Introducción
En las entradas anteriores hemos dado ejemplos de varios problemas de aplicación que pueden ser planteados mediante un problema de programación lineal. Una vez que llegamos a un modelo, se pueden tener restricciones de los tipos $\leq$, $=$ y $\geq$. Además, puede haber restricciones de signo sobre las variables. Puede que se les pida ser no positivas, no negativas o irrestrictas (no restringidas) en signo. Lo que haremos ahora es ver cómo podemos llegar a un cierto formato (forma estándar o forma canónica).
Forma canónica de un problema lineal
A continuación introducimos el primer formato que nos facilitará el trabajo.
Definición. Se dice que un problema de programación lineal está en forma canónica si cumple simultáneamente las siguientes tres propiedades:
- El problema es de maximización.
- Las restricciones del problema son todas del tipo $\leq$ (menor o igual).
- Las variables de decisión son no negativas.
Así, tenemos entonces que un problema en forma canónica se ve como sigue:
\begin{align*}
Max \quad z &= c_1x_1+\ldots+c_nx_n\\
s.a.&\\
&\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \leq b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots + a_{2n}x_n \leq b_2\\
\vdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n\leq b_n. \\
x_1\geq 0, x_2\geq 0, \ldots, x_n\geq 0.\end{matrix}\right.
\end{align*}
En términos matriciales, esto podemos reescribirlo de manera mucho más compacta como sigue:
\begin{align*}
Max \quad z &= c\cdot x\\
s.a.&\\
Ax &\leq b\\
x &\geq 0,\\
\end{align*}
en donde:
- $c=(c_1,\ldots,c_n)\in \mathbb R^n$ es el vector de costos (vector renglón)
- $x = (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb R^n$ es el vector de variables de decisión (vector columna),
- $A=[a_{ij}]$ es la matriz de restricciones, que es una matriz de $m \times n$ y
- $b=(b_1,\ldots,b_m) \in \mathbb R^m$ es el vector de constantes que acotan las combinaciones lineales de variables.
Todo problema de programación lineal puede ser expresado en forma canónica; es decir, puede definirse un problema en forma canónica equivalente a él. En efecto:
- Si el problema es de minimización, puede considerarse en vez de $z$ la función $z’ = -z$ y en el problema equivalente se busca maximizar $z’$.
- Si una restricción es del tipo $\geq$ puede ser mutiplicada por -1 para obtener una del tipo $\leq$.
- Una ecuación puede ser substituida por una desigualdad del tipo $\leq$ y otra del tipo $\geq$. Luego, la del tipo $\geq$ puede ser substituida por una del tipo $\leq$ como en el punto anterior.
- Para una variable $x_i\leq 0$ puede definirse $x_i’ = -x_i$, resultando $x_i’ \geq 0$. Claramente hay una biyección entre elegir el valor de $x_i$ y $x_i’$.
- Para una $x_i$ no restringida pueden ser definidas dos variables no negativas $x_i’$ y $x_i^\ast$ tales que $x_i’-x_i^\ast = x_i$. Para cualquier $x_i$ dado podemos construir dichas variables, y viceversa, para $x_i’$ y $x_i^\ast$ se puede construir $x_i$.
Ejemplo de pasar un problema a forma canónica
Transformaremos el siguiente modelo a su forma canónica
\begin{align*}
Min \quad z &= x_1-3x_2+7x_3\\
&s.a.\\
3x_1+&x_2+3x_3 &\leq 40\\
x_1+&9x_2-7x_3 &\geq 50\\
5x_1+&3x_2 &= 20\\
&5x_2 + 8x_3 &\leq 80\\
x_1, x_2 &\geq 0, \quad x_3 \quad libre.\\
\end{align*}
Primeramente se definen las variables no negativas $x_3’$ y $x_3^{\ast}$, tales que $x’_3-x_3^{\ast} = x_3$, con objeto de satisfacer el punto (3) de la definición. Para satisfacer el punto (1) se considera la función:
\begin{align*}
z’ &= -z \\&= -x_1+3x_2-7x_3\\&=-x_1+3 x_2-7 x’_3+7x_3^{\ast}
\end{align*}
y se busca maximiza ésta (equivalente a minimizar $z$). Finalmente se realizan cambios en las restricciones para satisfacer el punto (2). La primera y cuarta desigualdad cumplen con la definición por lo que no se modifican (más allá de la sustitución de $x_3$ por $x’_3-x_3^{\ast}$); la segunda desigualdad se multiplica por $-1$ para obtener una del tipo $\leq$: $$ x_1 + 9x_2 – 7x_3 \geq 50 \quad \Leftrightarrow \quad -x_1 – 9x_2 + 7x_3 \leq -50.$$
Substituyendo las nuevas variables se obtiene: $$-x_1-9x_2+7x’_3-7x_3^{\ast}\leq -50.$$
Para la tercera desigualdad se tiene lo siguiente:
\begin{align*}
5x_1+3x_2 &= 20\\
&\Leftrightarrow\\
5x_1 + 3x_2 \leq 20 \quad& y \quad 5x_1 + 3x_2 \geq 20\\
&\Leftrightarrow\\
5x_1 + 3x_2 \leq 20 \quad& y \quad -5x_1 – 3x_2 \leq -20.\\
\end{align*}
Finalmente el problema queda expresado en forma canónica como:
\begin{align*}
Max \quad z’ &= -x_1+3x_2-7x’_3+7x_3^{\ast}\\
&s.a.\\
3x_1+&x_2+3x’_3-3x_3^{\ast} &\leq 40\\
-x_1-&9x_2+7x’_3-7x_3^{\ast} &\leq -50\\
5x_1+&3x_2 &\leq 20\\
-5x_1-&3x_2 &\leq -20\\
&5x_2+8x’_3-8x_3^{\ast} &\leq 80\\
x_1, x_2&, x’_3, x_3^{\ast} \geq 0.\\
\end{align*}
Forma estándar de un problema lineal
Definición. Se dice que un problema de programación lineal está en forma estándar si
- Todas las restricciones son ecuaciones.
