MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En las secciones pasadas probamos muchas propiedades interesantes de los conjuntos medibles y la medida de Lebesgue. Una omisión importante es ¿Qué pasa con las transformaciones rígidas? O más generalmente ¿Cómo interactua la medida de Lebesgue con las transformaciones lineales?
En dimensiones bajas estamos acostumbrados a que la longitud, el área y el volúmen sean invariantes bajo transformaciones rígidas; o que se multipliquen por «cierto factor» bajo transformaciones lineales generales. Así que es de esperar que algo similar ocurra con la medida de Lebesgue.
En esta entrada discutiremos de manera precisa cuál es la relación entre $\lambda (A)$ y $\lambda (TA)$ cuando $T$ es una matriz arbitraria.

Nuestro objetivo es probar lo siguiente:

Teorema. Sea $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz y $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$. Entonces $${\lambda }^{\ast }(TA)=|detT|{\lambda }^{\ast }(A).$$ Si $A$ es medible entonces $TA$ es medible y $$\lambda (TA)=|detT|\lambda (A).$$

Demostración.

Veremos primero el caso en el que $T$ es invertible.

Podemos hacer una serie de reducciones para simplificar la demostración. Considera lo siguiente.

Observación 1. Si el teorema es válido para dos matrices $T_1$ y $T_2$, entonces es válido para el producto $T_1{T}_2$ pues $$|det{T}_1{T}_2|=|det{T}_1||det{T}_2|.$$ De donde $${\lambda }^{\ast }(T_1{T}_{2}A)=|det{T}_1|{\lambda }^{\ast }(T_{2}A)=|det{T}_1||det{T}_2|{\lambda }^{\ast }(A)=|det{T}_1{T}_2|{\lambda }^{\ast }(A).$$ Y si $A$ es medible $⟹$ $T_{2}A$ es medible $⟹$ $T_1{T}_{2}A$ es medible.

Hecho 1. De tus cursos anteriores seguramente recordarás que toda matriz invertible se puede descomponer como producto de las llamadas «matrices elementales». Puedes consultarlo aquí [ENLACE]. Como un breve recordatorio, existen dos tipos de matrices elementales. En lo que sigue $k$ y $l$ denotan enteros fijos entre $1$ y $n$.

Matrices de multiplicación. Dado $c\in \mathbb{R}$, son matrices de la forma $M=[m_{ij}]$ con:

$$m_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }i=j\ne k\\ c& \text{si }i=j=k\\ 0& \text{si }i\ne j\end{array}$$

Por ejemplo cuando $k=1$:

$$\left(\begin{array}{cccc}c& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$

Observa que $|detM|=c$, además que $M^{-1}$ es también una matriz de multiplicación con $c$ reemplazado por $c^{-1}$. Dada una matriz $T$, $MT$ es la matriz que se obtiene de $T$ al multiplicar su $k$-ésima fila por $c$. Algo similar ocurre con $TM$ reemplazando «filas» por «columnas». Como transformación lineal, $M$ actúa multiplicando la $k$-ésima componente de un vector por $c$.

Matrices de suma. Dado $c\in \mathbb{R}$, son matrices $A=[a_{ij}]$ de la forma:

$$a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }i=j\ne k\\ c& \text{si }i=k,j=l\\ 0& \text{si }i\ne j\end{array}$$

Por ejemplo, cuando $k=1,l=2$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& c& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$

Observa que $|detA|=1$ y que $A^{-1}$ es también una matriz de multiplicación con $c$ reemplazado por $-c$. Dada una matriz $T$, $AT$ es la matriz que se obtiene de $T$ al sumar $c$ veces la fila $l$ a la fila $k$. Algo similar ocurre con $TA$ reemplazando «filas» por «columnas». Como transformación lineal ésta actúa sobre un vector sumando $c$ veces la $l$-ésima entrada a su $k$-ésima entrada.

Por las observaciones anteriores, resulta que es suficiente probar el teorema para las matrices elementales, que denotaremos por $E_{n\times n}$.

Veamos ahora el siguiente Lema.

Lema. Sea $T\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ una matriz invertible. Sea $J$ el rectángulo semiabierto:
$$J=[0,1)\times \cdots \times [0,1).$$
Sea $\rho$ el cociente: $$\rho =\frac{\lambda (TJ)}{\lambda (J)}.$$
Dado $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$, entonces $${\lambda }^{\ast }(TA)=\rho {\lambda }^{\ast }(A).$$ Si $A$ es medible, entonces $TA$ es medible y $$\lambda (TA)=\rho \lambda (A).$$

Demostración. La transformación lineal $x\to Tx$ es continua con inversa continua, por tanto un homeomorfismo. En particular transforma conjuntos abiertos en conjuntos abiertos y conjuntos compactos en conjuntos compactos.

Podemos expresar a $J$ como unión creciente de rectángulos, a saber: $$J=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[0,1-k^{-1}]\times [0,1-k^{-1}]\times \cdots \times [0,1-k^{-1}].$$ Por la monotonía de la medida de Lebesgue es fácil ver que $\lambda (J)=1>0$. Aplicando $T$ (y usando que en general $f(\bigcup _{i\in I}{C}_i)=\bigcup _{i\in I}f(C_i)$) se sigue que: $$TJ=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}T([0,1-k^{-1}]\times [0,1-k^{-1}]\times \cdots \times [0,1-k^{-1}]).$$ Como $T$ es un homeomorfismo, cada $T([0,1-k^{-1}]\times [0,1-k^{-1}]\times \cdots \times [0,1-k^{-1}])$ es un conjunto compacto. Entonces $TJ$ es unión numerable de conjuntos compactos por lo que en particular es medible.

Como $J$ es acotado, $TJ$ también es acotado así que su medida es finita. En todo caso, el cociente $\rho$ tiene sentido y está bien definido.

Veamos primero que el Lema se satisface para conjuntos abiertos. Considera $G$ un conjunto abierto arbitrario.

