Cálculo Diferencial e Integral II: Probabilidad

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos la aplicación de la integral para calcular la fuerza y la presión hidrostática de un fluido, en esta sección veremos como se aplica la integral en probabilidad.

Probabilidad

El concepto de probabilidad desempeña un papel en el análisis del comportamiento aleatorio, usando a la probabilidad como la medida que un evento ocurra o no, siendo el conjunto de eventos posibles que pueden ser finitos. La probabilidad denotada comúnmente por la letra $P$ es un número donde $0 \leq P \leq 1$, indicando que, si $P$ es muy próximo a $0$ entonces es más improbable que ocurra el evento, mientras que, si $P$ es próximo a $1$ entonces es muy probable que ocurra el evento.

Sabemos que el área debajo de una curva lo podemos calcular con una integral definida, también se puede calcular la probabilidad de que ocurra un evento dentro de un intervalo $[a, b]$ dada una variable aleatoria continua $X$, recordemos que una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Cada variable aleatoria continua tiene una función de densidad de probabilidad denotada por $f(x)$, por lo que al integrar esta función se puede calcular la probabilidad de que $X$ esta en $[a, b]$.

La función de densidad de probabilidad $f(x)$ de una variable aleatoria $X$ satisface las siguientes condiciones:

  • $$f(x) \geq 0 \space \space \forall x$$

El área bajo la función de densidad es unitaria:

  • $$\int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx=1$$

Definición: La probabilidad de que $X$ toma un valor en el intervalo $[a, b]$ es el área bajo la curva de la función de densidad dada como:

$$P(a \leq x \leq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Veamos un ejemplo.

  • ¿Cuál es la probabilidad de que reciba un paquete entre las $3 \space PM$ y $5 \space PM$? Con la siguiente función de probabilidad:

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{c} \frac{2}{99}(x+12)-\frac{14}{99} \space \space \space \space -5\leq x \leq 4\\ \frac{-1}{11}(x+12)+\frac{18}{11} \space \space \space \space 4 \leq x \leq 6 \end{array}\right.$$

Calculamos la probabilidad como:

$$P(3 \leq x \leq 5)=\int_{3}^{5}f(x)dx=\int_{3}^{4}\left ( \frac{2}{99}(x+12)-\frac{14}{99} \right )dx+\int_{4}^{5}\left ( \frac{-1}{11}(x+12)+\frac{18}{11} \right )dx$$

$$=\frac{2}{99}\left [ \frac{x^{2}}{2}+5x \right ]\bigg|_{3}^{4}-\frac{1}{11}\left [ \frac{x^{2}}{2}-6x \right ]\bigg|_{4}^{5}=\frac{17}{99}+\frac{1.5}{11}$$

$$\therefore P(3 \leq x \leq 5)=\frac{61}{198} \approx 0.308$$

  • Sea $f(x)=0.006x(10-x)$ para $0 \leq x \leq 10$ y $f(x)=0$ para todos los demás valores de $x$. Compruebe que $f(x)$ es una función de densidad de probabilidad y determine $P(4 \leq X \leq 8)$.

Para comprobar que $f$ es una función de densidad de probabilidad, entonces vemos que para $0 \leq x \leq 10$ se tiene que $0.006x(10-x)\geq 0$, por tanto $f(x)\geq 0$.

Ahora veamos que satisfaga $\int_{- \infty}^{\infty}f(x)dx=1$:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{0}^{10}0.006x(10-x)dx=0.006\int_{0}^{10}(10x-x^{2})dx=0.006\left [ 5x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]\bigg|_{0}^{10}=0.006\left ( 500-1000/3 \right )=1$$

Por tanto, $f$ es una función de densidad de probabilidad.

Ahora la probabilidad de que $X$ está entre $4$ y $8$ lo calculamos como:

$$P(4 \leq X \leq 8)=\int_{4}^{8}f(x)dx=\int_{4}^{8}0.006x(10-x)dx=0.006\int_{4}^{8}(10x-x^{2})dx=0.006\left [ 5x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right ]\bigg|_{4}^{8}=0.544$$

$$\therefore P(4 \leq X \leq 8)= 0.544 $$

Aplicación en física

En física se pueden encontrar problemas que involucren la probabilidad, por ejemplo, en mecánica cuántica se puede calcular la probabilidad en la que una partícula se encuentra en una caja, aunque en este caso sabemos que el resultado es 1, ya que en cualquier punto dentro de la caja la partícula está adentro, pero veamos en un enfoque probabilístico.

