(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción.

En este capítulo veremos las leyes de De Morgan, que nos hablan de cómo es el complemento de una unión o de una intersección de conjuntos. Para ello usaremos los resultados adquiridos en notas anteriores, observando que cuando un elemento del conjunto universo no es parte de un conjunto, es por que no cumple con la propiedad que caracteriza sus elementos, y por tanto cumple la negación de esa propiedad.

Una vez que tengamos las leyes de De Morgan en nuestro repertorio de proposiciones adquiridas, junto con algunas propiedades de la diferencia de conjuntos, definiremos la diferencia simétrica y usaremos los resultados previos para obtener algunas de sus propiedades.

Teorema. Leyes de De Morgan.

Sea $X$ un conjunto universo, $A$ y $B$ subconjuntos de $X$.

1. $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$
2. $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

Demostración

Demostración de la propiedad 1.

Por demostrar que $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$.

Esta prueba la haremos por doble contención, la cadena de implicaciones de ida y regreso nos dará la prueba por doble contención.

Prueba condensada.	Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención $(A\cup B{)}^c\subseteq A^c\cap B^c$	Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención $(A\cup B{)}^c\supseteq A^c\cap B^c$
$z\in (A\cup B{)}^c$	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cup B{)}^c$ , con la intención de mostrar que también está en $A^c\cap B^c$	Por definición de complemento.
$⟺$ $z\notin A\cup B$	Esto es por la definición de complemento.	Los elementos que no están ni en $A$ ni en $B$ son precisamente los que no están en la unión.
$⟺$ $z\notin A$ y $z\notin B$ $$	Si $z$ no está en la unión, no cumple con la propiedad que caracteriza a los elementos de la unión, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ o $z\in B$, por lo que $z$ no puede estar ni en $A$ ni en $B$, es decir $z\notin A$ y $z\notin B$. Nota cómo la negación de la disyunción es la conjunción.	Por definición de complemento.
$⟺$ $z\in A^c$ y $z\in B^c$	Si $z$ no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.	Por definición de intersección.
$⟺$ $z\in A^c\cap B^c$	Por definición de intersección.	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cap B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cup B{)}^c$.

Las explicaciones de la prueba en la tabla se leen de arriba a abajo para la primera contención y de abajo a arriba en el caso de la segunda contención, para saber cómo cambiamos de paso, o empezamos la prueba, atendemos a la explicación, cada columna nos da una contención, la primera nos muestra que $(A\cup B{)}^c\subseteq A^c\cap B^c$, y la segunda nos muestra que $A^c\cap B^c\subseteq (A\cup B{)}^c$, lo que nos garantiza según el axioma de extensionalidad lo que queríamos probar: $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$. De esta manera, al hacer la equivalencia en cada paso no es necesario escribir por separado la prueba de cada contención. Sin embargo, debes tener cuidado porque no siempre es posible realizar este proceso y hay igualdades de conjuntos en las que sí es necesario desarrollar por separado cada contención.

En muchas ocasiones y sobre todo cuando se adquiere más habilidad haciendo demostraciones se puede dar la demostración condensada sin escribir todas las explicaciones de las equivalencias:

$z\in (A\cup B{)}^c⟺z\notin A\cup B⟺z\notin Ayz\notin B⟺z\in A^{c}yz\in B^c⟺z\in A^c\cap B^c$

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Demostración de la propiedad 2.

