(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta entrada estudiaremos el concepto de subespacio de ${\mathbb{R}}^n$. Veremos que un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades y forma una estructura algebraica dentro del espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$. De manera más precisa definiremos subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ como un conjunto de vectores contenido en ${\mathbb{R}}^n$ que tiene al neutro aditivo, es cerrado bajo la adición de vectores y bajo la multiplicación por escalares.

Definición

Sea $W$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$. Decimos que $W$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ si:

i) $\overline{0}\in W$.

ii) $u+v\in W\mathrm{\forall }u,v\in W$.

iii) $\lambda w\in W\mathrm{\forall }\lambda \in \mathbb{R}\mathrm{\forall }w\in W$.

Notación

$W\le {\mathbb{R}}^n$ denotará que $W$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.

Ejemplos

1. $\{\overline{0}\}\le {\mathbb{R}}^n$.

2. ${\mathbb{R}}^n\le {\mathbb{R}}^n$.

Se deja al lector verificar que los conjuntos de $1$ y $2$ son subespacios de ${\mathbb{R}}^n$

3. Sea $w\in \mathbb{R}$. $\{\lambda w\mid \lambda \in \mathbb{R}\}\le {\mathbb{R}}^n$.

Demostración

4. Sean $w\in \mathbb{R}$, $W=\{\lambda v\mid \lambda \in \mathbb{R}\}$. Notamos que, por las propiedades de la entrada previa, $\overline{0}=0v\in W$. Además, si $u,v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ y $u=\mu w$ con $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Así, $u+v=\lambda w+\mu w=(\lambda +\mu )w$ con $\lambda +\mu \in \mathbb{R}$, por lo tanto $u+v\in W$. Finalmente, si $\mu \in \mathbb{R}$ y $v\in W$ sabemos que $v=\lambda w$ para algún $\lambda \in \mathbb{R}$ por lo cual $\mu v=\mu (\lambda v)=(\mu \lambda )v$ con $\mu \lambda \in \mathbb{R}$ y así, $\mu v\in W$.

Concluimos entonces que $W$ es un subespacio vectorial de ${\mathbb{R}}^n$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Geométricamente, $W$ es una una línea recta que pasa por el origen, formada por todos los vectores que se obtienen multiplicando $w$ por escalares reales.

5. $\{(x,y,0)\mid x,y\in \mathbb{R}\}\le {\mathbb{R}}^3$.

Se deja la demostración al lector.

Notemos que el conjunto del ejemplo 5 es geométricamente un plano que pasa por el origen, el plano $xy$. De forma más general, los planos por el origen en ${\mathbb{R}}^3$ son subespacios de $\mathbb{R}$.

Usa el siguiente recurso que elaboré en Geogebra para obtener planos por el origen a partir de dos vectores. Prueba moviendo los puntos $A$ y $B$ de los vectores en rojo y verde, el vector en color negro representa un vector cualquiera en el plano obtenido a partir de $A$ y $B$.

5. $W=\{(x,y,z,w)\in {\mathbb{R}}^4\mid 2x-y+3z-w=0\}\le {\mathbb{R}}^4$.

Demostración de 5

Tenemos que probar que el conjunto $W$ satisface las tres condiciones de la definición de subespacio.

$W$ satisface la propiedad $i$ pues $\overline{0}\in W$, ya que: $2\cdot 0-0+3\cdot 0-0=0$.

Veamos que satisface también la propiedad $ii$, es decir que $u+v\in W\mathrm{\forall }u,v\in W$.

Sean $u,v\in W$, con $u=(x,y,z,w)$ y $v=(a,b,c,d)$ Por ser $u$ y $v$ elementos de $W$ cumplen que:

$2x-y+3z-w=0$

$2a-b+3c-d=0$

Sumando estas expresiones obtenemos $2(x+a)-(y+b)+3(z+c)-(w+d)=0$, haciendo evidente que el vector $(x+a,y+b,x+c,w+d)\in W$, pero $(x+a,y+b,x+c,w+d)=(x,y,z,w)+(a,b,c,d)=u+v$. Por lo tanto $u+v\in W$.

Veamos que $W$ satisface la propiedad $iii$, es decir que $W$ es un conjunto cerrado bajo producto por escalares.

Sean $u=(x,y,z,w)\in W,$ $\lambda \in \mathbb{R}$.

Por demostrar que $\lambda w\in W$.

Como $u\in W$ entonces:

$2x-y+3x-w=0.$

Multiplicando por $\lambda$ obtenemos:

$\lambda (2x-y+3x-w)=0$

y entonces:

$2(\lambda x)-(\lambda y)+3(\lambda z)-(\lambda w)=0$.

Esto nos muestra que el vector $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)\in W$, y como $(\lambda x,\lambda y,\lambda z,\lambda w)=\lambda (x,y,z,w)=\lambda u,$ concluimos que $\lambda u\in W$.

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Nota que las condiciones para ver que un conjunto es un subespacio vectorial se pueden reescribir:

Observación

Sea $W\subseteq {\mathbb{R}}^n$. $W\le {\mathbb{R}}^n$ si y sólo si se cumplen:

I) $\overline{0}\in W$

II) $\lambda u+v\in W\mathrm{\forall }u,v\in W\mathrm{\forall }\lambda \in {\mathbb{R}}^n$.

La demostración queda como tarea moral.

Proposición

La intersección de dos subespacios de ${\mathbb{R}}^n$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.

Demostración

Sean $U,W$ subespacios de ${\mathbb{R}}^n$.

Por demostrar que $U\cap W$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$. Usaremos para ello la observación anterior.

Como $U$ y $W$ son subespacios, $\overline{0}\in U$ y $\overline{0}\in W$, por lo tanto $\overline{0}\in U\cap W$.

Sean $\lambda \in \mathbb{R}$, $v_1,v_2\in {\mathbb{R}}^n$, por demostrar que $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.

Como $v_1,v_2\in U$ y $v_1,v_2\in W$, por ser $U$ y $W$ subespacios tenemos que:

$\lambda v_1+v_2\in U$ y $\lambda v_1+v_2\in W.$

Así, $\lambda v_1+v_2\in U\cap W$.

Como se cumplieron las propiedades I y II tenemos, por la observación anterior, que $U\cap W\le {\mathbb{R}}^n$.

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Tarea Moral

$1.$ Demostrar la observación de la nota.

$2.$ Sea $W$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}^n$. Para que $W$ sea un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ ¿basta verificar las condiciones ii y iii de la definición de subespacio, es decir es necesario pedir que $\overline{0}\in W$ o se puede deducir de que $W$ es cerrado bajo producto escalar?

$3.$ Sea $W$ un subconjunto de ${\mathbb{R}}^2$. Prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

a) Si $W$ es cerrado bajo la suma y $\overline{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^2$.

b) Si $W$ es cerrado bajo producto por escalares y $\overline{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^2$.

c) Si $W$ es cerrado bajo la suma, bajo inversos aditivos y ademas $\overline{0}\in W$, entonces $W$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^2$.

$4.$ Determina cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de los correspondientes ${\mathbb{R}}^n$.

i) $\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid xyz=0\}$.

ii) $\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x+y+z=-x\}$.

iii) $\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid y\ge 0\}$.

iv) $\{(x,y,z,w)\in {\mathbb{R}}^4\mid x+y+3z-1=-7\}$.

v) $\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid zesracional\}$.

Más adelante

En la siguiente nota veremos el concepto de combinaciones lineales.

Enlaces relacionados

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Nota anterior.Nota 26. Propiedades de ${\mathbb{R}}^n$.

Nota siguiente. Nota 28. Combinaciones lineales.