Teoría de los Conjuntos I: El lema de Zorn

Por Gabriela Hernández Aguilar

Deja un comentario

Introducción

En la entrada anterior vimos algunas equivalencias del axioma de elección. En esta nueva entrada veremos algunas otras equivalencias del mismo axioma, pero en términos de órdenes. Estas versiones no son tan evidentes e incluso resultan sorprendentes. En muchas ramas de las matemáticas se apela a las formas equivalentes del axioma de elección que veremos a continuación, por lo que es importante tratarlas.

Familias de caracter finito

Para llegar al lema de Zorn, necesitaremos desarrollar previamente algo de teoría. La siguiente definición jugará un papel clave a lo largo de esta entrada.

Definición. Sea $\mathcal{F}$ una familia de conjuntos. Decimos que $\mathcal{F}$ es de carácter finito si dado un conjunto $A$ se tiene que $A\in\mathcal{F}$ si y sólo si todo subconjunto finito de $A$ está en $\mathcal{F}$.

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

Sea $\mathcal{F}$ la familia vacía. Luego, por vacuidad, un conjunto $A\in\mathcal{F}$ si y sólo si todo subconjunto finito de $A$ está en $\mathcal{F}$.

$\square$

Ejemplo.

Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{F}=\mathcal{P}(X)$ su conjunto potencia. Luego, si $A$ es un conjunto tal que $A\in\mathcal{F}$, entonces $A\subseteq X$ y, por tanto, todo subconjunto finito de $A$ es un subconjunto de $X$, por lo que todo subconjunto finito de $A$ está en $\mathcal{P}(X)$. Ahora, sea $A$ un conjunto tal que cualquiera de sus subconjuntos finitos está en $\mathcal{P}(X)$. Veamos que $A\in\mathcal{P}(X)$, es decir, que $A\subseteq X$. Sea pues $a\in A$ cualquier elemento. Luego, $\set{a}$ es un subconjunto finito de $A$ por lo que $\set{a}\in\mathcal{P}(X)$ y, en consecuencia, $\set{a}\subseteq X$, lo cual es equivalente a que $a\in X$. Por tanto, $A\subseteq X$, lo que muestra que $A\in\mathcal{P}(X)$. De modo que para todo conjunto $X$ su conjunto potencia $\mathcal{P}(X)$ es una familia de conjuntos de carácter finito.

En el último ejemplo tenemos una familia de carácter finito no vacía que tiene al vacío como elemento, pues el conjunto potencia de cualquier conjunto siempre tiene al vacío Esto no sólo ocurre para este caso particular, si tenemos una familia no vacía de carácter finito, entonces el conjunto vacío es un elemento de dicha familia. En efecto, sea $\mathcal{F}$ cualquier familia no vacía de carácter finito. Luego, sea $A\in\mathcal{F}$. Dado que $\emptyset\subseteq A$ y $\emptyset$ es finito, entonces $\emptyset\in\mathcal{F}$.

$\square$

Un poco más adelante necesitaremos del siguiente lema. En un conjunto parcialmente ordenado $(X,\leq)$, una cadena es un subconjunto $Y$ de $X$ tal que la restricción de $\leq$ a $Y$ es un orden total. Dicho de otra forma, en $Y$ cualesquiera dos elementos son $\leq$-comparables.

Lema. Sea $\mathcal{F}$ una familia de carácter finito y sea $\mathcal{B}$ una cadena en $\mathcal{F}$ con respecto a la contención, entonces $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{F}$.

Demostración.

Dado que $\mathcal{F}$ es de carácter finito basta mostrar que cada subconjunto finito de $\bigcup\mathcal{B}$ está en $\mathcal{F}$. Sea $F$ un subconjunto finito de $\bigcup\mathcal{B}$. Luego, para cada $x\in F$ existe $B_x\in\mathcal{B}$ tal que $x\in B_x$. Dado que $F$ es finito existe un natural $n$ y una función biyectiva $f:n\to F$, por lo que podemos expresar a $F$ como el conjunto $\set{f(m):m\in n}$. Luego, $F\subseteq\cup_{m\in n}B_{f(m)}$. Ahora, como $\mathcal{B}$ es una cadena, entonces existe $m_0\in n$ tal que $B_{f(m)}\subseteq B_{f(m_0)}$ para todo $m\in n$, así que $F\subseteq B_{f(m_0)}$. Finalmente, como $B_{f(m_0)}\in\mathcal{F}$ y $F$ es un subconjunto finito de $B_{f(m_0)}$, entonces $F\in\mathcal{F}$. Esto muestra que $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{F}$.

$\square$

El lema de Tukey-Teichmüller

Para probar el siguiente teorema debemos asumir que el axioma de elección se cumple. El resultado que enunciamos a continuación John W. Tukey lo enuncia y demuestra en su tesis doctoral en 1939.

Teorema. (Lema de Tukey-Teichmüller). Toda familia no vacía de carácter finito tiene un elemento $\subseteq$-maximal.

Demostración.

La prueba será por contradicción. Supongamos entonces que existe una familia no vacía $\mathcal{F}$ de carácter finito tal que no tiene elementos $\subseteq$-maximales. Luego, para cada $F\in\mathcal{F}$ definamos $\mathcal{A}_F=\set{E\in\mathcal{F}:F\subset E}$, es decir, $\mathcal{A}_F$ es el conjunto de todos los elementos de $\mathcal{F}$ que contienen propiamente a $F$. Dado que $\mathcal{F}$ no tiene elementos $\subseteq$-maximales, para cada $F\in\mathcal{F}$ el conjunto $\mathcal{A}_F$ es no vacío.

Sea $\mathcal{E}=\set{\mathcal{A}_F:F\in\mathcal{F}}$, la cual es una famila no vacía de conjuntos no vacíos. Por el teorema de la entrada anterior sobre algunas de las equivalencias del axioma de elección, existe una función $f:\mathcal{F}\to\mathcal{E}$ de tal forma que $f(F)\in\mathcal{A}_F$ para todo $F\in\mathcal{F}$. Luego, como $f(F)\in\mathcal{A}_F$ para cada $F\in\mathcal{F}$, entonces $F\subset f(F)$ para todo $F\in\mathcal{F}$.

Utilizando esta función $f$ diremos que una subfamilia $\mathcal{G}$ de $\mathcal{F}$ es $f$-inductiva si tiene las siguientes propiedades:

  1. $\emptyset\in\mathcal{G}$.
  2. $A\in\mathcal{G}$ implica $f(A)\in\mathcal{G}$.
  3. Si $\mathcal{B}$ es una $\subseteq$-cadena contenida en $\mathcal{G}$, entonces $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{G}$.

Dado que $\mathcal{F}$ es una familia de carácter finito no vacía tenemos que $\emptyset\in\mathcal{F}$. Ahora, si $F\in\mathcal{F}$, entonces $f(F)\in\mathcal{F}$ por la elección de la función $f$. Finalmente, si $\mathcal{B}$ es una $\subseteq$-cadena contenida en $\mathcal{F}$, entonces, por el lema previo, $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{F}$. Así pues, $\mathcal{F}$ es una subfamilia de $\mathcal{F}$ que es $f$-inductiva. Consecuentemente, la familia de conjuntos $\set{\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}:\mathcal{G}\ \textnormal{es $f$-inductiva}}$ es no vacía. Podemos considerar así al conjunto $\mathcal{G}_0:=\bigcap\set{\mathcal{G}\subseteq\mathcal{F}:\mathcal{G}\ \textnormal{es $f$-inductiva}}$.

Veamos que $\mathcal{G}_0$ es $f$-inductiva. Primero, como $\emptyset\in\mathcal{G}$ para toda subfamilia $f$-inductiva de $\mathcal{F}$, entonces $\emptyset\in\mathcal{G}_0$. Ahora, si $A\in\mathcal{G}_0$, entonces $A\in\mathcal{G}$ para toda familia $f$-inductiva de $\mathcal{F}$, por lo que, por definición de subfamilia $f$-inductiva, $f(A)\in\mathcal{G}$ para toda familia $f$-inductiva de $\mathcal{F}$ y, por ende, $f(A)\in\mathcal{G}_0$. Por último, si $\mathcal{B}$ es un $\subseteq$-cadena contenida en $\mathcal{G_0}$, entonces $\mathcal{B}$ es una $\subseteq$-cadena contenida en cada subfamilia $f$-inductiva de $\mathcal{F}$, por lo que $\bigcup\mathcal{B}$ pertenece a cada una de estas subfamilias $f$-inductivas y, consecuentemente, $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{G}_0$. Esto muestra que $\mathcal{G}_0$ es $f$-inductiva.

Por el párrafo anterior tenemos que toda subfamilia $f$-inductiva de $\mathcal{F}$ contiene a $\mathcal{G}_0$. Lo que haremos ahora es probar que $\mathcal{G}_0$ es una $\subseteq$-cadena, es decir, que para cualesquiera $A$ y $B$ elementos de $\mathcal{G}_0$ se tiene que $A\subseteq B$ o $B\subseteq A$.

Definamos el conjunto $$\mathcal{H}=\{A\in\mathcal{G}_0:\textnormal{si $B\in\mathcal{G}_0$ y $B\subset A$, entonces $f(B)\subseteq A$}\}.$$

Notemos que $\mathcal{H}$ es no vacío. En efecto, si consideramos $A=\emptyset$, entonces $A\in\mathcal{H}$, ya que si $B\in\mathcal{G}_0$ es un subconjunto propio de $A$, entonces, por vacuidad, $f(B)\subseteq A$, pues $\emptyset$ no tiene subconjuntos propios.