La función de onda, representada como $\psi (x,t)$, es la amplitud de encontrar la partícula en un punto dado en el espacio. Si esta partícula se encuentra en una caja de longitud $L$, con una función de onda constante $\psi (x,t)=C$, entonces:

$$P(-\infty, \infty)=\int_{-\infty}^{\infty}\mid \psi(x,t) \mid^{2}dx=1$$

Teniendo la condición de normalización, así tenemos que:

$$P(0,L)=\int_{0}^{L}\mid C\mid^{2}dx=\mid C\mid ^{2}\int_{0}^{L}dx=\mid C\mid ^{2}L=1$$

$$\Rightarrow C=\sqrt{\frac{1}{L}}$$

La probabilidad de encontrar esta partícula lo calculamos como:

$$P(0,L)=\int_{0}^{L}\mid \sqrt{\frac{1}{L}}\mid^{2}dx=\mid \sqrt{\frac{1}{L}}\mid ^{2}\int_{0}^{L}dx=\mid \sqrt{\frac{1}{L}}\mid ^{2}L=1$$

Lo que se esperaba, la probabilidad de encontrar la partícula dentro de la caja es 1, aunque es un ejemplo muy sencillo, la probabilidad se puede encontrar más allá de la física.

Media de una variable aleatoria

La media de cualquier variable aleatoria se define como:

$$\mu = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$

Se interpreta como el valor promedio de la variable aleatoria $X$ o se interpreta también como una medida de la posición central de la función de densidad de probabilidad.

Distribución Normal

Muchos fenómenos aleatorios importantes se pueden modelar mediante una distribución normal, el cual se define como:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma ^{2}}}$$

Donde $\mu$ es la media de la función $f(x)$, $\sigma$ es la desviación estándar, el cual se puede interpretar como; que tan dispersos están los valores de $X$. Geométricamente, esta distribución normal tiene una figura similar al de una campana, como se muestra en la siguiente imagen.

Figura 1: Distribución normal con $\mu=0$ y $\sigma=1$.

El factor $\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}$ es necesario para que $f(x)$ sea normalizable y, por tanto, sea una función de densidad de probabilidad.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Sea $f(x)=kx^{2}(1-x)$ si $0 \leq x \leq 1$ y $f(x)=0$ si $x<0$ o $x>1$. Para que valor de $k$ es una función de densidad de probabilidad.
  2. Encuentre la media de la distribución exponencial dada como: $$f(t)=\left\lbrace\begin{array}{c} 0 \space \space si \space \space t<0 \\ ce^{-ct} \space \space si \space \space t \geq 0\end{array}\right.$$
  3. Suponga que el tiempo de espera promedio para que la llamada de un cliente sea contestada por un representante de una compañía es de 5 minutos.
    1. Encuentre la probabilidad en la que una llamada sea contestada durante el primer minuto.
    2. Determine la probabilidad en el que la llamada de un cliente espere mas de cinco minutos a que sea contestada su llamada.
  4. Las puntuaciones del cociente intelectual (CI) tiene una distribución normal con media $100$ y desviación estándar $15$. ¿Qué porcentaje de la población tiene una puntuación de CI entre 85 y 115. Hint: La función $y=e^{x^{2}}$ no tiene una antiderivada elemental por lo que no se puede evaluar la integral de manera exacta por lo que se tiene que usar un método numero, regla de Simpson o regla del punto medio para aproximar la integral.

Más adelante…

En esta unidad vimos una pequeña introducción a la probabilidad, así como la media de una variable aleatoria y la distribución Gaussiana como aplicación de la integral. Con este tema acabamos la unidad 6, en la siguiente sección comenzaremos la unidad 7 empezando a estudiar series.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Fuerza y presión hidrostática

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En esta sección veremos otra aplicación de las integrales en el área de la física y es en la presión hidrostática, que resuelve algunos problemas que requieren determinar fuerzas o presiones que actúan sobre un objeto sumergido en algún fluido estático.

Fuerza y presión hidrostática

Supongamos que una placa horizontal delgada con área $A$ sumergido en un fluido con densidad constante $\rho$ a una profundidad $h$ debajo de la superficie del fluido como se muestra en la figura $(1)$.

Figura 1: Placa sumergida en un fluido.

El volumen del fluido sobre la placa es:

$$V=Ah$$

De modo que su masa es:

$$m=\rho V=\rho Ah$$

Por lo que la fuerza que ejerce la placa sobre el fluido es:

$$F=mg=\rho g Ah$$

Donde $g$ es la aceleración ejercida por la gravedad $(g=9.81 \space m/s^{2})$ en la Tierra. Recordemos que la presión $P$ se define como la fuerza por unidad de área:

$$P=\frac{F}{A}=\rho gh$$

Donde las unidades son Pascales o Newton por metro cuadrado: $1 \space N/m^{2}=1 \space Pa$.

A la cantidad $w=\rho g$ se le conoce como el peso específico, gravedad especifica o densidad de peso.

Veamos un ejemplo:

  • ¿Cuál es la presión y la fuerza sobre la parte superior de un plato plano y circular de 3 metros que está sumergido a 10 metros bajo el agua.

