Introducción
Se discutirán a través de esta unidad teoremas selectos debido a su importancia en la solución de otros problemas, en esta nota será el Teorema de Stewart.
Teorema de Stewart
Teorema Sea el triángulo $ABC$ con lados $BC,CA,AB$ los cuales sus longitudes son $a,b,c$ respectivamente, y sea un punto $D$ cualquiera en $BC$ donde $BC=m$ y $DC=n$, además si la longitud de $AD=d$, entonces
$ad^2=mb^2+nc^2-amn$
Demostración Aplicando la Ley de cosenos a los triángulos $\triangle ABD$ en el ángulo $\angle ADB $ y el $\triangle ADC$ en el ángulo $\angle ADB$, se tiene
$c^2=d^2+m^2-2dm cos \angle ADB$
y
$b^2=d^2+n^2+2dn cos \angle ADB$
Si multiplicamos ambas ecuaciones por $n$ y $m$ respectivamente tenemos:
$nc^2=nd^2+nm^2-2dnm cos \angle ADB$
y
$mb^2=md^2+mn^2+2dnm cos \angle ADB$
Sumando ambas ecuaciones se tiene:
$nc^2+mb^2=nd^2+md^2+nm^2+mn^2$
Ahora como $m+n=a$, se tiene:
$nc^2+mb^2=(n+m)d^2+(n+m)mn$
$nc^2+mb^2=ad^2+amn$
Por lo tanto, concluimos que:
$ad^2=mb^2+nc^2-amn$
$\square$
Demostración (Por Pitágoras) Se tiene la altura de $A$ a $BC$ que corta en el punto $H$, donde $AH=h$, $CH=x$, $HD=y$.
Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo $\triangle AHC$, $\triangle AHD$ y al $\triangle AHB$ se tiene lo siguiente respectivamente:
$b^2=x^2+h^2$ , $d^2=h^2+y^2$ y $c^2=h^2+(m+y)^2$
Además se tiene que $y+x=n$ entonces $x=n-y$. Si lo sustituimos en $b^2=h^2+x^2$ se tiene $b^2=h^2+(n-y)^2$ y lo multiplicamos por $m$:
$mb^2=mh^2+m(n-y)^2$
De igual forma multipliquemos $c^2=h^2+(m+y)^2$ por $n$:
$nc^2=nh^2+n(m+y)^2$
Entonces sumando $md^2 + nc^2$ se tiene:
$mb^2+nc^2=mh^2+m(n-y)^2+nh^2+n(m+y)^2$
$mb^2+nc^2=(m+n)h^2+m(n^2-2ny+y^2)+n(m^2+2my+y^2)$
$mb^2+nc^2=(m+n)h^2 + mn^2-2mny+my^2+nm^2+2mny+ny^2$
$mb^2+nc^2=(m+n)h^2+mn^2+nm^2+my^2+ny^2$
$mb^2+nc^2=mn(n+m)+(m+n)(y^2+h^2)$
$mb^2+nc^2=(m+n)[mn+y^2+h^2]$
Sustituyendo $d^2=h^2+y^2$ y $m+n=a$ en la ecuación resultante:
$mb^2+nc^2=a[mn+d^2]$
Por lo tanto,
$ad^2=mb^2+nc^2-amn$
$\square$
Conclusión
Es gracias a este Teorema que se puede encontrar la longitud de la recta $AB$ cuando $D$ es un punto cualquiera en la recta $BC$ y se tiene la razón en la cual $D$ divide a $BC$, ya que se conocen las longitudes y signos de $BD$ y $DC$ en este caso.
De igual forma, las longitudes de las medianas, las simedianas y las bisectrices de los ángulos de un triángulo, se pueden encontrar usando el Teorema de Stewart.
Con el uso del teorema de Stewart se puede resolver el siguiente Teorema.
Teorema: Si las bisectrices de dos ángulos interiores de un triángulo son iguales, el triángulo es isósceles.
Más adelante…
Se abordará el Teorema de Miquel.
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