(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota continuaremos con el estudio de las propiedades de los números naturales y desarrollaremos formalmente el concepto de cuándo un número natural es más grande que otro, es decir daremos un orden en el conjunto de los números naturales que acabamos de construir, a partir del cual podremos decir cuándo un número natural es más grande que otro.

Procedamos a dar la definición formal del orden en los números naturales.

Definición. Orden en $\mathbb{N}$ .

Sean $n,m\in \mathbb{N}$.

Decimos que $n$ es menor que $m$, si existe $x\in \mathbb{N}$, $x\ne 0$, tal que:

$n+x=m.$

Lo denotaremos por $n<m$ (o por $m>n$).

Decimos que $n$ es menor o igual que $m$, si existe $x\in \mathbb{N}$, tal que:

$n+x=m.$

Lo denotaremos por $n\le m$ (o por $m\ge n$).

En ambos casos, le llamaremos al natural $x$ la diferencia de $m$ con $n$ y lo denotaremos por $m-n$.

Observación 1

Si $n\in \mathbb{N}$ con $n\ne 0$, entonces $n>0$.

Demostración: Si $n\in \mathbb{N}$ y $n\ne 0$, tenemos que $0+n=n$, con $n\in \mathbb{N}$, $n\ne 0$, por lo tanto, $0<n$.

Observación 2

Para toda $n\in \mathbb{N}$, $n<n^{+}$.

Demostración: Dada $n\in \mathbb{N}$ , como $n+1=n^{+}$ (por la observación 3 de la nota previa) con $1\in \mathbb{N}$ (por el tercer Axioma de Peano), $1\ne 0$, por lo tanto $n<n^{+}$.

Observación 3

Si $n\in \mathbb{N}$, con $n\ne 0$, entonces $n\ge 1$.

Demostración: De acuerdo a un ejercicio de la tarea moral de la nota previa, si $n\in \mathbb{N}$, entonces $n=0$ o $n=m^{+}$ con $m\in \mathbb{N}$. De esta forma si $n\in \mathbb{N}$ y $n\ne 0$, entonces $n=m^{+}=m+1$ para alguna $m\in \mathbb{N}$ y se concluye que $n\ge 1$.

Notación

Denotaremos por ${\mathbb{N}}^{+}$ al conjunto de números naturales distintos de cero, es decir ${\mathbb{N}}^{+}=\{n\in \mathbb{N}\mid n\ge 1\}.$

Notación

En ocasiones simplificaremos la notación del producto de los naturales y escribiremos $nm$ en lugar de $n\cdot m$, para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}.$

Propiedades de Orden en $\mathbb{N}$

Sean $n,m,l\in \mathbb{N}$

1. Si $n<m$ y $m<l$, entonces $n<l$. Esta es la propiedad transitiva.
2. Si $n<m$, entonces $n+l<m+l$.
3. Si $n<m$ y $l\ne 0$, entonces $nl<ml$.
4. Se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones:
   $n<m$, $n=m$ o $n>m$
   A este hecho se le conoce como tricotomía.
5. Si $n+l<m+l$, entonces $n<m$.
6. Si $nl<ml$, entonces $n<m$.

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que si $n<m$ y $m<l$, entonces $n<l$.

Supongamos que $n<m$ y que $m<l$, entonces existen $x,y\in \mathbb{N}$, $x\ne 0$, $y\ne 0$ tales que:

$n+x=m$

$m+y=l.$

Así, $n+(x+y)=(n+x)+y=m+y=l$, con $x,y\in \mathbb{N}$. Además, por las propiedades de la suma de los naturales, como $x\ne 0$ y $y\ne 0$ se tiene que $x+y\ne 0$. Por lo tanto $n<l$.

Demostración de 2

Por demostrar que si $n<m$, entonces $n+l<m+l$.

Supongamos que $n<m$, entonces existe $x\in \mathbb{N}$, $x\ne 0$ tal que $n+x=m$.

Por las propiedades de la suma $(n+l)+x=(n+x)+l=m+l$ con $x\in \mathbb{N}$, $x\ne 0$ y por lo tanto $n+l<m+l$.

Demostración de 3

Por demostrar que si $n<m$ y $l\ne 0$, entonces $nl<ml$.

Supongamos que $n<m$ y $l\ne 0$. Existe $x\in \mathbb{N}$, $x\ne 0$ tal que $n+x=m$.

Por las propiedades de las operaciones de los naturales $nl+xl=(n+x)l=ml$ con $xl\in \mathbb{N}$. Además, debido a las propiedades del producto de los naturales, como $x\ne 0$ y $l\ne 0$ tenemos que $xl\ne 0$. Por lo tanto $nl<ml$.

Demostración de 4

La prueba se realiza por inducción pero en la nota 18b se dejará revisarla a manera de ejercicio debido a que preferimos estudiar primero las pruebas por inducción en casos más concretos con el fin de que se entiendan con mayor claridad.

Demostración de 5

Por demostrar que si $n+l<m+l$, entonces $n<m$.

Supongamos que $n+l<m+l.$

Por la propiedad $4$ sabemos que sólo pasa alguna de estas tres situaciones:

$n<m$, $n=m$ o $n>m.$

Si $n=m$, entonces se tiene que $n+l=m+l$, lo cual contradice nuestra hipótesis.

Si $n>m$, entonces por la propiedad $2$ se tiene que $n+l>m+l$, lo cual contradice la hipótesis.

Así, la única posibilidad es que $n<m$.

Demostración de 6

Por demostrar que si $nl<ml$ entonces $n<m$.

Supongamos que $nl<ml$, por $4$ sabemos que $n<m$, $n=m$ o $n>m$.

Si $n=m$ entonces $nl=ml$, lo cual contradice la hipótesis.

Si $n>m$ y $l=0$ tendríamos que $nl=ml$, por otro lado si $n>m$ y $l>0$, tendríamos que $nl<ml$ por la propiedad $3$. En cualquier caso esto es una contradicción a nuestra hipótesis.

Así, la única posibilidad es que $n<m$.

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Tarea Moral

1. Sean $n,m\in \mathbb{N}$. Prueba que si $n\ge 2$ y $m\ge 2$, entonces $n+m\le nm$.

2. Sea $n,m,l,t\in \mathbb{N}$, prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

i) Si $n<l$ y $m<t$, entonces $n+m<l+t$.

ii) Si $n<l$ y $m<t$, entonces $nm<lt$.

iii) Si $n<l$ y $m<t$, entonces $n+m<lt$.

Más adelante

En la siguiente nota explicaremos con detalle cómo aplicar el quinto axioma de Peano para hacer pruebas por inducción. En dichas pruebas se garantiza que un subconjunto de los números naturales es de hecho el de todos los naturales y con ello se justifica que alguna propiedad se cumple para todos los números naturales.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 16 Los números naturales.

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