Veamos ahora que para cualquier $A\in\mathcal{H}$ y cualquier $C\in\mathcal{G}_0$, se cumple que $C\subseteq A$ o $f(A)\subseteq C$. Sea pues $A\in\mathcal{H}$ cualquier elemento. Definamos $\mathcal{G}_A=\set{C\in\mathcal{G}_0:C\subseteq A\ o\ f(A)\subseteq C}$. Notemos que si $C\in\mathcal{G}_A$, entonces $C\subseteq A$ o bien, $f(A)\subseteq C$ por lo que $A\subseteq C$, ya que $A\subset f(A)$. Así que para probar que $A\subseteq C$ o $C\subseteq A$ para cualquier $C\in\mathcal{G}_0$, basta probar que $\mathcal{G}_A=\mathcal{G}_0$.

Lo que haremos será mostrar que $\mathcal{G}_A$ es una subfamilia de $\mathcal{F}$ que es $f$-inductiva. Primero, como $\emptyset\in\mathcal{G}_0$ y $\emptyset\subseteq A$, entonces $\emptyset\in\mathcal{G}_A$. Luego, si $C\in\mathcal{G}_A$, entonces o bien $C\subset A$ o $C=A$ o $f(A)\subseteq C$. Si $C\subset A$, entonces $f(C)\subseteq A$ pues $A\in\mathcal{H}$. Si $C=A$, entonces $f(A)=f(C)$ y por tanto $A\subseteq f(A)=f(C)$. Si $f(A)\subseteq C$, entonces $A\subseteq C$ y, por ende, $A\subseteq f(C)$, ya que $C\subset f(C)$. En cualquier posibilidad tenemos que $f(C)\subseteq A$ o $f(A)\subseteq f(C)$, lo que implica que $f(C)\in\mathcal{G}_A$. Sea ahora $\mathcal{B}$ una cadena en $\mathcal{G}_A$. Si $C\subseteq A$ para todo $C\in\mathcal{B}$, entonces $\bigcup\mathcal{B}\subseteq A$. Si existe $C\in\mathcal{B}$ tal que $f(A)\subseteq C$, entonces $f(A)\subseteq\bigcup\mathcal{B}$, pues $C\subseteq\bigcup\mathcal{B}$. Como estas son las únicas posibilidades, concluimos que o bien $\bigcup\mathcal{B}\subseteq A$ o $f(A)\subseteq\bigcup\mathcal{B}$ y, por tanto, $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{G}_A$. Estas propiedades muestran que $\mathcal{G}_A$ es una subfamilia de $\mathcal{F}$ que es $f$-inductiva.

En consecuencia, $\mathcal{G}_0\subseteq\mathcal{G}_A$. Luego, por definición tenemos que $\mathcal{G}_A\subseteq\mathcal{G}_0$ y, por consiguiente, tenemos la igualdad $\mathcal{G}_0=\mathcal{G}_A$.

Así pues, para todo $A\in\mathcal{H}$ y cualquier $C\in\mathcal{G}_0$, o bien $C\subseteq A$ o $A\subseteq C$.

Para terminar de probar que $\mathcal{G}_0$ es una cadena basta probar que $\mathcal{H}$ es una subfamilia $f$-inductiva de $\mathcal{F}$. Primero, ya vimos que $\emptyset\in\mathcal{H}$. Ahora, sea $A\in\mathcal{H}$ y sea $B\in\mathcal{G}_0$ cualquier elemento tal que $B\subset f(A)$. Dado que $B\in\mathcal{G}_A=\mathcal{G}_0$, entonces $B\subseteq A$ o $f(A)\subseteq B$, pero hemos supuesto que $B\subset f(A)$, por lo que es imposible que $f(A)\subseteq B$ y, en consecuencia, $B\subseteq A$. Luego, si $B\subset A$, entonces $f(B)\subseteq A$ pues $A\in\mathcal{H}$ y, por tanto, $f(B)\subseteq f(A)$. Si $B=A$, entonces $f(B)=f(A)\subseteq f(A)$. Por lo tanto, $f(B)\subseteq f(A)$. Esto muestra que $f(A)\in\mathcal{H}$. Para finalizar, sea $\mathcal{B}$ una $\subseteq$-cadena de $\mathcal{H}$. Sea $B\in\mathcal{G}_0$ cualquier elemento tal que $B\subset\bigcup\mathcal{B}$. Si existe $C\in\mathcal{B}$ tal que $B\subseteq C$, entonces $B\subset C$ o $B=C$, en el primer caso tendríamos que $f(B)\subseteq C$, porque $C\in\mathcal{H}$, y por ende que $f(B)\subseteq\bigcup\mathcal{B}$; supongamos ahora que $B=C$, entonces, $B\in\mathcal{H}$ (pues $C$ es un elemento de $\mathcal{H}$) y $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{G}_0=\mathcal{G}_B$. Así, $\bigcup\mathcal{B}\subseteq B$ o $f(B)\subseteq\bigcup\mathcal{B}$, pero $\bigcup\mathcal{B}\subseteq B$ es imposible pues asumimos que $B\subset\bigcup\mathcal{B}$, por lo que debe ocurrir necesariamente que $f(B)\subseteq\bigcup\mathcal{B}$. De modo que si existe $C\in\mathcal{B}$ tal que $B\subseteq C$, entonces $f(B)\subseteq\bigcup\mathcal{B}$. Supongamos ahora que $B\nsubseteq C$ para todo $C\in\mathcal{B}$. Ahora, como $B\in\mathcal{G}_0$ y $\mathcal{G}_0=\mathcal{G}_C$ para todo $C\in\mathcal{B}\subseteq\mathcal{H}$, entonces $B\in\mathcal{G}_C$ para todo $C\in\mathcal{B}$. Consecuentemente, $B\subseteq C$ o $f(C)\subseteq B$ para cada $C\in\mathcal{B}$, pero asumimos ahora que $B\nsubseteq C$ para todo $C\in\mathcal{B}$, por lo que $f(C)\subseteq B$ para todo $C\in\mathcal{B}$ y, por consiguiente, $C\subseteq B$ para todo $C\in\mathcal{B}$, lo cual implica que $\bigcup\mathcal{B}\subseteq B$ pero esto contradice el hecho de que $B\subset\bigcup\mathcal{B}$. De modo que, necesariamente, debe existir $C\in\mathcal{B}$ tal que $B\subseteq C$, lo cual vimos implica que $f(B)\subseteq\bigcup\mathcal{B}$. Esto demuestra que $\bigcup\mathcal{B}\in\mathcal{H}$. Por lo tanto, $\mathcal{H}$ es una subfamilia de $\mathcal{F}$ que es $f$-inductiva.

Como consecuencia del párrafo anterior tenemos que $\mathcal{G}_0\subseteq\mathcal{H}$, pero por definición sabemos que $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G_0}$, lo cual implica $\mathcal{G}_0=\mathcal{H}$.

De esta serie de argumentos tenemos que si $A,B\in\mathcal{G}_0$, entonces $A\in\mathcal{H}$ y $B\in\mathcal{G}_A$, por lo que $B\subseteq A$ o bien $f(A)\subseteq B$, es decir, $B\subseteq A$ o $A\subseteq B$. Por lo tanto, cualesquiera dos elementos de $\mathcal{G}_0$ son $\subseteq$-comparables y, en consecuencia, $\mathcal{G}_0$ es una $\subseteq$-cadena.

Consideremos ahora $M=\bigcup\mathcal{G_0}$, el cual es un elemento de $\mathcal{G_0}$ por ser $\mathcal{G}_0$ $f$-inductiva y una subcadena de sí misma. Ahora para todo $A\in\mathcal{G}_0$ se tiene que $A\subseteq\bigcup\mathcal{G}_0=M$. Por otro lado, como $M\in\mathcal{G}_0$, entonces $f(M)\in\mathcal{G}_0$ y, por tanto, $f(M)\subseteq M$; sin embargo, como $M\in\mathcal{F}$, entonces $M\subset f(M)$, pero esto es una contradicción.

Dado que esta contradicción viene de suponer que $\mathcal{F}$ no tiene un elemento $\subseteq$-maximal, concluimos que $\mathcal{F}$ sí tiene un elemento $\subseteq$-maximal.

$\square$

El principio maximal de Hausdorff

Pasemos ahora a un resultado muy cercano al lema de Zorn, demostrado por Felix Hausdorff en 1914. Se obtiene rápidamente al aplicar el lema de Tukey-Teichmüller.

Teorema. (Principio Maximal de Hausdorff). Cualquier conjunto no vacío y parcialmente ordenado tiene una cadena $\subseteq$-maximal.

Demostración.

Sea $A\neq \emptyset$ y $\leq$ un orden parcial para $A$. Sea $\mathcal{C}=\set{B\subseteq A:B\ \textnormal{es una cadena}}$. Recordemos que $B\subseteq A$ es una cadena en $A$ si cualesquiera dos elementos en $B$ son comparables con el orden de $A$.

Lo que queremos probar es que existe $C\in\mathcal{C}$ tal que ningún otro elemento de $\mathcal{C}$ contiene propiamente a $C$. Para ello probaremos que $\mathcal{C}$ es una familia no vacía de carácter finito y aplicaremos el lema de Tukey-Teichmüller para concluir que $\mathcal{C}$ tiene un elemento $\subseteq$-maximal.

Supongamos que $B\in\mathcal{C}$ es cualquier elemento. Luego, sea $B’\subseteq B$ un conjunto finito. Veamos que $B’$ es una cadena en $A$, es decir, que cualesquiera dos elementos de $B’$ son comparables con el orden de $A$. Si $B’=\emptyset$, por vacuidad $B’$ es una cadena en $A$. Asumamos ahora que $B’\not=\emptyset$ y sean $a,b\in B’$ cualesquiera elementos. Luego, como $a,b\in B’$, entonces $a,b\in B$ y como $B$ es una cadena en $A$, entonces $a$ y $b$ son comparables con el orden de $A$, y esto muestra que $B’$ es también una cadena en $A$, por lo que $B’\in\mathcal{C}$.