La idea es cubrir a $G$ con una cantidad numerable de «copias reescaladas» y ajenas de $J$. El procediemiento es estándar:

Primero cubrimos ${\mathbb{R}}^n$ con rectángulos de la forma $$[{\alpha }_1,{\alpha }_1+1)\times [{\alpha }_2,{\alpha }_2+1)\times \cdots \times [{\alpha }_n,{\alpha }_n+1).$$ Donde cada ${\alpha }_k\in \mathbb{Z}$ es un número entero. Seleccionamos los rectángulos que están contenidos en $G$. Luego, partimos cada rectángulo no seleccionado en los $2^n$ subrectángulos que se obtienen al bisecar sus lados. Estos son de la forma $$[\frac{{\alpha }_1}{2},\frac{{\alpha }_1+1}{2})\times [\frac{{\alpha }_2}{2},\frac{{\alpha }_2+1}{2})\times \cdots \times [\frac{{\alpha }_n}{2},\frac{{\alpha }_n+1}{2}).$$ Con ${\alpha }_k\in \mathbb{Z}$ enteros. De nuevo seleccionamos los rectángulos que están contenidos en $G$. Continuando con este proceso, al final nos quedamos con una colección numerable de copias reescaladas ajenas de $J$: $J_1,J_2,\dots$.

Como $G$ es abierto, para cualquier punto $x\in G$, podemos encontrar un rectángulo $R=[\frac{{\alpha }_1}{2^m},\frac{{\alpha }_1+1}{2^m})\times \cdots \times [\frac{{\alpha }_n}{2^m},\frac{{\alpha }_n+1}{2^m})$ con ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in \mathbb{Z}$ tal que $x\in R\subseteq G$. Esto garantiza que cualquier $x\in G$ es eventualmente cubierto por algún $J_k$. Además, claramente cada rectángulo $J_k$ se queda contenido en $G$. Esto nos garantiza que $$G=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_k.$$ Es la descomposición deseada. Al aplicar $T$, se sigue también que $$TG=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}T{J}_k$$ Es la únión ajena de las imágenes $T{J}_k$ (que son medibles).

Cada $J_k$ es una copia reescalada y trasladada de $J$, es decir, es de la forma: $$J_k=z_k+t_{k}J$$ Con $z_k\in {\mathbb{R}}^n$, $t_k>0$. Así que podemos calcular su medida de Lebesgue: $$\lambda (J_k)=t_k^n\lambda (J)$$ $$⟹t_k^n=\frac{\lambda (J_k)}{\lambda (J)}.$$

Ahora, por linealidad se verifica fácilmente que: $$T{J}_k=T{z}_k+t_{k}TJ$$ $$⟹\lambda (T{J}_k)=t_k^n\lambda (TJ).$$ Sustituyendo $t_k^n$: $$⟹\lambda (T{J}_k)=\left(\frac{\lambda (J_k)}{\lambda (J)}\right)\lambda (TJ)=\rho \lambda (J_k).$$

Finalmente, por la aditividad contable:

$$\begin{array}{rl}\lambda (TG)=& \lambda \left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}T{J}_k\right)\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (T{J}_k)\\ & =\rho \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (J_k)\\ & =\rho \lambda \left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_k\right)\\ & =\rho \lambda (G).\end{array}$$

Esto establece el Lema para el caso de conjuntos abiertos. Si $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ es un subconunto arbitrario, por la aproximación con abiertos de la medida exterior tenemos:

$$\begin{array}{rl}{\lambda }^{\ast }(TA)& =\underset{TA\subseteq U\text{ abto.}}{inf}\{\lambda (U)\}\\ & =\underset{A\subseteq U\text{ abto.}}{inf}\{\lambda (TU)\}\\ & =\underset{A\subseteq U\text{ abto.}}{inf}\{\rho \lambda (U)\}\\ & =\rho \underset{A\subseteq U\text{ abto.}}{inf}\{\lambda (U)\}\\ & =\rho {\lambda }^{\ast }(A).\end{array}$$

En la segunda igualdad usamos que $T$ es un homeomorfismo.

Finalmente, si $A$ es medible, para cualquier $\epsilon >0$ podemos encontrar un abierto $U$ tal que $A\subseteq U$ y $${\lambda }^{\ast }(U\setminus A)<\frac{\epsilon }{\rho }$$ Entonces $TU$ es un abierto con

$${\lambda }^{\ast }(TU\setminus TA)={\lambda }^{\ast }(T(U\setminus A))=\rho {\lambda }^{\ast }(U\setminus A)<\epsilon .$$
Se sigue que $TA$ es medible y $\lambda (TA)={\lambda }^{\ast }(TA)=\rho {\lambda }^{\ast }(A)=\rho \lambda (A)$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

El Lema anterior nos dice en particular que cuando $T$ es una matriz elemental, existe alguna constante $\rho$ tal que $${\lambda }^{\ast }(TA)=\rho {\lambda }^{\ast }(A).$$ para cualquier $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$. Queremos probar que $\rho =|detT|$, para ello es suficiente exhibir algún conjunto particular $A$ (medible, de medida finita y no nula) para el cual podamos calcular $\rho =\frac{\lambda (TA)}{\lambda (A)}$. Tratamos los dos tipos de matrices elementales por separado.

1. $T$ es matriz de multiplicación. Asumamos sin pérdida de generalidad que $T=[t_{ij}]$ con $t_{11}=c$, $t_{ii}=1$ para $i\ne 1$. En este caso $detT=c$ (los demás casos son análogos). Escojamos $$A=[0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1]⟹\lambda (A)=1$$ Si $c>0$ entonces $$TA=[0,c]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1]⟹\lambda (TA)=c$$ Y si $c<0$ entonces $$TA=[c,0]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1]⟹\lambda (TA)=-c$$ En todo caso
   $$\rho =\frac{\lambda (TA)}{\lambda (A)}=|c|=|detT|.$$
2. $T$ es matriz de adición. Nuevamente, por simplicidad asumiremos que $T$ es de la forma
   $$T=\left(\begin{array}{cccc}1& c& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$
   Y que $c>0$. Los demás casos son completamente análogos. Ahora, escojamos $$A=\{x\in {\mathbb{R}}^n:-c{x}_2\le x_1\le 0,0\le x_2\le 1,\dots ,0\le x_n\le 1\}.$$ Es fácil ver que $$TA=\{x\in {\mathbb{R}}^n:0\le x_1\le c{x}_2,0\le x_2\le 1,\dots ,0\le x_n\le 1\}.$$ Si $M$ es la matriz de multiplicación
   $$M=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$$
   Para este $A$ en particular tenemos que $$TA=MA.$$ Así que por el caso anterior tenemos $$\lambda (TA)=\lambda (MA)=|detM|\lambda (A)=\lambda (A).$$ De donde $$\rho =\frac{\lambda (TA)}{\lambda (A)}=1=|detT|.$$

Esto concluye la prueba para matrices elementales y por tanto, para todas las matrices invertibles. Veamos ahora el caso degenerado en el que $detT=0$. En este caso es suficiente probar que directamente $\lambda (T{\mathbb{R}}^n)=0$.

Si $detT=0$, los vectores columna de la matriz $T$ son linealmente dependientes, por lo que generan el subespacio $T{\mathbb{R}}^n$ de dimensión $m<n$. Por Gram-Schmidt, podemos escojer una base ortonormal $B=\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$ de ${\mathbb{R}}^n$ tal que $\{b_1,b_2,\dots ,b_m\}$ sean base de $S$.

Sea entonces $M$ la matriz cuyos vectores columna son $b_1,b_2,\dots b_n$ en ese órden (ésta es ortogonal, y por tanto $|detM|=1$). $M$ transforma la base usual de ${\mathbb{R}}^n$ en la base $B$, i.e. $M{e}_i=b_i$ (donde $e_i$ es el vector con $i$-ésima entrada 1 y las demás 0). Se sigue que: $$M({\mathbb{R}}^m\times \{0{\}}^{n-m})=T{\mathbb{R}}^n.$$ Entonces, usando el caso no degenerado tenemos:

$$\begin{array}{rl}\lambda (T{\mathbb{R}}^n)& =\lambda (M({\mathbb{R}}^m\times \{0{\}}^{n-m}))\\ & =|detM|\lambda ({\mathbb{R}}^m\times \{0{\}}^{n-m})\\ & \le \lambda ({\mathbb{R}}^{n-1}\times \{0\})\\ & =0.\end{array}$$

Pues ya sabemos que el hiperplano ${\mathbb{R}}^{n-1}\times \{0\}$ tiene medida cero.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante…

Definiremos el concepto de sigma-álgebra y funciones medibles, las estructuras abstractas sobre las que podemos definir la integral de Lebesgue y otros conceptos de integración más generales.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Hasta ahora, hemos estado estudiando la integral de Lebesgue para funciones definidas (en c.t.p.) de ${\mathbb{R}}^n$. Sin embargo, quizá como analogía con la integral de Riemann, es esperable que podamos «integrar sobre conjuntos más generales», por ejemplo rectángulos o esferas. Esto es precisamente lo que estudiaremos en esta sección.

Integración sobre subconjuntos

Si queremos integrar una función $f$ sobre un conjunto $E$, lo natural es integrar sólamente la parte que nos interesa de $f$. De manera precisa:

Definición. Dada una función medible $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ y un conjunto medible $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$, definimos (cuando tenga sentido) la integral de $f$ sobre $E$ como: $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda .$$ Donde ${\chi }_E$ es la función característica de $E$.

Ejemplo. Como un caso particular, tenemos la integral sobre todo ${\mathbb{R}}^n$: $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_{{\mathbb{R}}^n}\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Observación. Si una función $f$ solamente está definida sobre c.t.p de $E$ (i.e., salvo un conjunto de medida cero), podemos convenir que:

$$f{\chi }_E(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{si }x\in E\\ 0& \text{si }x\notin E\end{array}$$

Diremos que $f$ es medible si la función (definida en c.t.p.) $f{\chi }_E$ es medible y definimos su integral como antes (siempre que tenga sentido).

Definición. Dada una función definida en c.t.p. de $E$, diremos que $f$ es integrable, si
$f{\chi }_E\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, y lo denotaremos por $f\in L^1(E)$.

Ejemplo. Si $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ $⟹$ $f\in L^1(E)$ para cualquier $E$ subconjunto medible, pues en general $|f{\chi }_E|\le |f|$ $⟹$ $\int |f{\chi }_E|\mathrm{d}\lambda \le \int |f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$. O más generalmente, si $f\in L^1(F)$ y $E\subseteq F$ $⟹$ $f\in L^1(E)$. El mismo argumento funciona.

El regreso es falso, por ejemplo la función constante $g\equiv 5$ no es $L^1({\mathbb{R}}^n)$ pues $\int g\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }$, sin embargo, para cualquier conjunto acotado $E$ ${\int }_{E}g\mathrm{d}\lambda =\int 5{\chi }_E\mathrm{d}\lambda =5\lambda (E)<\mathrm{\infty }$ (al ser la integral de una función simple).

Ejemplo. Sea $f(x)=\frac{x}{|x|}.$ si $x\ne 0$ y $f(0)=0$. Entonces $${\int }_{[2,3]}f\mathrm{d}\lambda =\int f{\chi }_{[2,3]}\mathrm{d}\lambda =\int {\chi }_{[2,3]}\mathrm{d}\lambda =\lambda ([2,3])=1;$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{[-10,-5)}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda =\int (-1){\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda \\ & =-\int {\chi }_{[-10,-5)}\mathrm{d}\lambda =-\lambda ([-10,-5))=-5;\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\int }_{(-1,1)}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{(-1,1)}\mathrm{d}\lambda =\int (-1){\chi }_{(-1,0)}\mathrm{d}\lambda +\int (1){\chi }_{(0,1)}\mathrm{d}\lambda \\ & =-\lambda ((-1,0))+\lambda ((0,1))=0.\end{array}$$

Notación. Por lo general, denotaremos la integrales sobre un intervalo $I\subseteq \mathbb{R}$ con extremos $a<b$ como $${\int }_a^{b}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$ Observa que el tipo de intervalo (abierto, semicerrado, etc.) es irrelevante pues los extremos de un intervalo son conjuntos de medida cero.

Para ilustrar, las integrales del ejemplo anterior se reescribirían como: ${\int }_2^{3}f\mathrm{d}\lambda$; ${\int }_{-10}^{-5}f\mathrm{d}\lambda$; ${\int }_{-1}^{1}f\mathrm{d}\lambda$ respectivamente.

Propiedades de la integral sobre subconjuntos

Las siguientes propiedades son todas consecuencias sencillas de la definición. Omitimos la demostración.

Proposición. Sean $A,B\in \mathcal{L}$ . Entonces:

1. Si $f,g\in L^1(A)$ y $a,b\in \mathbb{R}$, entonces $${\int }_{A}af+bg\mathrm{d}\lambda =a{\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda +b{\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
2. Si $f=g$ en c.t.p. sobre $A$ y $f\in L^1(A)$ entonces $g\in L^1(A)$ con $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
3. Si $f\in L^1(A),L^1(B)$ y $\lambda (A\cap B)=0$ entonces $${\int }_{A\cup B}f\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda +{\int }_{B}f\mathrm{d}\lambda .$$
4. (Monotonía sobre funciones).) Si $f,g\in L^1(A)$ y $f\le g$ entonces $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda \le {\int }_{A}g\mathrm{d}\lambda .$$
5. (Monotonía sobre conjuntos). Si $f\in L^1(B)$ con $f\ge 0$ y $A\subseteq B$ entonces $f\in L^1(A)$ y $${\int }_{A}f\mathrm{d}\lambda \le {\int }_{B}f\mathrm{d}\lambda .$$
6. (Convergencia monótona). Sea $0\le f_1\le f_2\le \dots$ una sucesión creciente de funciones medibles y no negativas sobre $A$. Entonce $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$ es medible con $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_A{f}_k\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}lim{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$
7. (Convergencia dominada). Sea ${f_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión de funciones medibles sobre $A$ tales que existe $0\le g\in L^1(A)$ tal que: $$|f_k(x)|\le g(x)$$
   para casi todo $x\in A$. Entonces $lim{f}_k$ es medible con $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_A{f}_k\mathrm{d}\lambda ={\int }_{A}lim{f}_k\mathrm{d}\lambda .$$

Proposición (Aditividad numerable de la integral). Sean $E_1,E_2,\dots$ conjuntos medibles disjuntos y $E=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k$. Sea $f:E\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ medible sobre $E$. Supongamos adicionalmente que ocurre alguna de las dos siguientes:

• $f\ge 0$.
• $f\in L^1(E)$.

Entonces $${\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Para el caso 1.:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda \\ & =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

En la segunda igualdad usamos ${\chi }_E=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\chi }_{E_k}$, consecuencia de que los $E_k$ son ajenos. La tercera igualdad es debido a (una consecuencia de) el teorema de la convergencia monótona.

Para el caso 2. Notemos primero que, similarmente al caso anterior: $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |f|{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f|{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int |f|{\chi }_E\mathrm{d}\lambda ={\int }_E|f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$

Por una de las consecuencias del teorema de la convergencia dominada, se sigue entonces:

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{E_k}f\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f{\chi }_{E_k}\mathrm{d}\lambda ={\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda .$$
Como queríamos probar.

Continuidad absoluta

Veamos ahora un resultado «de continuidad» para funciones en $L^1$. En general nos dice que «la integral sobre conjuntos pequeños es pequeña» o alternativamente, que una función $L^1$ no puede acumular su «masa» sobre conjuntos arbitrariamente pequeños.

\textbf{Teorema (Continuidad absoluta respecto al dominio).} Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $\epsilon >0$. Entonces existe $\delta >0$ tal que si $E\in \mathcal{L}$ es medible con $\lambda (E)<\delta$ entonces $$\left|{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda \right|<\epsilon .$$

Demostración. Supongamos primero que $f\ge 0$. Por definición, existe una función simple $s\in S$ tal que $0\le s\le f$ y $$\int s\mathrm{d}\lambda >\int f\mathrm{d}\lambda -\frac{\epsilon }{2}.$$

Como $s$ es simple, en particular es acotada (sólo toma una cantidad finita de valores), así que existe $C>0$ tal que $$s(x)\le C\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n.$$

Luego:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda & ={\int }_{E}s\mathrm{d}\lambda +{\int }_E(f-s)\mathrm{d}\lambda \\ & \le {\int }_{E}C\mathrm{d}\lambda +{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(f-s)\mathrm{d}\lambda \\ & \le {\int }_{E}C\mathrm{d}\lambda +{\int }_{{\mathbb{R}}^n}f\mathrm{d}\lambda –{\int }_{{\mathbb{R}}^n}s\mathrm{d}\lambda \\ & <C\lambda (E)+\frac{\epsilon }{2}.\end{array}$$

Así que si tomamos cualquier $E$ con $\lambda (E)<\frac{\epsilon }{2C}=\delta$ se cumple lo buscado.

El caso general se sigue del caso no negativo aplicado a $|f|$ y la desigualdad del triángulo:

$$\left|{\int }_{E}f\mathrm{d}\lambda \right|=|\int f{\chi }_E\mathrm{d}\lambda |\le \int |f|{\chi }_E\mathrm{d}\lambda ={\int }_E|f|\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Veremos la relación que existe entre la integral de Riemann y la integral de Lebesgue. Veremos que la integral de Lebesgue es una generalización de la integral de Riemann. Esto nos permitirá usar todas las herramientas conocidas de la integral de Riemann (cuando apliquen) como el teorema fundamental del cálculo para evaluar integrales.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

El concepto de «casi donde sea» refiere a que, en términos de integración, dos objetos son en cierto modo idénticos si «coinciden salvo en conjuntos de medida cero».

Algunos Lemas

La siguiente serie de Lemas refuerzan la idea de que, a ojos de la integral, dos objetos son «iguales» si coinciden salvo en conjuntos de medida cero.

Lema. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función medible. Si $g:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una función tal que $Z=\{x|f(x)\ne g(x)\}$ es un conjunto de medida cero, entonces $g$ es medible.

Demostración. Para cualquier $t\in \mathbb{[}-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, podemos escribir:

$$g^{-1}([-\mathrm{\infty },t])=(f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])\setminus B)\cup A.$$

Donde $$A=\{x|g(x)\in [-\mathrm{\infty },t];g(x)\ne f(x)\}$$ Y $$B=\{x|f(x)\in [-\mathrm{\infty },t];g(x)\ne f(x)\}.$$

Claramente $A,B\subseteq Z$, así que $\lambda (A)=\lambda (B)=\lambda (Z)=0$ $⟹$ $A$ y $B$ son medibles. (Reuerda que cualquier conjunto con medida exterior cero es Lebesgue medible). Como $f^{-1}([-\mathrm{\infty },t])$, $A$ y $B$ son medibles, se sigue entonces que $g^{-1}([-\mathrm{\infty },t])$ es un conjunto medible.

Lema. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ es una función no negativa tal que $f(x)=0$ salvo un conjunto de medida cero, entonces $$\int f\mathrm{d}\lambda =0.$$

Demostración. Por el Lema anterior, se sigue que $f$ es medible. Al ser no negativa, $\int f\mathrm{d}\lambda \ge 0$.

Si $\int f\mathrm{d}\lambda >0$, por definición de la integral, existiría una función simple $s\in S$ tal que $s\le f$ y $$0<\int s\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda .$$ Al ser simple, podemos escribir $s=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\chi }_{A_k}$, con ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m>0$ y $A_1,\dots ,A_m$ ajenos. Como $\int s\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^m{\alpha }_k\lambda (A_k)>0$, necesariamente existiría algún $A_r$ con $\lambda (A_r)>0$. Sin embargo, esto implica que $f\ge {\alpha }_r>0$ sobre $A_r$, lo que contradice que $f=0$ salvo en un conjunto de medida cero.

Por tanto, la única posibilidad es $\int f\mathrm{d}\lambda =0$.

De hecho, podemos relajar la condición $f\ge 0$ en el Lema anterior:

Corolario. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es una función tal que $f(x)=0$ salvo un conjunto de medida cero, entonces $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int f\mathrm{d}\lambda =0.$$

Demostración. $f$ es medible por el primer Lema. Aplicando el lema anterior a $f_{+}$ y $f_{-}$ por separado, se sigue que $\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda =0-0=0.$

Proposición (Insensibilidad de la integral).

• Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ una función medible no negativa. Si $g:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es tal que el conjunto $Z=\{x|f(x)\ne g(x)\}$ es de medida cero, entonces $g$ es medible y $$\int g\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$
• Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función en $L^1({\mathbb{R}}^n)$. Si $g:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ es tal que el conjunto $Z=\{x|f(x)\ne g(x)\}$ es de medida cero, entonces $g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int g\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Los lemas anteriores aseguran que $g$ es medible en ambos casos.

Para la primera parte, supongamos primero que $g$ es no negativa. Podemos escribir $f=f{\chi }_{Z^c}+f{\chi }_Z$ y $g=f{\chi }_{Z^c}+g{\chi }_Z$, en ambos casos, los sumandos derecho son 0 salvo en conjuntos de medida nula, luego:

$$\begin{array}{rl}\int f\mathrm{d}\lambda & =\int f{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +\int f{\chi }_Z\mathrm{d}\lambda \\ & =\int f{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +0\\ & =\int g{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +0\\ & =\int g{\chi }_{Z^c}\mathrm{d}\lambda +\int g{\chi }_Z\\ & =\int g\mathrm{d}\lambda \end{array}$$

Para el caso general, podemos escribir $g=g_{+}-g_{-}$, donde $g_{+}=f$ y $g_{-}=0$ salvo en conjuntos de medida cero. Usando el caso anterior y los lemas:

$$\int g\mathrm{d}\lambda =\int g_{+}\mathrm{d}\lambda -\int g_{-}\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda -0=\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Para el segundo caso, notemos que $g-f=0$ salvo un conjunto de medida cero, de donde $(g-f)\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ con $$\int (g-f)\mathrm{d}\lambda =0.$$
Luego, por linealidad, $g=(g-f)+f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $$\int g\mathrm{d}\lambda =\int (g-f)\mathrm{d}\lambda +\int f\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

El concepto de casi donde sea

Definición. Decimos que una propiedad $\mathcal{P}$ en ${\mathbb{R}}^n$ se satisface «casi donde sea» ó «para casi todo $x$» ó «para casi todo punto» si el conjunto $$A=\{x\in {\mathbb{R}}^n|\mathcal{P}(x)\text{ no se satisface }\}$$

Es nulo (de medida de Lebesgue cero).

Generalmente abreviaremos la expresión «en casi todo punto» y sus equivalentes como c.t.p. En la literatura inglesa se suele denotar como a.e. (por almost everywhere).

Ejemplo. Casi todos los números reales son irracionales, pues el conjunto de racionales $\mathbb{Q}$ es de medida cero ( es numerable).

Ejemplo. Podemos reescribir la proposición de insensibilidad de la siguiente forma: Si $f\in L^1$ y $f=g$ en c.t.p entonces $g\in L^1$ y $\int f\mathrm{d}\lambda =\int g\mathrm{d}\lambda$. De modo que, a ojos de la integral, dos funciones iguales en c.t.p. son «indistinguibles».

Otra situación que ocurre con frecuencia es que sólo podamos asegurar que una función esté definida en c.t.p (el último teorema de esta sección es un ejemplo de esto). Sin embargo, como sugieren los teoremas anteriores, esto es suficiente para poder hablar de su integral. Procedamos de manera precisa.

Definición. Sea $f:X\subseteq {\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función definida en c.t.p de ${\mathbb{R}}^n$. Decimos que $f$ es medible si existe una extensión medible de $f$, digamos $g$. Definimos la integral de $f$ como $$\int f\mathrm{d}\lambda =\int g\mathrm{d}\lambda .$$ (Siempre que ésta tenga sentido).

Observación. Hay que notar que si $f$ admite una extensión medible, entonces cualquier extensión de $f$ será medible (primer lema de la entrada), además, la integral no depende de la extensión tomada (insensibilidad). Por esta razón, típicamente tomamos la «extensión por cero», es decir, la extensión que vale cero en los puntos donde $f$ no está definida originalmente.

Generalización de los Teoremas de convergencia

Podemos dar generalizaciones de los teoremas de convergencia en las que consideremos propiedades en casi todo punto. Por ejemplo, para el teorema de convergencia dominada tendríamos lo siguiente.

Proposición (Convergencia dominada versión c.t.p.) Sean $f_1,f_2,\dots$ funciones medibles definidas en c.t.p. de ${\mathbb{R}}^n$, tales que

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$

Existe para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$ y además existe una función $g\in L^1$ definida en c.t.p con $$|f_k(x)|\le g(x)$$
Para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$. Entonces $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda$$

Demostración. Sea $Z$ el conjunto de $x$ tales que: O bien $f_k(x)$ no está definida para algún $k$, o bien $lim{f}_k(x)$ no existe, o bien $|f_k|(x)>g(x)$ para algún $k$. Como podemos expresar a $Z$ como una unión numerable de conjuntos nulos (¿Cuáles?), el propio $Z$ debe ser nulo.

Podemos redefinir las $f_k$ y $g$ de tal manera que valgan 0 sobre $Z$ (esto no afecta las propiedades en c.t.p. ni los valores de ninguna integral). El resultado se sigue de aplicar el teorema de la convergencia dominada usual sobre estas nuevas funciones y luego apelar a la insensibilidad de la integral.

Podemos dar generalizaciones similares para los teoremas de convergencia monótona y el Lema de Fatou. A partir de ahora no haremos distinción entre las versiones usuales y en c.t.p. de estos teoremas.

Intercambio de Sumas con Integrales

El siguiente resultado es relevante. Como adelantamos, es un ejemplo en el que sólo podemos asegurar que una función esté definida en c.t.p.

Teorema. Sean $f_1,f_2,\dots$ funciones en $L^1(R^n)$, tales que $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |f_k|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$ Entonces $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$$ Existe para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$ y además $$\int \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Sea $g=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|$. Al ser una suma de funciones positivas, ya habíamos probado (como consecuencia del teorema de la convergencia monótona) que:

$$\int g\mathrm{d}\lambda =\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |f_k|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$
$$⟹g\in L^1.$$

Al ser una función en $L^1$, sabemos que $g<\mathrm{\infty }$ en c.t.p. $⟹$ la serie $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$ converge absolutamente para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$, por lo que en particular converge para casi todo $x\in {\mathbb{R}}^n$. Además, es claro que: $|\sum _{k=1}^N{f}_k(x)|\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|f_k|(x)=g(x)$ para casi todo $x$. Aplicando el teorema de la convergencia dominada sobre la sucesión de sumas parciales concluimos:

$$\int \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Más adelante…

Definiremos la integral sobre subconjuntos de ${\mathbb{R}}^n$ y sus principales propiedades.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Estamos en condiciones de enunciar y demostrar otro de los teoremas más importantes en la teoría de integración de Lebesgue: El teorema de la convergnecia Dominada. Éste nos garantiza condiciones «relativamente débiles» bajo las cuales podemos intercambiar límites e integrales. La gracia de este teorema es que aplica para funciones medibles de todo tipo (no necesariamente positivas o crecientes) siempre que podamos encontrar alguna función en $L^1$ que «domine» en valor absoluto a todas las demás.

Teorema de la convergencia dominada. Sea $f_1,f_2,f_3,\dots$ una sucesión de funciones medibles en ${\mathbb{R}}^n$ tales que : $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)$$ Existe para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$, y existe una función $g\in L^1$ tal que $$|f_k(x)|\le g(x)$$ Para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$ y $k\in \mathbb{N}$. Entonces $f\in L^1$ y $$\int \left(\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k\right)\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Sea $f=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k$. Ésta es medible. Más aún, tomando límites vemos que $0\le |f|\le g$ por lo que $|f|$ (y por tanto $f$) es integrable.

Observemos que la función $g+f_k$ es medible y no negativa para todo $k$. Aplicando el Lema de Fatou:

$$\int (g+f)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int (g+f_k)\mathrm{d}\lambda$$
$$⟹\int g\mathrm{d}\lambda +\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda +\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
Restando $\int g\mathrm{d}\lambda$ (que es un número real) de ambos lados de la desigualdad anterior obtenemos $$\int f\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Similarmente aplicando el Lema de Fatou a las funciones $g-f_k$ resulta $$\int (g-f)\mathrm{d}\lambda \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim inf}\int (g-f_k)\mathrm{d}\lambda$$ $$⟹\int g\mathrm{d}\lambda –\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda –\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$
$$⟹\int \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda \le \int f\mathrm{d}\lambda .$$

(Hemos usado $\underset{k}{lim inf}-a_k=-lim sup{a}_k$ en el segundo renglón. Esto es un ejercico de rutina). Combinando las desigualdades obtenidas concluimos que $\underset{k}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\underset{k}{lim inf}\int f_k\mathrm{d}\lambda =\underset{k}{lim sup}\int f_k\mathrm{d}\lambda$ existe y
$$\int f\mathrm{d}\lambda =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k\mathrm{d}\lambda .$$

Algunos ejercicios resueltos

Para fijar ideas, veamos un par de ejercicios resueltos.

Ejercicio. Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y $A_1\subseteq A_2\subseteq \dots$ una sucesión creciente de conjuntos medibles tales que ${\mathbb{R}}^n=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k$. Demuestra que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f\cdot {\chi }_{A_k}\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu$$

Solución. Las funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ son medibles al ser producto de funciones medibles. Más aún, son integrables pues $$|f\cdot {\chi }_{A_k}|\le |f|\mathrm{\forall }k.$$ Como $f\in L^1$ $⟹$ $|f|\in L^1$, así que el estimado anterior nos dice que podemos «dominar» las funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ por la función $|f|\in L^1$.
Ahora, como $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k={\mathbb{R}}^n$, para cada $x\in {\mathbb{R}}^n$, existe algún entero $M_x$ suficientemente grande tal que $x\in A_k$ para todo $k\ge M_x$. Esto nos dice que $$f(x)\cdot {\chi }_{A_k}(x)=f(x)\cdot 1=f(x)\mathrm{\forall }k\ge M_x$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $x\in {\mathbb{R}}^n$, concluimos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(f\cdot {\chi }_{A_k})=f.$$ Finalmente, aplicando el teorema de la convergencia dominada a la sucesión de funciones $f\cdot {\chi }_{A_k}$ (tomando $|f|=g\in L^1$ como la función que «domina» a la sucesión), concluimos que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f\cdot {\chi }_{A_k}\mathrm{d}\mu =\int f\mathrm{d}\mu .$$

Observación. En el lenguaje de integración sobre subconjuntos [ENLACE], el resultado anterior se reescribe como: $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{A_k}f\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda .$$

Ejercicio. Sea $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$. Demuestra que $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x.$$

Solución. Consideremos la sucesión de funciones $f_k(x)=f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}$.

Como $e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\le e^0=1$, entonces $|f_k(x)|\le |f(x)|$ para todo $k=1,2,\dots$. Es decir, la función $|f|\in L^1$ domina a cada una de las $f_k$. Además $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x)=f(x)\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{k}}=f(x)\cdot e^0=f(x)$$ Para todo $x\in {\mathbb{R}}^n$. Aplicando el teorema de la convergencia dominada:
$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f(x)e^{-\frac{|x{|}^2}{k}}\mathrm{d}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\int f_k(x)\mathrm{d}x=\int (\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_k(x))\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x.$$

Más adelante…

Definiremos el concepto de casi donde sea, un concepto de gran utilidad en la teoría de integración. Daremos versiones más generales de los teoremas de convergencia que hemos probado hasta ahora aprovechando esta idea.

Tarea moral

MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

Hasta ahora, sólo hemos definido la integral para funciones medibles no negativas. En esta entrada veremos que la definición se puede extender a funciones medibles más generales (no necesariamente $\ge 0$) heredando muchas de sus propiedades. Definiremos también el concepto de integrabilidad (o función $L^1$) que será una hipótesis esencial en muchos de nuestros desarrollos más adelante.

Definición. Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ una función medible, con parte positiva y negativa $f_{+}$ y $f_{-}$ respectivamente. Definimos la integral de $f$ como

$$\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda .$$

Siempre que este número esté bien definido.

Si $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda$ y $\int f_{-}\mathrm{d}\lambda$ son ambas finitas, entonces decimos que $f$ es integrable.

Notación. Denotaremos a la clase de funciones integrables como $L^1({\mathbb{R}}^n,\mathcal{L},\lambda )$, $L^1({\mathbb{R}}^n)$ , o simplemente $L^1$.

Observaciones.

• La definición tiene sentido (siempre que $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda$ exista), pues si $f$ es medible entonces $f_{+}$ y $f_{-}$ son medibles no negativas por lo que admiten integrales bien definidas.
• Si $f\ge 0$, la nueva definición es consistente con la definición de integral para funciones medibles no negativas, pues en este caso $f=f_{+}$ y $f_{-}=0$.
• A diferencia de las funciones no negativas, no todas las funciones medibles admiten una integral. Si $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda =\int f_{-}\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }$, $\int f\mathrm{d}\lambda$ no está bien definida.
• Si $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, entonces $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda$ es un número real. Enfocaremos nuestro análisis principalmente en las funciones en $L^1$ pues es un espacio más manejable pero al mismo tiempo lo suficientemente general.
• Más adelante le daremos un significado ligeramente distinto al conjunto $L^1({\mathbb{R}}^n)$. De momento es conveniente pensar que $f\in L^1$ es un atajo notacional para decir que $f$ es integrable.

Veamos primero un par de Lemas que facilitarán nuestro estudio de las funciones integrables.

Lema. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ es una función medible, no negativa y con integral finita $0\le \int f\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$, entonces $I=\{x\in {\mathbb{R}}^n|f(x)=\mathrm{\infty }\}$ es de medida cero.

Demostración. Supongamos por el contrario que $\lambda (I)>0$. Consideremos la sucesión de funciones simples: $$s_k=k{\chi }_I\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{R}}^n.$$
Claramente $s_k\le f$ para toda $k$, de donde $$\int f\mathrm{d}\lambda \ge \int s_k\mathrm{d}\lambda =k\lambda (I).$$
Como $k\lambda (I)⟶\mathrm{\infty }$ cuando $k⟶\mathrm{\infty }$, la única posibilidad es $$\int f\mathrm{d}\lambda =\mathrm{\infty }.$$ Lo cual es una contradicción.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Proposición (desigualdad del triángulo). Si $f$ es una función medible y con integral bien definida, entonces $$|\int f\mathrm{d}\lambda |\le \int |f|\mathrm{d}\lambda .$$ Además $f\in L^1$ $⟺$ $|f|\in L^1$.

Demostración. Notemos que $|f|=f_{+}+f_{-}$. Como $f_{+}$ y $f_{-}$ son medibles no negativas, se sigue por aditividad: $$\int |f|\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda .$$
Evidentemente $\int f_{+}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{+}\mathrm{d}\lambda$ y $-\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{-}\mathrm{d}\lambda$, por lo que $$\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda =\int |f|\mathrm{d}\lambda .$$

Análogamente $$-\int f\mathrm{d}\lambda =\int f_{-}\mathrm{d}\lambda -\int f_{+}\mathrm{d}\lambda \le \int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda =\int |f|\mathrm{d}\lambda .$$

Por lo que $$|\int f\mathrm{d}\lambda |\le \int |f|\mathrm{d}\lambda .$$

Si $f\in L^1$ $$⟹\int f_{+}\mathrm{d}\lambda ,\int f_{-}\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$$ $$⟹\int |f|\mathrm{d}\lambda =\int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }.$$ De modo que $|f|\in L^1$.

Inversamente, supongamos que $|f|\in L^1$. Como $f_{+},f_{-}\le |f|$ $$⟹\int f_{+}\mathrm{d}\lambda ,\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \le \int |f|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$$ Por lo que $f\in L^1$.

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Proposición (Linealidad de la Integral). Supongamos que $f,g\in L^1$ y $a,b\in \mathbb{R}$. Entonces $af+bg\in L^1$ con $$\int (af+bg)\mathrm{d}\lambda =a\int f\mathrm{d}\lambda +b\int g\mathrm{d}\lambda .$$

Observación. Hay un un detalle en ésta proposición: Es posible que $af+bg$ no esté definida en todo ${\mathbb{R}}^n$ (piensa por ejemplo que $f(0)=g(0)=\mathrm{\infty }$ $⟹$ $(f-g)(0)$ no está definida). Los puntos que «pueden dar problemas» son aquellos en los que $f$ ó $g$ valen $\pm \mathrm{\infty }$. Por el lema anterior, éste conjunto es de medida cero así que $af+bg$ está bien definida salvo quizá un conjunto de medida cero. Más adelante veremos que a la hora de integrar podemos «ignorar» los conjuntos de medida cero [ENLACE], es decir, podemos redefinir $f$ y $g$ en cualquier conjunto de medida cero sin afectar el valor de su integral. Por esta razón podemos suponer sin mayor problema que $f,g$ son finitas en todo ${\mathbb{R}}^n$.

Demostración. Basta probar por separado: $$\int af\mathrm{d}\lambda =a\int f\mathrm{d}\lambda ,$$ $$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda .$$

Veamos la primera parte. Podemos distinguir dos casos:

• Si $a\ge 0$, tenemos $(af{)}_{+}=a{f}_{+}$ y $(af{)}_{-}=a{f}_{-}$. Luego
  $$\begin{array}{rl}\int af\mathrm{d}\lambda & =\int a{f}_{+}\mathrm{d}\lambda –\int a{f}_{-}\mathrm{d}\lambda \\ & =a\int f_{+}\mathrm{d}\lambda –a\int f_{-}\mathrm{d}\lambda \\ & =a(\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda )\\ & =a\int f\mathrm{d}\lambda \end{array}$$ En la segunda igualdad usamos la proposición para el caso $f\ge 0$ que ya probamos anteriormente.
• Similarmente, cuando $a<0$, $(af{)}_{+}=(-a)f_{-}$ y $(af{)}_{-}=(-a)f_{+}$, luego
  $$\begin{array}{rl}\int af\mathrm{d}\lambda & =\int (-a)f_{-}\mathrm{d}\lambda –\int (-a)f_{+}\mathrm{d}\lambda \\ & =(-a)\int f_{-}\mathrm{d}\lambda +a\int f_{+}\mathrm{d}\lambda \\ & =a(\int f_{+}\mathrm{d}\lambda -\int f_{-}\mathrm{d}\lambda )\\ & =a\int f\mathrm{d}\lambda .\end{array}$$

Veamos ahora la segunda parte. Sea $h=f+g$. Entonces $|h|\le |f|+|g|$ $⟹$ $\int |h|\mathrm{d}\lambda \le \int |f|\mathrm{d}\lambda +\int |g|\mathrm{d}\lambda <\mathrm{\infty }$ $⟹$ $|h|\in L^1$ $⟹$ $h\in L^1$ (desigualdad del triángulo).

Ahora, como podemos escribir: $$h_{+}-h_{-}=h=f+g=(f_{+}-f_{-})+(g_{+}-g_{-})$$
$$⟹h_{+}+f_{-}+g_{-}=h_{-}+f_{+}+g_{+}$$

Integrando y usando la proposición para funciones no negativas (que ya probamos)
$$⟹\int h_{+}\mathrm{d}\lambda +\int f_{-}\mathrm{d}\lambda +\int g_{-}\mathrm{d}\lambda =\int h_{-}\mathrm{d}\lambda +\int f_{+}\mathrm{d}\lambda +\int g_{+}\mathrm{d}\lambda .$$

Reordenando los términos y usando la definición concluimos:
$$\int (f+g)\mathrm{d}\lambda =\int f\mathrm{d}\lambda +\int g\mathrm{d}\lambda .$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Corolario (Monotonía de la integral). Sean $f,g\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ con $f\le g$. Entonces $$\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda .$$

Demostración. Notemos que $g-f\ge 0$. Por el teorema anterior, sabemos que $g-f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ y además:

$$0\le \int (g-f)\mathrm{d}\lambda =\int g\mathrm{d}\lambda -\int f\mathrm{d}\lambda$$
$$⟹\int f\mathrm{d}\lambda \le \int g\mathrm{d}\lambda .$$

$\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Más adelante…

Enunciaremos y probaremos otro de los teoremas más importantes de teoría de integración: El Teorema de la Convergencia Dominada. Al igual que el Teorema de la convergencia Monótona, éste es un resultado de «intercambio de límites con integrales», pero es aplicable incluso cuando las funciones no son $\ge 0$.

Tarea Moral