MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada continuaremos nuestro estudio de las funciones medibles. Empezaremos repasando los conceptos de límite superior e inferior que serán de gran utilidad en nuestros desarrelos. Posteriormente veremos también que las funciones medibles son cerradas bajo una gran cantidad de operaciones aritméticas y de toma de límites.

Límite superior e inferior

Antes de continuar, conviene dar un breve recordatorio sobre los conceptos de límite superior e inferior de una sucesión que nos encontraremos a menudo en las siguientes entradas. A grandes rasgos, el límite inferior es el «menor punto de acumulación» que admite una sucesión; mientras que el límite superior es el «mayor punto de acumulación» que admite una seucesión. De manera precisa:

Definición. El límite inferior de una sucesión de numeros reales extendidos $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ se define como:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_k=lim sup{x}_k:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\underset{m\ge k}{inf}{x}_m)$$

El límite superior se define como:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_k=lim sup{x}_k:=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(\underset{m\ge k}{sup}{x}_m)$$

Observación. Ambos límites siempre existen (aunque son posiblemente infinitos) pues son límites de sucesiones monótonas crecientes y decrecientes respectivamente (¿Cuáles?). Por esta misma razón podemos escribir: $$lim sup{x}_k=\underset{j\ge 1}{inf}(\underset{k\ge j}{sup}{x}_k);lim inf{x}_k=\underset{j\ge 1}{sup}(\underset{k\ge j}{inf}{x}_k).$$

Observación. Notemos que $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge a $x$ si y sólo si $\underset{k}{lim inf}{x}_k=\underset{k}{lim sup}{x}_k=x$.

Demostración. ($⟸$) Si $lim inf{x}_k=lim sup{x}_k=x$, entonces, por definición, las sucesiones:
$$y_k:=\underset{m\ge k}{inf}{x}_m{z}_k:=\underset{m\ge k}{sup}{x}_m$$
Convergen a $x$. Sin embargo, tenemos que:
$$y_m\le x_m\le z_m\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}$$

De donde $x_m⟶x$ cuando $m⟶\mathrm{\infty }$. (Observa que este argumento es válido incluso cuando $x=\pm \mathrm{\infty }$).

($⟹$) Supongamos que $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_k=x$.

Los casos $x=\pm \mathrm{\infty }$ son sencillos. Los detalles se dejan como tarea moral. Así que supongamos que $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$.

Por definición, dado $\epsilon >0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que: $$x-\epsilon <x_m<x+\epsilon \mathrm{\forall }m\ge N$$

Definiendo las sucesiones $\{y_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ y $\{z_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ como en el inciso anterior, al tomar ínfimos, la condición anterior implica que:
$$x-\epsilon \le y_N$$
Como la sucesión $\{y_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ es monótona creciente, y por definición $y_m\le x_m\le x+\epsilon$ $\mathrm{\forall }m\ge N$, podemos concluir que:
$$x-\epsilon \le y_N\le y_m<x+\epsilon \mathrm{\forall }m\ge N.$$

Como lo anterior se cumple para cualquier $\epsilon >0$, concluimos que $y_m⟶x$ cuando $m⟶\mathrm{\infty }$. Por un argumento totalmente análogo podemos ver que $z_m⟶x$ cuando $m⟶\mathrm{\infty }$ que es lo mismo que: $\underset{k}{lim inf}{x}_k=\underset{k}{lim sup}{x}_k=x$.

Más propiedades de funciones medibles

Antes de enunciar el resultado principal de esta entrada, conviene establecer algo de notación que estaremos usando a menudo.

Notación. Si tenemos una sucesión de funciones $\{f_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, denotaremos a su límite puntual (si existe) como $lim{f}_k=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$, que recordemos, tiene como regla $(lim{f}_k)(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$ (el límite actúa punto a punto). Adoptaremos convenciones similares para $sup$, $inf$, $lim sup$, $lim inf$, etc. Cuando no genere mayor problema, para aligerar la notación omitiremos los subíndices $\{k\to \mathrm{\infty }\}$ y similares.

Proposición. Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$. Sean $f,g:X\to \mathbb{R}$ $\mathcal{M}$ medibles, $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$. Entonces:

1. Si $\varphi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es Borel medible, entonces $\varphi \circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
2. Si $f\ne 0$, entonces $\frac{1}{f}$ es $\mathcal{M}$ medible.
3. Dado $0<p<\mathrm{\infty }$, entonces $|f{|}^p$ es $\mathcal{M}$ medible.
4. $f+g$ es $\mathcal{M}$ medible.
5. $\alpha f$ es $\mathcal{M}$ medible.
6. $fg$ es $\mathcal{M}$ medible.
7. Si $f_k:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una sucesión de funciones $\mathcal{M}$ medibles entonces cada una de las siguientes funciones es $\mathcal{M}$ medible. (en el caso de la última, condicionada a que esté bien definida).

$$\begin{array}{rlr}\underset{k}{sup}{f}_k& ,& \underset{k}{inf}{f}_k,\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_k& ,& \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_k,\\ \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k& \end{array}$$

Demostración.