Recordemos que la densidad del agua es: $\rho=1000 \space kg/m^{3}$, entonces podemos calcular la presión como:

$$P=\rho gh=\left ( 1000 \space kg/m^{3}\right )\left (9.81 \space m/s^{2} \right )\left (10m \right )=98000 \space Pa$$.

Como la fuerza la podemos calcular como: $F=PA$, entonces:

$$F=P \pi r^{2}=\left (98000 \space Pa \right )\left (\pi \right )\left (3m \right )^{2}=2.77×10^{6}N$$

Existe un principio importante, a este principio se le denomina el principio de Pascal, el cual nos dice que la presión de un fluido en el que cualquier punto en un líquido, la presión es la misma en todas las direcciones, es decir, un buzo siente la misma presión en la nariz y en ambos oídos. Al tener la presión dependiente de la profundidad, entonces al sumergir un cuerpo más profundo en un fluido, la presión va cambiando, veamos como va cambiando.

Figura 2: Superficie sumergido en un fluido.

Supongamos que una superficie plana se sumerge verticalmente en un fluido con densidad de peso $w$ donde la parte sumergida se extiende sobre el eje $y$ desde $y=a$ hasta $y=b$. Hacemos una partición de $[a, b]$ cortando la región en delgadas franjas horizontales perpendiculares al eje $y$ por lo que el ancho de estas franjas es $\Delta y$ unidades por $L(y)$ unidades de largo (figura $(2)$), por lo que la fuerza que ejerce el fluido contra un lado de la franja se aproxima como:

$$\Delta F\approx w \space \cdot (profundidad \space de \space la \space franja) \cdot \space L(y)\cdot \Delta y$$

Supongamos que hay $n$ franjas en el intervalo $[a, b]$, sumamos estas $n$ franjas, por lo que la suma de Riemann es:

$$F \approx \sum_{i=1}^{n} w \space \cdot (profundidad \space de \space la \space franja) \cdot \space L(y_{i})\cdot \Delta y_{i}$$

Para una función continua en el intervalo $[a, b]$ y tendiendo a $n \to \infty$ entonces se tiene que:

$$F=\int_{a}^{b} w \space h(y) L(y)dy$$

Veamos un ejemplo:

  • Calcule la fuerza del fluido total que se ejerce sobre una pared vertical en una represa con altura de $100m$ y ancho $300m$

Calculemos la densidad de peso como:

$$w=\rho g=\left (1000 \space kg/m^{3} \right )\left (9.81 \space m/s^{2} \right )=9800 \space N/m^{2}$$

Supongamos que la profundidad va variando como $h(y)=y$ y el ancho de la represa es $L=300 \space m$, por lo que la fuerza la podemos calcular como:

$$F=\int_{0}^{100}wh(y)L(y)dy=\int_{0}^{100}\left (9800 \right )\left (y \right )\left (300 \right )dy=2.94×10^{6}\int_{0}^{100}y dy$$

$$=2.94×10^{6}\left [ \frac{y^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0}^{100}=1.47×10^{10} \space N$$.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

  1. ¿Cuál es la presión en el fondo de una alberca a 2 metros?.
  2. Encuentre la fuerza en un lado de un contenedor cubico de $6 \space cm$ si el recipiente esta lleno de mercurio. La densidad del mercurio es $\rho=13600 \space kg/m^{3}$
  3. Una placa triangular rectángulo de base $2 \space m$ altura $1 \space m$ está sumergida verticalmente en agua, con el vértice superior $3 \space m$ debajo de la superficie. Encuentra la fuerza en un lado de la placa. Hint: Considere la ecuación de una recta.
  4. Determine la fuerza hidrostática sobre una cara de un cilindro con radio de $3 \space cm$ si el cilindro esta sumergido a $10 \space cm$. Hint: Utilice la ecuación de un circulo y ponga el origen en el centro del cilindro.
  5. Una placa triangular rectángulo de base $2 \space m$ y altura $1\space m$ está sumergida verticalmente en agua, con el vértice superior $3\space m$ debajo de la superficie. Encuentra la fuerza en un lado de la placa.

Más adelante…

En esta sección, vimos como resolver algunos problemas de fuerza y presión en algún fluido estático, en la siguiente sección veremos otra aplicación de la integral en el área de la probabilidad.

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Cálculo Diferencia e Integral II: Aplicación de la integración al concepto de trabajo

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el momento y el centro de masa con ayuda de la integral, en esta sección revisaremos el concepto de trabajo en el área de la física como una aplicación más de la integración.

