MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada daremos finalmente una demostración del Teorema de Fubini.

Notación. Por simplicidad, a lo largo de nuestros desarrollos denotaremos como $\lambda$ a la medida de Lebesgue en cualquier dimensión. La dimensión en la que estemos trabajando será clara del contexto.

Teorema de Fubini-Tonelli (para funciones no negativas). Sea $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ una función medible no negativa. Entonces para c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^n$, la función $$f_y:{\mathbb{R}}^l\to [0,\mathrm{\infty }]$$ Es medible sobre ${\mathbb{R}}^l$. Más aún, la función definida en c.t.p. $$F(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_y(x)\mathrm{d}x$$ Es medible en sobre ${\mathbb{R}}^m$ y $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^m}F(y)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}f(x,y)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y.$$

Demostración. La demostración se divide en varios pasos. Los dos principales son:

1. Probar primero el teorema para el caso en el que $f={\chi }_A$ es la función característica de un conjunto medible y acotado $A$. Para esto, conviene primero ver los casos en que $A$ es un conjunto «sencillo» (rectángulo/abierto/compacto) y luego usar argumentos de aproximación.
2. Probar el caso general con el esquema usual: proposición para función característica $⟹$ proposición para función simple (por linealidad) $⟹$ proposición para función medible general (por convergencia monótona).

Para el primer paso, debemos probar que para cada $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ medible: $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}({\chi }_A{)}_y(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_A(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$⟺{\int }_{{\mathbb{R}}^m}({\int }_{{\mathbb{R}}^l}{\chi }_{A_y}(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\chi }_A(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$
$$⟺{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (A_y)\mathrm{d}y=\lambda (A)$$

• Supongamos primero que $f={\chi }_J$, donde $J$ es un rectángulo semiabierto, es decir un rectángulo de la forma $J=[a_1,b_1)\times [a_2,b_2)\times \cdots \times [a_n,b_n)$.

Notemos que podemos descomponer a $J$ como un producto cartesiano de dos rectángulos semiabiertos $J=J^{\prime }\times J»$; donde $J^{\prime }=[a_1,b_1)\times [a_2,b_2)\times \cdots \times [a_l,b_l)\subseteq {\mathbb{R}}^l$ y $J»=[a_{l+1},b_{l+1})\times [a_{l+2},b_{l+2})\times \cdots \times [a_n,b_n)\subseteq {\mathbb{R}}^m$. Además, claramente $$\lambda (J)=\lambda (J^{\prime })\lambda (J»)$$

Ahora, para cualquier $y\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{m}}$:

$$J_y=\{\begin{array}{ll}{J}^{\prime }& \text{si }y\in J»\\ \mathrm{\varnothing }& \text{si }y\notin J»\end{array}$$

Entonces:

$$\lambda (J_y)=\{\begin{array}{ll}\lambda (J^{\prime })& \text{si }y\in J»\\ 0& \text{si }y\notin J»\end{array}$$

Por lo que $$\lambda (J_y)=\lambda (J^{\prime }){\chi }_{J»}(y)$$

Es medible (en ${\mathbb{R}}^m$) como función de $y$ con:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (J_y)\mathrm{d}y& ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (J^{\prime }){\chi }_{J»}(y)\mathrm{d}y\\ & =\lambda (J^{\prime }){\int }_{{\mathbb{R}}^m}{\chi }_{J»}(y)\mathrm{d}y\\ & =\lambda (J^{\prime })\lambda (J»)\\ & =\lambda (J)\end{array}$$

Lo que establece el teorema para $f={\chi }_J$.

• Veamos ahora el caso en el que $f={\chi }_G$, donde $G$ es un conjunto abierto.

En la entrada de invarianza de la medida de Lebesgue (ENLACE) probamos que $G$ se puede escribir como una unión numerable de rectángulos semiabiertos ajenos: $$G=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_k.$$
Entonces, se sigue que para cualquier $y\in {\mathbb{R}}^m$: $$G_y=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(J_k{)}_y$$ Es también una unión numerable y disjunta de rectángulos semiabiertos (algunos posiblemente vacíos). Por monotonía: $$\lambda (G)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (J_k);\lambda (G_y)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (J_{k,y}).$$
En particular $\lambda (G_y)$ es medible como función de $y$ (cada $\lambda (J_{k,y})$ es medible por el caso anterior).

Finalmente, por nuestro teorema de intercambio de sumas e integrales para funciones positivas y el caso anterior:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (G_y)\mathrm{d}y& ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (J_{k,y}))\mathrm{d}y\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}({\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (J_{k,y}))\mathrm{d}y\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (J_k)\\ & =\lambda (G)\end{array}$$

Lo que establece el teorema para $f={\chi }_G$.

