Introducción
Una vez analizado los temas de Razón Cruzada e Involución, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran a continuación, todo con el objetivo de practicar y fortalecer el tema visto.
Ejercicios Unidad 4
1.- Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos distintos en una recta, analice las razones cruzadas $\{ABCB\}$, $\{ABCA\}$ y $\{ABCC\}$.
2.- Demuestre el Teorema de Desagües, referente a triángulos en perspectiva en propiedades de razón cruzada.
3.- Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales, encuentre $D$ talque $\{BACD\}=\{ABCD\}$.
4.- Muestre que la razón cruzada de cuatro puntos en una recta, es igual a la razón cruzada de sus polares con respecto a cualquier circunferencia.
5.- Demuestre el Teorema de la Mariposa, el cual dice «Si se trazan dos cuerdas $EF$ y $CD$, por el punto medio $M$ de una cuerda, $AB$ de una circunferencia, y si $DE$ y $CF$ intersecan a $AB$ en $G$ y $H$ respectivamente, entonces $M$ es el punto medio de $GH$.»
6.- Sean seis puntos colineales con un punto $O$ en una recta se corresponden en pares $A,A’,B,B’,C,C’$, y si $OA \bullet OA’ = OB \bullet OB’ =OC \bullet OC’ $, demuestra que $\{AA’BC\}= \{A’AB’C\}$.
7.- Demuestre que el conjugado del centro de una involución de puntos es el punto ideal de la base.
8.- Sean seis pares de puntos en involución $A,A’,B,B’,C$ y $C’$, y si $D$ y $D’$ son dos puntos en la recta tal que $\{A’B’C’D’\}=\{ABCD\}$, entonces $D$ y $D’$ también son un par conjugado de la involución.
9.- Sea un punto $X$ cualquiera fuera de una circunferencia, si se trazan tres rectas que la corten en los pares de puntos $A,A’,B,B’,C,C’$ respectivamente y si unimos estos puntos a cualquier otro punto de la circunferencia, por demostrar que el haz así obtenido está en involución.
10.- Demostrar el Teorema: «Dado un cuadrángulo completo, sus tres pares de lados opuestos son intersecados por cualquier transversal que no pasa por un vértice en tres pares de puntos conjugados de una involución.»
Más adelante…
La siguiente unidad abarca varios temas interesantes.
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