(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial, que mantiene la estructura de espacio vectorial, procederemos a identificarlos para el espacio vectorial $\mathbb R^n$.

Un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$. En pocas palabras, es un conjunto de vectores contenidos en $\mathbb{R}^n$ que es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación por escalares.

Formalmente, un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto $W$ de vectores en $\mathbb{R}^n$ que cumple con tres propiedades:

1. Contiene el vector cero: El vector cero, denotado por $\bar{0}$, siempre pertenece al subespacio vectorial $W$. Es decir, $\bar{0} \in W$.
2. Cerrado bajo la adición: Si $u$ y $v$ son vectores en $W$, entonces la suma $u + v$ también pertenece a $W$. Es decir, $u + v \in W$ para cualquier $u,v \in W$.
3. Cerrado bajo la multiplicación por escalares: Si $w$ es un vector en $W$ y $\lambda$ es un escalar, entonces el producto escalar $\lambda\,w$ también pertenece a $W$. Es decir, $\lambda w \in W$ para cualquier $w \in W$ y cualquier escalar $\lambda$.

Estas tres propiedades aseguran que el subespacio vectorial $W$ es un conjunto que contiene el vector cero, es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación por escalares.

Los subespacios vectoriales de $\mathbb{R}^n$ pueden tener dimensiones diferentes. Un subespacio vectorial unidimensional, por ejemplo, sería una línea recta que pasa por el origen en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$. Un subespacio vectorial bidimensional sería un plano que pasa por el origen, y así sucesivamente. Estos subespacios pueden ser utilizados para describir y analizar diversas propiedades y estructuras geométricas en el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$.

Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, observa que cualquier combinación de esos vectores se queda contenida en el plano y que se ilustra con el vector en color negro. Todas las combinaciones lineales de los vectores en rojo y el verde dan origen a un plano que pasa por el origen, este lugar geométrico tiene la característica de ser un sub espacio vectorial de $\mathbb R^3$.

Definición

Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ si:

i) $\bar{0}\in W$.

ii) $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

iii) $\lambda w\in W\,\,\,\,\forall \lambda \in \mathbb R\,\,\,\,\forall w \in W$.

Notación

$W\leq \mathbb R^n$ denotará que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Ejemplos

1. $\set{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb R}\leq \mathbb R^n$.

2. $\set{\bar{0}}\leq \mathbb R^n$.

3. $\mathbb R^n\leq \mathbb R^n$.

4. $W=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 2x-y+3z-w=0}$.

Demostración de 4

Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las $3$ condiciones de la definición.

Satisface la propiedad $i$ pues $\bar{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.

Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.

Sean $u,v\in W$, si $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$, entonces por ser elementos de $W$ cumplen que:

$2x-y+3z-w=0$

$2a-b+3c-d=0$

Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$, y por lo tanto $u+v\in W$.

Veamos que satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.

Sean $u=(x,y,z,w)\in W,$ $\lambda\in \mathbb R$.

Por demostrar que $\lambda w\in W$.

Como $u\in W$ entonces:

$2x-y+3x-w=0.$

Multiplicando por $\lambda$ obtenemos:

$\lambda (2x-y+3x-w)=0$

y entonces:

$2(\lambda x)-(\lambda y)+3(\lambda z)-(\lambda w)=0$.

Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.

Observación

Nota que la definición de subespacio vectorial se puede acortar.

Si $W\subseteq \mathbb R^n$, tenemos que $W\leq \mathbb R^n$ si y sólo si se cumplen:

I) $\bar{0}\in W$

II) $\lambda u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W\,\,\,\,\forall \lambda\in \mathbb R^n$.

La demostración queda como tarea moral.

Proposición

La intersección de dos subespacios de $\mathbb R^n$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.

Demostración

Sean $U,W$ subespacios de $\mathbb R^n$.

Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$. Usaremos para ello la observación anterior.

Como $U$ y $W$ son subespacios, $\bar{0}\in U$ y $\bar{0}\in W$, por lo tanto $\bar{0}\in U\cap W$.

Sean $\lambda \in \mathbb R$, $v_1,v_2\in \mathbb R^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$

Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:

$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$

Y por lo tanto $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.

Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos que $U\cap W\leq \mathbb R^n$.

$\square$

Tarea Moral

$1.$ Demostrar la observación de la nota.

$2.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Para que $W$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ ¿es necesario pedir que $\bar{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?

$3.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.

$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes $\mathbb R^n$.

i) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x\, y\, z=0}$.

ii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+ y+ z=-x}$.

iii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y\geq 0}$.

iv) $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x+y+3z-1=-7}$.

v) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \, z\,\,\,es\,\,\,racional}$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de combinaciones lineales.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Nota anterior.Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.

Nota siguiente. Nota 28. Combinaciones lineales.