Geometría Moderna II: Teoremas de Carnot

Por Armando Arzola Pérez

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Introducción

Otro tema interesante son los Teoremas de Carnot, los cuales nos permiten resolver otros problemas.

Teoremas de Carnot

Teorema. Sea, ABC un triángulo y una circunferencia que interseca en los lados BC, CA, AB en los puntos P, P′, Q, Q′, R, R′ respectivamente, entonces

ARRB⋅BPPC⋅CQQA⋅AR′R′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=1.

Teoremas de Carnot 1

Demostración. Tracemos las rectas PQ y P′Q′, las cuales intersecan a AB en G y G′ respectivamente. Por Menelao al triángulo ABC con transversales QG y Q′G′, se tiene

AGGB⋅BPPC⋅CQQA=−1 . . . (1)

y

AG′G′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=−1 . . . (2)

Como AB es una transversal que corta los lados del cuadrángulo inscrito PQP′Q′ y la circunferencia en puntos de involución, se tiene

{ABR′G′}={BARG}={ABGR}.

Entonces

ARRB⋅AR′R′B=AGGB⋅AG′G′B.

Se realizará la siguiente multiplicación de la ecuación (1) y (2)

AGGB⋅BPPC⋅CQQA⋅AG′G′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=(−1)(−1)

ARRB⋅BPPC⋅CQQA⋅AR′R′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=1.

Teorema de Carnot 2

◻

Teorema. (Carnot para Rectas) Sea el triángulo ABC y dos rectas l y l′ que intersecan a los lados BC, CA y AB la primera en los puntos P, Q y R y la segunda a los puntos P′, Q′ y R′, entonces

ARRB⋅BPPC⋅CQQA⋅AR′R′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=1.

Demostración Por el Teorema de Menelao con las rectas l y l′, se tiene

ARRB⋅BPPC⋅CQQA=−1 y  AR′R′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=−1.

Entonces multiplicándolos

ARRB⋅BPPC⋅CQQA⋅AR′R′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=1.

Teorema de Carnot 3

◻

Teorema. (Carnot para cónicas) Sea el triángulo △ABC y sea una cónica que interseca los lados BC, CA y  AB en los puntos P, P′, Q, Q′, R, R′ respectivamente, entonces

ARRB⋅BPPC⋅CQQA⋅AR′R′B⋅BP′P′C⋅CQ′Q′A=1.

Más adelante…

Se dejarán una serie de ejercicios para poner en práctica lo visto en esta unidad.

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