Introducción

En la entrada pasada dimos comienzo a la construcción de la teoría matemática de la probabilidad. Introdujimos los conceptos de espacio muestral y σ-álgebra. Estos dos son las piedras angulares de la probabilidad. En consecuencia, en esta sesión estudiaremos algunas propiedades importantes de los σ-álgebras. En particular, será de importancia la capacidad de construir σ-álgebras a partir de familias dadas de conjuntos. Esto es, veremos cómo, dada una colección de conjuntos $\mathcal{C}$, existe un σ-álgebra de tamaño mínimo que tiene como subconjunto a $\mathcal{C}$. Así, construiremos un σ-álgebra muy interesante en el contexto de la probabilidad.

Construir σ-álgebras a partir de familias de conjuntos

Mencionamos en la entrada anterior que un σ-álgebra es una familia de conjuntos a los cuales se les asignará una «calificación», llamada «probabilidad». Es decir, que dado $\mathrm{\Omega }$ un espacio muestral y $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$ un σ-álgebra sobre $\mathrm{\Omega }$, los elementos de $\mathcal{F}$ con los conjuntos que consideraremos como «calificables».

En consecuencia, resulta interesante plantear la siguiente situación. Supón que tenemos una familia de conjuntos $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$. Piensa que esta familia de subconjuntos de $\mathrm{\Omega }$ es muy importante. Al ser muy importante, nos gustaría poder «calificar» a todos sus elementos. Sin embargo, no sabemos si $\mathcal{C}$ es un σ-álgebra. ¿Será posible construir un σ-álgebra $\mathcal{L}$ tal que $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{L}$? La respuesta es sí, y está dada por el siguiente teorema.

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Teorema. Dado $\mathrm{\Omega }$ un conjunto y $\mathcal{C}$ una familia de subconjuntos de $\mathrm{\Omega }$ ($\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$), existe un único σ-álgebra sobre $\mathrm{\Omega }$ de tamaño mínimo $\mathcal{L}$ tal que $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{L}$.

Debido a la unicidad, este σ-álgebra es llamado el σ-álgebra generado por $\mathcal{C}$, y es denotado por $\sigma (\mathcal{C})$.

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Demostración. Sea $\mathrm{\Gamma }$ la familia de todos los σ-álgebras sobre $\mathrm{\Omega }$ que contienen a $\mathcal{C}$. De manera un poco informal, es el siguiente conjunto:

$$\mathrm{\Gamma }=\{\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })\mid \mathcal{F}\text{ es un }\sigma \text{-álgebra}\wedge \mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}\}$$

Observa que $\mathrm{\Gamma }\ne \mathrm{\varnothing }$, pues vimos en la sesión anterior que $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$ es un σ-álgebra. Por lo tanto, $\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })\in \mathrm{\Gamma }$. Sea $\mathcal{L}$ la intersección de todos los elementos de $\mathrm{\Gamma }$. Es decir,

$$\mathcal{L}=\bigcap _{\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }}\mathcal{F}.$$

Esta intersección está bien definida pues $\mathrm{\Gamma }\ne \mathrm{\varnothing }$. Por construcción, $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{L}$, pues $\mathcal{C}$ es subconjunto de todos los $\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }$, y $\mathcal{L}$ es la intersección de todos esos $\mathcal{F}$. De igual forma, para cualquier $\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }$ se cumple que $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{F}$. Veamos que $\mathcal{L}$ es un σ-álgebra.