Supongamos ahora que $B$ es un conjunto tal que cualquiera de sus subconjuntos finitos está en $\mathcal{C}$. Ciertamente $B\subseteq A$, pues si $a\in B$, entonces $\set{a}\in\mathcal{C}$, es decir, $\set{a}$ es una cadena en $A$, por lo que $a\in A$. Ahora, si $a,b\in B$, entonces $\set{a,b}\in\mathcal{C}$ y, por tanto, $\set{a,b}$ es una cadena en $A$, es decir, $a$ y $b$ son comparables con el orden de $A$. Por tanto, $B$ es una cadena en $A$, ya que cualesquiera dos de sus elementos son comparables con el orden de $A$.

Esta serie de argumentos muestra que $\mathcal{C}$ es una familia de conjuntos de carácter finito. Por el lema de Tukey-Teichmüller, $\mathcal{C}$ tiene un elemento $\subseteq$-maximal, es decir, existe una cadena en $A$ $\subseteq$-maximal.

$\square$

El lema de Zorn

Finalmente enunciaremos y demostraremos una de las versiones más usadas del axioma de elección: el conocido lema de Zorn. Este resultado fue demostrado por Max Zorn en 1935 (y de manera independiente por Kazimierz Kuratowski en 1922). Para nuestra demostración usaremos el principio maximal de Hausdorff.

Teorema. (Lema de Kuratowski-Zorn). Cualquier conjunto parcialmente ordenado y no vacío en el cual toda cadena tiene una cota superior tiene un elemento maximal.

Demostración.

Sea $(A,\leq)$ un conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena tiene una cota superior. Por el principio maximal de Hausdorff el conjunto $A$ tiene una cadena $\subseteq$-maximal. Sea pues $C\subseteq A$ una cadena $\subseteq$-maximal de $A$. Luego, por hipótesis, existe $a\in A$ cota superior de $C$, es decir, $c\leq a$ para todo $c\in C$. Ahora, notemos que $a$ es maximal con respecto a $\leq$, ya que si existiera $x\in A$ tal que $a<x$, entonces $x\not=a$ y $x\notin C$, por lo que $C\cup\set{x}$ sería una cadena en $A$ que contiene propiamente a $C$ y esto contradice la maximalidad de $C$ con respecto a la contención en el conjunto de cadenas de $A$. Por lo tanto, $a$ es un elemento maximal en $A$.

$\square$

Tarea moral

  1. Prueba que la intersección de un sistema de familias $f$-inductivas es una familia $f$-inductiva.
  2. Sea $X$ un conjunto. Prueba que si $X$ puede ser bien ordenado, entonces $\mathcal{P}(X)$ puede ser linealmente ordenado. (Sugerencia: dados $A,B\in\mathcal{P}(X)$ considera al mínimo de $A\Delta B$).
  3. Demuestra que para cualesquiera dos conjuntos $A$ y $B$, o bien existe una función inyectiva $f:A\to B$, o bien existe una función inyectiva $g:B\to A$.
  4. Demuestra que la colección $\mathcal{F}$ de subconjuntos finitos de $\mathbb{N}$ no es de caracter finito.

Más adelante…

En la siguiente entrada comenzaremos probando un resultado algo antintuitivo: que cualquier conjunto puede ser bien ordenado. Por ejemplo, a $\mathbb{R}$ se le podrá dar un orden de manera que cualquier subconjunto no vacío tenga mínimo. ¡Esto es muy difícil de imaginar! Sobre todo si pensamos en el orden usual de $\mathbb{R}$. El resultado que probaremos será existencial (y no constructivo), así que aunque tengamos la garantía de que dicho buen orden existe, no podremos saber muy bien cuál es.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Teoría de los Conjuntos I: Axioma de elección

Por Gabriela Hernández Aguilar

Deja un comentario

Introducción

En esta entrada abordaremos un axioma relevante no sólo en teoría de conjuntos sino en muchas ramas de las matemáticas. Distintas proposiciones aparentemente sencillas no podrían demostrarse sin su ayuda y algunas de sus consecuencias son tan poderosas que cuesta trabajo aceptarlas. Es por eso que el llamado axioma de elección ha sido controversial desde su formulación a manos de Ernst Zermelo en 1904.

Funciones de elección

Comenzaremos dando una definición para después enunciar el mencionado axioma.

Definición. Sea $A$ un conjunto. Una función de elección para $A$ es una función $f:\mathcal{P}(A)\setminus\{\emptyset\}\to A$ tal que, para todo $B\in\mathcal{P}(A)\setminus\{\emptyset\}$, se tiene que $f(B)\in B$.

Ejemplo.

Sea $A=\set{0,1}$. Luego, $\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$. Si definimos $f:\mathcal{P}(A)\setminus\set{\emptyset}\to A$ por medio $f=\set{(\set{0},0),(\set{1},1),(\set{0,1},1)}$, entonces $f$ es una función de elección.

$\square$

El siguiente resultado muestra que existe una gran cantidad de conjuntos que tienen una función de elección.

Proposición. Si $X$ es un conjunto finito no vacío, entonces $X$ tiene una función de elección.

Demostración.

Sea $X$ un conjunto finito y no vacío. Luego, por ser finito, existe un número natural $n$ y una función biyectiva $f:n\to X$ y, además, $n\not=0$ ya que $X$ es no vacío. Ahora, para cada $A\subseteq X$ no vacío consideremos su imagen inversa, $f^{-1}[A]=\set{m\in n:f(m)\in A}$. Dado que $f^{-1}[A]\not=\emptyset$, entonces existe $\min(f^{-1}[A])$. Definamos $F:\mathcal{P}(X)\setminus\set{\emptyset}\to X$ por medio de $F(A)=f(\min(f^{-1}[A]))$. Luego, $F$ es una función de elección para $X$.

$\square$

Axioma de elección y equivalencias

Aunque todos los conjuntos finitos tengan función de elección, resultará imposible demostrar lo mismo para todos los conjuntos. Es por ello que necesitaremos agregar un axioma a nuestra teoría.

Axioma de elección. Todo conjunto no vacío tiene una función de elección.

Nos discutir varios de los usos de este axioma, pero para ello es conveniente poder pensarlo de muchas maneras. En esta primera entrada enunciaremos una serie de equivalencias a este teorema muy relacionadas con «elegir». En la siguiente entrada enunciaremos equivalencias relacionadas con «ordenar».

Teorema. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

  1. El axioma de elección.
  2. Si $\mathcal{A}$ es una familia no vacía de conjuntos no vacíos y ajenos dos a dos, entonces existe un conjunto $B$ tal que para todo $A\in\mathcal{A}$, se tiene que $A\cap B$ es un conjunto unitario.
  3. Toda función suprayectiva tiene al menos una inversa derecha.
  4. Si $\set{A_\alpha}_{\alpha\in\Gamma}$ es tal que $A_\alpha\not= \emptyset$ y $A_\alpha\cap A_\beta=\emptyset$ para cualesquiera $\alpha,\beta\in\Gamma$ con $\alpha\not=\beta$, entonces existe $B\subseteq\cup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha$ tal que $B\cap A_\alpha$ es unitario para cada $\alpha\in\Gamma$.
  5. Si $\set{A_\alpha}_{\alpha\in \Gamma}$ es una famila indizada no vacía de conjuntos no vacíos, entonces existe una función $f:\Gamma\to\cup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha$ tal que para cada $\alpha\in\Gamma$, se cumple que $f(\alpha)\in A_\alpha$.
  6. Si $F:X\to \mathcal{P}(Y)\setminus\set{\emptyset}$ es una función, entonces existe una función $f:X\to Y$ tal que $f(x)\in F(x)$ para todo $x\in X$.

La diferencia entre $2$ y $4$ es que en $5$ se pide que $B$ sea subconjunto de la unión de la familia.

Demostración.

$1)\Rightarrow 2)$ Supogamos que el axioma de elección es válido. Sea $\mathcal{A}$ una familia no vacía de conjuntos no vacíos ajenos dos a dos.

Sea $C=\bigcup\mathcal{A}$. Luego, podemos fijar $f:\mathcal{P}(C)\setminus\set{\emptyset}\to C$ una función de elección. Notemos que si $A\in\mathcal{A}$, entonces $A\subseteq C$, por lo que $A\in\mathcal{P}(C)\setminus\set{\emptyset}$. Definamos $B=\set{f(A):A\in\mathcal{A}}$. Veamos ahora que $B\cap A$ es un conjunto unitario para todo $A\in\mathcal{A}$.

Sea $A\in\mathcal{A}$ un elemento arbitrario. Notemos que $f(A)\in B$ por definición de $B$, pero también $f(A)\in A$ ya que $f$ es una función de elección en $C$. Por lo tanto, $\set{f(A)}\subseteq A\cap B$. Ahora, si $x\in A\cap B$, en particular, $x\in B$, por lo que $x=f(A’)\in A’$ para algún $A’\in\mathcal{A}$ y así $x\in A\cap A’$. En consecuencia, $A=A’$ pues elementos distintos de $\mathcal{A}$ son ajenos dos a dos. Tenemos entonces que $x=f(A’)=f(A)$, lo cual es suficiente para concluir que $A\cap B=\set{f(A)}$, es decir, $A\cap B$ es un conjunto unitario.