Trabajo

Consideremos una partícula $P$ en un plano, que se mueve una distancia $d$ a lo largo de una curva $C$ como resultado de la aplicación de una fuerza externa $F$, que es función de la posición de la partícula en el espacio, es decir, $F=F(x)$ y sea $dx$ un desplazamiento infinitesimal experimentado por la partícula en un intervalo de tiempo $dt$, se define el trabajo infinitesimal $dW$ a la fuerza $F$ durante el desplazamiento infinitesimal $dx$ al producto escalar $F \cdot dx$ esto es:

$$dW=F \cdot dx$$

Ahora, supongamos que la partícula $P$ recorre una trayectoria en el espacio a lo largo del eje $x$, para determinar el trabajo que se realiza sobre esta partícula en un desplazamiento a lo largo de las posiciones $a$ y $b$, hacemos una partición en el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos con puntos extremos $x_{0}, x_{1}, …., x_{n}$ e igual ancho $\Delta x$. Sea $x^{*}_{i^{}}$ un punto en el subintervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$, si $F$ es continua en el intervalo $[a,b]$ entonces podemos aproximar el trabajo como una suma dada como:

$$Trabajo \approx \sum_{i=1}^{n}F(x^{*}_{i^{}})\Delta x$$

Por tanto, se define el trabajo efectuado al mover una partícula u objeto en el intervalo $[a, b]$ como el límite cuando $n \to \infty$ como:

$$W=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}F(x^{*}_{i^{}})\Delta x=\int_{a}^{b}F(x)dx \tag{1}$$

En el sistema internacional de unidades $(SI)$, el trabajo se mide en Joules $(J)$.

Ley de Hooke

La ley de Hooke nos dice que la fuerza necesaria para estirar o comprimir un resorte a una cierta longitud a partir de su estado de equilibrio, es proporcional a $x$, es decir:

$$F=-kx \tag{2}$$

Donde $k$ es la constante del resorte o constante de fuerza del resorte, esta constante $k$ es una característica propia del resorte. Nótese que $k$ es positiva.

Figura 1: Estiramiento del resorte a partir de su estado de equilibrio $o$.

Ejemplos

  • Cuando una partícula se ubica una distancia $x$ pies del origen, una fuerza de $x^{2}+2x$ libras actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla desde $x=1$ hasta $x=3$?

De la definición del trabajo $(1)$, tenemos que:

$$W=\int_{1}^{3}(x^{2}+2x)dx=\left [ \frac{x^{3}}{3}+x^{2} \right ]\bigg|_{1}^{3}=\frac{3^{3}}{3}+3^{2}-\frac{1}{3}-1=\frac{50}{3}$$

Por tanto, el trabajo realizado es: $16.6 Ib.pie.$

  • Una partícula eléctrica $q_{1}$ está en reposo con una carga de $2C$ efectúa un trabajo sobre otra partícula eléctrica $q_{2}$ a una distancia de $20$ cm. con carga $1C$. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla a $40$ cm.?

En este caso, la fuerza de la particula $q_{1}$ que actua sobre la particula $q_{2}$ es la fuerza de Coulomb, que se define como:

$$F=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}$$

Donde $k$ es la constante de Coulomb.

Para calcular el trabajo efectuado tenemos que:

$$W=\int_{a}^{b}F(x)dx=\int_{0.2}^{0.4}k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}dr=\int_{0.2}^{0.4}k\frac{(2C)(1C)}{r^{2}}dr=2C^{2}k\int_{0.2}^{0.4}\frac{dr}{r^{2}}$$

$$=2C^{2}k\left [ -\frac{1}{r} \right ]\bigg|_{0.2}^{0.4}=2C^{2}k \left(2.5 \frac{1}{m} \right)$$

Como $k=9\cdot 10^{9}\frac{Nm^{2}}{C^{2}}$, entonces:

$$W=4.5\cdot 10^{10}J$$

  • Una fuerza de $40N$ se requiere para retener un resorte desde su longitud natural de 10 cm. a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm.?

Tenemos un resorte, de acuerdo con la ley de Hooke $(2)$ que nos dice que $F=-kx$ donde $k$ se denomina constante del resorte, la fuerza que se requiere para mantener el resorte estirado $x$ metros más allá de su longitud natural es $f(x)=-kx$.

Primero calculamos $k$, vemos que cuando el resorte se pasa de $10$ a $15$ cm, la cantidad estirada es $5 cm =0.05m$ lo que quiere decir que: $f(0.05)=40$, de modo que:

$$ f(0.05)=0.05k=40 \Rightarrow k=\frac{40}{0.05}=800$$

El trabajo hecho para estirar el resorte de 15 a 18 cm es:

