(A)\subset A^{\prime }\subset int(A)\bigcup Fr(A)$$

2.- Prueba que $A\cup A^{\prime }=\bar{A}$

3.- Sea $A=\{(m,0)\in {\mathbb{R}}^2|m\in \mathbb{Z}\}$ Describe y prueba quién es $A^{\prime }$

4.- Determina quien es el $S^{\prime }$ de $S=\{({\displaystyle \frac{1}{n}},0)|n\in \mathbb{N}\}\subset {\mathbb{R}}^2$

5.-Da un ejemplo de un conjunto $S$ en ${\mathbb{R}}^2$ donde $S^{\prime }$ sólo tenga un punto de acumulación y otro donde contenga una infinidad.

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