Introducción

Una vez analizado las circunferencias coaxiales es necesario ver la Aplicación al Cuadrilátero Completo.

Cuadriláteros completos

Recordemos que un cuadrilátero completo se define:

Definición. Un cuadrilátero completo es una figura que consiste de 4 líneas, tres de las cuales no pasan por el mismo punto y los seis puntos determinados por la intersección de estas líneas.

Observaciones.

• Las cuatro líneas son sus lados y los seis puntos son sus vértices. En este caso a, b, c y d son los lados y los puntos $a\cap c,b\cap c,c\cap d,d\cap b,a\cap d$ y $a\cap b$ son los vértices.
• Se dice que dos vertices son vertices opuestos si ellos no estan en el mismo lado. En un cuadrilatero completo hay 3 pares de vertices opuestos. Son [$c\cap d$y$a\cap b$], [$b\cap c$ y $a\cap d$] y [$a\cap c$ y $d\cap b$].
• Las 3 líneas determinadas por los pares de vértices opuestos de un cuadrilátero completo, son sus diagonales, y el triángulo determinado por estas 3 líneas, es un triángulo diagonal. Las rectas son p, q y r son las rectas diagonales y pqr es el triángulo diagonal.

Una aplicación de la teoría de circunferencias coaxiales, es el siguiente teorema:

Teorema. Las circunferencias, cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo, son coaxiales.

Demostración. Se tiene el cuadrilátero completo con lados p, q, r y s, donde se puede sacar el ortocentro $H_1$ del $\mathrm{△}ABC$ y $A^{\prime },B^{\prime }$y$C^{\prime }$ los pies de las alturas $A,B$y$C$.

Puesto que $A,C,C^{\prime },A^{\prime }$ y $B,C,C^{\prime },B^{\prime }$ son conjuntos de puntos conciclicos. Entonces $H_{1}A\cdot H_1{A}^{\prime }=H_{1}B\cdot H_1{B}^{\prime }=H_{1}C\cdot H_1{C}^{\prime }$.

Ahora $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cuerdas de las circunferencias que tiene como diámetros a $AF,BE$ y $CD$ respectivamente. Y por las ecuaciones anteriores $H_1$ tiene la misma potencia respecto a cada una de estas circunferencias.

Y al saber que $H_1$ tiene las mismas potencias, entonces se concluye que las circunferencias son coaxiales. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Corolario. Los ortocentros de los cuatro triángulos determinados por los cuatro lados del cuadrilátero tomados tres a un tiempo son colineales.

Demostración. Por la demostración anterior, se puede demostrar que los ortocentros de los triángulos $ADE,BDF,CEF$ tiene cada uno iguales potencias con respecto a estas tres circunferencias. Por lo cual las tres circunferencias son coaxiales, los cuatro ortocentros están en el eje radical y los centros o puntos medios de las diagonales, están en una línea recta.

Además, la línea en la que están los cuatro ortocentros, es perpendicular a la línea que pasa por los puntos medios de las diagonales. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante…

Una vez visto y estudiado esta primera unidad se pondrán ejercicios para practicar en la siguiente entrada.

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