$2)\Rightarrow 3)$

Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f:A\to B$ una función suprayectiva. Para cada $x\in B$ definamos $A_x=\set{a\in A:f(a)=x}$. Notemos que para cada $x\in B$, se tiene que $A_x\not=\emptyset$, pues $f$ es suprayectiva. Además, si $x\not=x’$, entonces $A_x\cap A_{x’}=\emptyset$, ya que si existiera un elemento $y\in A_x\cap A_{x’}$, tendríamos que $f(y)=x$ y $f(y)=x’$ y, por consiguiente, $x=x’$ ya que $f$ es una función, pero esto contradice que $x\not=x’$. Así pues, si $x\not=x’$, entonces $A_x\cap A_{x’}=\emptyset$.

Consideremos a la familia de conjuntos $\mathcal{A}=\set{A_x:x\in B}$ la cual consta de conjuntos no vacíos y ajenos dos a dos. Por hipótesis, existe un conjunto $C$ tal que $C\cap A_x$ es un conjunto unitario para cada $A_x\in\mathcal{A}$. Para $x\in B$, denotemos por $a_x$ al único elemento del conjunto $C\cap A_x$. Definamos $g:B\to A$ por medio de $g(x)=a_x$. Expresando a $g$ como un subconjunto de $B\times A$ tenemos que $g=\set{(x,a_x):x\in B}$. Notemos que $g$ es una función, ya que si $(w,v),(w,z)\in g$, entonces $(w,v)=(x,a_x)$ y $(w,z)=(y,a_y)$ para algunos $x,y\in B$. De las iguladades anteriores se sigue que $w=x=y$ y, por tanto, $v=a_x=a_y=z$. Por tanto, $g$ es función. Finalmente, veamos que $g$ es inversa derecha de $f$, es decir, que $f\circ g:B\to B$ es la función identidad; esto es, $f\circ g=Id_B$, donde $Id_B$ es la función que va de $B$ en $B$ tal que $Id_B(x)=x$ para cada $x\in B$.

Sea pues $x\in B$ un elemento arbitrario. Luego, $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(a_x)=x$, pues $a_x\in A_x$. Por lo tanto, $f\circ g=Id_B$, lo que muestra que $g$ es inversa derecha de $f$.

$3)\Rightarrow 4)$ Supongamos que $\mathcal{A}=\set{A_\alpha:\alpha\in\Gamma}$ es una familia no vacía de conjuntos no vacíos tales que $A_\alpha\cap A_\beta=\emptyset$ si $\alpha\not=\beta$.

Definamos $f:\bigcup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha\to\Gamma$ por medio de $f(x)=\alpha$ si $x\in A_\alpha$. Podemos describir a $f$ como el siguiente conjunto $f:=\set{(x,\alpha):x\in A_\alpha,\alpha\in\Gamma}\subseteq(\bigcup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha)\times \Gamma$. Nuevamente, lo primero que hay que hacer es verificar que $f$ sea una función. Sean $(a,b),(a,c)\in f$. Luego, $(a,b)=(x,\alpha)$ y $(a,c)=(y,\beta)$ para algunos $x,y\in\bigcup_{\alpha\in \Gamma}A_\alpha$ y $\alpha,\beta\in\Gamma$, tales que $x\in A_\alpha$ y $y\in A_\beta$. Dado que $(a,b)=(x,\alpha)$ y $(a,c)=(y,\beta)$, entonces $a=x=y$ y, en consecuencia, $x\in A_\alpha\cap A_\beta$, lo que muestra que $A_\alpha\cap A_\beta\not=\emptyset$ y, por tanto, $\alpha=\beta$, es decir, $b=\alpha=\beta=c$, lo que muestra que $f$ es una función.

Ciertamente, $f$ es una función suprayectiva, pues si $\alpha\in\Gamma$ es cualquier elemento, entonces, existe $x\in A_\alpha$ pues $A_\alpha\not=\emptyset$, tal que $f(x)=\alpha$, por definición de $f$. Esto muestra que $\alpha$ es la imagen de un elemento en $\bigcup_{\alpha\in \Gamma}A_\alpha$ bajo la función $f$ y, por tanto, $f$ es suprayectiva. Luego, por hipótesis, existe $g:\Gamma\to\bigcup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha$ función inversa derecha de $f$, es decir, $f\circ g=Id_\Gamma$. Sea $B:=g[\Gamma]=\set{g(\alpha):\alpha\in\Gamma}\subseteq\bigcup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha$.

Notemos que para cada $\alpha\in\Gamma$, se tiene que $g(\alpha)\in A_\alpha$. En efecto, si $\alpha\in\Gamma$, entonces $f(g(\alpha))=Id_\Gamma(\alpha)=\alpha$, por lo que $g(\alpha)\in A_\alpha$. Por lo tanto, $\set{g(\alpha)}\subseteq A_\alpha\cap B$ para todo $\alpha\in\Gamma$.

Ahora, si $x\in A_\alpha\cap B$, entonces $x=g(\beta)$ para algún $\beta\in\Gamma$. Luego, $f(x)=f(g(\beta))=Id_\Gamma(\beta)=\beta$. Por otro lado, como $x\in A_\alpha$, también se tiene que $f(x)=\alpha$ y, por consiguiente, $\beta=\alpha$. Así, $x=g(\alpha)$, lo que demuestra que $A_\alpha\cap B=\set{g(\alpha)}$. Por lo tanto, $B$ es subconjunto de $\bigcup_{\alpha\in\Gamma}A_\alpha$ y cumple que $B\cap A_\alpha$ es un conjunto unitario para cada $\alpha\in\Gamma$.

$4)\Rightarrow 5)$ Sea $\set{A_\alpha}_{\alpha\in\Gamma}$ una familia de conjuntos no vacíos. Para cada $\alpha\in\Gamma$ definamos $B_\alpha:=\set{\alpha}\times A_\alpha$. Luego, $\set{B_\alpha:\alpha\in\Gamma}$ es una familia no vacía de conjuntos no vacíos tales que $B_\alpha\cap B_\beta=\emptyset$ si $\alpha\not=\beta$.

Luego, por hipótesis, existe $B\subseteq\bigcup_{\alpha\in\Gamma}B_\alpha$ tal que $B\cap B_{\alpha}$ es un conjunto unitario para cada $\alpha\in \Gamma$. Ahora bien, el único elemento de $B\cap B_\alpha$ es de la forma $(\alpha,a)$ con $a\in A_\alpha$, pues pertenece, en particular, al conjunto $B_\alpha=\set{\alpha}\times A_\alpha=\set{(\alpha,a):a\in A_\alpha}$. Denotemos por $a_\alpha$ al único elemento de $A_\alpha$ tal que $B\cap B_\alpha=\set{(\alpha,a_\alpha)}$. Definamos $f:\Gamma\to\bigcup_{\alpha\in \Gamma}A_\alpha$ por medio de $f(\alpha)=a_\alpha$. Notemos que $f$ puede ser descrita como el conjunto $\set{(\alpha,a_\alpha):\alpha\in\Gamma}$. Luego, para comprobar que $f$ es una función tomemos $(a,b),(a,c)\in f$. Entonces, $(a,b)=(\alpha,a_\alpha)$ y $(a,c)=(\beta,a_\beta)$ para algunos $\alpha,\beta\in\Gamma$ y $a_\alpha\in A_\alpha$ y $a_\beta\in A_\beta$ tales que $(\alpha,a_\alpha)$ y $(\beta,a_\beta)$ son los únicos elementos de $B\cap B_\alpha$ y $B\cap B_\beta$, respectivamente. A partir de las igualdades $(a,b)=(\alpha,a_\alpha)$ y $(a,c)=(\beta,a_\beta)$ se sigue que $a=\alpha=\beta$ y, por tanto, $b=a_\alpha=a_\beta=c$. Esto que muestra $f$ es una función. Finalmente, para cada $\alpha\in\Gamma$, se tiene que $f(\alpha)\in A_\alpha$.

$5)\Rightarrow 6)$ Sea $F:X\to\mathcal{P}(Y)\setminus\set{\emptyset}$ una función.

Consideremos a la familia de conjuntos no vacíos $\mathcal{F}=\set{F(x):x\in X}$. Luego, por hipótesis, existe una función $f:X\to\bigcup\mathcal{F}$ tal que $f(x)\in F(x)$ para cada $x\in X$. Notemos ahora que $\bigcup\mathcal{F}=\bigcup_{x\in X}F(x)\subseteq Y$. Así, $f$ es una función con dominio $X$ y codominio $Y$. Por lo tanto, existe $f:X\to Y$ tal que $f(x)\in F(x)$ para cada $x\in X$.

$6)\Rightarrow 1)$ Sea $X$ un conjunto. Definamos $F:\mathcal{P}(X)\setminus\set{\emptyset}\to\mathcal{P}(X)\setminus\set{\emptyset}$ por medio de $F(B)=B$. Luego, por hipótesis, existe una función $f:\mathcal{P}(X)\setminus\set{\emptyset}\to X$ tal que $f(B)\in F(B)=B$ para todo $B\in\mathcal{P}(X)\setminus\set{\emptyset}$. Por lo tanto, $X$ tiene una función de elección.

$\square$

Una aplicación del axioma de elección a cardinales numerables

Para finalizar esta entrada, enunciaremos y demostraremos un resultado sobre cardinalidades que puede deducirse con el uso del axioma de elección.

Teorema. Sea $\set{A_n:n\in\mathbb{N}}$ una familia de conjuntos ajenos dos a dos tal que $A_n$ es numerable para todo $n\in\mathbb{N}$. Entonces, $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ es numerable.

Demostración.