• Veamos ahora el caso $f={\chi }_K$ con $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$ compacto.

Tomemos un conjunto abierto y acotado $G$ tal que $K\subseteq G$ $⟹$ $G\setminus K$ es abierto.

Es fácil ver que para cualquier $y\in {\mathbb{R}}^m$, $(G\setminus K{)}_y=G_y\setminus K_y$ y $K_y\subseteq G_y$.

Por el caso anterior aplicado a los conjuntos abiertos $G$ y $G\setminus K$, concluimos que $\lambda (K_y)=-(\lambda (G_y)-\lambda (G_y\setminus K_y))$ es medible en $y$ y además:
$${\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (G_y)\mathrm{d}y=\lambda (G)$$ Y $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (G_y\setminus K_y)\mathrm{d}y=\lambda (G\setminus K)$$
$$⟹{\int }_{{\mathbb{R}}^m}(\lambda (G_y)-\lambda (K_y))\mathrm{d}y=\lambda (G)-\lambda (K)$$
$$⟹{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (G_y)\mathrm{d}y-{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (K_y)\mathrm{d}y=\lambda (G)-\lambda (K)$$

Restando la última igualdad a la primera, concluimos que $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (K_y)\mathrm{d}y=\lambda (K)$$
Como queríamos probar.

• Sea $K_1\subseteq K_2\subseteq \dots$ una sucesión creciente de conjuntos compactos en ${\mathbb{R}}^n$. Veamos que el resultado es válido para $B=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_j$.

Primero notemos que para cada $y\in {\mathbb{R}}^m$: $$B_y=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_{j.y}$$ Es una unión numerable y creciente de conjuntos compactos en ${\mathbb{R}}^l$, por lo que $B_y$ es un conjunto medible (en ${\mathbb{R}}^l$) y $$\lambda (K_{j,y})\uparrow \lambda (B_y)$$
En particular $\lambda (B_y)$ es medible como función de $y$ (al ser límite creciente de funciones medibles). Más aún, por el teorema de la convergencia monótona:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (B_y)\mathrm{d}y& =\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (K_{j,y})\mathrm{d}y\\ & =\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}\lambda (K_j)\\ & =\lambda (B).\end{array}$$

Lo que completa este caso.

• Similarmente al caso anterior, sea $G_1\supseteq G_2\supseteq \dots$ una sucesión decreciente de conjuntos abiertos y acotados en ${\mathbb{R}}^n$. Veamos que la proposición es cierta para la intersección: $C=\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_k$.

Para ello, tomemos un compacto $K$ con $K\supseteq G_1$. Aplicando el caso anterior al conjunto $$K\setminus C=\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(K_j\setminus G_j)$$

Se sigue que $\lambda (K_y\setminus C_y)=\lambda (K_y)-\lambda (C_y)$ es medible como función de $y$ y:
$${\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (K_y\setminus C_y)\mathrm{d}y=\lambda (K\setminus C)$$ $$⟹{\int }_{{\mathbb{R}}^m}(\lambda (K_y)-\lambda (C_y))\mathrm{d}y=\lambda (K\setminus C)$$ $$⟹{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (K_y)\mathrm{d}y–{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (C_y)\mathrm{d}y=\lambda (K)-\lambda (C)$$

Por el caso compacto, tenemos también que $\lambda (K_y)$ es medible en $y$ con: $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (K_y)\mathrm{d}y=\lambda (K).$$ Restando las expresiones anteriores se sigue: $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (C_y)\mathrm{d}y=\lambda (C).$$ Lo que completa este caso.

• Veamos finalmente el caso general: Sea $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ un conjunto medible y acotado arbitrario.

Por el teorema de aproximación de conjuntos medibles [Enlace] podemos encontrar una sucesión de conjuntos compactos $K_j$ y una sucesión de conjuntos abiertos $G_j$ tales que $$K_1\subseteq K_2\subseteq \cdots \subseteq A\subseteq \cdots \subseteq G_2\subseteq G_1.$$

Con $$\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}\lambda (K_j)=\lambda (A)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}\lambda (G_j).$$
Definamos $$B=\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_j;C=\bigcap _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_j.$$

Claramente $B\subseteq A\subseteq C$ y $\lambda (B)=\lambda (A)=\lambda (C)$. Por los casos anteriores: $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (B_y)\mathrm{d}y=\lambda (B);{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (C_y)\mathrm{d}y=\lambda (C).$$

Al restar las expresiones se sigue: $${\int }_{{\mathbb{R}}^m}[\lambda (C_y)-\lambda (B_y)]\mathrm{d}y=0.$$

Como el integrando es no negativo, se sigue por propiedades de la integral que $$\lambda (C_y\setminus B_y)=\lambda (C_y)-\lambda (B_y)=0$$
Para casi todo $y\in {\mathbb{R}}^m$.

