Introducción

El contenido de esta sección corresponde al libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 30-34.

Continuaremos viendo condiciones bajo las cuales sea posible afirmar la existencia de la integral ${\int }_a^{b}fd\alpha .$ Comencemos con la siguiente:

Proposición: Sean $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}.$ Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe, entonces también ${\int }_a^b\alpha df$ existe y además

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_a^{b}fd\alpha =[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–{\int }_a^b\alpha df.\end{array}$$

Demostración:
Considera $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}$ una partición de $[a,b]$ y sean ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i],i=1,\dots ,n.$ Entonces se siguen las siguientes igualdades:

$$\begin{array}{rl}S(P,f,\alpha )& =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ & =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\alpha (x_i)–\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\alpha (x_{i-1})\\ & =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\alpha (x_i)–\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_{i+1})\alpha (x_i)\\ & =\sum _{i=1}^{n-1}f({\xi }_i)\alpha (x_i)+f({\xi }_n)\alpha (x_n)–\sum _{i=1}^{n-1}f({\xi }_{i+1})\alpha (x_i)–f({\xi }_1)\alpha (x_0)\\ & =-\sum _{i=1}^{n-1}\alpha (x_i)(f({\xi }_{i+1})–f({\xi }_i)))+f({\xi }_n)\alpha (b)–f({\xi }_1)\alpha (a).\end{array}$$

Nota que el lado derecho de la igualdad coincide con

$$[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–T_P$$

donde

$$T_P=\sum _{i=1}^{n-1}\alpha (x_i)(f({\xi }_{i+1})–f({\xi }_i))+\alpha (a)(f({\xi }_1)–f(a))+\alpha (b)(f(b)–f({\xi }_n)).$$

Por lo tanto

$$\begin{array}{}\text{(2)}& S(P,f,\alpha )=[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–T_P.\end{array}$$

Observa que $T_P$ es una suma de Riemann-Stieltjes para ${\int }_a^b\alpha df.$ Tomando el límite cuando $|P|\to 0$ en (2) vemos que ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe si y solo si ${\int }_a^b\alpha df$ existe y que

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}fd\alpha =[f(b)\alpha (b)–f(a)\alpha (a)]–{\int }_a^b\alpha df,\end{array}$$

que es lo que queríamos demostrar.

Ya que el valor de las sumas de Riemann-Stieltjes depende de los valores ${\xi }_i$ elegidos, cuando la función $f$ es acotada, podemos delimitar el valor de $f({\xi }_i)$ y, por tanto, acotar las sumas como muestra la siguiente:

Definición: Suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes. Sea $f$ acotada, $\alpha$ una función monótona creciente en $[a,b]$ y $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}.$ Definimos los términos:

Las siguientes sumas

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& {\underset{―}{S}}_P=\sum _{i=1}^n{m}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\\ \text{(4)}& {\bar{S}}_P=\sum _{i=1}^n{M}_i(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\end{array}$$

reciben el nombre de suma inferior y suma superior de Riemann-Stieltjes, respectivamente.

Dado que $-\mathrm{\infty }<m_i\le M_i<\mathrm{\infty }$ y $(\alpha (x_i)–\alpha (x_{i-1}))\ge 0,$ (pues $\alpha$ es creciente), podemos ver que

$${\underset{―}{S}}_P\le S(P,f,\alpha )\le {\bar{S}}_P.$$

Esta forma de definir sumas permite conocer el comportamiento de la función, como sugiere el siguiente:

Lema: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ creciente. Se cumplen:

a) Si $Q$ es un refinamiento de $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]},$ entonces

$${\underset{―}{S}}_P\le {\underset{―}{S}}_Q\le {\bar{S}}_Q\le {\bar{S}}_P.$$

b) Si $P_1$ y $P_2$ son dos particiones, entonces
$${\underset{―}{S}}_{P_1}\le {\bar{S}}_{P_2},$$
es decir, cualquier suma inferior de Riemann-Stieltjes es menor igual que cualquier suma superior de Riemann-Stieltjes.

Demostración:
a) Vamos a demostrar que ${\bar{S}}_Q\le {\bar{S}}_P.$ El argumento para las sumas inferiores es análogo y lo dejaremos como ejercicio.