Para cada $n\in\mathbb{N}$ sea $B_n:=\set{f\subseteq \mathbb{N}\times A_n:f \ \text{es función biyectiva}}$. Dado que cada $A_n$ es numerable, entonces, por definición, existe una función $f_n:\mathbb{N}\to A_n$ biyectiva para todo $n\in\mathbb{N}$. Así pues, $B_n\not=\emptyset$ para cada $n\in\mathbb{N}$.

Consideremos la colección de conjuntos no vacíos $\set{B_n:n\in\mathbb{N}}$. Por el teorema anterior, el axioma de elección implica que existe una función $F:\mathbb{N}\to\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n$ tal que $F(n)\in B_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$. Definamos $g_n:=F(n)$ para cada $n\in\mathbb{N}$.

Definamos ahora $G:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ por medio de $G(r,s)=g_s(r)$. Veamos que $G$ es una función. Sean $(a,b),(a,c)\in G$. Luego, $(a,b)=((r,s),g_s(r))$ y $(a,c)=((x,y),g_y(x))$ para algunos $(r,s),(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Se sigue de lo anterior que $a=(r,s)=(x,y)$ y, por tanto, que $r=x$ y $s=y$. Así pues, como $s=y$, entonces $g_s=F(s)=F(y)=g_y$ debido a que $F$ es función. Por otro lado, también tenemos que $b=g_s(r)$ y $c=g_y(x)$, por lo que $b=c$, ya que $r=x$, $g_s=g_y$ y $g_s$ es función. Esta serie de argumentos muestran que $G$ es efectivamente una función.

Ahora, veamos que $G$ es una función biyectiva. Sean $(r,s),(x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tales que $G(r,s)=G(x,y)$. Entonces, $g_s(r)=g_y(x)$. Como $g_s\in B_s$ y $g_y\in B_y$, entonces $g_s(r)\in A_s$ mientras que $g_y(x)\in A_y$ y, consecuentemente, $A_s\cap A_y\not=\emptyset$, lo cual puede ocurrir si y sólo si $A_s=A_y$, es decir, $s=y$. Dado que $g_s(r)=g_s(x)$ y $g_s$ es biyectiva, entonces $r=x$. Esto muestra que $(r,s)=(x,y)$ y, por lo tanto, $G$ es inyectiva.

Finalmente veamos que $G$ es suprayectiva. Sea $a\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$. Luego, $a\in A_m$ para algún $m\in\mathbb{N}$ y, por consiguiente, existe $b\in\mathbb{N}$ tal que $g_m(b)=a$, ya que $g_m$ es biyectiva. De modo que tomando al elemento $(b,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ se sigue que $G(b,m)=g_m(b)=a$, lo que muestra que $G$ es suprayectiva.

Por lo tanto, $G$ es una biyección y, en consecuencia, $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ es equipotente a $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$. Luego, como $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ es equipotente a $\mathbb{N}$, se sigue que $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ es equipotente a $\mathbb{N}$, es decir, $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n$ es numerable.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada:

  1. Demuestra que la unión numerable de conjuntos finitos es un conjunto numerable.
  2. Otro de los pendientes que teníamos en entradas anteriores es la existencia de conjuntos de representantes para relaciones de equivalencia. Ahora lo podemos demostrar. Prueba que si $X$ es un conjunto y $R$ es una relación de equivalencia en $X$, entonces existe un conjunto completo de representantes de la relación $R$.
  3. Demuestra que el axioma de elección es equivalente a la siguiente proposición: para toda relación $R$ existe una función $f$ tal que $dom\ f$ es igual al dominio activo de $R$ y $f\subseteq R$.
  4. Argumenta axiomáticamente que el conjunto $B_n$ de la demostración del último teorema en efecto es un conjunto.

Más adelante…

En la siguiente entrada veremos otras equivalencias del axioma de elección, ahora relacionadas con órdenes parciales. Posteriormente usaremos eso para mostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Moderna I: Núcleo e Imagen de un Homomorfismo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Estamos trabajando con homomorfismos, que son funciones entre dos grupos que respetan sus operaciones. Entre las propiedades que vimos, está que el neutro del dominio siempre va al neutro del codominio. Es decir, al menos hay un elemento que, bajo el homomorfismo, cae en el neutro del codominio.

Para esta entrada consideraremos a la colección de todos los elementos del dominio que van al neutro del codominio. A este subconjunto, lo llamamos el núcleo de $\varphi$. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles $\varphi$ y tomar el subconjunto que resulta en el codominio, a esto le llamamos la imagen de $\varphi$. Estos dos subconjuntos van a ser importantes en el estudio de los homomorfismos.

La imagen muestra que para $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo, el núcleo $\text{Núc }\varphi \subseteq G$ y la imagen $\text{Im }\varphi \subseteq \bar{G}$.

El núcleo y la imagen de un homomorfismo

Comencemos definiendo formalmente los subconjuntos.

Definición. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo. Definimos al núcleo de $\varphi$ como
\begin{align*}
\text{Núc } \varphi = \{g\in G | \varphi(g) = e_{\bar{G}}\}.
\end{align*}

Es decir, es el conjunto de todos los elementos de $G$ que, bajo $\varphi$ van a dar al neutro de $\bar{G}$.

Notación. Es común, por el nombre en alemán, denotar al $\text{Núc } \varphi$ como $\text{Ker }\varphi$, es llamado el Kernel de $\varphi$.

Definición. La imagen de $\varphi$ es
\begin{align*}
\text{Im } \varphi = \{\varphi(g) | g \in G\}.
\end{align*}

Notemos que $\text{Núc }\varphi \subseteq G$ y $\text{Im }\varphi \subseteq \bar{G}$.

Ejemplos.

Ejemplo 1. Tomemos el homomorfismo $\varphi: S_n \to \{+1,-1\}$ con $\varphi(\alpha) = sgn\, \alpha$ para toda $\alpha\in S_n$. Veamos quién es el núcleo de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{\alpha\in S_n | \varphi(\alpha) = +1\} \\
&= \{\alpha\in S_n | sgn\in\alpha = +1\} = A_n.
\end{align*}
Si tomamos el caso no trivial, con $n>1$,
\begin{align*}
\text{Im }\varphi = \{+1,-1\}.
\end{align*}
Ya que $\varphi((1)) = 1$ y $\varphi((1\,2)) = -1$.

Ejemplo 2. Sea $n \in \z^+$. Consideremos el homomorfismo $\varphi: \z \to \mathbb{C}^*$ con
\begin{align*}
\varphi(m) = \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m \quad \forall m\in \z.
\end{align*}
Buscamos describir su núcleo y su imagen.
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{m\in \z| \varphi(m) =1\}\\
&= \{m\in\z | \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m = 1\} = n\z.
\end{align*}
La última igualdad se da porque ya sabemos que $e^{2\pi i} = 1$, más aún $e^{\theta i} = 1$ si y sólo si $\theta$ es un múltiplo de $2\pi$, entonces $ \left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m = 1$ si y sólo si $m$ es un múltiplo de $n$.

Ahora la imagen:
\begin{align*}
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(m)| m \in \z\} \\
&= \{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^m | m\in \z\} = \left< e^{\frac{2\pi i}{n}}\right>.
\end{align*}

El núcleo y la imagen son subgrupos

Ahora, probaremos que el núcleo y la imagen de un homomorfismo no son sólo subconjuntos del dominio y codominio respectivamente, si no que son subgrupos.

Teorema. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi:G\to\bar{G}$ un homomorfismo.

  1. $\text{Núc }\varphi \unlhd G$.
  2. $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
  3. $\varphi$ es un monomorfismo si y sólo si $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

Demostración.
Sean $G,\bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo.

  1. P.D. $\text{Núc }\varphi \unlhd G$.
    Primero probaremos que $\text{Núc }\varphi \leq G$.

    Como $\varphi$ es un homomorfismo, $\varphi(e_G) = e_{\bar{G}}$. Entonces $e_G \in \text{Núc }\varphi$.

    Si $a,b\in\text{Núc }\varphi$.
    \begin{align*}
    \varphi(ab^{-1}) &= \varphi(a) \varphi(b^{-1}) &\varphi \text{ es un homomorfismo}\\
    &=\varphi(a)(\varphi(b))^{-1} & \text{Proposición de homomorfismo} \\
    &= e_{\bar{G}}e_{\bar{G}}^{-1} = e_{\bar{G}} & a,b \in \text{Núc }\varphi
    \end{align*}
    Entonces $ab^{-1} \in \text{Núc }\varphi$. Por lo tanto $\text{Núc }\varphi \leq G$.

    Además, si $a\in G$ y $n\in\text{Núc }\varphi$:
    \begin{align*}
    \varphi(ana^{-1}) &= \varphi(a)\varphi(n)\varphi(a^{-1}) &\varphi\text{ es un homomorfismo}\\
    &= \varphi(a)\varphi(n)(\varphi(a))^{-1} &\text{Proposición}\\
    & = \varphi(a) e_{\bar{G}}(\varphi(a))^{-1} &n \in \text{Núc }\varphi \\
    &= \varphi(a) (\varphi(a))^{-1} = e_{\bar{G}}
    \end{align*}
    Así, $ana^{-1}\in \text{Núc }\varphi$. Esto nos dice que el núcleo de $\varphi$ es cerrado bajo conjugación. Por lo tanto $\text{Núc } \varphi \unlhd G$.
    $\newline$
  2. P.D. $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
    Primero veamos que el neutro de $\bar{G}$ está en $\text{Im }\varphi$. Esto pasa porque
    $$e_{\bar{G}} = \varphi(e_{G}) \in \text{Im }\varphi.$$

    Ahora, si $c,d\in \text{Im }\varphi$, entonces $c = \varphi(a), d = \varphi(b)$ para algunos $a,b\in G$.
    \begin{align*}
    ad^{-1} = \varphi(a)(\varphi(b))^{-1} &= \varphi(a)\varphi(b^{–1}) &\text{Proposición}\\
    &= \varphi(ab^{-1}) \in \text{Im }\varphi &\varphi\text{ es un homomorfismo}
    \end{align*}
    Por lo tanto $\text{Im }\varphi \leq \bar{G}$.
    $\newline$
  3. P.D. $\varphi$ es un monomorfismo si y sólo si $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

    $|\Rightarrow]$ Supongamos que $\varphi$ es un monomorfismo (un homomorfismo inyectivo).
    Como $\text{Núc }\varphi \leq G$, entonces $\{e_G\}\subseteq \text{Núc }\varphi$.
    Ahora, si $g\in \text{Núc }\varphi$, por la proposición anterior,
    \begin{align*}
    \varphi(g) = e_{\bar{G}} = \varphi(e_G).
    \end{align*}
    Y como $\varphi$ es inyectiva, $g = e_G$. Por lo tanto, $\text{Núc }\varphi = \{e_G\}$.

