Introducción.

La Topología es un área de las matemáticas que se interesa por conceptos como proximidad, continuidad, conexidad, compacidad, y muchos otros mas. Para abordarlos, es necesario establecer un cierto tipo de conjuntos (que en Topología se les conoce como los conjuntos abiertos).
$\fbox{Bola abierta}$
La bola abierta con centro en $\bar{x}_0$ y radio $r>0$, es el conjunto:
$$B(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r\}$$
$\fbox{Bola Cerrada}$
La bola cerrada con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq
0$ es el conjunto:
$$\bar{B}(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|\leq r\}$$
$\fbox{Esfera}$
La esfera con centro $\bar{x}_0$ y radio $r\geq 0$ es el conjunto:
$$S(\bar{x}_0,r)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^n~|~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|=r\}$$
Observemos que para la bola abierta $r>0$ estrictamente, mientras que la bola cerrada y la esfera pueden tener radio cero. En este último caso ambas se reducen a un punto:

\[
\bar{B}(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0}
\]

\[
S(\bar{x}_0,0)={\bar{x}_0}~~ \blacksquare
\]
Los conjuntos $B(\overline{x}_0,r)$, $\bar{B}(\overline{x}_0,r)$ y $S(\bar{x}_0,r)$ son subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ y su aspecto geométrico depende de la métrica con la cual se midan las distancias.
Ejemplo. \begin{align*} \overline{B}_2(0,1)&=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_2\leq1\} \\ &=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2|\sqrt{x^2+y^2}\ \leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ x^2+y^2\leq1\} \end{align*}
Geométricamente

La periferia de este disco es el circulo que tiene por ecuación
$x^2+y^2=1$, que corresponde a la esfera $S_2(0,1)=\{\bar{x}\in \mathbb{R}^2\ |\
\|\bar{x}\|_2=1\}$.$~ \blacksquare$

Ejemplo. Sea ahora la bola cerrada
\begin{align*} \bar{B}_2(0,1)&=\{\overline{x}\in\mathbb{R}^{2}~|~\|\bar{x}\|\leq1\} \\ &=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ |x|+|y|\leq1\} \end{align*}
Geométricamente

Para $S_1(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ |\bar{x}|=1\}$

Para $\overline{B}_{\infty}(0,1)=\{\bar{x}\in\mathbb{R}^2\ |\ \|\bar{x}\|_{\infty}\leq1\}$ = $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ |\ \max\{|x|,|y|\}\leq1\}$

tenemos entonces que

Las figuras anteriores muestran la situación geométrica, entre las bolas cerradas $\overline{B}_{1}(\overline{0},1),~\overline{B}_{2}(\overline{0},1),~\overline{B}_{\infty}(\overline{0},1)$ en forma explicita se escriben:
\[
\max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}\leq
\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\ \leq
|x_1|+\cdots+|x_n|
\]
Las contenciones tanto para las bolas abiertas, como para las bolas
cerradas se siguen de las desigualdades

\[
\|\bar{x}-x_0\|_{\infty}\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2\leq
\|\bar{x}-x_0\|_1
\]
Pues por ejemplo si $\bar{x}\in B_2(\bar{x}0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ luego $\|\bar{x}-\overline{x}_0\|_{\infty}<r$

$\therefore~~~\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_{\infty}<r$ es decir $\overline{x}\subset
B_{\infty}(x_0,r)$ $\therefore$ $B_2(\bar{x}0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}_0,r)$

Si $\overline{x}\in B_1(\bar{x}_0,r)$ entonces $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ luego $\|x-\bar{x}_0\|_2\leq \|\bar{x}-\bar{x}_0\|_1<r$ $\therefore$
$\|\overline{x}-\bar{x}_0\|_2<r$ $\therefore$ $\overline{x}\in B_2(x_0,r)$ $\therefore$ $B_1(\bar{x}_0,r)\subset B_2(x_0,r)$
Para las esferas no hay alguna relación similar, lo que se puede deducir de las desigualdades anteriores son las relaciones siguientes:
\[S_1(\bar{x}_0,r)\subset \overline{B}_{2}(\bar{x}_0,r)\subset\overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\] \[S_2(\bar{x}_0,r)\subset B_{\infty}(\bar{x}0,r)\hspace{1.7cm}\] \[S_{\infty}(\bar{x}0,r)\subset \overline{B}_{\infty}(\bar{x}_0,r)\hspace{1.8cm}
\]

