(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta entrada estudiaremos la operaciones elementales por renglones, que son transformaciones que se pueden aplicar a las filas de una matriz con el objetivo de simplificarla, lo que ayuda por ejemplo a resolver sistemas de ecuaciones lineales. Estas operaciones incluyen intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
Usando las operaciones elementales por renglones estableceremos una relación de equivalencia entre matrices del mismo tamaño. Las matrices equivalentes tienen propiedades algebraicas y geométricas similares. Veremos también cómo codificar la aplicación de las operaciones elementales mediante productos adecuados de matrices, para lo cual definiremos las matrices elementales. que se obtienen de una matriz identidad aplicando una sola operación elemental.
Operaciones elementales de renglones
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R),$ $\lambda \in\mathbb{R}$ con $\lambda\neq 0$, $r,s\in\{1,\dots , m\}$. Las operaciones elementales por renglones que podemos realizar en $A$ son de tres tipos:
$1.$ Intercambiar dos renglones $r$ y $s$.
$2.$ Multiplicar el renglón $r$ por el escalar $\lambda \in \mathbb R,\,\,\lambda\neq 0.$
$3.$ Sumar al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$, con $\lambda \in \mathbb R.$
Notación
Denotaremos por $e$ a la operación elemental y por $e(A)$ a la matriz que se obtiene de $A$ al aplicar la operación $e$.
Observación
Cada operación elemental tiene una operación elemental inversa del mismo tipo.
Ejemplos
$1.$ Considera la matriz:
$A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) \end{equation*}$.
Sea $e$ la operación elemental de sumar al primer renglón $3$ veces el segundo.
$e(A)= \begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 13 & 17 & 21\\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right) \end{equation*}.$
$2.$ Considera la matriz:
$B=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} -1 & 0\\ 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$.
Sea $e$ la operación elemental que intercambia los renglones $1$ y $3.$
$e(B)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 3 & 5\\ 2 & 4 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.
$3.$ Considera la matriz:
$C=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 3 & -6 & 12 & 9\\ 1 & 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \end{equation*}$.
Sea $e$ la operación elemental que multiplica al primer renglón por $\frac{1}{3}.$
$e(C)=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -2 & 4 & 3\\ 1 & 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \end{equation*}$.
Definición
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R).$ Decimos que $B$ es equivalente por renglones a $A$ si $B$ se obtiene de $A$ mediante una sucesión finita de operaciones elementales.
Notación
$A\sim B$ denota que $B$ es equivalente a $A.$
Para ser más precisos, si $B$ se obtiene de $A$ intercambiando los renglones $r$ y $s$, lo denotaremos por ${\Large{A}} \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_r\leftrightarrow R_s} \end{array} \Large{B},$ si $B$ se obtiene de $A$ multiplicando el renglón $r$ por el escalar $\lambda$, lo denotaremos por ${\Large{A}} \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{\lambda R_r} \end{array} \Large{B},$ y si $B$ se obtiene de $A$ sumando al renglón $r$, $\lambda$ veces el renglón $s$, lo denotaremos por ${\Large{A}} \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_r\rightarrow R_r+\lambda R_s} \end{array} \Large{B}$.
Definición
Sean $n$ un natural positivo, $E\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Decimos que $E$ es una matriz elemental si se obtiene de la matriz identidad $I_n$ aplicando una sola operación elemental.
Ejemplos
$1.$ Las siguientes matrices son equivalentes
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_1\leftrightarrow R_2} \end{array} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$.
La matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.
Considera la matriz $\begin{equation*} A=\left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) \end{equation*}$.
Si intercambiamos sus renglones obtenemos la matriz equivalente $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} c & d\\ a & b \end{array} \right) \end{equation*}$.
Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation*}$ por la matriz $A$:
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) =\left(\begin{array}{rr} c & d\\ a & b \end{array} \right) \end{equation*}$.
$2.$ Las siguientes matrices son equivalentes
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{5 R_2} \end{array} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$.
La matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.
Considera la matriz $\begin{equation*} A= \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) \end{equation*}$.
Si multiplicamos el segundo renglón por $5$ obtenemos la matriz equivalente $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a & b\\ 5c & 5d \end{array} \right) \end{equation*}$.
Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \end{equation*}$ por la matriz $A$:
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 5 \end{array} \right) \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) = \left(\begin{array}{rr} a & b\\ 5c & 5d \end{array} \right) \end{equation*}$.
$3.$ Las siguientes matrices son equivalentes
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \phantom{nnn}\\ \sim\\ \small{R_2 \rightarrow R_2+(-2)R_1} \end{array} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$.
La matriz $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ es una matriz elemental, pues se obtiene de la identidad aplicando una sola operación elemental.
Considera la matriz $\begin{equation*} A= \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) .\end{equation*}$
Si sumamos al segundo renglón $-2$ veces el primero obtenemos la matriz equivalente $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} a & b\\ -2a+c & -2b+d \end{array} \right) \end{equation*}$.
Observa que ésta se obtiene multiplicando la matriz elemental $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ por la matriz $A$:
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{rr} a & b\\ c & d \end{array} \right) =\left(\begin{array}{rr} a & b\\ -2a+c & -2b+d \end{array} \right) \end{equation*}$.
Observación 1
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A \in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $e$ una operación elemental, consideremos la matriz elemental $e(I_m)$ que se obtiene de $I_m$ aplicando $e$. Entonces:
$e(I_m)A=e(A)$.
La demostración se deja al lector.
Observación 2
Sean $n$ y $m$ naturales positivos, $A,B\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ tales que $A\sim B.$ Entonces existen $t$ un natural positivo y $E_1,\dotsc,E_t$ matrices elementales tales que:
$B=E_t\cdots E_2 E_1 A$.
Ejemplo
| Matrices equivalentes | Operación elemental |
| $A=\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 2 & -1 & -7\\ -5 & 6 & 26 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $e_1: R_2\rightarrow R_2+(-2)R_1$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & -7 & -17\\ -5 & 6 & 26 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $e_2: R_3\rightarrow R_3+5R_1$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & -7 & -17\\ 0 & 21 & 51 \end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $e_3: R_3\rightarrow R_3+3R_2$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & -7 & -17\\ 0 & 0 & 0 \phantom{.}\end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $e_4: (-\frac{1}{7})R_2$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\\ 0 & 0 & 0 \phantom{.}\end{array} \right) \end{equation*}\sim$ | $e_5: R_1\rightarrow R_1+(-3)R_2$ |
| $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -\frac{16}{7}\\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\\ 0 & 0 & 0 \phantom{.}\end{array} \right) \end{equation*}=B$ |
Por la observación 2 tenemos que:
$\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -\frac{16}{7}\\ 0 & 1 & \frac{17}{7}\\ 0 & 0 & 0\phantom{.} \end{array} \right) \end{equation*}=$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{1}{7} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 5 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation*}$ $\begin{equation*} \left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & 5\\ 2 & -1 & -7\\ -5 & 6 & 26 \end{array} \right) \end{equation*}.$
De esta forma, si $E_t=e_t(I_3)$ para cada $t\in\{1,2,3,4,5\}$:
$B=E_5 E_4 E_3 E_2 E_1 A$.
Tarea Moral
$1.$ Para cada operación elemental describe cuál es su operación inversa, analiza si es una operación elemental y en su caso de qué tipo es.
$2.$ Escribe un ejemplo de una matriz elemental de tamaño $2\times 2$, una de tamaño $3\times 3$ y una de tamaño $4\times 4.$
$3.$ Sea $E$ una matriz elemental:
$i)$ ¿Es $E$ invertible?
$ii)$ En caso que lo sea ¿Cuál será su inversa?
$4.$ Sean $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{m\times n}(\mathbb R)$ y $e$ una operación elemental de matrices. Demuestra que $e(I_m)A=e(A).$
$5.$ Sea $n$ un natural positivo, $A\in \mathscr M_{n\times n}(\mathbb R)$. Si $A\sim I_n$:
$i)$ ¿Cómo queda expresada $A$ en términos de $I_n$ y de matrices elementales?
$ii)$ ¿Cómo queda expresada $I_n$ en términos de $A$ y de matrices elementales?
Más adelante
En la siguiente nota daremos la definición de una matriz escalonada reducida por renglones y veremos que cualquier matriz $A$ es equivalente a una de estas matrices escalonadas reducida por renglones.
Enlaces relacionados
Enlace a la nota anterior. Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.
Enlace a la nota siguiente. Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.