    $[\Leftarrow|$ Supongamos que $\text{Núc }\varphi =\{e_G\} $.
    Sean $a,b\in G$ tales que $\varphi(a) = \varphi(b)$. Entonces
    \begin{align*}
    e_{\bar{G}} &= \varphi(b)(\varphi(a))^{-1} \\
    &= \varphi(b)\varphi(a^{-1}) &\text{Proposición}\\
    &= \varphi(ba^{-1}) &\varphi\text{ es un homomorfismo}
    \end{align*}
    Entonces $ba^{-1} \in \text{Núc }\varphi = \{e_G\}$, así $ba^{-1} = e_G$, esto implica que $b = a$.
    Por lo tanto $\varphi$ es un monomorfismo.

$\blacksquare$

Observemos que el inciso 3 del teorema nos da una herramienta para determinar si un homomorfismo es inyectivo o no usando el núcleo.

Proyección Canónica

Ahora, tomando un grupo y un subgrupo normal, definiremos un epimorfismo de un grupo al grupo cociente.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $N$ un subgrupo normal de $G$. La función $\pi_:G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para toda $a\in G$, es un epimorfismo tal que $\text{Núc }\pi = N$.

Esta función se conoce como la proyección canónica.

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $N\unlhd G$, $\pi: G\to G/N$ con $\pi(a) = aN$ para cualquier $a\in G$.

Veamos que $\pi$ es un homomorfismo
Sean $a,b \in G$, entonces
\begin{align*}
\pi(ab) = abN = (aN)(bN) = \pi(a)\pi(b).
\end{align*}

Ahora veamos que es suprayectivo. Esto es debido a que dado $aN\in G/N$, $$aN = \pi(a).$$

Por lo tanto $\pi$ es un epimorfismo.

Finalmente,
\begin{align*}
\text{Núc }\pi = \{a\in G| \pi(a) = e_{G/N}\} = \{a\in G| aN = N\} = N.
\end{align*}

$\blacksquare$

Ahora veamos un corolario que se desprende directamente de lo que acabamos de ver.

Corolario. Todo subgrupo normal es el núcleo de un homomorfismo. De hecho, es el núcleo de un epimorfismo.

Ejemplos

Para terminar veamos unos ejemplos

Ejemplo 1. Tomemos $\varphi:(\r,+) \to (\mathbb{C}^*, \cdot)$ con $\varphi(x) = e^{xi}$ para toda $x\in\r$. Toma 2 min para pensar porqué es un homomorfismo.

Veamos el núcleo y la imágen de $\varphi$:
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{x\in\r | \varphi(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r | e^{xi} = 1\} \\
&= \{2\pi n | n \in \z\} = \left< 2\pi\right>.\\\\
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(x) | x \in \r\} \\
& =\{e^{xi} | x\in\r\} \\
&= \{z\in \mathbb{C} | |z| = 1\} = \s^1.
\end{align*}
¿Cómo es $\r/\left<2\pi\right>$?
Tomemos $a,b\in \r$.
\begin{align*}
a + \left< 2\pi\right> = b + \left< 2\pi\right> &\Leftrightarrow a-b \in \left< 2\pi\right> \\
&\Leftrightarrow a-b= 2\pi n,\, n\in \z.
\end{align*}
Si lo anterior nos dice que dos números $a,b$ están en la misma clase si y sólo si difieren por un múltiplo de $2\pi$. Si lo pensamos en la recta numérica, nos dice que el $0$ y $2\pi$ quedan indentificados en la misma clase. Intuitivamente podríamos pensar que estamos doblando la recta numérica para obtener una circunferencia donde $0$ y $2\pi$ están en el mismo punto.

Así, $\r/\left< 2\pi\right> = \{a+\left< 2\pi\right> | a\in [0,2\pi)\}$.

Representación gráfica del ejemplo 1.

Ejemplo 2. Consideremos $\varphi: (\r^*,\cdot)\to (\r^*,\cdot)$ con $\varphi(x) = |x|$ para toda $x \in \r^*$ (recuerda que $\r^*=\r\setminus \{0\}$).
\begin{align*}
\text{Núc }\varphi &= \{x\in\r^* | \varphi(x) = 1\} \\
&= \{x\in\r^*| |x| = 1\} = \{+1,-1\}.\\\\
\text{Im }\varphi &= \{\varphi(x) | x \in \r^*\} \\
& =\{|x| | x\in\r^*\} = \r^+. \\
\end{align*}
¿Cómo es $\r^*/\{+1,-1\}$?
Tomemos $a,b\in \r^*$.
\begin{align*}
a\{+1,-1\}= b\{+1,-1\} &\Leftrightarrow a^{-1}b \in \{+1,-1\} \\
&\Leftrightarrow a^{–1}b=\pm 1 \Leftrightarrow b = \pm a.
\end{align*}
Entonces, dos clases laterales van a ser iguales si y sólo si sus representantes difieren a lo más sólo por el signo.

Lo que hicimos fue tomar a los reales sin el cero y estamos identificando a cada número real $a$ con su inverso aditivo. Entonces la imagen de $\varphi$ en realidad es como si dobláramos la recta por el 0 e identificamos a los reales negativos con su correspondiente positivo.

Así, $\r^*/ \{+1,-1\} = \{a \{+1,-1\} | a\in \r^+\}$.

Representación gráfica del ejemplo 2.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $\varphi:GL(2,\r) \to \r^*$ el homomorfismo tal que $\varphi(A) = \text{det }A$. Encuentra el núcleo y la imagen de $\varphi$.
  2. Sean $G,\bar{G}$ grupos y $\varphi: G\to\bar{G}$ un homomorfismo. ¿Es $ \text{Im }\varphi$ normal en $\bar{G}$? Prueba o da un contraejemplo.
  3. Sean $G,\bar{G}$ grupos y $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo. Sean también, $H\leq G, \bar{H}\leq \bar{G}$.
    • ¿Qué puedes decir de $\varphi[H] = \{\varphi(h) | h \in H\}$?¿Y si $H\unlhd G$?
    • ¿Qué puedes decir de $\varphi^{-1}[\bar{H}] = \{g\in G| \varphi(g) \in \bar{H}\}$? ¿Y si $\bar{H}\unlhd\bar{G}$?
  4. En cada inciso calcula $\text{Núc } \varphi, \text{Im }\varphi, G/\text{Núc}$ y analiza cómo se relacionan:
    • $G$ grupo, $\varphi: G \to G$, con $\varphi =\text{id}_G $.
    • $G$ grupo, $\varphi: G \to G$, con $\varphi(g) = e_G$ para toda $g\in G$.
    • $\varphi: (\mathbb{C}^*, \cdot) \to (\r^*, \cdot)$, con $\varphi(z) = |z|$ para toda $z\in\mathbb{C}^*$.
    • $\varphi: \z \times \z \to \z\times\z$, con $\varphi(x,y) = (x,0)$ para toda $(x,y)\in \z\times\z$.

Más adelante…

Ahora que ya tenemos muy claras las definiciones de núcleo e imagen de un homomorfismo, comenzaremos a ver teoremas que relacionan lo que vimos aquí con isomorfismos y grupo cociente.

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

Introducción

En la entrada anterior vimos una introducción a los homomorfismos y algunas propiedades. Ahora sabemos que un homomorfismo es una función $\varphi :G\rightarrow \bar{G}$ entre dos grupos $(G,*)$ y $(\bar{G},\bar{*})$, que respeta las operaciones, es decir, que para todas $a,b\in G$, $\varphi(a*b) = \varphi(a)\bar{*}\varphi(b)$. A partir de ahora simplificaremos la notación y escribiremos simplemente la condición anterior como: para todas $a,b\in G$, $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ (a menos que haya ambigüedad respecto a qué operación se está usando en cada caso).

En esta entrada, continuaremos dando algunas propiedades de los homomorfismos, en particular veremos cómo se comportan con las potencias de elementos del grupo y, en seguida, cómo se comparan el orden de un elemento y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.

Homomorfismos y la potencia

Dado que el homomorfismo respeta el producto, se va a comportar bien con las potencias.

Proposición. Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi: G\rightarrow \bar{G}$ un homomorfismo. Entonces,

  1. $\varphi(e_G) = e_{\bar{G}}$.
  2. $\varphi(a^{-1}) = \left( \varphi(a)\right)^{-1}$ para toda $a \in G$.
  3. $\varphi(a^n) = \left( \varphi(a)\right)^n$ para toda $a \in G$ y para toda $n \in \z$.

Demostración.

Sean $G, \bar{G}$ grupos y $\varphi: G \rightarrow \bar{G}$ un homomorfismo.

