Geometría Moderna I: Desigualdad del triángulo

Introducción

Terminamos la entrada anterior hablando sobre el criterio lado, lado, ángulo (LLA), en ese orden y dimos un ejemplo para mostrar que en general no se cumple, en esta entrada veremos una condición adicional bajo la cual el criterio si es válido.  También veremos algunos resultados bien conocidos usando congruencia de triángulos entre ellos la desigualdad del triángulo.

Criterio LLA

Proposición 1. Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados también igual, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración. Por contradicción. Sean $\triangle ABC$ y $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ dos triángulos tales que $\overline{ AB} = \overline{ A_{1}B_{1}}$, $\overline{ BC} =\overline{ B_{1}C_{1}}$, $\angle BCA = \angle B_{1}C_{1}A_{1}$ y  $\overline{ AB} > \overline{ BC}$.

(1) Primero vamos a construir circunferencias de radio la longitud del mayor de los lados y con centro en los vértices $C$ y  $C_{1}$ respectivamente es decir donde se forma el ángulo opuesto al mayor de los lados.

Notemos que como $\overline{ AB} > \overline{ BC}$ respectivamente $\overline{ A_{1}B_{1}} > \overline{ B_{1}C_{1}}$ entonces los lados $\overline{ BC}$ y $\overline{ B_{1}C_{1}}$ quedan totalmente contenidos dentro de las circunferencias $C$($\overline{ AB}$, $C$ ) y $C$($\overline{ A_{1}B_{1}}$, $C_{1}$ ) respectivamente.

Ahora completemos los triángulos y supongamos que no son congruentes entonces los lados $\overline{ CA}$,  $\overline{ C_{1}A_{1}}$ son distintos, supongamos sin perdida de generalidad que $\overline{ CA} < \overline{ C_{1}A_{1}}$.

(2) Sea $A_{2} \in \overline{ C_{1}A_{1}}$  tal que $\overline{ C_{1}A_{2}} = \overline{ CA}$, ya que $\overline{ BC} =\overline{ B_{1}C_{1}}$ y $\angle BCA = \angle B_{1}C_{1}A_{2}$ por criterio LAL los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle A_{2}B_{1}C_{1}$ son congruentes por lo tanto $\overline{ AB} = \overline{ A_{2}B_{1}}$ es decir el lado $\overline{ A_{2}B_{1}}$ en un radio de la circunferencia $C(\overline{ A_{1}B_{1}}, C_{1})$

(3) esto implica que $A_{2} \in C(\overline{ A_{1}B_{1}}, C_{1})$, pero los puntos $A_{1}$, $A_{2}$ y $C_{1}$ son colineales por lo tanto $C_{1}$ esta fuera de la circunferencia, esto es una contradicción pues por hipótesis $\overline{ A_{1}B_{1}} > \overline{ B_{1}C_{1}}$. Asi los triángulos $\triangle ABC$, $\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ son congruentes.

$\square$

Triángulos isósceles y equilátero

En esta sección hablamos sobre algunos resultados relacionados con triángulos isósceles y equiláteros, también incluimos un resultado sobre la bisectriz de un ángulo como un ejemplo de aplicación del criterio ALA.

Definición 1. Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

Definición 2. Definimos la distancia de un punto $P$ a una recta $l$ como la distancia entre $P$ y la intersección entre la recta y la perpendicular a la recta trazada desde $P$, llamada pie de la perpendicular.

Proposición 2. Cualquier punto $P$ en la bisectriz de un ángulo es equidistante a cada uno de los rayos que forman el ángulo.

Demostración. Consideremos el ángulo $\angle AOB$ y un punto $P$ en la bisectriz de $\angle AOB$, notemos que los triángulos $\triangle AOP$ y $\triangle BOP$ tienen dos ángulos iguales, un ángulo recto por el pie de las respectivas perpendiculares y los ángulos formados por la bisectriz, por el quinto postulado sabemos que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos, así que los respectivos ángulos restantes son iguales entre sí, ahora los triángulos $\triangle AOP$ y $\triangle BOP$ comparten un lado en común, el lado $\overline {OP}$, por el criterio ALA los triángulos son congruentes y así $\overline { PA} = \overline { PB}$.

