Introducción.

La Topología es un área de las matemáticas que se interesa por conceptos como proximidad, continuidad, conexidad, compacidad, y muchos otros mas. Para abordarlos, es necesario establecer un cierto tipo de conjuntos (que en Topología se les conoce como los conjuntos abiertos).
$\boxed{\text{Bola abierta}}$
La bola abierta con centro en ${\overline{x}}_0$ y radio $r>0$, es el conjunto:
$$B({\overline{x}}_0,r)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert <r\}$$
$\boxed{\text{Bola Cerrada}}$
La bola cerrada con centro ${\overline{x}}_0$ y radio $r\ge 0$ es el conjunto:
$$\overline{B}({\overline{x}}_0,r)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert \le r\}$$
$\boxed{\text{Esfera}}$
La esfera con centro ${\overline{x}}_0$ y radio $r\ge 0$ es el conjunto:
$$S({\overline{x}}_0,r)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n|\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert =r\}$$
Observemos que para la bola abierta $r>0$ estrictamente, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este último caso ambas se reducen a un punto:

$$\overline{B}({\overline{x}}_0,0)={\overline{x}}_0$$

$$S({\overline{x}}_0,0)={\overline{x}}_0\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$$
Los conjuntos $B({\bar{x}}_0,r)$, $\overline{B}({\bar{x}}_0,r)$ y $S({\overline{x}}_0,r)$ son subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$ y su aspecto geométrico depende de la métrica con la cual se midan las distancias.
Ejemplo. $$\begin{array}{rl}{\bar{B}}_2(0,1)& =\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}{\Vert }_2\le 1\}\\ & =\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\sqrt{x^2+y^2}\le 1\}\\ & =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2\le 1\}\end{array}$$
Geométricamente

La periferia de este disco es el circulo que tiene por ecuación
$x^2+y^2=1$, que corresponde a la esfera $S_2(0,1)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}{\Vert }_2=1\}$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Sea ahora la bola cerrada
$$\begin{array}{rl}{\overline{B}}_2(0,1)& =\{\bar{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}\Vert \le 1\}\\ & =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2||x|+|y|\le 1\}\end{array}$$
Geométricamente

Para $S_1(0,1)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2||\overline{x}|=1\}$

Para ${\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}(0,1)=\{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^2|\Vert \overline{x}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1\}$ = $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|max\{|x|,|y|\}\le 1\}$

tenemos entonces que

Las figuras anteriores muestran la situación geométrica, entre las bolas cerradas ${\bar{B}}_1(\bar{0},1),{\bar{B}}_2(\bar{0},1),{\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}(\bar{0},1)$ en forma explicita se escriben:
$$max\{|x_1|,\cdots ,|x_n|\}\le \sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}\le |x_1|+\cdots +|x_n|$$
Las contenciones tanto para las bolas abiertas, como para las bolas
cerradas se siguen de las desigualdades

$$\Vert \overline{x}-x_0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_2\le \Vert \overline{x}-x_0{\Vert }_1$$
Pues por ejemplo si $\overline{x}\in B_2(\overline{x}0,r)$ entonces $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_2<r$ luego $\Vert \overline{x}-{\bar{x}}_0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<r$

$\therefore \Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<r$ es decir $\bar{x}\subset B_{\mathrm{\infty }}(x_0,r)$ $\therefore$ $B_2(\overline{x}0,r)\subset B_{\mathrm{\infty }}({\overline{x}}_0,r)$

Si $\bar{x}\in B_1({\overline{x}}_0,r)$ entonces $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_1<r$ luego $\Vert x-{\overline{x}}_0{\Vert }_2\le \Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_1<r$ $\therefore$
$\Vert \bar{x}-{\overline{x}}_0{\Vert }_2<r$ $\therefore$ $\bar{x}\in B_2(x_0,r)$ $\therefore$ $B_1({\overline{x}}_0,r)\subset B_2(x_0,r)$
Para las esferas no hay alguna relación similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las relaciones siguientes:
$$S_1({\overline{x}}_0,r)\subset {\bar{B}}_2({\overline{x}}_0,r)\subset {\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}({\overline{x}}_0,r)$$ $$S_2({\overline{x}}_0,r)\subset B_{\mathrm{\infty }}(\overline{x}0,r)$$ $$S_{\mathrm{\infty }}(\overline{x}0,r)\subset {\bar{B}}_{\mathrm{\infty }}({\overline{x}}_0,r)$$

Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados

Un concepto importante en la topología de ${\mathbb{R}}^n$ es el de conjunto abierto. Junto con el de conjunto cerrado.
Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos duales, en un sentido que trataremos de explicar. Por ahora solamente veremos la definición de cada uno de ellos y alguna de sus propiedades más importantes.
Definición. Un conjunto $V\subset {\mathbb{R}}^n$ se dice que es $\mathbf{\text{abierto}}$ si para cada $\overline{x}\in V$ existe una bola abierta $B(\overline{x},r)$ contenida en $V$. Es decir si para cada $\overline{x}\in V$ existe $r>0$ tal que $B(\overline{x},r)\subset V$.

Ejemplo. El espacio ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto abierto, pues dado cualquier $\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n$, toda bola abierta $B(\overline{x},r)$ esta contenida en ${\mathbb{R}}^n$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo .Mostraremos que el $\mathrm{\varnothing }$ es abierto.
Suponemos que el $\mathrm{\varnothing }$ no es abierto $\therefore$ $\mathrm{\exists }$ $x\in \mathrm{\varnothing }$ para el cual no es posible hallar una bola abierta $B(\overline{x},r)$ contenida en $\mathrm{\varnothing }$. Pero esto no es posible ya que el $\mathrm{\varnothing }$ no tiene elementos.
Entonces debemos suponer que el $\mathrm{\varnothing }$ no es abierto $\mathbf{\text{!}}$ $\therefore \mathrm{\varnothing }$ es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. Toda bola abierta en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto abierto.
Demostración. Sea ${\overline{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$ y $r>0$. Mostraremos que $B({\overline{x}}_0,r)$ es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada $\overline{x}\in B({\overline{x}}_0,r)$, existe una bola abierta $B(\overline{x},r)$ contenida a su vez en la bola abierta $B({\overline{x}}_0,r)$. Sea pues $\overline{x}\in B({\overline{x}}_0,r)$ y consideremos $R=r-\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert$. Como $\overline{x}\in B({\overline{x}}_0,r)$ se tiene entonces que $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert <r$ $\therefore$ $R>0$. Mostraremos que la bola abierta $B(\overline{x},R)$ esta contenida en $B({\overline{x}}_0,r)$.

esto prueba que $\overline{y}\in B({\overline{x}}_0,r)$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo.Mostraremos que en ${\mathbb{R}}^2$, el semiplano superior
$$V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y>0\}$$
es un conjunto abierto respecto a la norma $\Vert \bar{x}{\Vert }_1$
Solución.

Sea ${\bar{v}}_0=(x_0,y_0)\in V$. Se tiene entonces que $y_0>0$ consideremos $r=y_0$ y consideremos la bola $B_1({\overline{v}}_0,y_0)$ y sea $\overline{v}=(x,y)\in B_1({\overline{v}}_0,y_0)$ se tiene que $\Vert \overline{v}-{\bar{v}}_0{\Vert }_1<y_0$, es
decir, $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$. Debemos probar que $y>0$.
(1) $y$ no puede ser cero pues si $y=0$
$|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0|+|y_0|<y_0$ $\mathbf{\text{!}}$ (Falso)
es decir no puede ocurrir que $|x-x_0|+|y_0|$ sea menor que $y_0$.
(2) $y$ no puede ser negativa pues
$|x-x_0|+|y-y_0|=|x-x_0|+\underset{\ast }{\underbrace{|y|+y_0}}>y_0$ $\mathbf{\text{!}}$ (Falso)
* $y<y_0$ $\Rightarrow$ $|y-y_0|=-y+y_0=|y|+|y_0|$ $\therefore$ $y$ tiene que ser $y>0$ $\therefore$ $B_1({\overline{v}}_0,y_0)$ esta en el semiplano superior.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Definición. Un conjunto $F\subset {\mathbb{R}}^n$ se dice que es $\mathbf{\text{cerrado}}$ si su complemento $F^c={\mathbb{R}}^n-F$ es un conjunto abierto.