Por esta razón, $C_y\setminus B_y$ es un conjunto nulo en ${\mathbb{R}}^l$ para c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^m$. Para tales $y$, el hecho que $B_y\subseteq A_y\subseteq C_y$ y $\lambda (B_y)=\lambda (C_y)$ implica que el propio $A_y$ es un conjunto medible de ${\mathbb{R}}^l$ con $\lambda (B_y)=\lambda (A_y)=\lambda (C_y)$. Como $\lambda (B_y)$ (o $\lambda (C_y)$) es medible como función sobre $y$ (por los casos anteriores) e igual en c.t.p. a $\lambda (A_y)$, se sigue que $\lambda (A_y)$ es medible como función sobre $y$. Y además:

$$\begin{array}{rl}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (A_y)\mathrm{d}y& ={\int }_{{\mathbb{R}}^m}\lambda (B_y)\mathrm{d}y\\ & =\lambda (B)\\ & =\lambda (A).\end{array}$$

Para la primera igualdad se usó que $\lambda (A_y)=\lambda (B_y)$ en c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^m$, mientras que la segunda se sigue por los casos anteriores.

Esto completa la primera parte de la demostración.

Pasemos a la segunda parte: Probar el resultado para una función medible no negativa general.

Definición. Diremos que una función simple $s\in S$, $s=\sum _{k=1}^l{\alpha }_k{\chi }_{A_k}$ es de soporte acotado, si cada $A_k$ es un conjunto acotado. O equivalentemente que el conjunto $x|s(x)\ne 0$ sea acotado. Denotaremos el conjunto de funciones simples de soporte acotado como $S_c$.

Se sigue inmediatamente de la parte anterior y linealidad que el teorema de Fubini es válido para funciones simples de soporte acotado.

Notemos que para cualquier función medible no negativa, $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$, podemos encontrar una sucesión de funciones simples y de soporte acotado ${s_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq S_c$ tales que $s_k\uparrow f$: Basta tomar cualquier sucesión de funciones simples ${r_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ tales que $r_k\uparrow f$ y definir $s_k=r_k\cdot {\chi }_{[-k,k{]}^n}$ (¿Porqué?).

Sea entonces $f:{\mathbb{R}}^n\to [0,\mathrm{\infty }]$ una función medible no negativa arbitraria y ${r_k}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión de funciones en $S_c$ tales que $$r_k\uparrow f.$$

Es claro que para cualquier $y\in {\mathbb{R}}^m$, $r_{k,y}\uparrow f_y$ cuando $k\to \mathrm{\infty }$.

Ahora, como el teorema de Fubini es válido para funciones en $S_c$, tenemos:

$r_{k,y}:{\mathbb{R}}^l\to [0,\mathrm{\infty }]$ es medible para c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^m$; la función $R_k(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{r}_{k,y}(x)\mathrm{d}x$ es medible sobre ${\mathbb{R}}^m$ y $${\int }_{{\mathbb{R}}^n}{r}_k(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^m}{R}_k(y)\mathrm{d}y.$$

Se sigue entonces que para c.t.p. $y\in {\mathbb{R}}^m$, $f_y$ es medible pues es el límite creciente de las funciones medibles $r_{k,y}$. Además por el teorema de la convergencia monótona, para tales $y$ se cumple:

$$F(y)={\int }_{{\mathbb{R}}^l}{f}_y(x)\mathrm{d}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{{\mathbb{R}}^l}{r}_{k,y}(x)\mathrm{d}x=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_k(y).$$

Por monotonía el límite anterior es de hecho creciente. Así que podemos escribir: $$R_k\uparrow F$$ En c.t.p. de ${\mathbb{R}}^l$. Luego, $F$ es medible al ser el límite creciente (en c.t.p.) de las funciones medibles $R_k$. Más aún tenemos:
$${\int }_{{\mathbb{R}}^m}F(y)\mathrm{d}y=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{{\mathbb{R}}^m}{R}_k(y)\mathrm{d}y=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{r}_k(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

(La primera y última igualdad se siguen del teorema de la convergencia monótona en ${\mathbb{R}}^m$ y ${\mathbb{R}}^n$ respectivamente). Lo que completa la demostración del teorema de Fubini-Tonelli.

Más adelante…

Estudiaremos una generalización poderosa de los conceptos de medida e integración, que nos permite hablar de integral sobre espacios «abstractos».

Tarea moral