Por demostrar que $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

Prueba condensada.	Explicación de las implicaciones de ida que probarán la primera contención $(A\cap B{)}^c\subseteq A^c\cup B^c$	Explicación de las implicaciones de regreso que probarán la segunda contención $(A\cap B{)}^c\supseteq A^c\cup B^c$
$z\in (A\cap B{)}^c$	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $(A\cap B{)}^c$, con la intención de mostrar que también está en $A^c\cup B^c.$	Por definición de complemento.
$⟺$ $z\notin A\cap B$	Por definición de complemento.	Si el elemento cumple con no estar en $A$ o en $B$ entonces no está en la intersección.
$⟺$ $z\notin A$ o $z\notin B$ $$	Si $z$ no está en la intersección, no cumple con la propiedad que cumplen los elementos de la intersección, es decir $z$ no cumple que $z\in A$ y $z\in B$, por lo que debe fallar al menos una de ambas condiciones, es decir $z\notin A$ o $z\notin B$. Nota cómo la negación de la conjunción $y$ es la disyunción $o$.	Por definición de complemento.
$⟺$ $z\in A^c$ o $z\in B^c$	Si no está en $A$, está en su complemento, y lo mismo pasa con $B$.	Por definición de unión.
$⟺$ $z\in A^c\cup B^c$	Por definición de unión.	Empezamos la prueba tomándonos un elemento en el conjunto $A^c\cup B^c$, con la intención de mostrar que también está en $(A\cap B{)}^c$

Igual que en la primera demostración las dos contenciones nos dan la igualdad y así:

$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$, que es lo queríamos demostrar.

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Hay que estar atentos pues usaremos el resultado anterior para probar algunas propiedades de una operación destacable, la diferencia simétrica, pero antes de llegar a ello, definamos una operación más.

Definición

Sea $X$ un conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.

La diferencia de $A$ con $B$ es el conjunto de los elementos que están en $A$, pero no están en $B$.

$A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}$

Cabe observar que esta notación ya se había introducido en la Nota 3 para definir el complemento de un conjunto $B$ con respecto a un conjunto universo $X$, es decir el conjunto $X\setminus B$ formado por todos los $x$ que son elementos de $X$ pero no de $B$, por lo que el uso de esta notación resulta consistente y extiende la que se tenía para el complemento.

Proposición

Sea $X$ un conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.

1. $A\setminus B=A\cap B^c$
2. $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$
3. $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$

Demostración

Demostración de 1

Tenemos que:

$z\in A\setminus B=\{x\in A\mid x\notin B\}$ $⟺$ $z\in A$ y $z\notin B$ $⟺$ $z\in A$ y $z\in B^c$ $⟺$ $z\in A\cap B^c$.

Nota que ésta es una prueba por doble contención, la cadena de si y sólo si ($⟺$) nos da las dos contenciones.

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Demostración de 2

De nuevo recurriremos a una tabla para ir mostrando los pasos, esta vez entre igualdades.

Prueba condensada	Explicación
$A\setminus (B\cap C)=$	Empezamos considerando este conjunto.
$A\cap (B\cap C{)}^c=$	Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cup C^c)=$	Observa que en este paso nos valimos de las leyes de De Morgan y utilizamos que $(B\cap C{)}^c=B^c\cup C^c$.
$(A\cap B^c)\cup (A\cap C^c)=$	Esta igualdad es por la propiedad distributiva de la intersección.
$(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$	Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$ y $A\setminus C=A\cap C^c$.

Por lo tanto $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.

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Demostración de 3

Prueba condensada	Explicación
$A\setminus (B\cup C)=$	Empezamos considerando este conjunto.
$A\cap (B\cup C{)}^c=$	Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.
$A\cap (B^c\cap C^c)=$	Observa que en este paso nos valimos de las leyes de De Morgan y utilizamos que $(B\cup C{)}^c=B^c\cap C^c$.
$A\cap A\cap B^c\cap C^c=$	Como $A\cap A=A$, simplente reescribimos a $A$ de esta forma.
$(A\cap B^c)\cap (A\cap C^c)=$	Por las propiedades de asociatividad y conmutatividad de la intersección.
$(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$	Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.

Por lo tanto $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

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Con estas herramientas estamos listos para dar la definición de diferencia simétrica.

Definición

Sea $X$ un conjunto universo, $A$, $B$, subconjuntos de $X$, la diferencia simétrica de $A$ con $B$ es la diferencia de la unión de los dos conjuntos con su intersección:

$A△B=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$

Proposición

Sea $X$ un conjunto universo, $A$,$B$, subconjuntos de $X$.

