MATERIAL EN REVISIÓN

Introducción

En esta entrada definiremos la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$, que será junto a la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$, esencial para construir la integral de Lebesgue en el futuro.

Conjuntos de Borel

Definición. La clase de conjuntos de Borel ${\mathcal{B}}_n$ en ${\mathbb{R}}^n$ es la $\sigma$-álgebra generada [ENLACE] por la colección de conjuntos abiertos. Cuando la dimensión sea clara del contexto, denotaremos a los conjuntos de Borel simplemente como $\mathcal{B}$.

Observación. $\mathcal{B}$ contiene a todos los conjuntos abiertos y cerrados.

Observación. Como ya probamos, la clase de conjuntos Lebesgue medibles es una $\sigma$-álgebra que contiene a los abiertos, de modo que: $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{L}$ (definición de $\sigma$-álgebra generada). De hecho, es posible probar que la contención es estricta (aunque lo omitiremos). Puedes consultar un contraejemplo clásico en [ENLACE].

Los conjuntos de Borel se pueden pensar como «la $\sigma$-álgebra que tiene mejor relación con la topología de ${\mathbb{R}}^n$». Más adelante esto será crucial para construir una noción de integración que tenga una buena relación con límites y convergencias.

Algunas propiedades de los conjuntos de Borel

A pesar de no ser iguales, la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$ es «casi» la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$ como muestra el siguiente teorema.

Teorema. Si $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ es Lebesgue medible, entonces admite una descomposición de la forma $$A=E\cup N.$$ Donde $E\cap N=\mathrm{\varnothing }$, $E$ es un conjunto de Borel y $N$ es nulo.

Demostración. Por las equivalencias de conjuntos medibles, para cada $k\in \mathbb{N}$, podemos encontrar un cerrado $F_k\subseteq A$ tal que $$\lambda (A\setminus F_k)<\frac{1}{k}.$$ Definamos $E=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_k$. Claramente $E\subseteq A$ y $E\in \mathcal{B}$ (es unión numerable de conjuntos de Borel). Ahora, para cualquier $k\in \mathbb{N}$: $$\lambda (A\setminus E)\le \lambda (A\setminus F_k)<\frac{1}{k}$$ $$⟹\lambda (A\setminus E)=0.$$ Así que una posible descomposición es: $$N:=E\cup (A\setminus E).$$

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Conjuntos de Borel y funciones continuas

Como los conjuntos de Borel están definidos en «términos topológicos», es de esperarse que tengan una relación fuerte con las funciones continuas.

Teorema. Sea $E$ un conjunto de Borel en ${\mathbb{R}}^n$. Sea $f:E\to {\mathbb{R}}^m$ una función continua. Si $A\in {\mathcal{B}}_m$ , entonces $f^{-1}(A)\in {\mathcal{B}}_n$.

Demostración. La idea es explotar la estructura de $\sigma$-álgebra (tanto en ${\mathbb{R}}^n$ como en ${\mathbb{R}}^m$) para probar la proposición. Definamos: $$\mathcal{M}=\{A|A\subseteq {\mathbb{R}}^m\text{ y }{f}^{-1}(A)\in {\mathcal{B}}_n\}.$$

Entonces, necesitamos probar que ${\mathcal{B}}_m\subseteq \mathcal{M}$. Como ${\mathcal{B}}_m$ es la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene a los abiertos de ${\mathbb{R}}^m$, basta probar que $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene a todos los abiertos de ${\mathbb{R}}^m$ para que ${\mathcal{B}}_m\subseteq \mathcal{M}$.

Notemos que:

• $f^{-1}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }$ y $\mathrm{\varnothing }\in {\mathcal{B}}_n$, por tanto $\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{M}$.
• Si $A_1,A_2,\cdots \in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A_k)\in {\mathcal{B}}_n$ para toda $k$. Pero como: $$f^{-1}(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k)=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{-1}(A_k).$$ Y este último pertenece a ${\mathcal{B}}_n$ (al ser unión nujmerable de elementos en ${\mathcal{B}}_n$), se tiene entonces $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\in \mathcal{M}$.
• Si $A\in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A)\in {\mathcal{B}}_n$, así que $$f^{-1}({\mathbb{R}}^m\setminus A)=E\setminus f^{-1}(A)\in {\mathcal{B}}_n.$$ Por tanto $A^c\in \mathcal{M}$.

Así que en efecto, $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra.

Veamos ahora que $\mathcal{M}$ contiene a los conjuntos abiertos. Es aquí donde entra la hipótesis de continuidad.

Sea $U\subseteq {\mathbb{R}}^m$ un abierto. Por la continuidad de $f$, $f^{-1}(U)$ es un abierto relativo en $E$, i.e. es de la forma $E\cap H$ con $H$ abierto en ${\mathbb{R}}^n$, de modo que $f^{-1}(U)=E\cap H\in {\mathcal{B}}_n$ $⟹$ $U\in \mathcal{M}$. Lo que concluye la prueba.

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Corolario. Sean $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ y $F\subseteq {\mathbb{R}}^m$ conjuntos de Borel. Sea $f:E\to F$ un homeomorfismo. Si $B\subseteq E$, entonces $B\in {\mathcal{B}}_n$ $⟺$ $f(B)\in {\mathcal{B}}_m$.

Más adelante…

Definiremos el concepto de función medible (aquellas funciones de las que tiene sentido «hablar de una integral»). Veremos sus principales propiedades y cómo se relacionan con los conceptos que hemos visto hasta ahora.

Tarea moral