(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En esta entrada estudiaremos el concepto de subespacio de $\mathbb{R}^n$. Veremos que un subespacio de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$. De manera más precisa definiremos subespacio de $\mathbb{R}^n$ como un conjunto de vectores contenido en $\mathbb{R}^n$ que tiene al neutro aditivo, es cerrado bajo la adición de vectores y bajo la multiplicación por escalares.
Definición
Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$ si:
i) $\bar{0}\in W$.
ii) $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.
iii) $\lambda w\in W\,\,\,\,\forall \lambda \in \mathbb R\,\,\,\,\forall w \in W$.
Notación
$W\leq \mathbb R^n$ denotará que $W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Ejemplos
1. $\set{\bar{0}}\leq \mathbb R^n$.
2. $\mathbb R^n\leq \mathbb R^n$.
Se deja al lector verificar que los conjuntos de $1$ y $2$ son subespacios de $\mathbb R^n$
3. Sea $w\in \mathbb R$. $\set{\lambda w\mid \lambda\in \mathbb R}\leq \mathbb R^n$.
Demostración
4. Sean $w\in \mathbb R$, $W=\set{\lambda v\mid \lambda\in \mathbb R}$. Notamos que, por las propiedades de la entrada previa, $\bar{0}=0v\in W$. Además, si $u,v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ y $u=\mu w$ con $\lambda, \mu\in\mathbb R$. Así, $u+v=\lambda w+\mu w=(\lambda +\mu )w$ con $\lambda +\mu\in\mathbb R$, por lo tanto $u+v\in W$. Finalmente, si $\mu\in \mathbb R$ y $v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ para algún $\lambda\in\mathbb R$ por lo cual $\mu v=\mu (\lambda v)=(\mu\lambda )v$ con $\mu\lambda\in\mathbb R$ y así, $\mu v\in W$.
Concluimos entonces que $W$ es un subespacio vectorial de $\mathbb R^n$.
$\square$
Geométricamente, $W$ es una una línea recta que pasa por el origen, formada por todos los vectores que se obtienen multiplicando $w$ por escalares reales.
5. $\set{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb R}\leq \mathbb R^3$.
Se deja la demostración al lector.
Notemos que el conjunto del ejemplo 5 es geométricamente un plano que pasa por el origen, el plano $xy$. De forma más general, los planos por el origen en $\mathbb R^3$ son subespacios de $\mathbb R$.
Usa el siguiente recurso que elaboré en Geogebra para obtener planos por el origen a partir de dos vectores. Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, el vector en color negro representa un vector cualquiera en el plano obtenido a partir de $A$ y $B$.
5. $W=\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid 2x-y+3z-w=0}\leq \mathbb R^4$.
Demostración de 5
Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las tres condiciones de la definición de subespacio.
$W$ satisface la propiedad $i$ pues $\bar{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.
Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W$.
Sean $u,v\in W$, con $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$ Por ser $u$ y $v$ elementos de $W$ cumplen que:
$2x-y+3z-w=0$
$2a-b+3c-d=0$
Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$. Por lo tanto $u+v\in W$.
Veamos que $W$ satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.
Sean $u=(x,y,z,w)\in W,$ $\lambda\in \mathbb R$.
Por demostrar que $\lambda w\in W$.
Como $u\in W$ entonces:
$2x-y+3x-w=0.$
Multiplicando por $\lambda$ obtenemos:
$\lambda (2x-y+3x-w)=0$
y entonces:
$2(\lambda x)-(\lambda y)+3(\lambda z)-(\lambda w)=0$.
Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.
$\square$
Nota que las condiciones para ver que un conjunto es un subespacio vectorial se pueden reescribir:
Observación
Sea $W\subseteq \mathbb R^n$. $W\leq \mathbb R^n$ si y sólo si se cumplen:
I) $\bar{0}\in W$
II) $\lambda u+v\in W\,\,\,\,\forall u,v\in W\,\,\,\,\forall \lambda\in \mathbb R^n$.
La demostración queda como tarea moral.
Proposición
La intersección de dos subespacios de $\mathbb R^n$ es un subespacio de $\mathbb R^n$.
Demostración
Sean $U,W$ subespacios de $\mathbb R^n$.
Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de $\mathbb R^n$. Usaremos para ello la observación anterior.
Como $U$ y $W$ son subespacios, $\bar{0}\in U$ y $\bar{0}\in W$, por lo tanto $\bar{0}\in U\cap W$.
Sean $\lambda \in \mathbb R$, $v_1,v_2\in \mathbb R^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.
Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:
$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$
Así, $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.
Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos, por la observación anterior, que $U\cap W\leq \mathbb R^n$.
$\square$
Tarea Moral
$1.$ Demostrar la observación de la nota.
$2.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^n$. Para que $W$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ ¿basta verificar las condiciones ii y iii de la definición de subespacio, es decir es necesario pedir que $\bar{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?
$3.$ Sea $W$ un subconjunto de $\mathbb R^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:
a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\bar{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de $\mathbb R^2$.
$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes $\mathbb R^n$.
i) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x\, y\, z=0}$.
ii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid x+ y+ z=-x}$.
iii) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid y\geq 0}$.
iv) $\set{(x,y,z,w)\in \mathbb R^4\mid x+y+3z-1=-7}$.
v) $\set{(x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \, z\,\,\,es\,\,\,racional}$.
Más adelante
En la siguiente nota veremos el concepto de combinaciones lineales.
Enlaces relacionados
Nota anterior.Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.
Nota siguiente. Nota 28. Combinaciones lineales.