Sea $P=\{x_0=a,\dots ,x_n=b\}$ y $P\subset Q.$ Para fines prácticos supongamos que $Q$ tiene apenas un punto más que $P.$ Sea $x^{\ast }$ ese punto.
Entonces $x^{\ast }\in [x_{j-1},x_j]$ para algún $j\in \{1,\dots ,n\}$

entonces

en consecuencia
$$\underset{[x_{j-1},x^{\ast }]}{sup}f(x)(\alpha (x^{\ast })–\alpha (x_{i-1}))+\underset{[x^{\ast },x_j]}{sup}f(x)(\alpha (x_j)–\alpha (x^{\ast }))\le M_j(\alpha (x_j)–\alpha (x_{j-1})).$$

Este razonamiento se puede repetir añadiendo uno a uno cada punto de $Q\setminus P$ hasta obtener $Q.$ Finalmente,

$${\bar{S}}_Q\le {\bar{S}}_P.$$

b) Nota que $P_1\cup P_2$ es un refinamiento tanto de $P_1$ como de $P_2.$ Aplicando a) obtenemos:

$${\underset{―}{S}}_{P_1}\le {\underset{―}{S}}_{P_1\cup P_2}\le {\bar{S}}_{P_1\cup P_2}\le {\bar{S}}_{P_2}$$

con lo cual terminamos la prueba.

El siguiente enunciado muestra condiciones suficientes para la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes.

Proposición: Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ de variación acotada en $[a,b],$ entonces ${\int }_a^b$ existe. Más aún

$$\left|{\int }_a^{b}fd\alpha \right|\le (\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|)V[\alpha ;a,b].$$

Demostración:
Para demostrar la existencia recordemos que el teorema de Jordan visto en la entrada Funciones de variación acotada dice que $\alpha ,$ al ser de variación acotada, puede expresarse como $\alpha ={\alpha }_1–{\alpha }_2$ con ${\alpha }_1$ y ${\alpha }_2$ funciones crecientes acotadas en $[a,b].$ Si probamos que existe tanto ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ como ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_2,$ entonces, por lo visto en la entrada anterior link también existe la integral buscada pues

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}fd{\alpha }_1–{\int }_a^{b}fd{\alpha }_2& ={\int }_a^{b}fd{\alpha }_1+{\int }_a^{b}fd(-{\alpha }_2)\\ & ={\int }_a^{b}fd({\alpha }_1-{\alpha }_2)\\ \text{(5)}& & ={\int }_a^{b}fd\alpha .\end{array}$$

Sin pérdida de generalidad, probemos que ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ existe. Sea $P=\{x_1=a,\dots ,x_n=b\}.$ De acuerdo con la proposición que acabamos de ver

$${\underset{―}{S}}_P\le S(P,f,{\alpha }_1)\le {\bar{S}}_P.$$

A continuación vamos a demostrar que $\underset{|P|\to 0}{lim}{\underset{―}{S}}_P$ y $\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$ existen y son iguales. La condición es evidente si ${\alpha }_1$ es constante así que supongamos que no lo es.

Sea $\epsilon >0.$ Ya que $f$ es uniformemente continua en $[a,b]$ sabemos que existe $\delta >0$ tal que si $|P|<\delta ,$ entonces

$$\begin{array}{r}{M}_i-m_i<\frac{\epsilon }{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}.\end{array}$$

Nota que ${\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)$ es distinto de cero, pues ${\alpha }_1$ es monótona no constante.

Si $|P|<\delta$ se sigue:

$$\begin{array}{rl}0\le {\bar{S}}_P–{\underset{―}{S}}_P& =\sum _{i=1}^n(M_i–m_i)({\alpha }_1(x_i)–{\alpha }_1(x_{i-1}))\\ & <\sum _{i=1}^n\left(\frac{\epsilon }{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}\right)({\alpha }_1(x_i)–{\alpha }_1(x_{i-1}))\\ & =\frac{\epsilon }{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}\sum _{i=1}^n({\alpha }_1(x_i)–{\alpha }_1(x_{i-1}))\\ & =\left(\frac{\epsilon }{\cancel{{\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a)}}\right)\cancel{({\alpha }_1(b)–{\alpha }_1(a))}\\ & =\epsilon .\end{array}$$

Por lo tanto
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \underset{|P|\to 0}{lim}({\bar{S}}_P–{\underset{―}{S}}_P)=0.\end{array}$$

A continuación probaremos que existe $\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$ en $\mathbb{R}.$ Si suponemos que no existe entonces, por el criterio de Cauchy visto en la entrada anterior link , existen $\epsilon >0$ y $(P_k^{\prime }{)}_{k\in \mathbb{N}}$ y $(P´{´}_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ sucesiones de particiones cuyas normas tienden a cero tales que

$${\bar{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}>\epsilon .$$

Por (6) sabemos que para $k$ suficientemente grande

$$\begin{array}{rlrl}& & {\bar{S}}_{P_k^{\prime }}–{\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}& <\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P_k^{\prime }}& >-\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\bar{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}+{\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P_k^{\prime }}& >\epsilon -\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}& >\frac{\epsilon }{2}\\ & \Rightarrow & {\underset{―}{S}}_{P_k^{\prime }}–{\bar{S}}_{P´{´}_k}& >0\end{array}$$

lo que contradice el hecho de que ${\underset{―}{S}}_{P^{\prime }}\le {\bar{S}}_{P´´}$ para cualquier $P^{\prime }$ y $P´´.$

