(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

El rango de una matriz es una medida de la «cantidad» de información que contiene la matriz. Formalmente, el rango de una matriz es la dimensión del espacio generado por sus renglones (o, equivalentemente, por sus columnas).

En términos más simples, el rango de una matriz se refiere al número de renglones o columnas que son linealmente independientes entre sí. En otras palabras, si se tiene una matriz $A$, su rango es el mayor número de vectores linealmente independientes que podemos encontrar entre sus renglones, o bien entre sus columnas.

El rango de una matriz es importante en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia, incluyendo la teoría de sistemas lineales y la estadística multivariante. Por ejemplo, el rango de una matriz puede ser utilizado para determinar si un conjunto de ecuaciones lineales tiene una solución única, y también puede ser utilizado para identificar patrones en conjuntos de datos multivariados.

Es importante tener en cuenta que el rango de una matriz no cambia si se realiza una operación elemental de renglón o columna, por ejemplo, multiplicar un renglón por una constante no nula, intercambiar dos filas, o sumar $\lambda$ veces un renglón a otro.

Definición

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $R_1,\dotsc,R_m\in \mathbb R^n$ son los renglones de $A$, entonces el rango de $A$ es:

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_m \rangle .$

Lema

Sea $A,B \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A\sim B$ entonces $rk\,A=rk\,B.$

Demostración

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Basta ver que si $e$ es una operación elemental entonces $rk\,A=rk\,e(A).$

$1.$ Sea $e$ el intercambio de renglones $r$ y $s$. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$ entonces los renglones de $e(A)$ son los mismos sólo que $R_r$ y $R_s$ cambian de lugar, así:

$rk\,e(A)=dim\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,A$

$2.$ Sea $e$ la operación elemental que multiplica el renglón $r$ por un real $\lambda$ no nulo. Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$ entonces $R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$. Como $\lambda R_r\in \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$, entonces:

$\langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc, R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Como $\lambda \neq 0$ tenemos que $R_r=\lambda^{-1}(\lambda R_r)\in \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$

Por lo que $\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle$ y entonces

$rk\,A=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_m \rangle = dim \langle R_1,\dotsc,\lambda R_r,\dotsc,R_m \rangle=rk\,e(A) .$

$3.$ Sea $e$ la operación elemental que suma al renglón $r$, $\lambda$ veces el $s$, con $\lambda \in \mathbb R.$

Si $R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $A$, entonces $R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m$ son los renglones de $e(A)$

Como $R_r+\lambda R_s\in \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle $ tenemos que:

$\langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Además $R_r=(R_r+\lambda R_s)+(-\lambda)R_s \in \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s ,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$ y así:

$\langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \subseteq \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle$

Concluimos que:

\begin{align*}rk\,A&=dim \langle R_1,\dotsc,R_r,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle \\ &= dim \langle R_1,\dotsc,R_r+\lambda R_s,\dotsc,R_s,\dotsc,R_m \rangle =rk\,e(A)\end{align*}

$\square$

Corolario

Sea $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Si $A$ es equivalente a una matriz $R$ escalonada reducida por renglones, entonces $rk\,A=rk\,R.$

Observación: Si $R\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ es escalonada reducida por renglones y tiene $r$ renglones no nulos, entonces éstos forman una base para el espacio generado por los renglones de $R$ y en consecuencia $rk\,R=r.$

Así, el rango de una matriz $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$, denotado por $rk\,A$, es el número de renglones no nulos que quedan al escalonar la matriz $A$.

Ejemplos

$1.$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ -2 & -6\\ 3 & 9 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+2R_1$ $R_3\to R_3+(-3)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 3\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.	$rk\,A=1$

$2$

Matrices equivalentes	Explicación
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 4 & -1 & 5\\ 5 & 1 & 8 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_2\to R_2+(-4)R_1$ $R_3\to R_3+(-5)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & -9 & -7 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_3\to R_3+(-1)R_1$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & -9 & -7\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$-\frac{1}{9}R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$R_1\to R_1+(-2)R_2$
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & \frac{13}{9}\\ 0 & 1 & \frac{7}{9}\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$	$rk\, B=2$

Nota

El rango por columnas se define de forma análoga como la dimensión del espacio generado por las columnas de una matriz $A$. Aunque el espacio de renglones de $A$ y el espacio de columnas de $A$ son en general distintos, incluso los renglones y las columnas de $A$ no tienen siempre el mismo número de entradas, se puede probar que la dimensión del espacio que generan los renglones de una matriz coincide con la dimensión del espacio que generan sus columnas, es decir el rango por renglones coincide con el rango por columnas.

Tarea Moral

$1.$ Obtén el rango de las siguientes matrices.

$a.$

$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 5 & 13\\ -2 & -4 & -9 & 23 \\ 5 & 10 & 24 & 62 \end{array} \right) \end{equation*}$

$b.$

$B= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -10\\ 3 & -1 & -1 \\ 4 & -1 & -1\\ -2 & 1 & 2 \end{array} \right) \end{equation*}$

$2.$

En los ejemplos 1 y 2 analiza geométricamente cómo es el espacio generado por los renglones de $A$ y cómo es el espacio generado por las columnas de $A$.

Más adelante

En las siguientes dos notas veremos la teoría y los ejemplos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 38. Sistemas de ecuaciones.