Introducción

El concepto de $\Vert \Vert$ (norma) nos da una noción de medida de un vector, la cual, generaliza la idea geométrica de distancia en la geometría euclidiana. También ayudará a tener una noción de distancia entre dos vectores en $\mathbb{R}$ o más generalmente en ${\mathbb{R}}^n$, es lo que nos permite hablar de limite o de convergencia.
Consideremos la noción común de distancia entre dos puntos en ${\mathbb{R}}^3$.
Si $\overline{x}=(x_1,x_2,x_3),\overline{y}=(y_1,y_2,y_3)$
$$\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+(x_3-y_3{)}^2}$$
Esta distancia la denominamos métrica euclidiana y la generalizamos
en ${\mathbb{R}}^n$ en la siguiente definición.
Definición. Sean $\overline{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ y $\overline{y}=(y_1,\dots ,y_n)$ elementos cualesquiera de ${\mathbb{R}}^n$ definimos la distancia euclidiana entre ellos como $$d(\overline{x},\overline{y})=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\dots +(x_n-y_n{)}^2}$$
La función $d:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ se denomina distancia o métrica euclidiana.

Proposición. Para cualesquiera vectores $\overline{x},\overline{y},\overline{z}\in {\mathbb{R}}^n$ se tiene:
(a) $d(\overline{x},\overline{y})\ge 0$
(b) $d(\overline{x},\overline{y})=d(\overline{y},\overline{x})$
(c) $d(\overline{x},\overline{y})\le d(\overline{x},\overline{z})+d(\overline{z},\overline{y})$
(d) $d(\overline{x},\overline{y})=0\Rightarrow \overline{x}=\overline{y}$
Demostración.
(a) Como $d(x,y)=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert \ge 0$ entonces $d(\overline{x},\overline{y})\ge 0$
tambien si $d(x,y)=0\Rightarrow \Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =0\Rightarrow \overline{x}=\overline{y}$
(b) $d(\overline{x},\overline{y})=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\Vert \overline{y}-\overline{x}\Vert =d(\overline{y},\overline{x})$
(c) $d(\overline{x},\overline{y})=\Vert \overline{x}-\overline{y}\Vert =\Vert \overline{x}-\overline{z}+\overline{z}-\overline{y}\Vert \le \Vert \overline{x}-\overline{z}\Vert +\Vert \overline{z}-\overline{y}\Vert =d(\overline{x},\overline{z})+d(\overline{z},\overline{y}).\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Proposición. La función $$d_1(x,y)=|x_1-y_1|+\cdots +|x_n-y_n|$$ donde $\overline{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$ y $\overline{y}=(y_1,\cdots ,y_n)$ $\in {\mathbb{R}}^n$, es una métrica para el espacio euclideano ${\mathbb{R}}^n$.
Demostración. Las propiedades (a), (b) son inmediatas y para la propiedad (c) tenemos
$$|x_i-y_i|\le |x_i|+|y_i|\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n$$
sumando ambos lados de estas desigualdades para $i=1,\dots ,n$ obtenemos
$$\begin{array}{rl}{d}_1(x,z)& =\sum _{i=1}^n|x_i-z_i|\\ & =\sum _{i=1}^n|x_i-y_i+y_i-z_i|\\ & \le \sum _{i=1}^n|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\\ & =\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|+\sum _{i=1}^n|y_i-z_i|\\ & =d_1(x,y)+d_1(y,z)\end{array}$$
y en consecuencia $d_1$ es una métrica.$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}$
Ejemplo. En ${\mathbb{R}}^n$ son métricas
$$\begin{array}{rl}{d}_p(\overline{x},\overline{y})& ={(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}},(p\ge 1)\\ d_{\mathrm{\infty }}(\overline{x},\overline{y})& =\underset{1\le i\le n}{max}|x_i-y_i|.\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◼"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fc.svg">}\end{array}$$

Más adelante

En la siguiente entrada estudiaremos como las nociones topológicas heredadas en ${\mathbb{R}}^n$ nos ayudan a entender las características de proximidad y continuidad.

Tarea moral

1.- Sea $(V,\Vert \cdot \Vert )$ un espacio normado, Prueba que la función $d(v,w)=\Vert v-w\Vert$ es una métrica en $V$.

2.- Describe los conjuntos $\bar{B}=x\in {\mathbb{R}}^2:{\Vert x\Vert }_p\le 1$ para $p=1,2,\mathrm{\infty }$. Haz un dibujo de cada uno de ellos.

3.- Sea $V$ un espacio vectorial distinto de $0$. Prueba que no existe ninguna norma en $V$ que induzca la métrica discreta, es decir, no existe ninguna norma en $V$ tal que $\Vert v-w\Vert =\{\begin{array}{l}o,siv=w\\ 1si,v\ne w\end{array}$

4.- Prueba que si $x_1,\dots ,x_n\in {\mathbb{R}}^n$ entonces $\Vert x_1+\dots +x_n\Vert \le \Vert x_1\Vert +\dots +\Vert x_n\Vert$

5.- Sean $\bar{x},\bar{y}\in {\mathbb{R}}^n$. Prueba que:

$\Vert \bar{x}+\bar{y}\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ si y sólo si existe $\lambda \in \mathbb{R}$ con $\lambda >0$, tal que $\bar{x}=\lambda \bar{y}$.