$$W=\int_{0.05}^{0.08} (800)xdx=800\left [ \frac{x^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0.05}^{0.08}=400\left [ (0.08)^{2}-(0.05)^{2} \right ]=1.56J$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Un resorte tiene una longitud natural de 1m. una fuerza de 24N lo estira hasta una longitud de 1.8m.
    1. a Determinar la constante $k$ del resorte.
    2. ¿Cuánto trabajo se requerirá para estirar el resorte hasta 2m mas que su longitud natural?
    3. ¿Hasta que longitud se estirara el resorte si le aplicamos una fuerza de 45?
  2. Una cubeta de 5 Ib se eleva desde el piso, jalándola con una cuerda de 20 pies a una velocidad constante. La cuerda pesa 0.08 $ib/pie$. ¿Cuánto trabajo se realiza al subir la cubeta y la cuerda?
  3. Una partícula se desplaza a lo largo del eje x impulsada por una fuerza que mide $\frac{10}{(1+x)^{2}}$ libras en un punto a x pies del origen. Calcule el trabajo realizado al mover la partícula desde el origen a una distancia de 9 pies.
  4. Una fuerza de 2N estirara una banda elástica 2 cm (0.02m. Suponiendo que en este caso se cumple la ley de Hooke, ¿Cuánto se estirara la banda al aplicarle una fuerza de 4N? ¿Cuánto trabajo se realizara para estirar la banda esa longitud?
  5. Cuando una partícula de masa m esta en $(x,0)$, es estirada hacia el origen con una fuerza de magnitud $\frac{k}{x^{2}}$. Si la partícula parte del reposo en $x=b$ y no actúa sobre ella ninguna otra fuerza, determine el trabajo realizado sobre ella cuando llega a $x=a, 0< a<b$.

Más adelante…

En esta entrada vimos la aplicación de la integral en el área de la física con ejemplos sencillos, dando la definición de trabajo y la definición de la ley de Hooke, en la siguiente entrada veremos otra aplicación en la física que es la definición de fuerza y presión en la hidrostática.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Centro de masa y momentos

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos el teorema de Pappus-Guldin el cual nos permite calcular el centroide, área y volumen de un sólido de revolución, en esta sección veremos una aplicación en el área de la física como aplicación de la integración para el cálculo de centro de masas y momentos. Cabe destacar que estudiaremos objetos unidimensionales y bidimensionales, ya que para objetos en el espacio se necesitan integrales múltiples, lo cual, no estudiaremos en este curso.

Centro de masas y momentos (unidimensional)

Figura 1: Varilla con dos pesas en sus extremos.

Comencemos con el caso de una varilla balanceada en un punto sobre el eje $x$ y en sus extremos una masa $m_{1}$ en $x_{1}$ y $m_{2}$ en $x_{2}$ como se muestra en la figura $(1)$. Sea $\bar{x}$ el centro de masa, la varilla se balanceara si:

$$m_{1}d_{1}=m_{2}d_{2}$$

Donde $d_{1}=\bar{x}-x_{1}$ y $d_{2}=x_{2}-\bar{x}$, sustituyendo esto en la ecuación anterior, tenemos que:

$$m_{1}(\bar{x}-x_{1})=m_{2}(x_{2}-\bar{x})$$

$$\Rightarrow m_{1}\bar{x}-m_{1}x_{1}=m_{2}x_{2}-m_{2}\bar{x}$$

$$\Rightarrow \bar{x}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$

Por lo que, podemos calcular el centro de masa $\bar{x}$ del sistema con la relación anterior.

Se define a $m_{i}x_{i}$ el momento de la masa $m_{i}$, en este caso, tenemos dos momentos $m_{1}$ y $m_{2}$ con respecto al origen.

En general, si tenemos un sistema de $n$ partículas con sus respectivas masas $m_{1},\space m_{2}, \space …., \space m_{n}$ respectivamente localizadas en los puntos $x_{1},\space x_{2}, \space …., \space x_{n}$ sobre el eje $x$ y análogamente al estudio anterior, se puede demostrar que el centro de masa se puede calcular como:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}}{\sum_{i=1}^{n}m_{i}}=\frac{M}{m}$$

Donde $m$ es la suma de las $n$ masas y $M$ es la suma de los $n$ momentos.

Centro de masas y momentos (bidimensional)

Consideremos ahora un sistema de $n$ partículas con masas $m_{1},\space m_{2}, \space …., \space m_{n}$ localizadas en los puntos $(x_{1},\space y_{1}),\space (x_{2},\space y_{2}), \space …., \space (x_{n},\space y_{n})$ en el plano $xy$ como se muestra en la figura $(2)$.

Figura 2: Sistema de $4$ partículas con masa $m$.

Análogamente al caso unidimensional, se define el momento del sistema respecto del eje $y$ como:

$$M_{y}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i} \tag{1}$$

Y el momento del sistema respecto del eje $x$ como:

$$M_{x}=\sum_{i=1}^{n}m_{i}y_{i} \tag{2}$$

Por lo que el centro de masa $(\bar{x}, \bar{y})$ está dado como:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m} \space \space \space \space \space \space \bar{y}=\frac{M_{x}}{m}$$

Consideremos una placa con densidad uniforme $\rho$, se desea localizar su centro de masa, para esto, supongamos que esta región está en el intervalo $[a, b]$, dividimos este intervalo en $n$ subintervalos con puntos extremos $x_{0}, \space x_{1}, \space…., \space x_{n}$ e igual amplitud $\Delta x$. Sea $\bar{x_{i}}$ el punto medio del intervalo $[x_{i-1}, \space x_{i}]$, por lo que $\bar{x_{i}}=(x_{i-1}+x_{i})/2$, así, tendremos $n$ polígonos o $R_{i}$ rectángulos, aproximando a la placa como se muestra en la figura $(3)$.