1. $A△B=B△A$
2. $A△B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

Demostración de 1

$A△B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(B\cup A)\setminus (B\cap A)=B△A$, nota que en la prueba se está usando la conmutatividad de la unión y de la intersección.

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Demostración de 2

Prueba condensada	Explicación
$A△B=$	Empezamos con este conjunto.
$(A\cup B)\setminus (A\cap B)=$	Por definición de diferencia simétrica.
$(A\cup B)\cap (A\cap B{)}^c=$	Por lo mostrado en la propiedad 1 $A\setminus B=A\cap B^c$.
$(A\cup B)\cap (A^c\cup B^c)=$	Por las leyes de De Morgan.
$[(A\cup B)\cap A^c]\cup [(A\cup B)\cap B^c]=$	Por la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión.
$[(A\cap A^c)\cup (B\cap A^c)]\cup [(A\cap B^c)\cup (B\cap B^c)]=$	Por la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión.
$[\mathrm{\varnothing }\cup (B\cap A^c)]\cup [(A\cap B^c)\cup \mathrm{\varnothing }]=$	La intersección de un conjunto con su complemento es el vacío.
$(B\cap A^c)\cup (A\cap B^c)=$	El vacío unión cualquier conjunto nos deja el mismo conjunto.
$(B\setminus A)\cup (A\setminus B)$	Por lo mostrado en la proposición anterior $A\setminus B=A\cap B^c$.

Esto muestra que $A△B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$.

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Tarea Moral

En los siguientes incisos el conjunto universo a considerar es $X$, $A\subseteq X$, $B\subseteq X$.

i) Encuentra: $A^c$, $B^c$, $A^c\cup B^c$, $A^c\cap B^c$, $(A\cup B{)}^c$, $(A\cap B{)}^c$.

1. $X=\mathbb{N}$
   $A=\{x\in \mathbb{N}\mid xesunprimo\}$
   $B=\{x\in \mathbb{N}\mid xesunimpar\}$
2. $X=\mathbb{Z}$
   $A=\{x\in \mathbb{Z}\mid x=4k+1,paraalgunak\in \mathbb{Z}\}$
   $B=\{x\in \mathbb{N}\mid xesnegativo\}$
3. $X=\mathbb{N}$
   $A=\{x\in \mathbb{N}\mid xesunirracional\}$
   $B=\{x\in \mathbb{N}\mid x>3\}$
4. $X=\mathbb{N}$
   $A=\{x\in \mathbb{N}\mid x\le 5\}$
   $B=\{x\in \mathbb{N}\mid 1\le x<11\}$

ii) Sean $A$ y $B$ conjuntos, demuestra las siguientes igualdades entre conjuntos.

• $A\cup (B\setminus A)=A\cup B$
• $A\cap (B\setminus A)=\mathrm{\varnothing }$
• $(B\setminus A)\cup (A\cap B)=B$
• $(B\setminus A)\cap (A\cap B)=\mathrm{\varnothing }$

iii) Prueba que $A△B\subseteq (A△C)\cup (C△B)$. Encuentra un ejemplo donde la contención sea propia y otro donde se dé la igualdad.

Más adelante

En la siguiente nota definiremos una manera de crear un nuevo subconjunto, estableceremos como un axioma que el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado $A$ también es un subconjunto y lo llamaremos el conjunto potencia. Iremos encaminando nuestros esfuerzos a definir una de las mas útiles maneras de estudiar los distintos conjuntos, el concepto de función, pero para ello hablaremos de algo más primitivo, las relaciones entre conjuntos, que caracterizaremos y para las cuales deduciremos propiedades.

Entradas Relacionadas

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Nota Anterior del curso. Nota 4. Unión e intersección de conjuntos.

Nota siguiente del curso. Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano.