(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la nota anterior vimos que si consideramos las combinaciones lineales de un conjunto $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$, este conjunto al que denotamos $\mathcal{C}(S)$ tiene estructura de subespacio vectorial. En la presente nota continuaremos con el estudio de subespacios vectoriales y definiremos lo que es un subespacio generado por un conjunto de vectores.

Definición

Sea $S$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$. El subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ generado por $S$ es el conjunto de combinaciones lineales de $S$, si $S\ne \mathrm{\varnothing }$, o bien $\{\overline{0}\}$, si $S=\mathrm{\varnothing }$.

Se denota por $⟨S⟩$ (en algunos textos lo denotan por $Span(S)$.

Decimos que $S$ genera a $⟨S⟩$ o que $S$ es un conjunto generador de $⟨S⟩$.

Notación

Sean $m$ un natural positivo y $v_1,\dots ,v_m\in {\mathbb{R}}^n.$

$⟨\{v_1,\dots ,v_m\}⟩$ se denota por $⟨v_1,\dots ,v_m⟩.$

Ejemplos

$1.$ Consideremos ${\mathbb{R}}^3$

$S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}=\{e_1,e_2,e_3\}.$

Claramente $⟨S⟩\subseteq {\mathbb{R}}^3$. Además, si $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$

$(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,01)\in ⟨S⟩.$

Concluimos que $⟨S⟩={\mathbb{R}}^3$ y decimos entonces que $S$ genera a ${\mathbb{R}}^3$.

$2.$ ¿El vector $(7,5,9)$ se encuentra en el generado por el conjunto $S=\{(2,1,3),(1,1,1)\}$?, es decir

¿$(7,5,9)\in ⟨(2,1,3),(1,1,1)⟩$?

Veamos si existen $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ tales que:

$(7,5,9)=\lambda (2,1,3)+\mu (1,1,1).$

En otras palabras buscamos $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ tales que:

$(7,5,9)=(2\lambda +\mu ,\lambda +\mu ,3\lambda +\mu ).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$2\lambda +\mu =7$

$\lambda +\mu =5$

$3\lambda +\mu =9.$

Esto lo resolvemos restando a la ecuación $1$ la $2$, y obtenemos que:

$\lambda =2,$

y como $\lambda +\mu =5$, entonces $\mu =5-\lambda =5-2=3$.

Además con estos valores de $\lambda$ y de $\mu$ se satisface la ecuación $3$, pues $3\lambda +\mu =3\cdot 2+3=9.$

Tenemos entonces que:

$(7,5,9)=2(2,1,3)+3(1,1,1)$ y por lo tanto $(7,5,9)\in ⟨(2,1,3),(1,1,1)⟩$.

$3.$ ¿$(1,1,2,3)\in ⟨(1,1,1,4),(1,-1,1,5)⟩$?

Buscamos $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ tales que:

$(1,1,2,3)=\lambda (1,1,1,4)+\mu (1,-1,1,5)$

Desarrollando obtenemos:

$(1,1,2,3)=(\lambda +\mu ,\lambda -\mu ,\lambda +\mu ,4\lambda +5\mu ).$

Comparando coordenada a coordenada obtenemos que:

$\lambda +\mu =1$

$\lambda -\mu =1$

$\lambda +\mu =2$

$4\lambda +5\mu =3.$

Observamos que si esto ocurriera tendríamos que $\lambda +\mu =1$ y al mismo tiempo $\lambda +\mu =2$, y por lo tanto $1=2$ lo cual es una contradicción. De modo que no existen $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ que satisfagan esas condiciones y así $(1,1,2,3)\notin ⟨(1,1,1,4),(1,-1,1,5)⟩.$

$4.$ Consideremos ${\mathbb{R}}^3$ y $S=\{(1,1,1),(1,-1,0),(1,0,0)\}.$

¿Será acaso que $⟨S⟩={\mathbb{R}}^3$?

Sabemos que $⟨S⟩\subseteq {\mathbb{R}}^3$. Ahora si $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$, ¿$(a,b,c)\in ⟨S⟩$?, ¿existirán $\lambda ,\mu ,\nu \in \mathbb{R}$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0)$?

Siupongamos que sí existen $\lambda ,\mu ,\nu \in \mathbb{R}$ tales que:

$(a,b,c)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,0)+\nu (1,0,0)$.

Desarrollando, esto implicaría que:

$(a,b,c)=(\lambda +\mu +\nu ,\lambda -\mu ,\lambda ).$

Comparando coordenada a coordenada obtendríamos que:

$\lambda +\mu +\nu =a$

$\lambda -\mu =b$

$\lambda =c$

Así, $\lambda =c$. despejando $\mu$ de la segunda ecuación tenemos que $\mu =\lambda -b$, entonces $\mu =c-b.$ Finalmente, despejando $\nu$ de la primera ecuación y sustituyendo los valores de $\lambda =c$ y $\mu =c-b$ obtenemos que:

$\nu =a-\mu -\lambda =a-(c-b)-c=a-c+b-c=a+b-2c.$

Así:

$(a,b,c)=c(1,1,1)+(c-b)(1,-1,0)+(a+b-2c)(1,0,0)$.

Concluimos que ${\mathbb{R}}^3\subseteq ⟨S⟩$ y por lo tanto $⟨S⟩={\mathbb{R}}^3$. Decimos entonces que $S$ es un generador de ${\mathbb{R}}^3$.

Importante

Si $W\subseteq ⟨S⟩$ pero $W\ne ⟨S⟩$, entonces el generado de $S$ no es $W$.

Por ejemplo:

Si $W=\{(a,a)\mid a\in \mathbb{R}\}$ y $S=\{(1,0),(0,1)\}$, el generado de $S$, es ${\mathbb{R}}^2=⟨S⟩$, observa que $W\subseteq ⟨S⟩$, pero $S$ no genera a $W$, si no a algo más amplio que es ${\mathbb{R}}^2$.

Tarea Moral

$1.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ sobre el campo de los reales. Determina si el vector $v$ pertenece al subespacio $W$ dado.

$i)$ $v=(2,-3,7)$ y $W=⟨(1,0,0),(1,-1,0),(1,-1,-1)⟩.$

$ii)$ $v=(1,-4,3,-1)$ y $W=⟨(1,1,1,0),(1,0,1,1)⟩.$

$2.$ Considera al espacio vectorial ${\mathbb{R}}^3$ sobre el campo de los reales. Describe al subespacio $W=⟨(3,1,2),(-4,-5,1)⟩.$

Más adelante

En la siguiente nota veremos los conceptos de dependencia e independencia lineal.

Enlaces relacionados

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