$\square$

Definición 3. La altura de un triángulo $\triangle ABC$ en $A$ es la recta perpendicular al lado $\overline{ BC}$ trazada desde el vértice $A$.

Proposición 3. A un triángulo con dos lados iguales le llamamos isósceles, si un triangulo es isósceles entonces tiene dos ángulos internos iguales y los dos ángulos externos adyacentes a dichos ángulos también son iguales, además la altura y la bisectriz trazadas desde el vértice en que concurren los lados iguales y la mediatriz del lado opuesto a dicho ángulo coinciden.

Demostración. (1) Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles con $\overline{ AB} = \overline{ AC}$ y tracemos la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ sea $M$ el punto en donde la bisectriz corta al lado opuesto.

(2) Los triángulos $\triangle AMB$ y $\triangle AMC$ tienen dos lados iguales, $\overline{ AB} = \overline{ AC}$ por hipótesis, $\overline{ AM}$ es un lado en común y $\angle BAM = \angle MAC$ por ser $\overline{ AM}$ bisectriz, por criterio LAL los triángulos son congruentes, así los ángulos en la base son iguales $\angle ABM = \angle ACM$.

(3) Por el segundo postulado podemos extender el segmento $\overline{ AB}$ y por el cuarto postulado $\angle ABM + \angle ABD = \pi = \angle ACM + \angle ECA$, así los ángulos externos son iguales $\angle ABD = \angle ECA$.

(4) Ahora como los ángulos $\angle BMA$ y $\angle CMA$ son adyacentes e iguales y suman 2 dos ángulos rectos entonces son rectos por lo tanto $\overline{ AM}$ es perpendicular a $\overline{ BC}$ y así $\overline{ AM}$ es altura, por ultimo como $\overline{ BM} = \overline{ CM}$ entonces $M$ es el punto medio de $\overline{ BC}$, por lo tanto $\overline{ AM}$ es mediatriz.

$\square$

Corolario. Decimos que un triángulo es equilátero si todos sus lados son iguales. Si un triángulo es equilátero entonces sus ángulos internos son iguales.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero, en particular tiene dos lados iguales digamos $\overline{ AB} = \overline{ AC}$, sin atender a la longitud del lado $\overline{ BC}$ podemos aplicar el mismo procedimiento de la proposición anterior y llegar a que $\angle ABC = \angle ACB$, ahora hacemos los mismo para los lados $\overline{ AB} = \overline{ BC}$ y obtenemos que $\angle CAB = \angle ACB$, por lo tanto, los tres ángulos internos de un triangulo equilátero son iguales, $\angle ABC = \angle ACB = \angle CAB$.

$\square$

Proposición 4. Consideremos un triángulo $\triangle ABC$ y construyamos sobre $\overline{ AB}$ y $\overline{ AC}$ triángulos equiláteros $\triangle ABC_{1}$ y $\triangle ACB_{1}$ respectivamente, entonces $\overline{ BB_{1}} = \overline{ CC_{1}}$.

Demostración. Consideremos los triángulos $\triangle BAB_{1}$ y $\triangle CAC_{1}$ como en la imagen, notemos que $\overline{ BA} = \overline{ AC_{1}}$, $\overline{ AC} = \overline{ AB_{1}}$ y
$\angle BAB_{1} = \angle BAC + \angle CAB_{1} = \angle BAC + \angle BAC_{1} = \angle CAC_{1}$, $\angle CAB_{1} = \angle BAC_{1}$
pues los triángulos $\triangle ABC_{1}$, $\triangle ACB_{1}$ son equiláteros. Por LAL $\triangle BAB_{1}$ y $\triangle CAC_{1}$ son congruentes por lo tanto $\overline{ BB_{1}} = \overline{ CC_{1}}$.

$\square$

Desigualdad del triángulo

La desigualdad del triángulo es una propiedad muy importante no solamente en Geometría sino en Análisis por ejemplo, sobre todo por que los espacios en los que se trabaja tambián tienen estructura geométrica. Antes de ver la desigualdad necesitamos mostrar un lema.

