Introducción
El contenido de esta sección corresponde al libro
Wheeden, R.L., Zygmund, A., Measure and Integral. An Introduccion to Real Analysis. (2da ed.). New York: Marcel Dekker, 2015, págs 22-26.
Tal como lo hicimos en la entrada anterior, seguiremos hablando de las funciones de variación acotada. Notemos que en los resultados de esta teoría no suele pedirse que la función sea continua o acotada, más aún, esto pudiera no ser suficiente para que una función sea de variación acotada, tal como lo muestra un ejercicio de la tarea moral de esta sección. Veamos entonces qué hipótesis pudieran ser útiles. Comencemos con la siguiente:
Definición. Discontinuidades del primer tipo. Sea
a) Cuando
b) Cuando
pero
En cualquiera de estas situaciones, diremos que
Proposición. Sea
Demostración:
Sea
El conjunto de discontinuidades de
pues el «tamaño del salto» en una discontinuidad siempre será mayor que algún
Nota que cada uno de los conjuntos que compone la unión es o bien finito o vacío, (pues para cada
Ahora veamos el caso general. De acuerdo con el teorema de Jordan, visto al final de la entrada anterior,
con
Definición: Norma de
El resultado que veremos a continuación muestra condiciones bajo las cuales, cuando los intervalos generados por la partición son chiquititos, es posible aproximarse mucho a la variación a través de sumas
Proposición. Si
es decir, dado
Demostración:
Como
Nota que
Toma
Sea
Partimos de la igualdad
Ahora separemos los términos del lado derecho sumando en
Por (3) todos estos intervalos son menores que cualquier intervalo de
Sea
por los sumandos que separa el término
La suma de todos estos la representaremos con
Por (2) y (3),
y como
de (7) y (8) tenemos
y como
Por lo tanto
Corolario. Si
a)
b)
c)
Demostración:
a) Sea
Por el teorema que acabamos de demostrar concluimos que
b) A continuación usaremos un resultado visto en la entrada anterior y haremos también una sustitución en
c) La demostración es análoga a la anterior, partiendo de
y la proponemos como ejercicio.
Pasemos ahora a conocer las curvas rectificables, comenzando con aquellas que pertenecen al plano
Definición. Curva en el plano y traza. Sean
La traza de
Nota que en la definición no se excluye que la traza pueda tener intersecciones ni tampoco se dan las condiciones necesarias para que sea continua o acotada.
Definición. La longitud de
y denota la longitud de la poligonal generada. Como esta longitud depende de la partición, presentamos la longitud de
Entonces
Veamos bajo qué condiciones podemos hablar de una longitud finita.
Definición curva rectificable. Sea
Proposición. Sea
Demostración:
Supongamos que
Sabemos que para cualesquiera
Por definición
Usando (13) y (14) en cada término de
Análogamente
Es decir,
concluimos
Por lo tanto
Al final de esta sección se te propone, en el ejercicio 4 de la tarea moral, una función que no es de variación acotada. De acuerdo con la proposición que acabamos de probar, la curva dada por
Las curvas en
La idea de la curva en
También diremos que
Más adelante…
Presentaremos la integral de Riemann-Stieltjes motivándola con conceptos de Probabilidad, viendo su significado a través de la función distribución o la esperanza.
Tarea moral
- Construye una función
no decreciente, acotada que sea continua en los números irracionales y discontinua en los racionales como sigue: si es el conjunto de números racionales define ¿Es de variación acotada? - El ejercicio 3 de la entrada anterior decía lo siguiente:
Sea un intervalo con el en su interior y tal que
Entonces o de modo que
Sea Para cada ¿Puedes dar ejemplo de una partición donde aun siendo menor que - Prueba que si
tiene derivada continua, entonces - Sea
tal que
Muestra que es acotada y continua en pero - Demuestra que también en el caso en que la curva está en
es rectificable si y solo si cada es de variación acotada.