1. Si $E\subseteq R$ es de Borel, entonces ${\varphi }^{-1}(E)$ es de Borel ($\varphi$ es Borel medible), luego $(\varphi \circ f{)}^{-1}(E)=f^{-1}({\varphi }^{-1}(E))\in \mathcal{M}$ ($f$ es medible).
2. Definamos
   $$h(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}& \text{si }x\ne 0\\ 0& \text{si }x=0\end{array}$$
   Es fácil verificar directamente que $h$ es Borel medible. Como $f\ne 0$, $h\circ f=\frac{1}{f}$. Del inciso 1 se sigue que $\frac{1}{f}=h\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
3. Como la función $P(x)=|x{|}^p$ es continua, en automático es Borel medible. Luego, por el inciso 1, $|f{|}^p=P\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
4. Notemos que $f(x)+g(x)<t$ $⟺$ $f(x)<t-g(x)$ $⟺$ existe $r\in \mathbb{Q}$ tal que $f(x)<r<t-g(x)$. Luego, $$\{x|f(x)+g(x)<t\}=\bigcup _{r\in \mathbb{Q}}{f}^{-1}((-\mathrm{\infty },r))\cap g^{-1}((-\mathrm{\infty },t-r)).$$
   Como $f,g$ son medibles y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra, se sigue que dicho conjunto pertenece a $\mathcal{M}$.
5. La función $h(x)=\alpha x$ es continua y por tanto Borel medible. Luego, por el inciso 1, $\alpha f=h\circ f$ es $\mathcal{M}$ medible.
6. Combinando los incisos 3-5 se sigue que la función $$fg=\frac{1}{4}(f+g{)}^2-\frac{1}{4}(f-g{)}^2$$ es $\mathcal{M}$ medible.
7. Es fácil ver que $$\{x|\underset{k}{sup}{f}_k(x)\le t\}=\bigcap _k\{x|f_k(x)\le t\}$$
   Éste último conjunto pertenece a $\mathcal{M}$ (pues $f$ es medible y $\mathcal{M}$ es $\sigma$-álgebra). Se sigue que $sup{f}_k$ es medible. Similarmente, como $$\{x|\underset{k}{inf}{f}_k(x)\ge t\}=\bigcap _k\{x|f_k(x)\ge t\}$$
   Se sigue que $inf{f}_k$ es $\mathcal{M}$ medible.
   Por lo anterior, para cada $j\in \mathbb{N}$ la función $\underset{k\ge j}{sup}{f}_k$ es $\mathcal{M}$ medible, de donde la función $$lim sup{f}_k=\underset{j\ge 1}{inf}(\underset{k\ge j}{sup}{f}_k)$$ Es $\mathcal{M}$ medible. Análogamente se ve que $lim inf{f}_k$ es medible.
   Si $lim{f}_k(x)$ está definida en cada punto, entonces $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f=lim sup{f}_k=lim inf{f}_k$$ Es $\mathcal{M}$ medible.

Como una consecuencia inmediata del último inciso tenemos que:

Corolario. Si $f,g:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ son funciones medibles, entonces $max(f,g)$ y $min(f,g)$ son medibles.

La siguiente definición aparecerá a menudo así que es conveniente recordarla.

Definición. Dado $a\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, definimos la parte positiva y negativa de $a$ como:

$$\begin{gathered} a_{+}=\{\begin{array}{ll}a& \text{si }a\ge 0\\ 0& \text{si }a<0\end{array}; \\ {a}_{-}=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }a\ge 0\\ -a& \text{si }a<0\end{array} \end{gathered}$$

Respectivamente.

Corolario. Si $f:X\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es $\mathcal{M}$ medible, entonces la parte positiva y negativa de $f$, $f_{+}$ y $f_{-}$ son también $\mathcal{M}$ medibles.

Demostración. Simplemente notemos que $f_{+}(x)=max(f(x),0)$ y $f_{-}(x)=max(-f(x),0)$ y apliquemos el corolario anterior.

Más adelante

Estudiaremos la definición de función simple: las funciones medibles «más sencillas». Veremos cómo es que aproximan a las demás funciones medibles (lo que a futuro será vital para definir la integral de Lebesgue) y definiremos su integral.

Tarea moral…