Ejemplo. Los conjuntos ${\mathbb{R}}^n$ y $\mathrm{\varnothing }$ son cerrados. En efecto ${\mathbb{R}}^n$ es cerrado pues su complemento $\mathrm{\varnothing }$ es abierto. Similarmente $\mathrm{\varnothing }$ es cerrado pues su complemento ${\mathbb{R}}^n$ es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Un conjunto con un solo punto $\overline{0}$ es cerrado ya que ${\mathbb{R}}^n-\overline{0}$ es abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Proposición. Toda bola cerrada en ${\mathbb{R}}^n$ es un conjunto cerrado.
Demostración. Sea ${\overline{x}}_0\in {\mathbb{R}}^n$ y $r\ge 0$. Probaremos que la bola cerrada $\overline{B}(x_0,r)$ es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento ${\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$ es un conjunto abierto. Sea pues $\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$. Mostraremos que existe una bola abierta $B(\overline{x},R)$ contenida en ${\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$. Como $\overline{x}$ no está en la bola cerrada $\overline{B}(x_0,r)$, se tiene entonces que $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert >r$. Definamos $R=\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert -r>0$, esto equivale a $r=\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert -R$. Veamos que $B(\overline{x},R)\subset {\mathbb{R}}^n-\overline{B}(x_0,r)$

luego $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert <R+\Vert \overline{y}-{\overline{x}}_0\Vert$ $\therefore$ $\Vert \overline{x}-{\overline{x}}_0\Vert -R<\Vert \overline{y}-{\overline{x}}_0\Vert$, es decir, $r<\Vert \overline{y}-{\overline{x}}_0\Vert$. Esto significa que $\overline{y}\notin \overline{B}({\overline{x}}_0,r)$, es decir, $\overline{y}\in {\mathbb{R}}^n-\overline{B}({\overline{x}}_0,R)$.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Muestre que el conjunto $$V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x\le y\}$$
es un conjunto cerrado.
Solución. Sea $V^c=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>y\}$. mostraremos que $V^c$ es un conjunto abierto

Sea ${\bar{v}}_0=(x_0,y_0)\in V^c$ entonces $x_0>y_0$. Definimos $r=x_0-y_0>0$ ahora consideramos $B({\bar{v}}_0,r)$ vamos probar que $B({\bar{v}}_0,r)\subset V^c$ Sea ${\bar{v}}_1=(x,y)\in B({\bar{v}}_0,r)$ con la norma $\Vert \bar{x}{\Vert }_1$ se tiene $$\Vert {\bar{v}}_1-{\bar{v}}_0{\Vert }_1<r\Rightarrow |x-x_0|+|y-y_0|<r\Rightarrow |x-x_0|+|y-y_0|<x_0-y_0$$ por lo tanto $$x-y=x-x_0+y_0-y+x_0-y_0=x_0-y_0+x-x_0+y_0-y\ge x_0-y_0-(|x-x_0|+|y-y_0|)>0$$ la última desigualdad se obtiene de la propiedad $-|x-x_0|\le x-x_0\le |x-x_0|$. De esta manera $x-y>0\Rightarrow x>y$ y en consecuencia $v_1\in V^c$ por lo que $V^c$ es un conjunto abierto y por lo tanto V es un conjunto cerrado.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Ejemplo. Sea $V=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x+y>0$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea ${\overline{v}}_0=(x_0,y_0)\in V$ entonces $x_0+y_0>0$. Definimos $r=x_0+y_0>0$ ahora consideramos $B(\overline{v},r)$ vamos probar que $B(\overline{v},r)\subset V$
Sea ${\overline{v}}_1=(x,y)\in B(\overline{v},r)$ con la norma $\Vert .{\Vert }_1$ se tiene $$\Vert \overline{v}-{\overline{v}}_0{\Vert }_1=|x-x_0|+|y-y_0|<r$$
por lo tanto
$$x+y=x-x_0-y_0+y+x_0+y_0=x_0+y_0+x-x_0-y_0+y\ge x_0-y_0-(|x-x_0|+|y-y_0|)>0$$