1. Primero, veamos que $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{L}$. Sabemos que todos los elementos de $\mathrm{\Gamma }$ son σ-álgebras sobre $\mathrm{\Omega }$. En consecuencia, para cualquier $\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }$ se cumple que $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{F}$. Por lo tanto, $\mathrm{\Omega }\in \bigcap _{\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }}\mathcal{F}$, que por la definición de $\mathcal{L}$ demuestra que $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{L}$.
2. Veamos ahora que para cualquier $E\in \mathcal{L}$ se tiene que $E^{\mathsf{c}}\in \mathcal{L}$. Sea $E\in \mathcal{L}$. Por definición de $\mathcal{L}$, esto implica que $E\in \bigcap _{\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }}\mathcal{F}$. Es decir, para todo $\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }$, se cumple que $E\in \mathcal{F}$. Como cada uno de los $\mathcal{F}$ es σ-álgebra, se sigue que para todo $\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }$ se cumple que $E^{\mathsf{c}}\in \mathcal{F}$. Por consiguiente, $E^{\mathsf{c}}\in \bigcap _{\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }}\mathcal{F}$. Así, se concluye que $E^{\mathsf{c}}\in \mathcal{L}$.
3. Finalmente, sea $\{E_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que para todo $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ se cumple que $E_n\in \mathcal{L}$. Debemos de demostrar que $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\in \mathcal{L}$. Para ello, observa que si para todo $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ se cumple que $E_n\in \mathcal{L}$, entonces también es cierto que para todo $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ se cumple que $E_n\in \bigcap _{\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }}\mathcal{F}$, por la definición de $\mathcal{L}$. Ahora, esto significa que para cualquier $\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }$, todos los $E_n$ cumplen que $E_n\in \mathcal{F}$; y como los $\mathcal{F}$ son σ-álgebras, se sigue que $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\in \mathcal{F}$. Por lo tanto, $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\in \bigcap _{\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }}\mathcal{F}$, y así, queda demostrado que $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n\in \mathcal{L}$.

Estas tres propiedades demuestran que $\mathcal{L}$ es un σ-álgebra que contiene a $\mathcal{C}$. Además, por construcción, $\mathcal{L}$ es minimal en el sentido de que es subconjunto de cualquier otro σ-álgebra que contiene a $\mathcal{C}$.

Nos falta ver que $\mathcal{L}$ es único. Para hacerlo, supón que hay otro σ-álgebra $\mathcal{N}$ que satisface $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{N}$ y que para todo σ-álgebra $\mathcal{F}$ tal que $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$, se tiene que $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{F}$ (es decir, $\mathcal{N}$ es minimal). Como $\mathcal{N}$ es un σ-álgebra tal que $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{N}$, se tiene que $\mathcal{N}\in \mathrm{\Gamma }$. Más arriba comentamos que para cualquier $\mathcal{F}\in \mathrm{\Gamma }$ se cumple que $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{F}$. En particular, esto implica que $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{N}$.

Por otro lado, supusimos que $\mathcal{N}$ es minimal, es decir, que si $\mathcal{F}$ es un σ-álgebra tal que $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$, se tiene que $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{F}$. Ya vimos que $\mathcal{L}$ es un σ-álgebra que contiene a $\mathcal{C}$. En consecuencia, $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{L}$.

Así, utilizando la igualdad por doble contención, queda demostrado que $\mathcal{N}=\mathcal{L}$. En conclusión, cualquier σ-álgebra que contiene a $\mathcal{C}$ y es minimal en el sentido de que es subconjunto de cualquier otro σ-álgebra que contiene a $\mathcal{C}$ resulta ser igual a $\mathcal{L}$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

¡Bien! Hay dos consecuencias importantes del teorema anterior. En primera, que podemos cronstruir σ-álgebras sobre cualquier conjunto. En segunda, y quizás no tan evidente, que existe una cantidad abundante de σ-álgebras.

Sin embargo, quizás ya notaste que la definición de σ-álgebra generado por una familia de conjuntos $\mathcal{C}$ es un poco intangible. Veamos algunos ejemplos para entender cómo es que funciona esta construcción.