Conjuntos Abiertos y Conjuntos Cerrados

Un concepto importante en la topología de $\mathbb{R}^{n}$ es el de conjunto abierto. Junto con el de conjunto cerrado.
Conjunto abierto y conjunto cerrado dos conceptos duales, en un sentido que trataremos de explicar. Por ahora solamente veremos la definición de cada uno de ellos y alguna de sus propiedades más importantes.
Definición. Un conjunto $V\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{abierto}$ si para cada $\bar{x}\in V$ existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $V$. Es decir si para cada $\bar{x}\in V$ existe $r>0$ tal que $B(\bar{x},r)\subset V$.

Ejemplo. El espacio $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto, pues dado cualquier $\bar{x}\in \mathbb{R}^n$, toda bola abierta $B(\bar{x},r)$ esta contenida en $\mathbb{R}^n$.$~~\blacksquare$

Ejemplo .Mostraremos que el $\emptyset$ es abierto.
Suponemos que el $\emptyset$ no es abierto $\therefore$ $\exists$ $x\in
\emptyset$ para el cual no es posible hallar una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida en $\emptyset$. Pero esto no es posible ya que el $\emptyset$ no tiene elementos.
Entonces debemos suponer que el $\emptyset$ no es abierto ${\large\textbf{!}}$ $~~~\therefore~~~\emptyset$ es abierto.$~~\blacksquare$

Proposición. Toda bola abierta en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto abierto.
Demostración. Sea $\bar{x}_0\in\mathbb{R}^n$ y $r>0$. Mostraremos que $B(\bar{x}_0,r)$ es un conjunto abierto. Debemos probar que para cada $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$, existe una bola abierta $B(\bar{x},r)$ contenida a su vez en la bola abierta $B(\bar{x}_0,r)$. Sea pues $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ y consideremos $R=r-\|\bar{x}-\bar{x}_0\|$. Como $\bar{x}\in B(\bar{x}_0,r)$ se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<r$ $\therefore$ $R>0$. Mostraremos que la bola abierta $B(\bar{x},R)$ esta contenida en $B(\bar{x}_0,r)$.

esto prueba que $\bar{y}\in B(\bar{x}_0,r)$.$~~\blacksquare$

Ejemplo.Mostraremos que en $\mathbb{R}^2$, el semiplano superior
$$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~y>0\}$$
es un conjunto abierto respecto a la norma $\|\overline{x}\|_1$
Solución.

Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$. Se tiene entonces que $y_{0}>0$ consideremos $r=y_{0}$ y consideremos la bola $B_{1}(\bar{v}_0,y_0)$ y sea $\bar{v}=(x,y)\in
B_1(\bar{v}_0,y_0)$ se tiene que $\|\bar{v}-\overline{v}_0\|_1<y_0$, es
decir, $|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$. Debemos probar que $y>0$.
(1) $y$ no puede ser cero pues si $y=0$
$|x-x_0|+|y-y_0|<y_0$ $\Rightarrow$ $|x-x_0|+|y_0|<y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso)
es decir no puede ocurrir que $|x-x_0|+|y_0|$ sea menor que $y_{0}$.
(2) $y$ no puede ser negativa pues
$|x-x_0|+|y-y_0|=|x-x_0|+\underset{*}{\underbrace{|y|+y_0}}>y_0$ ${\large\textbf{!}}$ (Falso)
* $y<y_0$ $\Rightarrow$ $|y-y_0|=-y+y_0=|y|+|y_0|$ $\therefore$ $y$ tiene que ser $y>0$ $\therefore$ $B_1(\bar{v}_0,y_0)$ esta en el semiplano superior.$~~ \blacksquare$
Definición. Un conjunto $F\subset\mathbb{R}^n$ se dice que es $\textbf{cerrado}$ si su complemento $F^c=\mathbb{R}^n-F$ es un conjunto abierto.

