(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En la presente nota hablaremos de lo que es una familia de conjuntos, una familia indexada de conjuntos y usaremos esos conceptos para establecer lo que es una partición de un conjunto dado. Finalizaremos esta nota con un lema que nos permitirá establecer en la nota siguiente la relación que hay entre las particiones y las relaciones de equivalencia.

Observación

En los contextos en los que sea importante construir conjuntos que tengan por elementos a subconjuntos de conjuntos con los que se está trabajando, se acostumbra llamar a los conjuntos construidos de esta forma familias de conjuntos.

Ejemplo

$\mathcal{F}=\{\{1,4,7\},\{0,2\},\mathbb{N}\}.$

Definición

Sea $I$ un conjunto. Para cada $i\in I$ consideremos un conjunto $A_i$. Decimos que: $\mathcal{F}=\{A_i\mid i\in I\}$ es una familia de conjuntos indexada por $I$, a $I$ se le llama un conjunto de índices.

La unión de $\mathcal{F}$ es:

$\bigcup _{i\in I}{A}_i=\{x\mid x\in A_{i}paraalgúni\in I\}$

Si $\mathcal{F}\ne \mathrm{\varnothing }$, la intersección de $\mathcal{F}$ es:

$\bigcap _{i\in I}{A}_i=\{x\mid x\in A_{i}paratodai\in I\}$.

Nota. Si $\mathcal{F}\ne \mathrm{\varnothing }$, entonces $\mathcal{F}$ tiene algún $C\in \mathcal{F}$, así,

$\bigcap _{i\in I}{A}_i=\{x\in C\mid x\in A_{i}paratodai\in I\},$

y por el axioma de separación $\bigcap _{i\in I}{A}_i$ es un conjunto. Por otro lado, existe un axioma que asegura que la unión de una familia de conjuntos es un conjunto.

De forma más general, si $\mathcal{F}$ es una clase no vacía de conjuntos, digamos con $C\in \mathcal{F}$, entonces podemos considerar la colección $\{x\in C\mid x\in AparatodaA\in \mathcal{F}\}$, que será un conjunto por el axioma de separación, incluso si $\mathcal{F}$ es una clase propia. Denotaremos a este conjunto por $\bigcap \mathcal{F}$ y le llamaremos la intersección de la colección $\mathcal{F}$.

Ejemplos

1. Si $\mathcal{F}=\{A_1,A_2,A_3,A_4\}=\{A_i\mid i\in \{1,2,3,4\}\}$, con:

$A_1=\{2,-1,9,3,5\}$

$A_2=\{-2,0,2,4\}$

$A_3=\{2,12\}$

$A_4=\{1,2,3,4,5\}$

$\bigcup _{i\in \{1,2,3,4\}}{A}_i=\{2,-1,9,3,5,-2,0,4,12,1\}$

$\bigcap _{i\in \{1,2,3,4\}}{A}_i=\{2\}$

2. Sea $I=\{1,2,3,\dots \}$, $B_i=[0,i]$ $\mathrm{\forall }i\in I$

$\mathcal{F}=\{B_i\mid i\in I\}$

$\bigcup _{i\in I}{B}_i=[0,\mathrm{\infty })$

$\bigcap _{i\in I}{B}_i=B_1=[0,1]$

En el siguiente clip se observan los primeros 50 intervalos en el eje x, es decir, $B_i$ para $1\le i\le 50$.

3. Sea $I={\mathbb{R}}^{+}$, $C_r=[-r,r]$ $\mathrm{\forall }r\in I$

$\mathcal{F}=\{C_r\mid r\in I\}$

$\bigcup _{r\in I}{C}_r=\mathbb{R}$

$\bigcap _{r\in I}{C}_r=\{0\}$

En el siguiente clip se observan algunos de esos intervalos.

Definición

Sea $A$ un conjunto. Una partición de $A$ es una familia $P=\{A_i\mid i\in I\}$ de subconjuntos de $A,$ es decir $A_i\subseteq A$, $\mathrm{\forall }i\in I$, tal que:

1. $A_i\ne \mathrm{\varnothing }$, $\mathrm{\forall }i\in I$
2. Si $i,j\in I$ son tales que $A_i\ne A_j$, entonces $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$
3. $A=\bigcup _{i\in I}{A}_i$

Ejemplo

$A=\{1,2,3\}$, veamos las distintas particiones de $A$.

