Continuación extremos locales.

Por Angélica Amellali Mercado Aguilar

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Introducción

Extremos Locales parte 2

Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una
función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza
sus valores mayor y menor.

Definición 1. Si f:u⊂Rn→R es una función escalar, dado un punto x0∈u
se llama mínimo local de f si existe una vecindad v de x0 tal que ∀x∈v , f(x)>f(x0). De manera analoga, x0∈u es un máximo local si existe una vecindad v de x0 tal que f(x)<f(x0), ∀x∈v. El punto x0∈u es un extremo local o relativo, si es un mínimo local o máximo local.

Teorema 1. Criterio de la primera derivada Si u∈R es abierto, la función f:u⊂Rn→R es diferenciable y x0∈u es un extremo local entonces ∇f(x0)=0, esto es x0 es un punto crítico de f.

Demostración. Supongamos que t alcanza su máximo local en x0. Entonces para cualquier h∈Rn la función g(t)=f(x0+th) tiene un máximo local en t=0. Asi, del cálculo de una variable g′(0)=0 ya que como g(0) es máximo local, g(t)≤g(0) para t>0 pequeño

∴g′(0)=limt→t0+g(t)−g(0)t=0

Análogamente para t<0 pequeño tomamos

g′(0)=limt→t0−g(t)−g(0)t=0

Ahora por regla de la cadena g′(0)=∂f∂x1(x0)h1+∂f∂x2(x0)h2+⋯+∂f∂xn(x0)h0=∇f(x0)⋅h
Así ∇f(x0)⋅h=0∀h de modo que ∇f(x0)=0. En resumen si x0 es un extremo local, entonces ∂f∂xi(x0)=0∀ i=1,…,n. En otras palabras ∇f(x0)=0.

Ejemplo. Hallar los máximos y mínimos de la función f:R2→R, definida por f(x,y)=x2+y2−2x−6y+14

Solución. Debemos identificar los puntos críticos de f resolviendo ∂f∂x=0, ∂f∂y=0 para x,y, 2x−2=0   2y−6=0 De modo que el punto crítico es (1,3). Como f(x,y)=(x2−2x+1)+(y2−6y+9)+4=(x−1)2+(y−3)2+4
tenemos que f(x,y)≥4 por lo tanto en (1,3) f alcanza un mínimo relativo.

Ejemplo. Considerar la función f:R2→R,
f(x,y)=4−x2−y2 entonces ∂f∂x=−2x, ∂f∂y=−2y. f solo tiene un punto crítico en el origen, donde el valor de f es 4. Como f(x,y)=4−(x2+y2)
tenemos que f(x,y)≤4 por lo tanto en (0,0) f alcanza un máximo relativo.

Ejemplo. En el siguiente ejemplo mostramos que no todo punto critico es un valor extremo\Sea f(x,y)=x2y+y2x tenemos que sus puntos criticos son
∂f∂x=2xy+y2   ∂f∂y=2xy+x2=0
por lo tanto

(2xy+y2=02xy+x2=0)⇔(x=yx=−y)

tomando x=−y tenemos que
2xy+y2=0 ⇒ −2y2+y2=0 ⇒ −y2=0⇒ y=0 ⇒ x=0
tomando x=y tenemos que
2xy+y2=0 ⇒ 2y2+y2=0 ⇒ −3y2=0⇒ y=0 ⇒ x=0
por lo tanto (0,0) es el único punto critico.

Ahora bien para f(x,y) tomamos x=y
f(x,x)=2x3
la cual es (<0 si x<0) y (>0 si x>0) por lo tanto el punto critico (0,0) no es ni máximo ni mínimo local de f

Ahora bien para f(x,y) tomamos x=−y
f(x,−x)=0   ∀x
por lo tanto el punto critico (0,0) no es ni máximo ni mínimo local de f

Para el caso de funciones f:R3→R tenemos que recordando un poco de la expresión de taylor
f(x,y)=f(x0,y0)+(∂f∂x)p(x−x0)+(∂f∂y)p(y−y0)+(∂f∂z)p(z−z0)+

12!(∂2f∂x2p(x−x0)2+2∂2f∂x∂yp(x−x0)(y−y0)+∂2f∂y2p(y−y0)2+2∂2f∂x∂zp(z−z0)(x−x0)+2∂2f∂y∂zp(z−z0)(y−y0))
+∂2f∂z2p(z−z0)

Haciendo x−x0=h1,y−y0=h2,z−z0=h3 podemos escribir el término rojo de la siguiente manera

12!(∂2f∂x2h12+2∂2f∂x∂yh1h2+∂2f∂y2h22+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32)

y también se puede ver como producto de matrices
12!(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)

Si (x0,y0,z0) es un punto critico de la función entonces en la expresión de Taylor
f(x,y)=f(x0,y0)+(∂f∂x)p(x−x0)+(∂f∂y)p(y−y0)+(∂f∂z)p(z−z0)

12!(∂2f∂x2p(x−x0)2+2∂2f∂x∂yp(x−x0)(y−y0)+∂2f∂y2p(y−y0)2+2∂2f∂x∂zp(z−z0)(x−x0)+2∂2f∂y∂zp(z−z0)(y−y0))

+∂2f∂z2p(z−z0)(x−x0)

El término
∂f∂xp(x−x0)+∂f∂yp(y−y0)+∂f∂zp(z−z0)=0
y por lo tanto
f(x,y)−f(x0,y0)=12!(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)

vamos a determinar el signo de la forma
Q(h)=12!(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)

vamos a trabajar sin el término 12! que no afectara al signo de la expresión, tenemos entonces

Q(h)=(h1 h2 h3)(∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2)p(h1h2h3)=∂2f∂x2h12+2∂2f∂x∂yh1h2+∂2f∂y2h22+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32
=∂2f∂x2(h1+∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2)2+(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2)h22+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32

hacemos b1=∂2f∂x2,h1′=(h1+∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2),b2=∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2,  h2′=h2 y obtenemos

=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂zh3h1+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32

que podemos escribir
=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂z(h1+∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2−∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2)h3+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32

=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂z(h1′−∂2f∂y∂x∂2f∂x2h2′)h3+2∂2f∂y∂zh3h2+∂2f∂z2h32

=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂zh1′h3+(2∂2f∂y∂z−2∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂x2)h2′h3+∂2f∂z2h32

hacemos
2b23=2∂2f∂y∂z−2∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂x2y obtenemos
=b1h1′2+b2h2′2+2∂2f∂x∂zh1′h3+2b23h2′h3+∂2f∂z2h32
que se puede escribir

=b1(h1′2+2∂2f∂x∂zb1h1′h3+(∂2f∂x∂zh3b1)2)+b2(h2′2+2b23b2h2′h3+(b23b2h3)2)+(∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2)h32

hacemos
b3=∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2
y obtenemos

=b1(h1′2+2∂2f∂x∂zb1h1′h3+(∂2f∂x∂zh3b1)2)+b2(h2′2+2b23b2h2′h3+(b23b2h3)2)+b3h32
=b1(h1′+∂2f∂x∂zb1h3)2+b2(h2′+b23b2h3)2+b3h32
esta última expresión será positiva si y solo si b1>0  b2>0 y b3>0 en clases pasadas vimos los dos primeros, veamos ahora que b3=∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2>0
tenemos entonces que

∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2b1−b232b2=∂2f∂z2−(∂2f∂x∂z)2∂2f∂z2−(∂2f∂y∂z−2∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂x2)2∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2

=∂2f∂z2∂2f∂x2(∂2f∂x∂z)2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂z∂2f∂x2−∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)2(∂2f∂x2)2∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2=∂2f∂z2∂2f∂x2(∂2f∂x∂z)2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂z∂2f∂x2−∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)∂2f∂x2

=(∂2f∂z2∂2f∂x2−(∂2f∂x∂z)2)(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)−(∂2f∂y∂z∂2f∂x2−∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)

=∂2f∂z2∂2f∂x2∂2f∂y2∂2f∂x2−∂2f∂z2∂2f∂x2(∂2f∂y∂x)2−∂2f∂y2∂2f∂x2(∂2f∂x∂z)2+(∂2f∂x∂z)2(∂2f∂y∂x)2−(∂2f∂y∂z)2(∂2f∂x2)2−∂2f∂x2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)

2(∂2f∂x2∂2f∂y∂z∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x)−(∂2f∂x∂z)2(∂2f∂y∂x)2∂2f∂x2(∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2)
=∂2f∂z2∂2f∂y2∂2f∂x2−∂2f∂z2(∂2f∂y∂x)2−∂2f∂y2(∂2f∂x∂z)2−(∂2f∂y∂z)2∂2f∂x2+2∂2f∂y∂z∂2f∂x∂z∂2f∂y∂x∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2

=|∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2|∂2f∂y2∂2f∂x2−(∂2f∂y∂x)2

por lo tanto
b3>0 ⇔ |∂2f∂x2∂2f∂y∂x∂2f∂z∂x∂2f∂x∂y∂2f∂y2∂2f∂z∂y∂2f∂x∂z∂2f∂y∂z∂2f∂z2|>0

Un poco de Algebra Lineal

Si A∈Mn×n una matriz simétrica entonces existe una B∈Mn×n una matriz ortonormal tal que
BABT
es una matriz diagonal, es decir

BABT=[λ1⋯00⋱⋮0⋯λn]
Las matrices ortonormales se usan para realizar un cambio de base.

Si F:Rn→R es una forma cuadrática que tiene asociada la matriz simétrica A (en una base ortonormal) es decir
F(x1,x2,…,xn)=(x1⋯xn)A(x1⋯xn)T
existe entonces una base ortonormal tal que la matriz asociada a F en esta nueva base es una matriz diagonal.

Tenemos que si
B=[b11⋯b1n⋮⋱⋮bn1⋯bnn]
es tal que BABT es diagonal entonces
(x1⋯xn)=[x1′⋯xn′][b11⋯b1n⋮⋱⋮bn1⋯bnn]
=[x1′⋯xn′]B
Por lo que
F(x1,x2,…,xn)=(x1⋯xn)A(x1⋯xn)T
=F(x1,x2,…,xn)=(x1′⋯xn′)BA(x1′⋯xn′B)T
=(x1′⋯xn′)BABT(x1′⋯xn)T
=(x1′⋯xn′)[λ1⋯00⋱⋮0⋯λn](x1′⋯xn)T
=λ1x12+λ2x22+⋯+λnxn2

por lo que F es positiva si λ1,⋯,λn son positivos, de igual manera F es negativa si λ1,⋯,λn son negativos

Si definimos, para cada k∈1,…,n
Dk=[λ1⋯0⋮⋱⋮0⋯λk]

entonces
det(Dk)=λ1⋅λ2⋯λk
de tal forma que podemos decir que F es positiva si det(Dk)>0 y también F es negativa si det(Dk)<0 lo cual ocurre si det(Dk)<0 si k es impar y det(Dk)>0 si k es par para cada k∈{1,..,n}

Definición 2. La forma Q(x)=xAxt, que tiene asociada la matriz A (respecto a la base canónica de Rn) se dice:
Definida positiva, si Q(x)>0 ∀x∈ Rn

La forma Q(x)=xAxt, que tiene asociada la matriz A (respecto a la base canónica de Rn) se dice:
Definida negativa, si Q(x)<0 ∀x∈ Rn

Definición 3. Si la forma Q(x)=xAxt es definida positiva, entonces f tiene un mínimo local en en x. Si la forma Q(x)=xAxt es definida negativa, entonces f tiene un máximo local en en x.

Definición 4. Dada una matriz cuadrada A=aijj=1,…,ni=1,…,n se consideran las submatrices angulares Akk=1,…,n definidas como A1=(a11) A2=(a11a12a21a22)  A3=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33),⋯,An=A
se define detAk=△k

Criterio 1 (a) Se tiene entonces que la forma Q(x)=xAXt es definida positiva si y solo si todos los determinantes △k  k=1,…,n son números positivos.

Criterio 1 (b) La forma Q(x)=xAXt es definida negativa si y solo si los dterminantes △kk=1,…,n tienen signos alternados comenzando por $\triangle_{1}<0,\triangle_{2}>0,…$ respectivamente.

Ejemplo. Consideremos la función f:R3→R f(x,y,z)=sin⁡x+sin⁡y+sin⁡z−sin⁡(x+y+z), el punto P=(π2,π2,π2) es
un punto crítico de f y en ese punto la matriz hessiana de
f es H(p)=[−2−1−1−1−2−1−1−1−2]

los determinantes de las submatrices angulares son
Δ1=det(−2) Δ2=det[−2−1 −1−2 ]

Δ3=detH(p)=−4 puesto que son signos alternantes con Δt<0 concluimos que la funcion f tiene en (π2,π2,π2) un máximo local. Este máximo local vale f(π2,π2,π2)=4

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