Ejemplo. Los conjuntos $\mathbb{R}^n$ y $\emptyset$ son cerrados. En efecto $\mathbb{R}^n$ es cerrado pues su complemento $\emptyset$ es abierto. Similarmente $\emptyset$ es cerrado pues su complemento $\mathbb{R}^n$ es abierto.$~\blacksquare$

Ejemplo. Un conjunto con un solo punto ${\bar{0}}$ es cerrado ya que $\mathbb{R}^n-{\bar{0}}$ es abierto.$~~\blacksquare$

Proposición. Toda bola cerrada en $\mathbb{R}^n$ es un conjunto cerrado.
Demostración. Sea $\bar{x}_0\in \mathbb{R}^n$ y $r\geq0$. Probaremos que la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto cerrado, es decir, que su complemento $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$ es un conjunto abierto. Sea pues $\bar{x}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Mostraremos que existe una bola abierta $B(\bar{x},R)$ contenida en $\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$. Como $\bar{x}$ no está en la bola cerrada $\bar{B}(x_0,r)$, se tiene entonces que $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|>r$. Definamos $R=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-r>0$, esto equivale a $r=\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R$. Veamos que $B(\bar{x},R)\subset\mathbb{R}^n-\bar{B}(x_0,r)$

luego $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|<R+\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$ $\therefore$ $\|\bar{x}-\bar{x}_0\|-R<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$, es decir, $r<\|\bar{y}-\bar{x}_0\|$. Esto significa que $\bar{y}\not\in \bar{B}(\bar{x}_0,r)$, es decir, $\bar{y}\in\mathbb{R}^n-\bar{B}(\bar{x}_0,R)$.$~~\blacksquare$

Ejemplo. Muestre que el conjunto $$V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x\leq y\}$$
es un conjunto cerrado.
Solución. Sea $V^{c}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x>y\}$. mostraremos que $V^{c}$ es un conjunto abierto

Sea $\overline{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V^{c}$ entonces $x_{0}>y_{0}$. Definimos $r=x_{0}-y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\overline{v}_{0},r)$ vamos probar que $B(\overline{v}_{0},r)\subset V^{c}$ Sea $\overline{v}_{1}=(x,y)\in B(\overline{v}_{0},r)$ con la norma $\|\overline{x}\|_{1}$ se tiene $$\|\overline{v}_{1}-\overline{v}_{0}\|_{1}<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r~\Rightarrow~|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<x_{0}-y_{0}$$ por lo tanto $$x-y=x-x_{0}+y_{0}-y+x_{0}-y_{0}=x_{0}-y_{0}+x-x_{0}+y_{0}-y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$ la última desigualdad se obtiene de la propiedad $-|x-x_{0}|\leq x-x_{0}\leq |x-x_{0}|$. De esta manera $x-y>0~\Rightarrow~x>y$ y en consecuencia $v_{1}\in V^{c}$ por lo que $V^{c}$ es un conjunto abierto y por lo tanto V es un conjunto cerrado.$~\blacksquare$
Ejemplo. Sea $V={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~x+y>0}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $x_{0}+y_{0}>0$. Definimos $r=x_{0}+y_{0}>0$ ahora consideramos $B(\bar{v},r)$ vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$
Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ con la norma $\|.\|_{1}$ se tiene $$\|\bar{v}-\bar{v}_{0}\|_{1}=|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<r$$
por lo tanto
$$x+y=x-x_{0}-y_{0}+y+x_{0}+y_{0}=x_{0}+y_{0}+x-x_{0}-y_{0}+y\geq x_{0}-y_{0}-\left(|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\right)>0$$