de esta manera $x+y>0$ y en consecuencia ${\overline{v}}_1\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo Sea $V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y>x^2\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea ${\overline{v}}_0=(x_0,y_0)\in V$ entonces $y_0>x^{2}0$. Definimos $r=y_0+x^{2}0>0$ y ahora consideramos $B(\overline{v},r)=(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2={ϵ}^2$

vamos probar que $B(\overline{v},r)\subset V$.
Sea ${\overline{v}}_1=(x,y)\in B(\overline{v},r)$ cada punto en $B(\overline{v},r)$ cumple $$|x-x_0|<ϵ|y-y_0|<ϵ$$ y usando la identidad algebraica $$x_0^2=x^2-2(x-x_0)x_0-(x-x_0{)}^2$$
tenemos que
$$y>y_0-ϵ=x_0^2+y_0-x_0^2-ϵ=x^2-2(x-x_0)x_0-(x-x_0{)}^2+y_0-x_0^2-ϵ>x^2-2ϵx_0-{ϵ}^2+y_0-x_0^2-ϵ$$
Por lo tanto
$$y>x^2-2ϵx_0-{ϵ}^2+y_0-x_0^2-ϵ>x^{2}secumpleparaϵ=min\{1,\frac{y-x_0^2}{2|x_0|+2}\}$$
de esta manera $y>x^2$ y en consecuencia ${\overline{v}}_1\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Sea $V=\{x\in \mathbb{R}|f(x)>0\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $y\in V$ entonces $f(y)>0$. Definimos $ϵ=f(y)$ y como f es continua
$$si0<|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<ϵ=f(y)\Rightarrow -f(y)<f(x)-f(y)<f(y)\Rightarrow 0<f(x)$$
por lo tanto
$$\mathrm{\forall }x\in B(x,\delta )setienef(x)>0$$de esta manera $B(y,\delta )\subset V$ por lo que V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Ejemplo. Sea $V=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|a<x<b,c<y<d\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto.

Solución. Sea $X=(x_1,y_1)\in V$ entonces $a<x_1<b$ y $c<y_1<d$. Definimos $ϵ=min\{x_1-a,b-x_1,y_1-c,d-y_1\}$ por tanto si $(x,y)\in B(X,ϵ)$

debe ocurrir
$$a<x_1-ϵ<x<x_1+ϵ<byc<y_1-ϵ<y<y_1+ϵ<d$$
por lo tanto
$$(x,y)\in V\therefore B(X,ϵ)\subset V$$y en consecuencia V es un conjunto abierto.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$

Más adelante

Una vez clasificados los puntos de $\mathbb{R}n$ veremos en la siguiente entrada una caracterización topológica de conjuntos de $\mathbb{R}n$ con sus respectivas propiedades.

Tarea Moral

1.- Prueba que si $\bar{x}=(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$, entonces $|x_i|\le \Vert \bar{x}\Vert$, $|x_i|\le {\Vert \bar{x}\Vert }_1$ y $|x_i|\le {\Vert \bar{x}\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

2.-Demuestra que dados $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n\in \mathbb{R}$ tales que $a_i\le b_i$ para $i=1,..,n$, el rectángulo $[a_1,b_1]\times \cdot \cdot \cdot ,[a_n,b_n]$ es un conjunto cerrado.

3.- Demuestra que $(a_1,b_1)\times \cdot \cdot \cdot ,(a_n,b_n)$ es un conjunto abierto.

4.- Si $A=([0,1]\times [0,1])\cap (\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x,y\in \mathbb{Q}y0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$

5.- Para el conjunto $A=\{(m,0)\in {\mathbb{R}}^2|m\in \mathbb{Z}\}$ indica quien es:

a) int(A)

b) Fr(A)

c) ext(A)

d) ¿A es abierto o cerrado?