(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota continuaremos con el estudio de las propiedades de los números naturales, y desarrollaremos formalmente el concepto de cuándo una magnitud es más grande que otra, es decir daremos un orden al conjunto de números naturales que acabamos de construir, y a partir de él podremos decir cuándo un elemento es más grande que otro.

Procedamos a dar la definición formal del orden en los números naturales.

Definición. Orden en $\mathbb N$ .

Sean $n,m\in \mathbb N$.

Decimos que $n$ es menor que $m$, si existe $x\in \mathbb N$, $x\neq 0$, tal que:

$n+x=m.$

Lo denotaremos por $n<m$ (o por $m>n$).

Decimos que $n$ es menor o igual que $m$, si existe $x\in \mathbb N$, tal que:

$n+x=m.$

Lo denotaremos por $n\leq m$ (o por $m\geq n$).

Observación 1

Si $n\in \mathbb N$, $n\neq 0$, entonces $n>0$.

Demostración: Si $n\in \mathbb N$, $n\neq 0$ tenemos que $0+n=n$, con $n\in \mathbb N$, $n\neq 0$, por lo tanto $0<n$.

Observación 2

Para toda $n\in \mathbb N$, $n<n^+$.

Demostración: Dada $n\in \mathbb N$ , $n+1=n^+$ con $1\in \mathbb N$, $1\neq 0$, por lo tanto $n<n^+$.

Observación 3

Si $n\in \mathbb N$, con $n\neq 0$, entonces $n\geq 1$.

Demostración: Se prueba por inducción que si $n\in \mathbb N$, entonces $n=0$ o $n=m^+$ con $m\in \mathbb N$. De esta forma si $n\in \mathbb N$ y $n\neq 0$, entonces $n=m^+=m+1$ con $m\in \mathbb N$, y se concluye que $n\geq 1$.

Propiedades de Orden en $\mathbb N$

Sean $n,m,l\in \mathbb N$

1. Si $n<m$ y $m<l$, entonces $n<l$.
2. Si $n<m$, entonces $n+l<m+l$.
3. Si $n<m$ y $l\neq 0$, entonces $nl<ml$.
4. Se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones:
   $n<m$, $n=m$ o $n>m$
   A este hecho se le conoce como tricotomía.
5. Si $n+l<m+l$, entonces $n<m$.
6. Si $nl<ml$, entonces $n<m$.

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que si $n<m$ y $m<l$, entonces $n<l$.

Supongamos que $n<m$ y que $m<l$, entonces existen $x,y \in \mathbb N$, $x\neq 0$, $y\neq 0$ tales que:

$n+x=m$

$m+y=l.$

Así $n+(x+y)=(n+x)+y=m+y=l$, con $x,y \in \mathbb N$, $x+y\neq 0$, ya que $x\neq 0$, $y\neq 0$ y por lo tanto $n<l$.

Demostración de 2

Por demostrar que si $n<m$, entonces $n+l<m+l$.

Supongamos que $n<m$, entonces existe $x\in \mathbb N$, $x\neq 0$ tal que $n+x=m$.

Por las propiedades de la suma $(n+l)+x=(n+x)+l=m+l$ con $x \in \mathbb N$, $x\neq 0$ y por lo tanto $n+l<m+l$.

Demostración de 3

Supongamos que $n<m$ y $l\neq 0$. Existe $x \in \mathbb N$, $x\neq 0$ tal que $n+x=m$.

Por las propiedades de las operaciones de los naturales $nl+xl=(n+x)l=ml$ con $xl \in \mathbb N$ y $xl\neq0$ ya que $x\neq 0$, $l\neq 0$, por lo tanto $n+l<m+l$.

Demostración de 4

La prueba se realiza por inducción pero se omitirá debido a que preferimos estudiar las pruebas por inducción en casos más concretos con el fin de que se entiendan con mayor claridad.

Demostración de 5

Por demostrar que si $n+l<m+l$ entonces $n<m$.

Supongamos que $n+l<m+l$

Por la propiedad $4$ sabemos que sólo pasa alguna de estas tres situaciones:

$n<m$, $n=m$ o $n>m.$

Si $n=m$, entonces $n+l=m+l$, lo cual contradice nuestra hipótesis.

Si $n>m$, entonces por $2$ se tiene que $n+l>m+l$, lo cual contradice la hipótesis.

Así la única posibilidad es que $n<m$.

Demostración de 6

Por demostrar que si $nl<ml$ entonces $n<m$.

Supongamos que $nl<ml$, por $4$ sabemos que $n<m$, $n=m$ o $n>m$.

Si $n=m$ entonces $nl=ml$, lo cual contradice la hipótesis.

Si $n>m$, $nl=ml$ si $l=0$, o $nl<ml$ si $l\neq = 0$ por $3$, pero esto es una contradicción a nuestra hipótesis.

Así la única posibilidad es que $n<m$.

$\square$

Tarea Moral

1. Sean $n,m\in \mathbb N$. Prueba que si $n\geq 2$ y $m\geq2$, entonces $n+m\leq nm$.

2. Sea $n,m,l,t\in \mathbb N$, prueba o da un contraejemplo para las siguientes afirmaciones:

i) Si $n<l$ y $m<t$ entonces $n+m<l+t$.

ii) Si $n<l$ y $m<t$ entonces $nm<lt$.

iii) Si $n<l$ y $m<t$ entonces $n+m<lt$.

Más adelante

En la siguiente nota aplicaremos el quinto axioma de Peano para ver un tipo especial de prueba, que se usa cuando se quiere garantizar que un subconjunto de los números naturales de hecho el de todos los naturales.

Enlaces relacionados

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