P.D. $\varphi(e_G) = \varphi e_{\bar{G}}$.

Por un lado tenemos que $\varphi(e_g) e_{\bar{G}} = \varphi(e_G)$ porque $e_{\bar{G}}$ es el neutro de $\bar{G}$. Por otro lado tenemos que $\varphi(e_G) = \varphi(e_G e_G)$ porque $e_{G}$ es el neutro de $G$, y $ \varphi(e_G e_G) = \varphi(e_G) \varphi(e_G)$ porque $\varphi$ es un homomorfismo.

Entonces tenemos

\begin{align*}
&\varphi(e_g) e_{\bar{G}} = \varphi(e_G) = \varphi(e_G) \varphi(e_G). \\
\end{align*}

Cancelamos $\varphi(e_G)$, y obtenemos
\begin{align*}
e_{\bar{G}} = \varphi(e_G).
\end{align*}

Sea $a \in G$.
P.D. $\varphi(a^{-1}) = \left( \varphi(a)\right)^{-1}$.

Por un lado tenemos que $\varphi(a) \left(\varphi(a) \right)^{-1} = e_{\bar{G}}$.

Por el inciso anterior, tenemos que $e_{\bar{G}} = \varphi(e_G) = \varphi(a a^{-1})$ y como $\varphi$ es un homomorfismo, tenemos que $\varphi(a a^{-1}) = \varphi(a)\varphi( a^{-1})$.

Entonces tenemos que $\varphi(a) \left(\varphi(a) \right)^{-1} = \varphi(a)\varphi( a^{-1})$, donde podemos cancelar $\varphi(a)$:

\begin{align*}
&\varphi(a) \left(\varphi(a) \right)^{-1} = \varphi(a)\varphi( a^{-1}) \\
&\Rightarrow \left(\varphi(a) \right)^{-1} = \varphi( a^{-1}).
\end{align*}

Sea $a\in G$.
P.D. $\varphi(a^n) = \left( \varphi(a)\right)^n$ para toda $a \in G$ y $n \in \z$.
Demostraremos primero el resultado para $n\in\n$ por inducción sobre $n$.

Sea $n=0$.

Entonces, por el inciso 1,
\begin{align*}
\varphi(a^0) = \varphi(e_G) = e_{\bar{G}} = (\varphi(a))^0.
\end{align*}

Sea $n\geq 0$.
Para nuestra hipótesis de inducción, supongamos que $\varphi(a^n) = (\varphi(a))^n$.

Por la definición de potencia,
\begin{align*}
\varphi(a^{n+1}) = \varphi(a^n a).
\end{align*}

Luego, como $\varphi$ es un homomorfismo,
\begin{align*}
\varphi(a^n a) &= \varphi(a^n) \varphi(a) \\
&= (\varphi(a))^n \varphi(a) & \text{Por H.I.}\\
&= (\varphi(a))^{n+1} &\text{Por la definición de potencia}
\end{align*}

Por lo tanto $\varphi(a^n) = (\varphi(a))^n$ para toda $n\in \n$.

Finalmente, si $n \in \z^+$.
\begin{align*}
\varphi(a^{-n}) &= \varphi((a^n)^{-1}) \\
&= \varphi((a^n))^{-1} &\text{Por el inciso 2}\\
&= ((\varphi(a))^n)^{-1} &\text{Por lo probado anteriormente}\\
&= (\varphi(a))^{-n}
\end{align*}

Por lo tanto $\varphi(a^m) = (\varphi(a))^m$, para toda $m \in \z$.

$\blacksquare$

Homomorfismos y el orden

Corolario. Sean $G, \bar{G}$ grupos, sea $\varphi: G\to \bar{G}$ un homomorfismo.
Si $a\in G$ es de orden finito, $\varphi(a)$ también lo es y $o(\varphi(a)) \big| o(a)$. Es decir, el orden de $\varphi(a)$ divide al orden de $a$.
Más aún, si $\varphi$ es un isomorfismo, entonces $o(\varphi(a)) = o(a)$.

Demostración.
Sean $G, \bar{G}$ grupos, $\varphi: G \to \bar{G}$ un homomorfismo y sea $a\in G$ de orden finito.

Ahora, usamos las propiedades de $\varphi$ para obtener las siguientes igualdades.

\begin{align*}
\varphi(a)^{o(a)} = \varphi(a^{o(a)}) = \varphi(e_G) = e_{\bar{G}}.
\end{align*}

Esto nos dice que $\varphi(a)$ es de orden finito. Esto no significa que $o(a)$ es el orden de $\varphi(a)$, pero sí se sigue, por las propiedades del orden de un elemento, que $o(\varphi(a))\big| o(a)$.

Ahora, si $\varphi$ es un isomorfismo, $\varphi^{-1}$ también, así que por lo antes probado $o(\varphi^{-1}(b))\big| o(b)$ para todo $b\in\bar{G}$; en particular, para $b=\varphi(a)$ se tiene que $o(\varphi^{–1}(\varphi(a))) \big| o(\varphi(a))$. Entonces,
\begin{align*}
o(a) = o(\varphi^{–1}(\varphi(a))) \big| o(\varphi(a))
\end{align*}

Por lo tanto $o(\varphi(a)) = o(a)$.

$\blacksquare$

Ejemplo.

Por último, veamos un ejemplo para ilustrar las propiedades que acabamos de ver.

Sea $G$ un grupo, $a \in G$ de orden finito.

Dado $g\in G$ sabemos que
\begin{align*}
\gamma_g : G \to G \quad \text{con} \quad \gamma_g(x) = gxg^{-1} \; \forall x\in G
\end{align*}

es un isomorfismo.

Así, $\gamma_g(a)$ es de orden finito y $o(\gamma_g(a)) = o(a)$. Entonces, $gag^{-1}$ es de orden finito y $o(gag^{-1}) = o(a)$.

Así, elementos conjugados tienen el mismo orden.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sean $G$ y $\bar{G}$ grupos y $X\subseteq G$ tal que $G = \left< X\right>.$ Sea $\varphi: X \to \bar{G} $ una función. ¿Qué se requiere para poder extender $\varphi$ a un homomorfismo $\psi: G \to \bar{G}$? En ese caso ¿de cuántas formas se pueden extender?
  2. Describe, si es que existen, todos los homomorfismos:
    • de $\z$ en $\z$
    • de $\z_{12}$ en $\z_5$
    • de $\z$ en $\z_8$
    • de $\z_{12}$ en $\z_{14}$
  3. Determina si los siguientes grupos son isomorfos
    • $Q$ y $D_{2(4)}$
    • $(SO(2,\r), \cdot\,)$ y $(S^1, \cdot\,)$
    • $(\z[x], +)$ y $(\mathbb{Q}^+, \cdot\,)$

Más adelante…

Los resutados mostrados en esta entrada no son más que consecuencias lógicas a lo que establecimos en la entrada anterior. Es importante recalcarlos, pero es claro que si un homomorfismo se comporta bien con el producto, se va a comportar bien con la potencia y por ende, con el orden de un elemento.

En la siguiente entrada, definiremos nuevos conceptos relacionados con los homomorfismos, como el núcleo de un homomorfismo y la proyección canónica.

Entradas relacionadas

Álgebra Moderna I: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Deja un comentario

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Lo sé, el título parece un trabalenguas. Pero ten paciencia, en realidad no es tan complicado.

A lo largo de este curso hemos estado trabajando con grupos, ahora vamos a pensar en funciones que respetan de alguna manera la estructura de los grupos.

Tomemos por ejemplo el grupo de Klein, $V = \{(0,0), (1,0), (0,1),(1,1)\}$, es un grupo que tiene un neutro $(0,0)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se suman consigo mismos obtenemos el neutro y si sumamos dos, obtenemos el tercero:

\begin{align*}
(1,0) + (1,0) &= (0,0)\\
(0,1) + (0,1) &= (0,0)\\
(1,1) + (1,1) &= (0,0).
\end{align*}

\begin{align*}
(1,0) + (0,1) &= (1,1)\\
(0,1) + (1,1) &= (1,0)\\
(1,1) + (1,0) &= (0,1).
\end{align*}

Por otro lado, podemos tomar el conjunto $P = \{(1), (1\, 2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$. $P$ es un grupo que tiene un neutro $(1)$ y los otros tres elementos comparten que: tienen orden 2, si se componen consigo mismos obtenemos el neutro y si componemos dos, obtenemos el tercero:

\begin{align*}
(1\, 2)(3\,4)(1\,2)(3\,4) &= (1)\\
(1\,3)(2\,4)(1\,3)(2\,4) &= (1)\\
(1\,4)(2\,3)(1\,4)(2\,3) &= (1).
\end{align*}

\begin{align*}
(1\, 2)(3\,4)(1\,3)(2\,4) &= (1\,4)(2\,3)\\
(1\,3)(2\,4)(1\,4)(2\,3) &= (1\, 2)(3\,4)\\
(1\,4)(2\,3)(1\, 2)(3\,4) &= (1\,3)(2\,4).
\end{align*}

¿Suena familiar? Bueno, esto es porque a pesar de que son grupos distintos, con elementos y operaciones muy diferentes, estructuralmente son iguales.

Para formalizar esta idea, nos gustaría observar que existe una correspondencia entre los dos grupos. Esta correspondencia es biyectiva y además tiene que respetar la estructura de las operaciones. Entonces sería algo así:

\begin{align*}
(0,0) &\longrightarrow (1)\\
(1,0) &\longrightarrow (1\, 2)(3\,4)\\
(0,1) &\longrightarrow (1\,3)(2\,4)\\
(1,1) &\longrightarrow (1\,4)(2\,3).
\end{align*}

En este caso decimos que $V$ y $P$ son isomorfos. Lo definiremos formalmente más adelante, por ahora es importante que observes que esta correspondencia mantiene la estructura de las operaciones de los grupos. Así, este es el objetivo de la entrada, definir y trabajar con funciones (no necesariamente biyectivas) que mantengan las operaciones de dos grupos. Estas funciones son llamadas homomorfismos.

¿Qué son todos estos homomorfismos?

Primero, comencemos definiendo lo más general. Una función que mantenga las operaciones entre grupos.

Definición. Sean $(G,*), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos. Decimos que la función $\varphi:G \mapsto \bar{G}$ (ó $\varphi: (G,*)\mapsto (\bar{G},\bar{*})$) es un homomorfismo de grupos si
$$\varphi(a*b) = \varphi(a) \bar{*} \varphi(b) \quad \forall a,b\in G.$$

Se puede decir que $\varphi$ «abre» a la operación.

Definiciones varias.

Ahora, le agregaremos condiciones a $\varphi$. Dependiendo de qué condición extra cumpla, el homorfismo tomará otro nombre.

  • Si el homomorfismo $\varphi$ es inyectivo se llama monomorfismo.
  • Si el homomorfismo $\varphi$ es suprayectivo se llama epimorfismo.
  • Si el homomorfismo $\varphi$ es biyectivo se llama isomorfismo.
  • Un isomorfismo de un grupo en sí mismo se llama automorfismo.

Notación. Si $\varphi$ es un isomorfismo decimos que $G$ es isomorfo a $\bar{G}$ y lo denotamos como $G \cong \bar{G}$.

Puede parecer mucho vocabulario nuevo, así que guarda esta entrada para recordar qué es cada uno.

Ejemplos.

Ejemplo 1.Tomemos $\varphi: (\z , +) \mapsto (\z_n,+)$ con $\varphi(a) = \bar{a}$ para toda $a\in \z$. Es decir, $\varphi$ manda a cada entero a su clase módulo $n$.

Veamos qué sucede con la suma :
$\varphi(a+b) = \overline{a+b} = \bar{a} + \bar{b} = \varphi(a) + \varphi(b)$ para toda $a,b \in \z$.

Además, dado $\bar{a} \in \z_n, \bar{a} = \varphi(a)$. Entonces $\varphi$ es suprayectiva.
Por lo tanto $\varphi$ es un epimorfismo.

Ejemplo 2. Sea $n \in \n^+$.
Tomamos $\varphi: (S_n, \circ) \mapsto (S_{n+1}, \circ)$ donde para cada $\alpha \in S_n$ se define $\varphi(\alpha) \in S_{n+1}$ tal que
\begin{align*}
\varphi(\alpha)(i) =
\begin{cases}
\alpha(i) & \text{si } i \in \{1,…,n\} \\
n+1 & \text{si } i = n+1
\end{cases}
\end{align*}

Es decir, se mantienen las permutaciones de $S_n$ pero se consideran como elementos de $S_{n+1}$ pensando que dejan fijo a $ n+1$.

Ahora veamos qué sucede con el producto, sean $\alpha, \beta \in S_n$:
\begin{align*}
\varphi(\alpha)\varphi(\beta) (i) &= \varphi(\alpha)(\varphi(\beta)(i)) \\
& = \begin{cases} \alpha(\beta(i)) & \text{si } i \in \{1, … , n\} \\
n+1 & \text{si } i = n+1
\end{cases} \\
&= \varphi(\alpha\beta)(i)
\end{align*}

Además, si $\varphi(\alpha) = (1)$ entonces $\alpha(i) = i$ para todo $i \in \{1, …, n\}$. Así $\alpha = (1).$ Por lo que $\varphi$ es inyectiva.
En conclusión, $\varphi$ es un monomorfismo.

Ejemplo 3. Sea $\varphi: (\r, +) \mapsto (\r^+, \cdot)$ con $\varphi(x) = e^x$ para todo $x\in\r$.
Entonces, para la suma de dos elementos en el dominio $x,y \in \r$ tendríamos,
$$\varphi(x+y) = e^{x+y} = e^x e^y = \varphi(x) \varphi(y).$$
Sabemos que $\psi: \r^+ \mapsto \r$ con $\psi(y) = \ln(y)$ para toda $y \in \r^+$ es la inversa de $\varphi$, así $\varphi$ es biyectiva.
Por lo tanto $\varphi$ es un isomorfismo.

Ejemplo 4. Veamos un ejemplo más abstracto. Sea $G$ un grupo y $g\in G$. Y, dadas $x,y \in G$, definimos
$\gamma_g(xy) = g(xy) g^{-1} = (gxg^{-1}) (gyg^{-1}) = \gamma_g (x) \gamma_g(y).$
Además, para toda $x \in G$,
\begin{align*}
\gamma_g \circ \gamma_{g^{-1}} (x) = \gamma_g (g^{-1}x g ) = g(g^{-1} x g) g^{-1} = x \\
\gamma_{g^{-1}} \circ \gamma_{g} (x) = \gamma_{g^{-1}} (g x g^{-1} ) = g^{-1}(g x g^{-1}) g = x .
\end{align*}
Donde, $g^{-1}$ existe porque $G$ es un grupo. Así, lo anterior nos indica que $\gamma_g$ es un homomorfismo invertible, que además tiene como dominio y codominio a $G$.

Por lo tanto $\gamma_g$ es un automorfismo.

Propiedades de los homomorfismos

Proposición. El inverso de un isomorfismo es un isomorfismo.

Demostración.

Sean $(G, *), (\bar{G}, \bar{*})$ grupos, $\varphi:G\mapsto \bar{G}$ es un isomorfismo.
Tomemos $c,d \in\bar{G}$.

Como $\varphi$ es suprayectiva, existen $a,b \in G$ tales que $\varphi(a) = c$ y $\varphi(b) = d$.

\begin{align*}
\varphi^{-1} (c \bar{*}d) &= \varphi^{-1} \left( \varphi(a) \bar{*} \varphi(b) \right) \\
&= \varphi^{-1}\left( \varphi(a * b)\right) & \varphi \text{ es un homomorfismo}\\
& = \varphi^{-1} \circ \varphi (a*b)\\
& = a * b & \text{Composición de inversas}\\
& = \varphi^{-1}(c) * \varphi^{-1}(d) & \text{Pues }\varphi(a) = c,\, \varphi(b) = d
\end{align*}

Así, $\varphi^{-1}$ es un homomorfismo y como es biyectivo por ser invertible, entonces $\varphi^{-1}$ es un isomorfismo.

$\blacksquare$

Proposición. La composición de homomorfismos es un homomorfismo.

Demostración.

Sean $(G,*), (\bar{G}, \bar{*}), (\tilde{G}, \tilde{*})$ grupos. También, sean $\varphi: G \mapsto \bar{G}$ y $\psi: \bar{G} \mapsto \tilde{G}$ homomorfismos.

Dados $a,b \in G$,

\begin{align*}
\psi \circ \varphi(a*b) &= \psi (\varphi (a*b)) \\
&= \psi(\varphi(a)\,\bar{*}\, \varphi(b)) &\varphi\text{ es homomorfismo}\\
&= \psi(\varphi(a)) \,\tilde{*}\, \psi(\varphi(b)) & \psi\text{ es homomorfismo} \\
&= \psi\circ\varphi(a)\, \tilde{*} \,\psi\circ\varphi(b)
\end{align*}

Por lo tanto $\psi\circ\varphi$ es un homomorfismo.

$\blacksquare$

Observaciones.

  • Para todo $G$ grupo, $G\cong G$. (Es decir, $G$ es isomorfo a sí mismo).
  • Si $G, \bar{G}$ son grupos y $G \cong \bar{G}$, entonces $\bar{G}\cong G$.
  • Si $G, \bar{G}, \tilde{G}$ son grupos, $G \cong \bar{G}$ y $\bar{G} \cong \tilde{G}$, entonces $G\cong \tilde{G}.$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $D_{2n} = \left<a,b\right>$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un $n$-ágono, con $a$ la rotación de $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$. Sea $\varphi: D_{2n} \to D_{2n}$ tal que $\varphi(a^ib^j) = b^j$. ¿Es $\varphi$ un homomorfismo?
  2. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos con la misma cardinalidad. ¿Qué relación hay entre $S_X$ y $S_Y$?
  3. Sea $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(1\,3)\} \leq S_4$. Encuentra $H\leq S_4$, $H\neq V$ pero isomorfo a $V$. ¿Es $H$ normal en $S_4$?

Más adelante…

Los homomorfismos son una parte importante de las matemáticas, porque respetar las operaciones es una característica sencilla a simple vista, pero lo suficientemente compleja para que las funciones que la cumplan sean muy interesantes. Los homomorfismos nos permiten cambiar de espacios de trabajo sin mucho problema.

Por otro lado, tal vez ya sabes que las matemáticas de este curso (y de la mayoría de los cursos en este blog) están fundamentadas en la Teoría de Conjuntos. Esta teoría nos permite construir a los objetos matemáticos a partir de conjuntos. Como curiosidad, tal vez te interese saber que existe otra teoría llamada Teoría de Categorías, que generaliza lo anterior, y en la que la generalización de un homomorfismo es llamado morfismo.

Aunque estén definidos de manera diferente, los homomorfismos de esta entrada y los morfismos de la Teoría de Categorías son, en intuición, lo mismo. Esto refuerza la idea de que los homomorfismos son en realidad más importantes de lo que parecen.

Pero bueno, regresemos a nuestro curso: en la siguiente entrada continuaremos viendo el comportamiento de los homomorfismos.

Entradas relacionadas