Lema. Para todo triángulo $\triangle ABC$ al lado mayor de cualesquiera dos lados se opone el ángulo mayor, es decir si $\overline{ AB} > \overline{ AC}$ entonces $\angle ACB > \angle ABC$.

La propiedad reciproca también es cierta, dados cualesquiera dos ángulos internos de un triángulo se tiene que al mayor de los ángulos se opone el mayor de los lados.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo tal que $\overline{ AB} > \overline{ AC}$ por el segundo postulado podemos extender el lado $\overline{ AC}$ hasta un punto $C_{1}$ tal que $\overline{ AB} = \overline{ AC_{1}}$.

Notemos que $\angle ACB$ es un ángulo exterior del triángulo $\triangle CBC_{1}$ por el quinto postulado sabemos que es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes  a el  $\angle ACB = \angle AC_{1}B + \angle C_{1}BC$ por lo tanto $\angle ACB > \angle AC_{1}B$, pero $\angle AC_{1}B = \angle ABC_{1}$, pues el triángulo $\triangle ABC_{1}$ es isósceles, así que $\angle ACB > \angle ABC_{1}$.

Por otro lado $\angle ABC_{1} = \angle ABC + \angle CBC_{1}$, de donde obtenemos que $\angle ABC_{1} > \angle ABC$, finalmente por transitividad $\angle ACB > \angle ABC$. La demostración reciproca se dejara como ejercicio.

$\square$

Teorema. Desigualdad del triángulo. Para todo triángulo se cumple que la suma de cualesquiera dos de sus lados es mayor que el lado restante.

Demostración. Sea $\triangle ABC$ un triángulo, podemos extender $\overline{ BC}$ hasta un punto $C_{1}$ tal que $\overline{ AC} = \overline{ AC_{1}}$.

El ángulo $\angle BAC_{1} = \angle BAC + \angle CAC_{1}$, por lo tanto $\angle BAC_{1} > \angle CAC_{1}$, además $\angle CAC_{1} = \angle CC_{1}A$ ya que el triángulo $\triangle ACC_{1}$ es isósceles, así que $\angle BAC_{1} > \angle CC_{1}A$, consideremos estos ángulos como ángulos interiores del triángulo $\triangle ABC_{1}$, por el lema anterior $\overline{ BC_{1}} > \overline{ AB}$ pero $\overline{ BC_{1}} = \overline{ BC} + \overline{ CC_{1}} = \overline{ BC} + \overline{ AC}$.

Así $\overline{ BC} + \overline{ AC} > \overline{ AB}$. Las demás desigualdades se muestran de manera análoga.

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios y problemas te ayudarán a reforzar lo aprendido en esta entrada.

  1. Muestra que si un triangulo tiene dos ángulos iguales, entonces los ángulos opuestos a estos ángulos también son iguales.
  2. Decimos que un cuadrilátero es un paralelogramo si los pares de lados opuestos son paralelos, las diagonales de un cuadrilátero son aquellas que se forman al unir vértices que no comparten un lado en común. Demuestra que un cuadrilátero es un paralelogramo si y solo si sus diagonales se intersecan en su punto medio.
  3. En un poblado situado junto a un rió, cuyo borde es totalmente recto, hay un incendio en un punto $A$, la estación de bomberos se encuentra en un Punto $B$ del mismo lado del río donde se dio el incendio, los bomberos necesitan primero pasar por el río para abastecerse de agua, ¿que punto $P$ en el borde del río hace que el trayecto $\overline{ BP} + \overline{ PA}$ sea mínimo?
  4. Demuestra que para cualesquiera dos ángulos internos de un triángulo se tiene que al mayor de los ángulos se opone el mayor de los lados.
  5. Demuestra el reciproco de la desigualdad del triángulo. Si $a$, $b$ y $c$ son números positivos tales que $a + b > c$, $a + c > b$ y $b + c > a$, es posible construir un triángulo con lados $a$, $b$ y $c$.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos el Teorema de Tales que nos permitirá hablar sobre otra relación importante entre triángulos que es el de semejanza.

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