Figura 3: Placa de densidad $\rho$.

El área del i-esimo rectángulo es:

$$A_{i}=f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i}$$

Como estamos en el caso bidimensional, recordemos que la densidad es una densidad superficial dada como:

$$\rho = \frac{M}{A}$$

Por lo que, para la masa:

$$M=\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i}$$

El momento del rectángulo $R_{i}$ respecto del eje $y$ es el producto de su masa y la distancia del centroide del i-esimo rectángulo $R_{i}$ que es $C_{i}(\bar{x_{i}}, \frac{1}{2}f(\bar{x_{i}}))$ como se muestra en la figura $(3)$, por la definición de $M_{y}$ $(1)$, se tiene que:

$$M_{y}(R_{i})=(\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i})\bar{x_{i}}$$

Al sumar estos momentos y tender $n \to \infty$ tenemos que:

$$M_{y}=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}(\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i})\bar{x_{i}}=\rho \int_{a}^{b}xf(x)dx $$

Del modo similar, el momento del rectángulo $R_{i}$ respecto del eje $x$ está dado como el producto de su masa por la distancia $C_{i} (\bar{x_{i}}, \frac{1}{2}f(\bar{x_{i}})) $ al eje $x$, por la definición de $M_{x}$ $(2)$, se tiene que:

$$M_{x}(R_{i})=(\rho f(\bar{x_{i}}) \Delta x_{i})\frac{1}{2}f(\bar{x_{i}})=\rho \frac{1}{2}[f(\bar{x_{i}}]^{2} \Delta x$$

Tomando el límite:

$$M_{x}=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\rho \frac{1}{2}[f(\bar{x_{i}}]^{2} \Delta x= \int_{a}^{b} \rho \frac{1}{2}[f(\bar{x_{i}}]^{2} dx $$

El centro de masa de la placa se define análogamente al sistema de $n$ partículas como:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m}$$

$$\bar{y}=\frac{M_{x}}{m}$$

Pero la masa de la placa es el producto de su densidad y su área, la cual podemos calcularla por medio de una integral:

$$m=\rho A=\rho \int_{a}^{b}f(x)dx$$

Por tanto, para calcular el centroide $(\bar{x},\bar{y})$ de esta placa se tiene que:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{\rho \int_{a}^{b}xf(x)dx}{\rho \int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b}xf(x)dx \tag{3}$$

$$\bar{y}=\frac{M_{x}}{m}=\frac{\rho \int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx}{\rho \int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{\int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b}\frac{1}{2}[f(x)]^{2}dx \tag{4}$$

Si la región se encuentra entre dos curvas $y=f(x)$ y $y=g(x)$ donde $f(x)\geq g(x)$ podemos utilizar el mismo método anterior para encontrar el centroide $(\bar{x},\bar{y})$ como:

$$\bar{x}=\frac{\int_{a}^{b}x[f(x)-g(x)]dx}{\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx}$$

$$\bar{y}=\frac{\int_{a}^{b}[f^{2}(x)-g^{2}(x)]dx}{2\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx}$$

Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplos

  • Suponga que se colocan tres masas puntuales en el plano $xy$ de la siguiente manera: $m_{1}=2 kg$ en la coordenada $(-1,3)$, $m_{2}= 6 kg$ en la coordenada $(1,1)$ y $m_{3}=4kg$ en la coordenada $(2,-2)$. Encuentre el centro de masa del sistema.

Calculamos la masa total como:

$$m=\sum_{i=1}^{3}m_{i}=2+6+4=12 kg$$

Ahora, encontrando los momentos respectivos en el eje $x$ y $y$:

$$M_{y}=\sum_{i=1}^{3}m_{i}x_{i}=-2+6+8=12$$

$$M_{x}=\sum_{i=1}^{3}m_{i}y_{i}=6+6-8=4$$

Calculando el centro de masas:

$$\bar{x}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{12}{12}=1$$

$$\bar{y}=\frac{M_{x}}{m}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Por lo que el centro de masas de este sistema es:

$$(\bar{x},\bar{y})=(1, \frac{1}{3})$$

  • Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas $y=\cos(x)$,$y=0$, $x=0$ y $x=\pi/2$.