Por lo tanto $\underset{|P|\to 0}{lim}{\bar{S}}_P$ existe y en consecuencia ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_1$ existe. Análogamente, ${\int }_a^{b}fd{\alpha }_2$ existe, por lo tanto ${\int }_a^{b}fd\alpha$ también existe.

Para terminar la prueba nota que la desigualdad

$$\left|{\int }_a^{b}fd\alpha \right|\le (\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|)V[\alpha ;a,b]$$

se sigue de una suma de Riemann-Stieltjes similar y haciendo tender el límite a cero. La prueba de este hecho se dejará como ejercicio.

Finalizaremos esta sección con un teorema conocido, pero ahora en la versión con la integral de Riemann-Stieltjes.

Teorema. Del valor medio para la integral de Riemann-Stieltjes. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y creciente. Entonces existe $\xi \in [a,b]$ tal que

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\int }_a^{b}fd\alpha =f(\xi )(\alpha (b)–\alpha (a)).\end{array}$$

Demostración:
Dado que $\alpha$ es creciente, se satisface para cualquier $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}$

$$(\underset{x\in [a,b]}{\text{mín}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a))\le S(P,f,\alpha )\le (\underset{x\in [a,b]}{\text{máx}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a))$$

El resultado anterior nos permite afirmar que ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe, entonces también se cumple

$$(\underset{x\in [a,b]}{\text{mín}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a))\le {\int }_a^{b}fd\alpha \le (\underset{x\in [a,b]}{\text{máx}}f(x))(\alpha (b)–\alpha (a)),$$

y como $f$ es continua en $[a,b]$ se sigue del teorema del valor intermedio que existe $\xi \in [a,b]$ tal que

$${\int }_a^{b}fd\alpha =f(\xi )(\alpha (b)–\alpha (a)),$$

que es lo que queríamos demostrar.

Así como definimos la integral de Riemann-Stieltjes en intervalos cerrados, también podemos hacerlo en intervalos abiertos $(a,b)\in \mathbb{R}$ de esta forma: Si $[a^{\prime },b^{\prime }]\subset (a,b)$ y existe ${\int }_{a^{\prime }}^{b^{\prime }}fd\alpha ,$ haciendo $a^{\prime }\to a$ y $b^{\prime }\to b$ definimos

$${\int }_a^{b}fd\alpha =\underset{a^{\prime }\to a;b^{\prime }\to b}{lim}{\int }_{a^{\prime }}^{b^{\prime }}fd\alpha$$

cuando el límite existe. Así mismo

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}fd\alpha =\underset{a\to -\mathrm{\infty };b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}fd\alpha ,$$

cuando el límite existe.

Más adelante…

Hasta el momento no es muy evidente la relacion entre la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes con los limites de las sumas inferior y superior de Riemann-Stieltjes, pese a que en Cálculo llegan incluso a considerarse equivalentes cuando coinciden. En la próxima entrada veremos bajo qué condiciones el resultado es válido en la integral que estamos estudiando.

Tarea moral

1. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ acotada y $\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}$ creciente. Sea $Q$ un refinamiento de $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}.$ Demuestra que
   $${\underset{―}{S}}_P\le {\underset{―}{S}}_Q.$$
2. Demuestra la desigualdad pendiente
   $$\left|{\int }_a^{b}fd\alpha \right|\le (\underset{x\in [a,b]}{sup}|f(x)|)V[\alpha ;a,b]$$
   donde $f$ es continua y $\alpha$ es de variación acotada.
3. Sean $f,\alpha :[a,b]\to \mathbb{R}.$ Prueba que se cumplen:
   a) Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe y $\alpha$ no es constante en ningún subintervalo de $[a,b]$ muestra que $f$ es acotada en $[a,b].$
   b) Si ${\int }_a^{b}fd\alpha$ existe y $\alpha$ es creciente, muestra que para cada $P\in {\mathcal{P}}_{[a,b]}$ tenemos ${\underset{―}{S}}_P\le {\int }_a^{b}fd\alpha \le {\bar{S}}_P.$

Enlaces

• Análisis Matemático.
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