- Todas las variables son no negativas.
- La función objetivo puede pedirse que se optimice maximizándola, o minimizándola.
De esta manera, un problema en forma estándar se ve como sigue:
\begin{align*}
Max\, (\text{o } Min) \quad z &= c_1x_1+\ldots+c_nx_n\\
s.a.&\\
&\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots + a_{2n}x_n = b_2\\
\vdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n= b_n\\
x_1\geq 0, x_2\geq 0, \ldots, x_n\geq 0.
\end{matrix}\right.\\
\end{align*}
En notación matricial, el problema en forma canónica queda expresado de la siguiente manera:
\begin{align*}
Max\, (\text{o } Min) \quad z &= cx\\
&s.a.\\
Ax &= b\\
x &\geq 0\\
\end{align*}
en donde $c, x, A$ y $b \geq 0$ son como se mencionó antes.
Así como cualquier problema de programación lineal puede ser expresado en forma canónica, también cualquier problema de programación lineal puede expresarse en forma estándar. Una restricción del tipo $\leq$ ($\geq$) puede ser transformada en una ecuación sumando (o restando) una variable no negativa que recibe el nombre de variable de holgura.
Ejemplo de pasar un problema a forma estándar
Retomemos el problema ejemplo anterior, antes de expresarlo en forma canónica.
\begin{align*}
Min \quad z &= x_1-3x_2+7x_3\\
&s.a.\\
3x_1+&x_2+3x_3 &\leq 40\\
x_1+&9x_2-7x_3 &\geq 50\\
5x_1+&3x_2 &= 20\\
&5x_2 + 8x_3 &\leq 80\\
x_1, x_2 &\geq 0, \quad x_3 \quad libre.\\
\end{align*}
Vamos a expresarlo ahora en forma estándar. Como lo hicimos anteriormente, hacemos la sustitución $x=x’_3-x_3^\ast$ para que la variable libre se convierta en dos con restricciones de ser no negativas.
Para satisfacer (1) se introducen las variables de holgura, $x_4$, $x_5$ y $x_6$ que pediremos que sean no negativas. A la primera desigualdad le sumamos $x_4$. A la quinta le sumamos $x_6$. Y finalment, a la segunda le restamos $x_5$. Esto transforma las desigualdades en igualdades. De esta manera, el problema queda expresado de la siguiente manera:
\begin{align*}
Min \quad z &= x_1 – 3x_2+7x’_3-7x_3^\ast\\
&s.a.\\
3x_1 + &x_2 + 3x’_3 – 3x_3^\ast + x_4 &= 40\\
x_1 + &9x_2 – 7x’_3 + 7x_3^\ast – x_5 &= 50\\
5x_1 + &3x_2 &= 20\\
&5x_2 + 8x’_3 – 8x_3^\ast + x_6 &= 80\\
x_1,&x_2,x’_3,x_3^\ast,x_4,x_5,x_6 \geq 0.\\
\end{align*}
Más adelante…
Las formas que estudiamos en esta entrada nos ayudarán posteriormente para plantear soluciones para problemas de programación lineal.
Mientras tanto, en la siguiente entrada hablaremos de algunos otros conceptos relativos a la teoría de problemas lineales y posibles propiedades que puede tener una asignación de variables. Diremos qué es una solución básica, una solución factible y un punto extremo para un problema lineal.
Tarea moral
- ¿Cuál sería la forma estándar del problema de maximizar $x+y$ sujeto a $x-y\leq 8$ y $y\leq 0$? ¿Y su forma canónica?
- Transforma el siguiente problema de programación lineal a su forma canónica y a su forma estándar:
\begin{align*}
Max \quad z &= -2x_1 + 3x_2 – 2x_3\\
&s.a.\\
4x_1 – &x_2 – 5x_3 &= 10\\
2x_1 + &3x_2 + 2x_3 &\geq 12\\
x_1 &\geq 0, \quad x_2, x_3 \quad irrestrictas\\
\end{align*} - Revisa nuevamente las entradas anteriores y encuentra las formas canónicas y formas estándar de los problemas que hemos planteado hasta ahora.
- La forma estándar (o bien la forma canónica) de un programa lineal «es equivalente» al problema original. Justifica esta afirmación formalmente. Es decir, explica por qué una solución $x_1,\ldots,x_n$ que optimiza el problema original está asociada a una solución de su forma estándar (o canónica) y viceversa.
- Imagina que tenemos un sistema de ecuaciones de la forma $Ax=B$ con $A$ matriz en $M_{m,n}(\mathbb{R})$ y $b$ vector en $\mathbb{R}^m$. Queremos encontrar de todas las posibles soluciones al sistema aquella que minimiza la suma de las entradas de $x$. Plantea esto como un problema lineal y transfórmalo a su forma canónica y a su forma estándar.
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