El área de la región es:

$$A=\int_{0}^{\pi /2}\cos(x)dx=\sin(x) \bigg|_{0}^{\pi /2}=1$$

Así, calculando el centroide se tiene que, para $\bar{x}$ $(3)$:

$$\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi /2}xf(x)dx=\int_{0}^{\pi /2}x\cos(x)dx=x\sin(x)\bigg|_{0}^{\pi /2}-\int_{0}^{\pi /2}\sin(x)dx$$

$$=\frac{\pi}{2}-1$$

Para $\bar{y}$ $(4)$:

$$\bar{y}=\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi /2}\frac{1}{2}(f(x))^{2}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi /2}\cos^{2}(x)dx$$

$$=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi /2}(1+\cos(2x))dx=\frac{1}{4}\left [ x+\frac{1}{2}\sin(2x) \right ]\bigg|_{0}^{\pi /2}=\frac{\pi}{8}$$

Por tanto, el centroide es: $$(\bar{x},\bar{y})=(\frac{\pi}{2}-1,\frac{\pi}{8})$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Encuentre los momentos del centro de masas cuyas masas son 3, 4 y 8 con coordenadas $(-1, 1)$, $(2, -1)$ y $(3, 2)$ respectivamente.
  2. Demuestre que el centro de masas de una varilla o de una franja recta y delgada de densidad constante se encuentra en su punto medio.
  3. Una varilla de longitud de 10cm. aumenta su grosor de izquierda a derecha en función de $f(x)=1+(x/10) kg/m$. Determinar el centro de masas de la varilla.
  4. Encuentre el centro de masas de una placa semicircular de radio $r$.
  5. Encuentre el centroide de la región acotada por la recta $y=x$ y la parábola $y=x^{2}$.

Más adelante…

En esta sección vimos como calcular el centro de masas y el momento de un sistema, en la siguiente sección veremos otra la aplicación de la integral en el área de la física, y es la aplicación de la integración al concepto de trabajo.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Área de una superficie de revolución

Por Miguel Ángel Rodríguez García

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Introducción

En la sección anterior vimos como calcular el volumen de una superficie de revolución por el método de capas cilíndricas, ahora, en esta entrada veremos como calcular el área de una superficie de revolución.

Área de una superficie de revolución

Consideremos una región delimitada por el eje $x$, las rectas $x=a$ y $x=b$ y la curva que tiene como función $y=f(x)$, continua en el intervalo $[a , b]$, giramos esta región alrededor del eje $x$ obteniendo una superficie de revolución como en la figura $(1)$.

Figura 1: Aproximación de un cono al area $\Delta S_{i}$

Dividimos el intervalo $[a , b]$ en $n$ subintervalos en donde el i-ésimo subintervalo es $[x_{i-1}, x_{i}]$ y sea $\Delta S_{i}$ el valor del área superficial del i-ésimo subintervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$ lo podemos calcular viéndolo como un tronco cónico (encerrado en líneas puntuadas, figura $(1)$) en donde su área de superficial es:

$$S=\pi (r_{1}+r_{2})g \tag{1}$$

Donde $g$ es la generatriz del tronco cónico, $r_{1}$ y $r_{2}$ son los radios respecto al eje de rotación.

Para dar correspondencia a la figura $(1)$, sea $g_{i}= \Delta L_{i}$ la generatriz del i-esimo tronco cónico, que se aproxima a la gráfica $y=f(x)$ como se muestra en la figura $(1)$ en el intervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$, por lo que el área superficial del i-esimo tronco cónico designado como $\Delta S_{i}$, lo podemos aproximar mediante la relación $(1)$ como:

$$\Delta S_{i}\approx \pi (f(x_{i-1})+f(x_{i}))\Delta L_{i}$$

Pero $\Delta L_{i}$ lo podemos aproximar por la definición de la longitud de arco en el intervalo $[x_{i-1}, x_{i}]$, así:

$$\Delta L_{i}\approx \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x$$

Con $\Delta x=x_{i}-x_{i-1}$, por tanto:

$$\Delta S_{i}\approx \pi (f(x_{i-1})+f(x_{i}))\sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x \tag{2}$$

Por otro lado, en el curso de Cálculo I, se vio el desarrollo de Taylor de una función $f(x)$, por lo que la definición del desarrollo en Taylor está dado de la forma:

$$y(x+h)\approx y(x)+hy'(x)+\frac{h^{2}y^{\prime \prime}(x)}{2!}+….$$

Aplicando lo anterior para $f(x_{i-1})$ suponiendo que $\Delta^{n} x$ es pequeño respecto al término $\Delta x$, se tiene que:

$$f(x_{i-1})=f(x_{i-1}+x_{i}-x_{i})=f(x_{i}-\Delta x) \approx f(x_{i})-f'(x_{i})\Delta x$$

