MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En esta entrada definiremos la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$, que será junto a la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$, esencial para construir la integral de Lebesgue en el futuro.
Conjuntos de Borel
Definición. La clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}_n$ en $\mathbb{R}^n$ es la $\sigma$-álgebra generada [ENLACE] por la colección de conjuntos abiertos. Cuando la dimensión sea clara del contexto, denotaremos a los conjuntos de Borel simplemente como $\mathcal{B}$.
Observación. $\mathcal{B}$ contiene a todos los conjuntos abiertos y cerrados.
Observación. Como ya probamos, la clase de conjuntos Lebesgue medibles es una $\sigma$-álgebra que contiene a los abiertos, de modo que: $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{L}$ (definición de $\sigma$-álgebra generada). De hecho, es posible probar que la contención es estricta (aunque lo omitiremos). Puedes consultar un contraejemplo clásico en [ENLACE].
Los conjuntos de Borel se pueden pensar como «la $\sigma$-álgebra que tiene mejor relación con la topología de $\mathbb{R}^n$». Más adelante esto será crucial para construir una noción de integración que tenga una buena relación con límites y convergencias.
Algunas propiedades de los conjuntos de Borel
A pesar de no ser iguales, la clase de conjuntos de Borel $\mathcal{B}$ es «casi» la clase de conjuntos Lebesgue medibles $\mathcal{L}$ como muestra el siguiente teorema.
Teorema. Si $A\subseteq \mathbb{R}^n$ es Lebesgue medible, entonces admite una descomposición de la forma $$A=E\cup N.$$ Donde $E\cap N=\emptyset$, $E$ es un conjunto de Borel y $N$ es nulo.
Demostración. Por las equivalencias de conjuntos medibles, para cada $k\in \mathbb{N}$, podemos encontrar un cerrado $F_k\subseteq A$ tal que $$\lambda(A\setminus F_k)<\frac{1}{k}.$$ Definamos $E=\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$. Claramente $E\subseteq A$ y $E\in \mathcal{B}$ (es unión numerable de conjuntos de Borel). Ahora, para cualquier $k\in \mathbb{N}$: $$\lambda(A\setminus E)\leq \lambda(A\setminus F_k)<\frac{1}{k}$$ $$\implies \lambda(A\setminus E)=0.$$ Así que una posible descomposición es: $$N:= E\cup (A\setminus E).$$
$\square$
Conjuntos de Borel y funciones continuas
Como los conjuntos de Borel están definidos en «términos topológicos», es de esperarse que tengan una relación fuerte con las funciones continuas.
Teorema. Sea $E$ un conjunto de Borel en $\mathbb{R}^n$. Sea $f:E\to \mathbb{R}^m$ una función continua. Si $A\in \mathcal{B}_m$ , entonces $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$.
Demostración. La idea es explotar la estructura de $\sigma$-álgebra (tanto en $\mathbb{R}^n$ como en $\mathbb{R}^m$) para probar la proposición. Definamos: $$\mathcal{M}=\{ A \ | \ A\subseteq \mathbb{R}^m \text{ y } f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n \}.$$
Entonces, necesitamos probar que $\mathcal{B}_m\subseteq \mathcal{M}$. Como $\mathcal{B}_m$ es la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene a los abiertos de $\mathbb{R}^m$, basta probar que $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra que contiene a todos los abiertos de $\mathbb{R}^m$ para que $\mathcal{B}_m\subseteq \mathcal{M}$.
Notemos que:
- $f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$ y $\emptyset\in \mathcal{B}_n$, por tanto $\emptyset \in \mathcal{M}$.
- Si $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A_k)\in \mathcal{B}_n$ para toda $k$. Pero como: $$f^{-1}(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\bigcup_{k=1}^{\infty}f^{-1}(A_k).$$ Y este último pertenece a $\mathcal{B}_n$ (al ser unión nujmerable de elementos en $\mathcal{B}_n$), se tiene entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \mathcal{M}$.
- Si $A\in \mathcal{M}$, por definición $f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n$, así que $$f^{-1}(\mathbb{R}^m\setminus A)=E\setminus f^{-1}(A)\in \mathcal{B}_n.$$ Por tanto $A^c\in \mathcal{M}$.
Así que en efecto, $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra.
Veamos ahora que $\mathcal{M}$ contiene a los conjuntos abiertos. Es aquí donde entra la hipótesis de continuidad.
Sea $U\subseteq\mathbb{R}^m$ un abierto. Por la continuidad de $f$, $f^{-1}(U)$ es un abierto relativo en $E$, i.e. es de la forma $E\cap H$ con $H$ abierto en $\mathbb{R}^n$, de modo que $f^{-1}(U)=E\cap H\in \mathcal{B}_n$ $\implies$ $U\in \mathcal{M}$. Lo que concluye la prueba.
$\square$
Corolario. Sean $E\subseteq \mathbb{R}^n$ y $F\subseteq \mathbb{R}^m$ conjuntos de Borel. Sea $f:E\to F$ un homeomorfismo. Si $B\subseteq E$, entonces $B\in \mathcal{B}_n$ $\iff$ $f(B)\in \mathcal{B}_m$.
Más adelante…
Definiremos el concepto de función medible (aquellas funciones de las que tiene sentido «hablar de una integral»). Veremos sus principales propiedades y cómo se relacionan con los conceptos que hemos visto hasta ahora.