$P_1=\{\{1\},\{2,3\}\}$

$P_2=\{\{3\},\{1,2\}\}$

$P_3=\{\{2\},\{1,3\}\}$

$P_4=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$

$P_5=\{\{1,2,3\}\}$

Lema

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal{R}$ una relación de equivalencia en $A$. Dados $x,y\in A$

1. Si $x\sim y$, entonces $\bar{x}=\bar{y}.$
2. Si $x\nsim y$, entonces $\bar{x}\cap \bar{y}=\mathrm{\varnothing }$.

Demostración de 1.

Sea $A$ un conjunto , $\mathcal{R}$ una relación de equivalencia en $A$, $x,y\in A$.

Supongamos que $x\sim y$.

Por demostrar que $\bar{x}=\bar{y}$.

La prueba se hará por doble contención.

$\subseteq$ Primera contención

Por demostrar que $\bar{x}\subseteq \bar{y}$.

Sea $z\in \bar{x}=\{a\in A\mid a\sim x\}$, entonces $z\sim x$ y por hipótesis $x\sim y$, por transitividad de $\mathcal{R}$, $z\sim y$ y así $z\in \{a\in A\mid a\sim y\}=\bar{y}$. Por lo tanto, $\bar{x}\subseteq \bar{y}$.

$\supseteq$ Segunda contención

Por demostrar que $\bar{y}\subseteq \bar{x}$.

Sea $z\in \bar{y}=\{a\in A\mid a\sim y\}$, entonces $z\sim y$ y por hipótesis $x\sim y$, por ser $\mathcal{R}$ simétrica, $y\sim x$. Así, $z\sim y$ y $y\sim x$, entonces por transitividad $z\sim x$, es decir, $z\in \{a\in A\mid a\sim x\}=\bar{x}$. Por lo tanto, $\bar{y}\subseteq \bar{x}$.

Dado que se cumplen las dos contenciones tenemos que $\bar{x}=\bar{y}$, que es lo que queríamos probar.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Demostración de 2.

Queremos probar que si $x\nsim y$, entonces $\bar{x}\cap \bar{y}=\mathrm{\varnothing }$.

Supongamos que $x\nsim y$ y supongamos también por reducción al absurdo que $\bar{x}\cap \bar{y}\ne \mathrm{\varnothing }$. Dado que $\bar{x}\cap \bar{y}\ne \mathrm{\varnothing }$, existe $z\in \bar{x}\cap \bar{y}$, es decir $z\in \bar{x}$ y $z\in \bar{y}$. Así, $z\sim x$ y $z\sim y$, entonces por simetría $x\sim z,$ y como $z\sim y$, por transitividad de la relación de equivalencia, tenemos que $x\sim y$, lo cual es una contradicción a nuestra primera hipótesis. Por lo tanto, $\bar{x}\cap \bar{y}=\mathrm{\varnothing }$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Tarea Moral

1. Considera los siguientes conjuntos:

$A_1=\{1,3,5,7,11\}$

$A_2=\{-5,-3,-1,1,3,5\}$

$A_3=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

$A_4=\{-5,-3,1,3,5\}$

$A_5=\{0,3,5,11\}$

Encuentra $\bigcup _{i\in \{1,2,3,4,5\}}{A}_i$ y $\bigcap _{i\in \{1,2,3,4,5\}}{A}_i$.

2. En cada uno de los siguientes incisos encuentra $\bigcup _{i\in I}{B}_i$ y $\bigcap _{i\in I}{B}_i$.

i) Sea $I=\mathbb{Z}$, $B_i=[i,i+1]$.

ii) Sea $I=\mathbb{N}$, $B_i=[-i,i+1]$.

3. Encuentra todas las posibles particiones de $\{3,6,7,9\}$.

Más adelante.

En la siguiente nota veremos que toda relación de equivalencia induce una partición, y toda partición induce una relación de equivalencia.

Enlaces relacionados

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Enlace a la nota anterior. Nota 13. Relación de equivalencia.

Enlace a la nota siguiente. Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones