[latexpage]

El valor de las matemáticas

Partimos de un hecho fundamental: en las matemáticas podemos encontrar utilidad y podemos encontrar belleza.

Las matemáticas indudablemente son útiles. El ejemplo más básico es saber aritmética simple para llevar cuentas cotidianas: pagos, cambios, etc. En este ejemplo las matemáticas juegan el papel de ser una herramienta. Hay que tener cuidado, pues el ejemplo puede ser engañoso: las matemáticas no sólo se tratan de aritmética y no sólo se tratan de números. Hay ocasiones en las que la herramienta que usamos es más sofisticada. Podemos utilizar un área que se llama topología para encontrar nuevas clasificaciones de cáncer [3]. Podemos usar la teoría de grupos para arreglar errores en la comunicación de computadoras [2]. O procesos estocásticos para determinar el valor justo que debe tener una acción [4]. En cada una de estas situaciones las matemáticas juegan un papel fundamental para entender el mundo pues traducen las situaciones del mundo real a un lenguaje en el que podemos tomar decisiones. Este tipo de matemáticas son las que tienen una influencia en el desarrollo de la ciencia, la tecnología y la economía.

No obstante, hay una utilidad de las matemáticas más sutil y a la vez más impactante en la vida cotidiana. Al trabajar problemas de matemáticas se desarrollan varias habilidades de pensamiento que no podemos obtener aplicando fórmulas ni usando la calculadora. Una de ella es el pensamiento deductivo, que permite entender con claridad cuándo un hecho es consecuencia de otro y cómo a partir de ciertos hechos sencillos podemos llegar a conclusiones complejas y válidas. Otra es la capacidad de abstracción, que permite tomar un problema complejo, aplicarle un filtro que lo reduzca a su esencia y de este modo tener un problema más fácil de resolver, pero cuya solución tiene tanto valor como la del original. Una más es el pensamiento por heurísticas, que permite dar pasos inmediatos hacia la solución de un problema sin requerir conocimientos teóricos complejos. Así, al resolver problemas matemáticos se desarrollan ciertos hábitos mentales positivos para eventos fuera de las matemáticas.

Hablemos ahora de la belleza. Por un lado, las matemáticas pueden ser una herramienta para crear algo bello. Un ejemplo de esto son los fractales. Mediante una ecuación sencilla y algunos algoritmos computacionales que deciden qué color utilizar es posible crear imágenes como las siguientes:

Por otro lado, las matemáticas también pueden ser bellas por sí mismas. Puede haber belleza en los resultados, aunque algunas ocasiones esto sólo es producto de una casualidad. Por ejemplo, en la curiosa igualdad

$3435 = 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5,$

no hay ninguna razón evidente por la cual elevar los dígitos a ellos mismos y sumar se obtenga el número original. Hay otras ocasiones un poco más especiales en las que la belleza del resultado no es arbitraria y en ella se oculta una verdad. Un ejemplo de esto es la fórmula de Euler, que involucra cinco constantes matemáticas importantes:

$e^{\pi i} + 1 = 0$

dice secretamente: «si rotamos el plano $180$ grados con centro en cero, es como si lo multiplicáramos por $-1$».

Finalmente, en las matemáticas también hay belleza en el procedimiento. La apreciación de esta belleza es un gusto adquirido. Es más probable detectarla una vez que se han resuelto cientos de problemas. Una prueba elegante usualmente presenta ideas profundas en argumentos sencillos. El famoso matemático húngaro Paul Erdös aseguraba que, en algún rincón del cielo, Dios debía tener un libro escrito con las pruebas más bellas. Así como hay poemas que son odas a los sentimientos humanos, también existen pruebas de teoremas que son una oda a sus razonamientos.

Resolución de problemas y concursos matemáticos

Ya que en las matemáticas encontramos utilidad y belleza, entonces es valioso promover su estudio. Existen varias habilidades matemáticas que se pueden desarrollar. En el temario escolar se trabaja en entender las matemáticas como herramienta: se plantea un lenguaje matemático básico, se enseña a utilizar fórmulas y a modelar fenómenos reales en términos matemáticos. Sin embargo hay algunos aspectos de las matemáticas que no se desarrollan, o bien se desarrollan poco: la resolución creativa de problemas matemáticos, el pensamiento deductivo o el pensamiento por heurísticas.

Los eventos matemáticos de nuestro interés se enfocan en proveer un espacio para el desarrollo de estas habilidades mediante concursos de matemáticas. El ingrediente de competitividad establece un mecanismo para detectar a los chicos más talentosos y más trabajadores. Además, da un incentivo adicional para el estudio personal: obtener un viaje, una medalla y el reconocimiento que ello implican. Sin embargo, la parte fundamental de los concursos matemáticos no son las medallas que se otorgan, sino la cultura que se forma alrededor del evento. Se trata de crear una comunidad donde la obtención de un premio es prestigiosa, pero donde también el camino intermedio recorrido por cada participante es valioso para su desarrollo personal y para el fortalecimiento de la comunidad.

Actualmente existen cientos de concursos matemáticos a nivel nacional, regional e internacional [6].

La Olimpiada Internacional de Matemáticas

El concurso internacional de matemáticas con mayor tradición es la Olimpiada Internacional de Matemáticas (IMO). Poco a poco se ha ganado el título del concurso pre-universitario de mayor prestigio en el ámbito académico [5]. Obtener una medalla en la IMO es un logro académico excepcional que requiere una fuerte cantidad de trabajo y que abre las puertas a varias opciones universitarias y profesionales.

La IMO nace en Rumanía en el año 1959 con siete países participantes. Con el paso de los años ha tenido un crecimiento significativo. En cada una de las últimas ediciones han participado cerca de 550 concursantes provenientes de cerca de 100 países. Cada país está invitado a participar con 6 concursantes y algunos profesores que los acompañan. Uno de esos profesores juega el papel de Líder de Equipo durante el evento. Los líderes de todos los países conforman el Jurado Internacional.

El examen de la IMO consiste de dos exámenes, cada uno de ellos con tres problemas. Cada examen tiene una duración de cuatro horas y media. Los problemas son inéditos y son propuestos por los países participantes y por matemáticos de todo el mundo. A partir de una lista selecta de estas propuestas, el Jurado Internacional decide el contenido final del examen. Para la evaluación, el país sede elige matemáticos y ex-olímpicos que juegan el papel de Coordinadores. Ellos califican cada examen con una puntuación entera de 0 a 7 a partir de criterios previamente acordados. Para garantizar la correcta calificación de los exámenes, los profesores que acompañan a cada equipo también realizan una segunda revisión. En caso de haber diferencias, deben de llegar a un acuerdo con los Coordinadores.

La IMO ha desencadenado varios movimientos de resolución de problemas matemáticos alrededor del mundo, entre ellos la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. También se han creado olimpiadas regionales como escalones intermedios para la participación en la Internacional. Ejemplo de esto son la Iberoamericana y la Centroamericana. A su vez, de manera individual en la IMO han concursado estudiantes que posteriormente se han convertido en matemáticos del más alto nivel. En la última entrega de Medallas Fields (el reconocimiento más importante a contribuciones importantes de matemáticos jóvenes), se otorgó la primera medalla latinoamericana al ex-IMO brasileño Artur Avila y la primera medalla a una mujer a la ex-IMO iraní Maryam Mirzakhani [1].

En 2011 se crea la asociación sin fines de lucro IMO Foundation, lo que ha permitido que la Olimpiada Internacional de Matemáticas se fortalezca no sólo como proyecto, sino también como institución.

Referencias

[1] The Guardian. Fields Medals 2014: the maths of Avila, Bhargave, Hairer and Mirzkhani explained, August 2014.

[2] W.C. Huffman and V. Plass. Funaamentals or Error-Correcting Codes. Cambridge University Press, 2003.

[3] Monica Nicolau, Arnold J. Levine, and Gunnar Carlsson. Topology based data analysis identifies a subgroup of breast cancers with a unique mutation profile and excellent survival. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 108(17): 7265-7270, April 2011.

[4] W. Paul and J. Baschnagel. Stochastic Processes: From Physics fo Finance. Springer, 2013.

[5] Wikipedia. International Mathematical Olympiad – Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2015. Accesado el 26 de agosto de 2015.

[6] Wikipedia, List of mathematics competitions – Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2015. Accesado el 26 de agosto de 2015.