Introducción

En esta entrada definiremos la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$, que será junto a la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$, esencial para construir la integral de Lebesgue en el futuro.

Conjuntos de Borel

Definición. La clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}_n$ en $\mathbb{R}^n$ es la $\sigma$-álgebra generada por la colección de conjuntos abiertos. Cuando la dimensión sea clara del contexto, denotaremos a los conjuntos de Borel simplemente como $\mathcal{B}$.

Observación. $\mathcal{B}$ contiene a todos los conjuntos abiertos y cerrados.

Observación. Como ya probamos, la clase de conjuntos Lebesgue medibles es una $\sigma$-álgebra que contiene a los abiertos, de modo que: $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{L}$ (definición de $\sigma$-álgebra generada). De hecho, es posible probar que la contención es estricta (aunque lo omitiremos). Puedes consultar un contraejemplo clásico en (Jones, 2001).

Los conjuntos de Borel se pueden pensar como «la $\sigma$-álgebra que tiene mejor relación con la topología de $\mathbb{R}^n$». Más adelante esto será crucial para construir una noción de integración que tenga una buena relación con límites y convergencias.

Algunas propiedades de los conjuntos de Borel

A pesar de no ser iguales, la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$ es «casi» la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$ como muestra el siguiente teorema.

Teorema. Si $A\subseteq \mathbb{R}^n$ es Lebesgue medible, entonces admite una descomposición de la forma $$A=E\cup N.$$ Donde $E\cap N=\emptyset$, $E$ es un conjunto de Borel y $N$ es nulo.

Demostración. Por las equivalencias de conjuntos medibles, para cada $k\in \mathbb{N}$, podemos encontrar un cerrado $F_k\subseteq A$ tal que $$\lambda(A\setminus F_k)<\frac{1}{k}.$$ Definamos $E=\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$. Claramente $E\subseteq A$ y $E\in \mathcal{B}$ (al ser unión numerable de conjuntos de Borel). Ahora, para cualquier $k\in \mathbb{N}$: $$\lambda(A\setminus E)\leq \lambda(A\setminus F_k)<\frac{1}{k}$$ $$\implies \lambda(A\setminus E)=0.$$ Así que una posible descomposición es: $$N:= E\cup (A\setminus E).$$

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Conjuntos de Borel y funciones continuas

Como los conjuntos de Borel están definidos en «términos topológicos», es de esperarse que tengan una relación fuerte con las funciones continuas.

Teorema. Sea $E$ un conjunto de Borel en $\mathbb{R}^n$. Sea $f:E\to \mathbb{R}^m$ una función continua. Si $A\in \mathcal{B}_m$ , entonces $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$.

Demostración. La idea es explotar la estructura de $\sigma$-álgebra (tanto en $\mathbb{R}^n$ como en $\mathbb{R}^m$) para probar la proposición. Definamos: $$\mathcal{M}=\{ A \ | \ A\subseteq \mathbb{R}^m \text{ y } f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n \}.$$

Entonces, necesitamos probar que $\mathcal{B}_m\subseteq \mathcal{M}$. Como $\mathcal{B}_m$ es la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene a los abiertos de $\mathbb{R}^m$, basta probar que $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene a todos los abiertos de $\mathbb{R}^m$ para que $\mathcal{B}_m\subseteq \mathcal{M}$.

Notemos que:

• $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ y $\emptyset\in \mathcal{B}_n$, por tanto $\emptyset \in \mathcal{M}$.
• Si $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A_k)\in \mathcal{B}_n$ para toda $k$. Pero como: $$f^{-1}(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\bigcup_{k=1}^{\infty}f^{-1}(A_k).$$ Y este último pertenece a $\mathcal{B}_n$ (al ser unión nujmerable de elementos en $\mathcal{B}_n$), se tiene entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}$.
• Si $A\in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$, así que $$f^{-1}(\mathbb{R}^m\setminus A)=E\setminus f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n.$$ Por tanto $A^c\in \mathcal{M}$.

Así que en efecto, $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra.

Veamos ahora que $\mathcal{M}$ contiene a los conjuntos abiertos. Es aquí donde entra la hipótesis de continuidad.

Sea $U\subseteq\mathbb{R}^m$ un abierto. Por la continuidad de $f$, $f^{-1}(U)$ es un abierto relativo en $E$, i.e. es de la forma $E\cap H$ con $H$ abierto en $\mathbb{R}^n$, de modo que $f^{-1}(U)=E\cap H\in \mathcal{B}_n$ $\implies$ $U\in \mathcal{M}$. Lo que concluye la prueba.

$\square$

Corolario. Sean $E\subseteq \mathbb{R}^n$ y $F\subseteq \mathbb{R}^m$ conjuntos de Borel. Sea $f:E\to F$ un homeomorfismo. Si $B\subseteq E$, entonces $B\in \mathcal{B}_n$ $\iff$ $f(B)\in \mathcal{B}_m$.

$\square$

Más adelante…

Definiremos el concepto de función medible (aquellas funciones de las que tiene sentido «hablar de una integral»). Veremos sus principales propiedades y cómo se relacionan con los conceptos que hemos visto hasta ahora.

Tarea moral

• Prueba que la $\sigma$-álgebra generada por el conjunto de rectángulos en $\mathbb{R}^n$ coincide con la $\sigma$-álgebra de Borel. [SUGERENCIA: ¿Porqué es cierto que cualquier conjunto abierto pertenece a dicha $\sigma$-álgebra?].
• Prueba que la $\sigma$-álgebra generada por el conjunto de polígonos especiales coincide con la $\sigma$-álgebra de Borel.
• Prueba que un conjunto $B\subseteq \mathbb{R}^n$ es Lebesgue medible si y sólo si existen $A$ y $C$ conjuntos de Borel tales que $A\subseteq B \subseteq C$ y $\lambda(C\setminus A)=0$.