Substituyendo en $\Delta S_{i}$ $(2)$, tenemos que:

$$\Delta S_{i}\approx \pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})} (f(x_{i-1})+f(x_{i}))\Delta x=\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x (f(x_{i})-f'(x_{i})\Delta x+f(x_{i}))$$

$$=\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x (2f(x_{i})-f'(x_{i})\Delta x)=\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x 2f(x_{i})-\pi \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta^{2} x f'(x_{i})$$

Observemos que cuando $n$ es demasiado grande el termino $\Delta^{2} x$ es pequeño respecto al término $\Delta x$, por lo que para $n$ lo suficientemente grande podemos despreciar el termino $\Delta^{2}x$, así:

$$\Delta S_{i}\approx 2 \pi f(x_{i}) \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x$$

Sumando todas las $n$ áreas superficiales y tendiendo $n \to \infty$ tenemos que el área de superficie $A_{s}$ es:

$$A_{s}=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Delta S_{i}=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} 2 \pi f(x_{i}) \sqrt{1+(f'(x_{i})^{2})}\Delta x$$

Se define el área superficial de un sólido de revolución si una función $f(x)\geq 0$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y gira alrededor del eje $x$ como:

$$A_{s}=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^{2}}dx =\int_{a}^{b} 2 \pi f(x) \sqrt{1+(f'(x)^{2})}dx \tag{3}$$

Análogamente, se define el área superficial de un sólido de revolución alrededor del eje $y$ como:

$$A_{s}=\int_{c}^{d} 2 \pi x \sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^{2}}dy =\int_{c}^{d} 2 \pi f(y) \sqrt{1+(f'(y)^{2})}dy \tag{4}$$

Ejemplos

  • Determinar el área de la superficie generada al hacer girar la curva $2\sqrt{x}$, donde $1 \leq x \leq 2$ alrededor del eje x.
Figura 2: Grafica de la función $f(x)=2\sqrt{x}$ y su correspondiente superficie de revolución.

Tenemos que $a=1$, $b=2$ y la curva que tiene como función $f(x)=2\sqrt{x}$, derivando obtenemos:

$$\frac{dy}{dx}f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

La gráfica la vemos en la figura $(2)$, así, utilizamos la relación $(3)$ y calculamos el área como:

$$S=\int_{1}^{2} 2\pi (2\sqrt{x}) \sqrt{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}}dx$$

Vemos que:

$$\sqrt{1+\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}$$

Sustituyendo esta expresión:

$$S=\int_{1}^{2} 2\pi (2\sqrt{x}) \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}} dx= \int_{1}^{2} 4\pi \sqrt{x+1} dx$$

Utilizando el método de sustitución tenemos que esta integral nos da por resultado:

$$S=4\pi \frac{2}{3}\left [ (x+1)^{2/3} \right ]\bigg|_{1}^{2}=\frac{8 \pi}{3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})$$

  • El segmento de recta $x=1-y$, $0 \leq y \leq 1$ se hace girar alrededor del eje $y$ para generar el cono de la figura $(3)$, determinar el área de su superficie lateral (la cual excluye el área de la base).
Figura 3: Grafica de la recta $x=1-y$ y su correspondiente superficie de revolución.

Tenemos que $c=0$, $d=1$ y la función de la curva:

$$x=1-y \Rightarrow \frac{dx}{dy}=-1 \Rightarrow \sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy} \right )^{2}}=\sqrt{1+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$$

Utilizamos la relación $(4)$ y calculamos el área superficial como:

$$S= \int_{0}^{1} 2\pi f(y) \sqrt{2}dy=\int_{0}^{1} 2\pi (1-y) \sqrt{2}dy=2\pi \sqrt{2}\left [ y-\frac{y^{2}}{2} \right ]\bigg|_{0}^{1}=2\pi \sqrt{2}(1-\frac{1}{2})=\pi \sqrt{2}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. El segmento de recta $y=\frac{x}{2}$, $0 \leq x \leq 4$ se hace girar alrededor del eje x para generar un cono, determinar el área de su superficie lateral.
  2. Un segmento de recta $y=\sqrt{2}$, $\frac{3}{4} \leq x \leq \frac{15}{4}$ se hace girar alrededor del eje x determinar el área de su superficie.
  3. El segmento de recta $x=\frac{y^{3}}{3}$, $0 \leq y \leq 1$ se hace girar alrededor del eje y determinar el área de su superficie.
  4. Un segmento de recta $x=2 \sqrt{4-y}$, $0 \leq y \leq \frac{15}{4}$ se hace girar alrededor del eje y determinar el área de su superficie.
  5. El segmento de recta $y= \sqrt{x+1}$, $1 \leq x \leq 5$ se hace girar alrededor del eje x determinar el área de su superficie.

Más adelante…

En esta entrada vimos como calcular el área de superficie de un sólido generado a partir de una curva respecto de un eje. En la siguiente sección trabajaremos con un teorema relacionado con el cálculo de estas áreas llamado el teorema de Pappus-Guldinus.

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