(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción.
En esta nota veremos que hay dos operaciones binarias que podemos considerar en los conjuntos. Dados dos conjuntos, podemos formar por un lado la unión de ellos, que resulta ser un nuevo conjunto y consta de los elementos de ambos conjuntos, y por otro lado la intersección que es el conjunto que consiste de los elementos comunes a ambos.
Definición:
Sea $X$ el conjunto universo, $A$, $B$ subconjuntos de $X$.
La unión de $A$ con $B$ es:
$A\cup B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, o \, \, x\in B}.$
La intersección de $A$ con $B$ es:
$A\cap B=\set{x\in X\mid x\in A \, \, y \, \, x\in B}.$
Diremos que $A$ y $B$ son ajenos o disjuntos cuando $A\cap B=\emptyset$.
Corrobora con el siguiente recurso de Geogebra que entiendes la definición de unión e intersección de conjuntos, escribe en las barras en blanco separados por comas, los elementos de $A\cup B$ y $A\cap B$, no es necesario poner las llaves de los conjuntos, sólo los elementos.
Ejemplos:
- $A=\set{-2,-1,0,1,2}$ y $B=\set{0,2,4,6}$
$A\cup B=\set{-2,-1,0,1,2,4,6}$
$A\cap B=\set{0,2}.$ - $A=\set{x\in \mathbb Z\mid x>0}$ y $B=\set{x\in \mathbb Z\mid x\,es\,múltiplo\,de\,tres}$
$A\cup B=\set{x\in \mathbb Z\mid x>0\,o\,x\,es\,múltiplo\,de\,tres}$
$A\cup B=\set{…,-12,-9,-6,-3,0,1,2,3,4,…}$
$A\cap B=\set{x\in \mathbb Z\mid\,x>0\,\,y\,\,x\,\,es\,\,múltiplo\,\,de\,\,3}$
$A\cap B=\set{3,6,9,12,…}.$
Propiedades
Sean $X$ el conjunto universo, $A$,$B$,$C$, subconjuntos de $X$. Se cumplen las siguientes afirmaciones:
| 1. $A\subseteq A\cup B.$ | 5. $A\cap B\subseteq A.$ | |
| 2. $(A\cup B) \cup C=A\cup (B\cup C).$ | Asociatividad | 6. $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$ |
| 3. $A\cup B=B\cup A.$ | Conmutatividad | 7. $A\cap B=B\cap A.$ |
| 4. $A\cup \emptyset=A.$ | 8. $A\cap X=A.$ |
Además se tienen las siguientes propiedades distributivas:
9. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$
10. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$
Se harán las demostraciones de las propiedades 1,3,6,8 y 10, las demás se dejan como ejercicio.
Demostración de la propiedad 1, $A\subseteq A\cup B$.
Sea $z\in A$, veamos que $z\in A\cup B$. Como $z\in A$, entonces es cierto que $z\in A$ o $z\in B$. Además, como $A\subseteq X$ (por ser $X$ el conjunto universo) tenemos que $z\in X$. Así, $z\in \set{x\in X\mid x\in A\,\,o\,\,x\in B}$ por lo tanto $A\subseteq A\cup B$.
Demostración de la propiedad 3, $A\cup B=B\cup A.$
$z\in A\cup B \Longleftrightarrow z\in A \, \, \, o \, \, \, z\in B \Longleftrightarrow z\in B \, \, \, o \, \, \, z\in A \Longleftrightarrow z\in B\cup A.$
Por lo tanto $A\cup B= B\cup A.$
Demostración de la propiedad 6, $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$
Tenemos que:
$z\in A\cap (B\cap C)$$\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cap C$
$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$ $\Longleftrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B$ y $z\in C$
$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in A\cap B$ y $z\in C$
$\phantom{z\in A\cap (B\cap C)}$$\Longleftrightarrow$ $z\in (A\cap B) \cap C $
$\therefore$ $(A\cap B) \cap C=A\cap (B\cap C).$
Demostración de la propiedad 8, $A\cap X=A.$
La demostración se hará por doble contención.
Primera contención, veamos que $A\cap X\subseteq A.$
Sea $z\in A\cap X$, entonces $z\in A$ y $z\in X$, en particular $z\in A$. Así, $A\cap X\subseteq A$ (o bien se puede usar la propiedad 5 si ésta se ha demostrado antes).
Segunda contención, veamos ahora que $A\subseteq A \cap X. $
Sea $z\in A$, como $A\subseteq X$, también $z\in X$, así $z\in A$ y $z\in X$, entonces $z\in A\cap X$.
Como se cumplen las dos contenciones, tenemos que $A\cap X=A$ .
Demostración de la propiedad 10, $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C).$
La demostración se hará por doble contención:
Primera contención, veamos que $A\cap (B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C).$
Tenemos que:
$z\in A\cap (B\cup C)$ $\Longrightarrow$ $z\in A$ y $z\in B\cup C$ $\Longrightarrow$ $z\in A$, y además $z\in B$ o $z\in C$.
Si $z\in B$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap B.$
Si $z\in C$, como $z\in A$, entonces $z\in A\cap C.$
Así $z\in A\cap B$ o $z\in A\cap C$, de donde concluimos que $z\in (A\cap B)\cup (A\cap C) .$
Segunda contención, veamos ahora que $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C). $
Sea $z\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$ $\Longrightarrow$ $z\in A\cap B$ o $z\in A\cap C$.
Si $z\in A\cap B$, entonces $z\in A$ y $z\in B$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos que $z\in A\cap (B\cup C)$.
Si $z\in A\cap C$, entonces $z\in A$ y $z\in C$, por lo que $z\in A$ y $z\in B\cup C$. En este caso tendríamos también que $z\in A\cap (B\cup C)$.
Asi, $ (A\cap B)\cup (A\cap C) \subseteq A\cap (B\cup C) .$
Dado que se cumplen las dos contenciones, se cumple la igualdad, y entonces:
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ .
Tarea Moral.
Demuestra las propiedades $2,4,5,7$ y $9$.
Más adelante.
En la siguiente nota hablaremos de las leyes De Morgan que garantizan cierta relación entre el complemento y la unión e intersección de conjuntos, así mismo daremos la definición y propiedades de la diferencia simétrica.
Entradas relacionadas.
- Entrada anterior del curso: Nota 3. El complemento de un conjunto.
- Entrada siguiente del curso. Nota 5. Las leyes de Morgan y la diferencia simétrica.
Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.