Ejemplos. Sea $\mathrm{\Omega }$ el siguiente conjunto:

$$\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}.$$

Sea $\mathcal{C}=\{\{2\},\{4\}\}$. Veamos qué conjunto es $\sigma (\mathcal{C})$. Primero, sabemos que $\sigma (\mathcal{C})$ debe de ser un σ-álgebra. Por ello, $\sigma (\mathcal{C})$ debe de satisfacer que $\mathrm{\Omega }\in \sigma (\mathcal{C})$. Además, por definición de $\sigma (\mathcal{C})$, debe de cumplirse que $\mathcal{C}\subseteq \sigma (\mathcal{C})$. Es decir, se cumplen las siguientes dos pertenencias:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{2\}& \in \sigma (\mathcal{C}),\text{(2)}& \{4\}& \in \sigma (\mathcal{C}).\end{array}$$

Bien, entonces en principio $\sigma (\mathcal{C})$ se vería así:

$$\sigma (\mathcal{C})=\{\{2\},\{4\},\{1,2,3,4,5,6\},\dots \},$$

donde los puntos suspensivos representan los elementos de $\sigma (\mathcal{C})$ que todavía nos faltan. Ahora, sabemos que un σ-álgebra es cerrado bajo complementación. Por lo tanto, los complementos de cada uno de esos conjuntos deben de ser elementos de $\sigma (\mathcal{C})$. Es decir, se cumplen las siguientes pertenencias:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \{2{\}}^{\mathsf{c}}=\{1,3,4,5,6\}& \in \sigma (\mathcal{C}),\text{(4)}& \{4{\}}^{\mathsf{c}}=\{1,2,3,5,6\}& \in \sigma (\mathcal{C}),\text{(5)}& \{1,2,3,4,5,6{\}}^{\mathsf{c}}=\mathrm{\varnothing }& \in \sigma (\mathcal{C}).\end{array}$$

Esto expande la cantidad de elementos en $\sigma (\mathcal{C})$, que va agarrando cada vez más forma:

$$\sigma (\mathcal{C})=\{\mathrm{\varnothing },\{2\},\{4\},\{1,3,4,5,6\},\{1,2,3,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\},\dots \},$$

Finalmente, un σ-álgebra es cerrado bajo uniones numerables. En este ejemplo, $\mathrm{\Omega }$ es finito, así que basta con que acompletemos a $\sigma (\mathcal{C})$ con todas las uniones finitas. Además, $\sigma (\mathcal{C})$ debe de ser cerrado bajo los complementos de las uniones resultantes. Sin embargo, observa que no es necesario meter esos complementos, y que basta con sacar las intersecciones de los conjuntos que ya tenemos. Esto gracias a las leyes de De Morgan: para cualesquiera $A$ y $B$ conjuntos se cumple que $(A\cup B{)}^{\mathsf{c}}=A^{\mathsf{c}}\cap B^{\mathsf{c}}$. Así, el siguiente paso es tomar todas las uniones e intersecciones posibles de los elementos de $\sigma (\mathcal{C})$ que tenemos.

Sin embargo, observa que algunas de las uniones e intersecciones de conjuntos que ya tenemos dan como resultado otros conjuntos que ya hemos incluido en $\sigma (\mathcal{C})$. Por ello, incluiré las uniones e intersecciones que resultan en conjuntos que todavía no están en $\sigma (\mathcal{C})$. Estas son:

$$\begin{array}{rl}\{2\}\cup \{4\}=\{2,4\}& \in \sigma (\mathcal{C}),\\ \{1,3,4,5,6\}\cap \{1,2,3,5,6\}=\{1,3,5,6\}& \in \sigma (\mathcal{C}).\end{array}$$

Nota que $\{2,4{\}}^{\mathsf{c}}=\{1,3,5,6\}=\{1,3,4,5,6\}\cap \{1,2,3,5,6\}$, que justo como mencionamos más arriba, cubre la cerradura bajo complementación para $\{2,4\}$. Así, queda completo $\sigma (\mathcal{C})$, que es el siguiente conjunto:

$$\sigma (\mathcal{C})=\{\mathrm{\varnothing },\{2\},\{4\},\{2,4\},\{1,3,5,6\},\{1,3,4,5,6\},\{1,2,3,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}.$$

Un buen ejercicio sería que verifiques que este conjunto que obtuvimos es, efectivamente, un σ-álgebra. En conclusión, en el caso del σ-álgebra generado por una familia finita de conjuntos, podemos seguir el siguiente método para su construcción.

1. Dada $\mathcal{C}$ una familia finita de subconjuntos de $\mathrm{\Omega }$, el primer paso es incluir a todos los elementos de $\mathcal{C}$ (ya que, por definición, $\mathcal{C}\subseteq \sigma (\mathcal{C})$). Además, por la primera propiedad de un σ-álgebra, también debe de cumplirse que $\mathrm{\Omega }\in \sigma (\mathcal{C})$.
2. Un σ-álgebra debe de ser cerrado bajo complementación. Por ello, el segundo paso es incluir a todos los complementos de los conjuntos incluidos en el paso anterior.
3. Finalmente, tomar todas las uniones e intersecciones posibles de los conjuntos obtenidos en los dos pasos anteriores.

Un σ-álgebra de gran importancia

El ejemplo anterior exhibe una manera de construir el σ-álgebra generado por una familia finita de conjuntos. SIn embargo, esto se torna más abstracto cuando la familia no es finita. En particular, cuando $\mathrm{\Omega }=\mathbb{R}$, sería interesante pensar en el σ-álgebra generado por la familia de intervalos de la siguiente forma:

$${\mathcal{C}}_1=\{(-\mathrm{\infty },b]\mid b\in \mathbb{R}\}.$$

Es decir, ${\mathcal{C}}_1$ es la familia de todos los intervalos no acotados por la izquierda, y cerrados por la derecha. En el contexto de la probabilidad es muy natural que, dado $b\in \mathbb{R}$, planteemos la siguiente situación. Si $x$ es el resultado de algún experimento donde el espacio muestral es $\mathbb{R}$ ¿es cierto que $x\le b$? O dicho en otras palabras, ¿es cierto que $x\in (-\mathrm{\infty },b]$? Por ejemplo, «¿es cierto que el precio de un activo queda por debajo de algún valor fijo?» Esta es una pregunta que surgiría cuando entras en el contrato de un producto financiero derivado.

Observa que ${\mathcal{C}}_1$ no es un σ-álgebra, así que habría preguntas sobre $x$ que no podríamos contestar dentro de ${\mathcal{C}}_1$. Por ejemplo, $(-\mathrm{\infty },b{]}^{\mathsf{c}}=(b,\mathrm{\infty })$ no es un elemento de ${\mathcal{C}}_1$, por lo que la pregunta «¿es cierto que $x\in (b,\mathrm{\infty })$?» no tendría respuesta.

¡Ajá! Pero justamente, el teorema que vimos nos permite generar un σ-álgebra a partir de ${\mathcal{C}}_1$. Es decir, $\sigma ({\mathcal{C}}_1)$ es el σ-álgebra más pequeño que contiene a todos los intervalos $(-\mathrm{\infty },b]$.

El σ-álgebra generado por esta última familia es muy importante, y es conocido como el σ-álgebra de Borel en $\mathbb{R}$, y es comúnmente denotado por $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Curiosamente, resulta que la manera en que obtuvimos a $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ no es la única manera de hacerlo. Por ejemplo, sea ${\mathcal{C}}_2$ la siguiente familia de conjuntos:

$${\mathcal{C}}_2=\{(a,b]\mid a,b\in \mathbb{R}\wedge a<b\}.$$

¿Cuál será el σ-álgebra generado por ${\mathcal{C}}_2$? Veamos primero lo siguiente. Sean $a$, $b\in \mathbb{R}$ tales que $a<b$. Por la definición de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, se cumple que $(-\mathrm{\infty },a]$, $(-\mathrm{\infty },b]\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Como $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ es un σ-álgebra, $(-\mathrm{\infty },a{]}^{\mathsf{c}}=(a,\mathrm{\infty })\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Por lo tanto, $(a,\mathrm{\infty })\cap (-\mathrm{\infty },b]=(a,b]\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Esto es, para cualesquiera $a$, $b\in \mathbb{R}$ tales que $a<b$, se cumple que $(a,b]\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Por lo tanto, se cumple que ${\mathcal{C}}_2\subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})$, y como $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ es un σ-álgebra, se tiene que $\sigma ({\mathcal{C}}_2)\subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Ahora, sea $b\in \mathbb{R}$. Por la definición de $\sigma ({\mathcal{C}}_2)$, para cualquier $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ se cumple que $(b–n,b]\in \sigma ({\mathcal{C}}_2)$. Esto pasa porque $b-n$ y $b$ son reales tales que $b–n<b$, por lo que $(b-n,b]\in {\mathcal{C}}_2$. Ahora, debido a que $\sigma ({\mathcal{C}}_2)$ es un σ-álgebra, se cumple que

$$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b–n,b]\in \sigma ({\mathcal{C}}_2),$$

pues $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b–n,b]$ es una unión numerable de elementos de $\sigma ({\mathcal{C}}_2)$. Observa que

$$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b–n,b]=(-\mathrm{\infty },b],$$

ya que si $x$ es un número real tal que $x\in (-\mathrm{\infty },b]$, como consecuencia de la propiedad arquimediana en $\mathbb{R}$, existe $k\in \mathbb{Z}$ tal que $k<x\le k+1$. Como $k<x$ y $x\le b$, se tiene que $k<b$. Luego, $b–(\lceil b\rceil –k)\le b–(b–k)=k$, pues $b\le \lceil b\rceil$. Además, como $k<b$ y $b\le \lceil b\rceil$, se tiene que $\lceil b\rceil –k>0$, y como $\lceil b\rceil$ y $k$ son enteros, $\lceil b\rceil –k$ también lo es. Esto es, $\lceil b\rceil –k\in {\mathbb{N}}^{+}$. Sea $n^{\ast }=\lceil b\rceil –k$. Observa que $b–n^{\ast }<k$, por lo que $b–n^{\ast }<x$, y como $x\le b$, se tiene que

$$x\in (b–n^{\ast },b],$$

y como $\lceil b \rceil – k \in \mathbb{N}^{+}, podemos concluir que

$$x\in \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b–n,b],$$

por lo que $(-\mathrm{\infty },b]\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b–n,b]$. La otra contención es más sencilla de demostrar. Si $x$ es un real tal que $x\in \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b–n,b]$, entonces existe $m\in {\mathbb{N}}^{+}$ tal que $x\in (b–m,b]$. Esto asegura que $b-n<x\wedge x\le b$. En particular, es cierto que $x\le b$, por lo que $x\in (-\mathrm{\infty },b]$. Por lo tanto, $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b–n,b]\subseteq (-\mathrm{\infty },b]$.

Esto demuestra que para cualquier $b\in \mathbb{R}$, el intervalo $(-\mathrm{\infty },b]$ es un elemento de $\sigma ({\mathcal{C}}_2)$. Es decir, ${\mathcal{C}}_1\subseteq \sigma ({\mathcal{C}}_2)$. Además, recuerda que $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ es el σ-álgebra generado por ${\mathcal{C}}_1$, y que $\sigma ({\mathcal{C}}_2)$ es un σ-álgebra. Esto implica que $\mathcal{B}(\mathbb{R})\subseteq \sigma ({\mathcal{C}}_2)$.

En conclusión, queda demostrado que $\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma ({\mathcal{C}}_2)$. esto muestra que el σ-álgebra de Borel en $\mathbb{R}$ puede generarse a partir de ${\mathcal{C}}_2$.

Más aún, $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ resulta ser el σ-álgebra generado por otras familias de intervalos muy parecidas. Las siguientes familias son algunas de ellas:

$$\begin{array}{rl}{\mathcal{C}}_3& =\{[a,b)\mid a,b\in \mathbb{R}\wedge a<b\},\\ {\mathcal{C}}_4& =\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R}\wedge a<b\},\\ {\mathcal{C}}_5& =\{[a,b]\mid a,b\in \mathbb{R}\wedge a<b\},\\ {\mathcal{C}}_6& =\{(a,\mathrm{\infty })\mid a\in \mathbb{R}\},\\ {\mathcal{C}}_7& =\{[a,\mathrm{\infty })\mid a\in \mathbb{R}\},\\ {\mathcal{C}}_8& =\{(-\mathrm{\infty },b)\mid b\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

Todas las familias anteriores generan el mismo σ-álgebra: $\mathcal{B}(\mathbb{R})$. La justificación de estos hechos es parecida a la que desarrollamos aquí, pero con algunos detalles distintos. Para pasar de un σ-álgebra a otro, se utilizan otras uniones o intersecciones numerables más mañosas. Por ejemplo, si tomas conjuntos en ${\mathcal{C}}_4$, digamos, con $a$, $b\in \mathbb{R}$ tales que $a<b$, y para cada $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ tomas los conjuntos $(a,b+\frac{1}{n})$, al obtener la intersección de esta familia:

$$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a,b+\frac{1}{n}),$$

el intervalo resultante es el intervalo $(a,b]$. Es decir, haciendo una intersección numerable de elementos de ${\mathcal{C}}_4$, llegas a uno de ${\mathcal{C}}_2$. Algo parecido puede hacerse para pasar de ${\mathcal{C}}_2$ a ${\mathcal{C}}_4$, pero se haría con uniones numerables.

Finalmente, ¿recuerdas el álgebra de la entrada pasada? ¿El de las uniones disjuntas finitas de intervalos? Bueno, resulta que el σ-álgebra generado por ese álgebra es también $\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu manejo de los conceptos abordados en esta entrada.

• Retomando el ejemplo donde $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ y $\mathcal{C}=\{\{2\},\{4\}\}$, verifica que el conjunto
  $$\sigma (\mathcal{C})=\{\mathrm{\varnothing },\{2\},\{4\},\{2,4\},\{1,3,5,6\},\{1,3,4,5,6\},\{1,2,3,5,6\},\{1,2,3,4,5,6\}\}$$es un σ-álgebra.
• Sea $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$.
  • Sea ${\mathcal{C}}_a=\{\{1\},\{3,5\}\}$. Determina $\sigma ({\mathcal{C}}_a)$.
  • Sea ${\mathcal{C}}_b=\{\{1\},\{2\},\{3,4\}\}$. Determina $\sigma ({\mathcal{C}}_b)$.
• Retomando el σ-álgebra de Borel en $\mathbb{R}$, $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, demuestra que
  • El σ-álgebra generado por ${\mathcal{C}}_4$ es $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ (puedes demostrar que $\sigma ({\mathcal{C}}_4)=\sigma ({\mathcal{C}}_1)$ usando el bosquejo que propusimos).
  • El σ-álgebra generado por ${\mathcal{C}}_5$ es $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ (puedes demostrar que $\sigma ({\mathcal{C}}_5)=\sigma ({\mathcal{C}}_4)$).

Más adelante…

Esta entrada concluye nuestro estudio enfocado en los σ-álgebras. El σ-álgebra de Borel será necesario mucho más adelante cuando definamos lo que son las variables aleatorias continuas con valores en $\mathbb{R}$. Además, si decides cursar la materia de Teoría de la Medida, te encontrarás con el σ-álgebra de Borel y lo estudiarás con más profundidad. En particular, es de mucha importancia que $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ pueda ser generado a partir de un álgebra de conjuntos. Esto pues hay un teorema muy importante (el Teorema de Extensión de Carathéodory) que permite extender la medida sobre el álgebra que asigna a cada intervalo su longitud (donde la longitud de $(a,b]$ es $b–a$) de manera única a $\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

En la siguiente entrada abordaremos el concepto de medida de probabilidad, que será nuestra manera de asignar una «calificación» a los elementos de un σ-álgebra dado.

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