(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada estudiaremos el rango de una matriz que es la dimensión del espacio generado por sus renglones (o, equivalentemente, por sus columnas). En términos más simples, el rango de una matriz se refiere al número máximo de renglones o columnas que forman un conjunto linealmente independientes.

El rango de una matriz es importante en muchas áreas de las matemáticas, como en la teoría de sistemas lineales y la estadística multivariante. Por ejemplo, el rango de una matriz puede ser utilizado para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y en su caso cuántas soluciones tiene, y también puede ser utilizado para identificar patrones en conjuntos de datos multivariados.

Veremos que el rango de una matriz no cambia si se realiza una operación elemental de renglón o columna, es decir, no cambia al multiplicar un renglón por una constante no nula, intercambiar dos filas o sumar a un renglón un múltiplo de otro.

Definición

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Sean $R_1,\dotsc,R_m\in \mathbb R^n$ son los renglones de $A$. El rango de $A$, denotado por $rk\,A$, es:

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_m \rangle .$

Lema

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A\sim B$ entonces $rk\,A=rk\,B.$

Demostración

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Basta ver que si $e$ es una operación elemental entonces $rk\,A=rk\,e(A).$

$1.$ Sean $r,s\in\{1,2,\dots ,m\}$ y $e$ el intercambio de los renglones $r$ y $s$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces los renglones de $e(A)$ son los mismos sólo que $R_r$ y $R_s$ cambian de lugar, así:

$rk\,e(A)=dim\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,A$

$2.$ Sean $r\in\{1,2,\dots ,m\}$, $\lambda$ un número real no nulo y $e$ la operación elemental que multiplica el renglón $r$ por $\lambda$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces $R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$. Como $\lambda R_r\in \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$, entonces:

$\langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Como $\lambda \neq 0$ tenemos que $R_r=\lambda^{-1}(\lambda R_r)\in \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Por lo que $\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y entonces

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = dim \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle=rk\,e(A) .$

$3.$ Sean $r\in\{1,2,\dots ,m\}$, $\lambda$ un número real, $e$ la operación elemental que suma al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces $R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$

Como $R_r+\lambda R_s\in \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle $ tenemos que:

$\langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Además $R_r=(R_r+\lambda R_s)+(-\lambda)R_s \in \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s ,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Concluimos que:

\begin{align*}rk\,A&=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \\ &= dim \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,e(A).\end{align*}

$\square$

Corolario

Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A$ es equivalente a una matriz $R$ escalonada reducida por renglones, entonces $rk\,A=rk\,R.$

Notemos que en la demostración del teorema se probó no sólo que el rango no cambia al aplicar operaciones elementales, sino que el generado por los renglones no cambia. En consecuencia, si una matriz $A$ es equivalente a una matriz escalonada reducida por renglones $R$, el generado por los renglones de $A$ es el mismo que el generado por los renglones de $R$. Se deja al lector demostrar que además los renglones no nulos de $R$ generan al espacio de renglones de $R$ y forman un conjunto l.i.. Con ello tenemos que:

Observación: Sean $n$ y $m$ naturales positivos. Si $R\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es una matriz escalonada reducida por renglones y tiene $r$ renglones no nulos, entonces éstos forman una base para el espacio generado por los renglones de $R$ y en consecuencia $rk\,R=r.$

Así, el rango de una matriz $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, denotado por $rk\,A$, es el número de renglones no nulos que quedan al escalonar la matriz $A$.

Ejemplos

$1.$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ -2 & -6\\ 3 & 9 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+2R_1$ $R_3\to R_3+(-3)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.	$rk\,A=1$

$2$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 4 & -1 & 5\\ 5 & 1 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+(-4)R_1$ $R_3\to R_3+(-5)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & -9 & -7 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_3\to R_3+(-1)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$-\frac{1}{9}R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_1\to R_1+(-2)R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \frac{13}{9}\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$rk\, B=2$

Enunciemos ahora un resultado importante, cuya demostración se omitirá porque va más allá de los objetivos de este curso, pero que puede consultarse en el libro de Cárdenas, Lluis, Raggi y Tomás que aparece en la bibliografía de este curso.

Nota

El rango por columnas se define de forma análoga como la dimensión del espacio generado por las columnas de una matriz $A$. Aunque el espacio de renglones de $A$ y el espacio de columnas de $A$ son en general distintos (incluso los renglones y las columnas de $A$ no tienen siempre el mismo número de entradas) se puede probar que la dimensión del espacio que generan los renglones de una matriz coincide con la dimensión del espacio que generan sus columnas, es decir el rango por renglones coincide con el rango por columnas.

Tarea Moral

$1.$ Obtén el rango de las siguientes matrices.

$i.$

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & 13\\ -2 & -4 & -9 & 23 \\ 5 & 10 & 24 & 62 \end{array} \right) \end{equation*}$

$ii.$

$B= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -10\\ 3 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$

$2.$

En los ejemplos $1$ y $2$ analiza geométricamente cómo es el espacio generado por los renglones de $A$ y cómo es el espacio generado por las columnas de $A$.

Más adelante

En las siguientes dos notas veremos cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales, primero de forma teórica y después a través de ejemplos.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.