de esta manera $x+y>0$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$

Ejemplo Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~y>x^{2}\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $\bar{v}_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ entonces $y_{0}>x^{2}{0}$. Definimos $r=y_{0}+x^{2}{0}>0$ y ahora consideramos $B(\bar{v},r)=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=\epsilon^{2}$

vamos probar que $B(\bar{v},r)\subset V$.
Sea $\bar{v}_{1}=(x,y)\in B(\bar{v},r)$ cada punto en $B(\bar{v},r)$ cumple $$|x-x_{0}|<\epsilon~~~|y-y_{0}|<\epsilon$$ y usando la identidad algebraica $$x_{0}^{2}=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}$$
tenemos que
$$y>y_{0}-\epsilon=x_{0}^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon=x^{2}-2(x-x_{0})x_{0}-(x-x_{0})^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon$$
Por lo tanto
$$y>x^{2}-2\epsilon x_{0}-\epsilon^{2}+y_{0}-x_{0}^{2}-\epsilon>x^{2}se~cumple~para~\epsilon=\min\left\{1,\frac{y-x_{0}^{2}}{2|x_{0}|+2}\right\}$$
de esta manera $y>x^{2}$ y en consecuencia $\bar{v}_{1}\in V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$

Ejemplo. Sea $V=\{x\in\mathbb{R}~|~f(x)>0\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto

Solución. Sea $y\in V$ entonces $f(y)>0$. Definimos $\epsilon=f(y)$ y como f es continua
$$si~~0<|x-y|<\delta~\Rightarrow~|f(x)-f(y)|<\epsilon=f(y)~\Rightarrow~-f(y)<f(x)-f(y)<f(y)~\Rightarrow~0<f(x)$$
por lo tanto
$$\forall~x\in B(x,\delta)~se~tiene~f(x)>0$$de esta manera $B(y,\delta)\subset V$ por lo que V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$

Ejemplo. Sea $V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~|~a<x<b~,~c<y<d\}$. Demuestre que V es un conjunto abierto.

Solución. Sea $X=(x_{1},y_{1})\in V$ entonces $a<x_{1}<b$ y $c<y_{1}<d$. Definimos $\epsilon=\min\{x_{1}-a,b-x_{1},y_{1}-c,d-y_{1}\}$ por tanto si $(x,y)\in B(X,\epsilon)$

debe ocurrir
$$a<x_{1}-\epsilon<x<x_{1}+\epsilon<b~~y~~c<y_{1}-\epsilon<y<y_{1}+\epsilon<d$$
por lo tanto
$$(x,y)\in V~\therefore~B(X,\epsilon)\subset V$$y en consecuencia V es un conjunto abierto.$~~\blacksquare$

Más adelante

Una vez clasificados los puntos de $\mathbb{R}{n}$ veremos en la siguiente entrada una caracterización topológica de conjuntos de $\mathbb{R}{n}$ con sus respectivas propiedades.

Tarea Moral

1.- Prueba que si $ \overline{x} = (x_1,…,x_n) \in \mathbb{R} ^{n}$, entonces $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\|$, $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{1}$ y $|x_i| \leq \left\| \overline{x} \right\| _{\infty}$.

2.-Demuestra que dados $a_1,…,a_n, b_1,…, b_n \in\mathbb{R}$ tales que $a_i \leq b_i$ para $i=1,..,n$, el rectángulo $[a_1,b_1] \times \cdot \cdot \cdot, [a_n,b_n]$ es un conjunto cerrado.

3.- Demuestra que $(a_1,b_1) \times \cdot \cdot \cdot, (a_n,b_n)$ es un conjunto abierto.

4.- Si $A= ([0,1] \times [0,1]) \cap (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q})= \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x,y \in \mathbb{Q} y 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \}$

5.- Para el conjunto $A=\{(m,0) \in \mathbb{R}^2 | m \in \mathbb{Z} \}$ indica quien es:

a) int(A)

b) Fr(A)

c) ext(A)

d) ¿A es abierto o cerrado?