Introducción

Los espacios $L^p$ son posiblemente los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de la medida e integración de Lebesgue. Estos generalizan la idea de funciones integrables, y nos permiten medir el «tamaño» de funciones de maneras más flexibles y potentes, además, tienen propiedades súmamente interesantes en el contexto del análisis funcional. En esta entrada definiremos el concepto de espacio $L^p$ y estudiaremos algunas de sus propiedades básicas.

Aprovechando las nociones introducidas anteriormente, definiremos los espacios $L^p$ con toda generalidad sobre espacios de medida abstracta. En lo que sigue, $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario. Si te es más fácil, puedes pensar a $(X,\mathcal{M},\mu)$ como el espacio modelo $(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\lambda)$.

Motivación

Si bien la integral es una forma natural de medir la «masa de una función», es fácil llegar a la conclusión de que no necesariamente es la única manera de hacerlo. Consideremos la función $f(x)=\frac{1}{x}$ definida en $[1,\infty)$. Por un lado, es fácil estimar: $$\int_1^\infty \frac{1}{x} \ \mathrm{d}x=\lim_{N\to \infty} \int_{1}^{N}\frac{1}{x} \ \mathrm{d}x= \lim_{N\to \infty} \ln (N)=\infty.$$ Sin embargo, si en lugar de considerar solamente a la función, consideramos sus potencias, por ejemplo $2$, es fácil calcular $$\int_1^\infty \left( \frac{1}{x}\right)^2 \ \mathrm{d}x=1<\infty.$$ Es decir, aprovechando la «contracción» que nos ofrece la función $f(x)=x^2$ para $x<1$, podemos darle un sentido alternativo de «masa» a la función $\frac{1}{x}$, que nos arroja un valor mucho más manejable.

Ésta es precisamente la idea detrás de espacio $L^p$: considerar la integral de las potencias de funciones.

Además de ser una forma alternativa de medir la «masa de una función», ésta noción nos da ejemplos de espacios normados con una estructura muy interesante.

Espacios $L^p$

Por razones «algebraicas» que serán claras más adelante, la expresión $$ \left\lVert f \right\lVert_p = \left( \int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}.$$

Exhibe propiedades que son «casi» las de una norma, salvo que $\left\lVert f \right\lVert_p=0$ $\iff$ $f=0$, pues en realidad tenemos: $$\left\lVert f \right\lVert_p=0 \iff \int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu =0 \iff |f|^p= 0 \ \ \mu-c.t.p. \iff f=0 \ \ \mu-c.t.p.$$

Por ésta razón, conviene considerar a dos funciones «iguales» si son iguales en casi todo punto. Más formalmente, dada una función medible $f$, podemos considerar $[f]$ la clase de equivalencia de funciones medibles que son iguales en $\mu$-c.t.p. a $f$, es decir $$g\in[f] \ \ \iff \ \ g=f \ \text{ en } \mu- \text{c.t.p.}$$ Cualquier propiedad definida en términos de la integral debe ser preservada dentro de dicha clase de equivalencia, debido a la insensibilidad de la integral ante cambios en conjuntos de medida nula. Por ello, a partir de ahora identificaremos $f$ con $[f]$; es decir, cada vez que hablemos de una función medible $f$, implícitamente nos referiremos a su clase de equivalencia $[f]$.

Definición. Sea $f:X\to[-\infty,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible y sea $1\leq p<\infty$. Decimos que (la clase de equivalencia de) $f$ pertenece a $ L^p(X,\mathcal{M},\mu)$ si $$\int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu <\infty.$$
De manera abreviada usaremos la notación $f\in L^p(X)$ o simplemente $f\in L^p$ si el espacio de medida es claro del contexto. Para $\mathbb{R}^n$ (o cualquier subconjunto de este), $L^p(\mathbb{R}^n)$ denotará $L^p(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\lambda)$ con la medida de Lebesgue salvo que se especifique lo contrario.

Observación. La definición anterior tiene sentido. Anteriormente probamos que la función $|f|^p$ es medible y al ser no negativa tiene una integral bien definida. Además, esto es cierto para cualquier elemento de la clase de equivalencia $[f]$.

Ejemplo. $L^1$ preserva su significado como el espacio de las funciones integrables (salvo que ahora identificamos funciones iguales en c.t.p.).

$\triangle$

Proposición. La función $\left\lVert \cdot \right\lVert_p :L^p(X,\mathcal{M},\mu)\to [0,\infty)$ dada por:

$$\left\lVert f \right\lVert_p=\left(\int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}.$$ Es una norma.

Demostración. De la definición de $\left\lVert \cdot \right\lVert_p$, es inmediato que:

• $0\leq \left\lVert f \right\lVert_p < \infty$.
• $\left\lVert cf \right\lVert_p=|c|\left\lVert f \right\lVert_p$ si $c\in \mathbb{R}$.
• $\left\lVert f \right\lVert_p=0$ $\iff$ $f=0$ (es decir $[f]=[0]$) como mencionamos anteriormente.

Probar la desigualdad del triángulo, que en este contexto recibe el nombre de la desigualdad de Minkowski, requiere un par de resultados intermedios que merecen ser enunciados por separado.

$\square$

Lema (desigualdad de Young). Sean $1< p,q<\infty$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Entonces para cualesquiera $a,b>0$: $$ab\leq \frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

Demostración. La función $x\to e^x$ es convexa (su segunda derivada es $e^x>0$), de donde:

$$ab=e^{\ln a+\ln b}=e^{\frac{1}{p}\ln a^p+\frac{1}{q}\ln b^q}\leq \frac{1}{p}e^{\ln a^p}+\frac{1}{q}e^{\ln a^q}=\frac{a^p}{p}+\frac{a^q}{q}.$$

$\square$

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $1\leq p,q < \infty$ con $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Si $f\in L^p$ y $g\in L^q$, entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu \leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$

Demostración. La desigualdad es inmediata si $f=0$ ó $g=0$ así que supongamos que $f,g\neq 0$. Por la desigualdad de Young tenemos que: \begin{align*}
\int_X \left( \frac{|f|}{\left\lVert f \right\lVert_p} \right)\left( \frac{|g|}{\left\lVert g \right\lVert_q} \right) \ \mathrm{d}\mu &\leq \int_X
\frac{1}{p}\left( \frac{|f|}{\left\lVert f \right\lVert_p} \right)^p \ \mathrm{d}\mu+\int_X
\frac{1}{q}\left( \frac{|g|}{\left\lVert g \right\lVert_q} \right)^q \ \mathrm{d}\mu\\
&= \frac{\left\lVert f \right\lVert_p^p}{p\left\lVert f \right\lVert_p^p}+\frac{\left\lVert g \right\lVert_q^q}{q\left\lVert g \right\lVert_q^q} \\
&= \frac{1}{p}+\frac{1}{q} \\
&= 1.
\end{align*} $$\implies \int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu \leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$

$\square$

Definición. Dado $1<p<\infty $, el conjugado de Hölder de p es el número $q$ tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ($q=\frac{p}{p-1}$). Para $p=1$ convenimos $q=\infty$ y para $p=\infty$ convenimos $q=1$. Más adelante se verá la razón de esta convención.

La desigualdad de Hölder es, por sí sola, un resultado muy importante. La utilizaremos en múltiples ocasiones más adelante. Para ilustrar su aplicación, veamos un ejemplo sencillo: la desigualdad de Hölder en el contexto de la medida de conteo.

Ejercicio. Sean $0\leq a_1,a_2,\dots ,a_n$ y $0\leq b_1,b_2,\dots ,b_n$ números no negativos. Sean $p,q\in (1,\infty)$ tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Demuestra que:
$$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\leq\left( \sum_{k=1}^{n}a^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left( \sum_{k=1}^{n}b^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$

Solución. Sea $X=\{1,2,\dots,n \}$ con la medida de conteo $\mu$. Consideremos las funciones $f,g:X\to [0,\infty]$ dadas por $f(j)=a_j$ y $g(j)=b_j$ para $j=1,2,\dots, n$. Notemos que: $$\left\lVert f \right\lVert_p=\left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{p} = \left( \sum_{k=1}^{n}|f(k)|^p\right)^{\frac{1}{p}}=\left( \sum_{k=1}^{n}a_k^p\right)^{\frac{1}{p}}<\infty.$$ Y similarmente $$\left\lVert g \right\lVert_q=\left( \int_X |g|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^\frac{1}{q} = \left( \sum_{k=1}^{n}|g(k)|^q\right)^{\frac{1}{q}}=\left( \sum_{k=1}^{n}b_k^q\right)^{\frac{1}{q}}<\infty.$$ Además $$\int_X |fg|\ \mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{n}|f(k)g(k)|=\sum_{k=1}^{n}a_kb_k.$$ Se sigue entonces de la desigualdad de Hölder que $$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k=\int_X |fg|\ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q=\left( \sum_{k=1}^{n}a_k^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot \left( \sum_{k=1}^{n}b_k^q\right)^{\frac{1}{q}}$$
Como queríamos probar.

$\triangle$

Teorema (Desigualdad de Minkowski). Sean $f,g\in L^p$ con $1\leq p<\infty$. Entonces $f+g\in L^p$ y $$\left\lVert f +g\right\lVert_p\leq \left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p$$

Demostración. Para $p=1$, esto es una consecuencia de la desigualdad del triángulo convencional. Así que supongamos $p\neq 1$.

Primero notemos que $|f+g|,|f|+|g|\in L^p$ pues: $$|f+g|^p\leq (|f|+|g|)^p\leq (2\max{ |f|,|g|})^p\leq 2^p(\max{ |f|,|g|})^p\leq 2^p (|f|^p+|g|^p).$$

Más aún, como $|f+g|\in L^p$, entonces $|f+g|^{p-1}\in L^q$ donde $q=\frac{p}{p-1}$ es el conjugado de Hölder de $p$ pues: $$\int_X (|f+q|^{p-1})^q \ \mathrm{d}\mu = \int_X |f+q|^p \ \mathrm{d}\mu<\infty.$$
Se sigue entonces:

\begin{align*}
\left\lVert f+g \right\lVert_p^p &= \int_X |f+g|^p \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \int_X |f+g|^{p-1}(|f|+|g|) \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int_X |f+g|^{p-1}|f| \ \mathrm{d}\mu+ \int_X |f+g|^{p-1}|g| \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X |f+g|^{p} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\lVert f \right\lVert_p+\leq \left( \int_X |f+g|^{p} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{p-1}{p}}\left\lVert g \right\lVert_p \\
&= \left\lVert f+g \right\lVert_p^{p-1}(\left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p)
\end{align*}

De donde

$$\implies \left\lVert f+g \right\lVert_p\leq \left\lVert f \right\lVert_p+\left\lVert g \right\lVert_p.$$

$\square$

Más adelante…

Veremos otra propiedad anlítica fundamental de los espacios $L^p$: son espacios de Banach.

Tarea moral

• Sean $f,g$ funciones $\mathcal{M}$-medibles sobre $X$. Prueba que si $|f|\leq |g|$ en $\mu$-c.t.p. y $g\in L^p(X)$, entonces $f\in L^p(X)$ y además $\left\lVert f \right\lVert_p\leq \left\lVert g \right\lVert_p$.
• Sea $f(x)=x^\alpha$. Determina para qué exponentes $\alpha\in \mathbb{R}$ se cumple:
  • $f\in L^p(0,1)$.
  • $f\in L^p(1,\infty)$.
• Verifica que la desigualdad de Hölder es válida aún cuando $\int |f|^p \ \mathrm{d}\mu$ ó $\int |g|^q \ \mathrm{d}\mu$ son infinitas.
• (generalizaciones de la desigualdad de Hölder).
  • Sean $p,q,r\in [1,\infty)$ tales que $\frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$. Prueba que $$\left\lVert fg \right\lVert_r\leq \left\lVert f \right\lVert_p\left\lVert g \right\lVert_q.$$ [SUGERENCIA: Aplica la desigualdad de Hölder con los exponentes adecuados].
  • Sean $1<p_1,p_2,\dots p_n<\infty$ tales que $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k}$. Prueba que $$\left\lVert f_1 f_2 \dots f_n \right\lVert_1\leq \left\lVert f_1 \right\lVert_{p_1} \left\lVert f_2 \right\lVert_{p_2} \dots \left\lVert f_n \right\lVert_{p_n}.$$
• Demuestra que $$<f,g>:=\int fg \ \mathrm{d}\mu.$$ Es un producto interior sobre $L^2(X)$. Demuestra que la norma inducida por este producto coincide con $\left\lVert \cdot \right\lVert_2$.
• Analiza la prueba de la desigualdad de Hölder y deduce que la igualdad se alcanza si y sólo si $f$ y $g$ son proporcionales en casi todo punto, esto es, que existen constantes $A,B\geq 0$ (no ambas cero) tales que $A|f|^p=B|g|^q$ en $\mu$-c.t.p. [SUGERENCIA: Por convexidad estricta, la igualdad se alcanza en la desigualdad de Young si y sólo si $a^p=b^q$].
• Prueba que la igualdad se alcanza en la desigualdad de Minkowski si y sólo si existe $\lambda\geq 0$ tal que $f=\lambda g$ en $\mu$-c.t.p.

Introducción

En esta entrada estudiaremos brevemente dos ejemplos importantes de medidas «inducidas», es decir, que se definen en términos de otras medidas mediante funciones que las relacionan.

Medida inducida por una función de densidad

Supongamos que tenemos una distribución de «masa» o «sustancia» en el espacio, donde en algunas regiones la materia está más concentrada que en otras. ¿Cómo podemos medir la «masa» concentrada en un conjunto $E$, suponiendo que conocemos la densidad de masa $f$? La medida inducida por una función de densidad: $\mu_f(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu \ \ \forall E\in \mathcal{M}$, es una propuesta natural para este problema. Se puede pensar que $\mu$ da la «geometría» del espacio, mientras que $f$ ajusta la «densidad» de peso en cada región. De esta manera, podemos modelar fenómenos donde la importancia relativa varía, como probabilidades no uniformes o distribuciones físicas.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $f:X\to [0,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible no negativa. Definimos la medida inducida por la función de densidad $f$, $\mu_f$ como:
$$\mu_f(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu \ \ \ \ \ \forall E\in \mathcal{M}.$$
Proposición. $\mu_f$ es una medida.

Demostración. En primer lugar $\mu_f(\emptyset)=\int_{\emptyset} f \ \mathrm{d}\mu=0$. Además, dados $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{M}$ ajenos, se sigue del teorema de la convergencia monótona:

\begin{align*}
\mu_f\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)&= \int_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k} f \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int f\cdot\chi_{\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k} \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int f\left( \sum_{k=1}^{\infty}\chi_{A_k}\right) \ \mathrm{d}\mu \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\int f\cdot\chi_{A_k} \ \mathrm{d}\mu\\
&= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{A_k}f \ \mathrm{d}\mu \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\mu_f(A_k).
\end{align*}

$\square$

Observación. $\mu_f$ es una medida finita si y sólo si $f\in L^1(X)$.

La integral respecto a la medida inducida por una función tiene una forma muy particular, en la que por supuesto aparece la función $f$.

Teorema (Integral respecto a la medida inducida). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida, $f:X\to [0,\infty]$ una función $\mathcal{M}$-medible y $\mu_f$ la medida inducida por la función de densidad $f$. Entonces, para cualquier función $\mathcal{M}$-medible no negativa $g:X\to[0,\infty]$: $$\int g \ \mathrm{d}\mu_f=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$

Demostración. Veamos primero el caso en el que $g=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\chi_{E_k}\in S$ es una función simple:

$$\int g \ \mathrm{d}\mu_f= \sum_{k=1}^{m}\alpha_k\mu_f(E_k)=\sum_{k=1}^{m}\left(\alpha_k \int_{E_k} f \ \mathrm{d}\mu \right) = \int \left( \sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{E_k}\right)f \ \mathrm{d}\mu=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$

Ahora, para el caso general $g:X\to [0,\infty]$ $\mathcal{M}$-medible, tomemos una sucesión de funciones simples $\{s_k \}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k\uparrow g$ (y en particular $s_kf\uparrow gf$). Aplicando el teorema de la convergencia monótona y el caso anterior:

\begin{align*}
\int g \ \mathrm{d}\mu_f &= \lim_{k\to \infty} \int s_k \ \mathrm{d}\mu_f \\
&= \lim_{k\to \infty} \int s_kf \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int gf \ \mathrm{d}\mu.
\end{align*}

$\square$

Es inmediato generalizar el teorema anterior para funciones en $L^1$. Esto se queda como tarea moral.

La proposición anterior motiva una notación muy sugerente. A la medida $\mu_f$ se le denota comúnmente como $f\mathrm{d}\mu$. La proposición anterior toma la forma: $$\int g \ (f\mathrm{d}\mu )=\int gf \ \mathrm{d}\mu.$$

Observación. Es claro que si $\mu(E)=0$ $\implies$ $\mu_f(E)=(f\mathrm{d}\mu)(E)=\int_Ef \ \mathrm{d}\mu=0$. Esto es precisamente que la medida $\mu_f$ sea absolutamente continua respecto a la medida $\mu$:

Definición. Sean $\mu$ y $\nu$ medidas sobre el mismo espacio $(X,\mathcal{M})$. Decimos que $\nu$ es absolutamente continua respecto a $\mu$ si $\mu(E)=0$ $\implies$ $\nu(E)=0$ y lo denotamos por $$\nu<<\mu.$$

Sorprendentemente, la observación anterior tiene un regreso parcial: El teorema de Radon-Nikodym. Es un resultado bastante técnico por lo que omitimos la demostración. Puedes consultar la prueba y más resultados relacionados en (Folland, 1999).

Teorema (Radon-Nikodym). Sean $\mu$ y $\nu$ medidas $\sigma$-finitas sobre $(X,\mathcal{M})$. Si $\nu << \mu$, entonces existe una función $\mathcal{M}$-medible, $f:X\to[0,\infty]$, tal que $$\nu=\mu_f.$$

$\square$

Definición. Dadas dos medidas $\nu<<\mu$ sobre $(X,\mathcal{M})$ tales que existe una función medible $f:X\to[0,\infty]$ con $\nu=\mu_f=f\mathrm{d}\mu$ (por ejemplo, en el contexto del teorema de Radon-Nikodym), entonces decimos que $f$ es la derivada de Radon-Nikodym de $\nu$ respecto a $\mu$ y la denotamos como $$f=\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu}.$$ En este caso, el teorema de integral respecto a la medida inducida toma la forma: $$\int g \ \mathrm{d}\nu=\int \left(g\cdot \frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\mu} \right) \ \mathrm{d}\mu .$$

Medida Pushforward

Imaginemos que tenemos un mapeo $F:X\to Y$ que transforma puntos de un espacio en otro. Si tenemos una medida $\mu$ en el espacio original, la medida pushforward nos dice cómo se «redistribuye» esa medida en el nuevo espacio.

Definición. Sean $X$, $Y$ conjuntos y $\mathcal{M}$, $\mathcal{N}$ $\sigma$-álgebras sobre $X$ y $Y$ respectivamente. Diremos que una función $F:X\to Y$ es $(\mathcal{M},\mathcal{N})$-medible si $F^{-1}(E)\in \mathcal{M}$ $ \ \forall E\in \mathcal{N}$.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida, $Y$ un conjunto con una $\sigma$-álgebra $\mathcal{N}$ y $F:X\to Y$ una función $(\mathcal{M},\mathcal{N})$-medible. Definimos la medida imágen (o Pushforward) de $\mu$ bajo $F$, $F_*\mu$, por $$F_*\mu (E)=\mu(F^{-1}(E)) \ \ \ \ \ \ \ \forall E\in \mathcal{N} .$$

Es un ejercicio sencillo ver que $F_*\mu$ es efectivamente una medida sobre $Y$ y se queda como tarea moral.

Teorema (Cambio de Variable). Sean $(X,\mathcal{M},\mu)$, $(Y,\mathcal{N})$ y $F:X\to Y$ como antes. Sea $g:Y\to[0,\infty]$ una función $\mathcal{N}$-medible no negativa. Entonces $$\int_Yg \ \mathrm{d}F_*\mu=\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

Demostración. Veamos primero el caso de funciones simples. Sea $s=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{E_k}\in S$ simple sobre $Y$. Observemos que $s\circ F(x)=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{E_k}(F(x))=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k\chi_{F^{-1}(E_k)}(x)$. Luego:

$$\int_Y s \ \mathrm{d}F_*\mu=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k \ F_*\mu(E_k)=\sum_{k=1}^{N}\alpha_k \mu(F^{-1}(E_k))=\int_X s\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

Veamos ahora el caso general. Sea $g:Y\to[0,\infty]$ una función $\mathcal{N}$-medible. Como ya sabemos, podemos encontrar una sucesión de funciones simples $\{ s_k\}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k\uparrow g$. Es claro que $s_k\circ F \uparrow g\circ F$, así que por el teorema de la convergencia monótona:

$$\int_Y g \ \mathrm{d}F_*\mu=\lim_{k\to \infty} \int_Y s_k \ \mathrm{d}F_*\mu=\lim_{k\to \infty} \int_X s_k\circ F \ \mathrm{d}\mu =\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

Corolario. Con las hipótesis del teorema anterior, si $g\in L^1(Y,\mathcal{N},F_*\mu)$, entonces: $$\int_Yg \ \mathrm{d}F_*\mu=\int_X g\circ F \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

Más adelante…

Definiremos los espacios $L^p$, uno de los espacios normados más importantes que surgen en la teoría de integración.

Tarea moral

• Prueba que el teorema de integración respecto a la medida inducida por una función tambien es válido para funciones en $L^1$.
• Sea $X=\{ 1,2,\dots, n \}$ dotado con la medida de conteo $\mu$, $f(i)=a_i$; $g(j)=b_j$ para $i,j=1,2,\dots, n$. Calcula $\int f \ \mathrm{d}\mu_g$.
• Supón que $f,g$ satisfacen las hipótesis del teorema de integración respecto a la medida inducida. Prueba que $$\int f \ \mathrm{d}\mu_f=\int g \ \mathrm{d}\mu_g.$$
• Prueba que la medida imágen $F_*\mu$ es una medida.
• Sea $F:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ con regla $F(x)=x^2$. Describe $F_*\mu$.

Referencias

Folland, Gerald B. Real analysis: modern techniques and their applications. John Wiley & Sons, 1999.

Introducción

Hasta ahora, hemos visto resultados válidos en cualquier espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$. Sin embargo, hay algunas otras propiedades específicas de cada medida que tienen consecuencias teóricas relevantes. En esta sección revisaremos brevemente algunas de las más importantes.

Medidas finitas y $\sigma$-finitas

Los siguientes dos conceptos están relacionados con el «tamaño» de una medida.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Diremos que $\mu$ es una medida finita si $\mu(X)<\infty$. Diremos que $\mu$ es $\sigma$-finita si $X$ puede ser expresado como una unión numerable de conjuntos de medida finita: $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ con $\mu(E_k)<\infty$ para tood $k$.

Observación. Toda medida finita es $\sigma$-finita, pero el regreso es falso como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ es $\sigma$-finita pues podemos escribir a $\mathbb{R}^n$ como una unión numerable de conjuntos de medida finita, sin embargo, no es una medida finita pues $\lambda(\mathbb{R}^n)=\infty$.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue inducida en cualquier conjunto acotado es finita.

$\triangle$

Ejemplo. Sea $(X,2^X,\mu)$ un espacio con la medida de conteo. Claramente $\mu$ es finita si y sólo si $X$ es un conjunto finito. $\mu$ es $\sigma$-finita si y sólo si $X$ es un conjunto a lo más numerable: En efecto, si $X$ es numerable, podemos expresar $X=\bigcup_{x\in X}\{ x\} $, que es una unión numerable de conjuntos de medida $1$. Inversamente, si $\mu$ es $\sigma$-finita, podemos expresar $X=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k$ con $\mu(E_k)<\infty$, es decir, podemos expresar a $X$ como una unión numerable de conjuntos finitos, por tanto, el propio $X$ es a lo más numerable.

$\triangle$

Ejemplo. Toda medida de probabilidad $\mathbb{P}$ es finita, pues $\mathbb{P}(X)=1<\infty$ por definición.

$\triangle$

Medidas completas

La siguiente propiedad está relacionada con la «densidad» de una medida.

Definición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Diremos que la medida $\mu$ es completa si cualquier subconjunto de un conjunto de medida cero es medible. Es decir, si $M\subseteq N\subseteq X$; $N\in \mathcal{M}$ y $\mu(N)=0$ $\implies$ $M\in \mathcal{M}$.

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ es completa pues cualquier subconjunto de un conjunto nulo es nulo (y por tanto Lebesgue medible).

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ restringida a los conjuntos de Borel $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}_n,\lambda_{|\mathcal{B}_n})$ NO es completa. Existen conjuntos nulos que no son Borel medibles.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de conteo sobre cualquier espacio es completa. En este caso el único conjunto con medida cero es el vacío.

$\triangle$

El siguiente resultado nos dice que cualquier medida puede ser «modificada» para tener una medida completa.

Proposición (Completación de una medida). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Definamos $\overline{\mathcal{M}}$ y $\overline{\mu}$ como:

• $A\in \overline{\mathcal{M}}$ $\iff$ Existen $B,C\in \mathcal{M}$ tales que $B\subseteq A\subseteq C$ y $\mu(C\setminus B)=0$. Definimos $\overline{\mu}(A)=\mu(B)=\mu(C)$.

Entonces $(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ es un espacio de medida con $\overline{\mu}$ una medida completa. Además $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}}$ y $\mu(A)=\overline{\mu}(A)$ $ \ \forall A\in \mathcal{M}$.

Demostración. $\overline{\mu}$ está bien definida pues si $B_1,C_1,B_2,C_2\in \mathcal{M}$ con $B_1,B_2\subseteq A\subseteq C_1,C_2$ y $\mu(C_1\setminus B_1)=\mu(C_2\setminus B_2)=0$, tenemos $C_1\setminus C_2\subseteq C_1\setminus B_1$; $C_2\setminus C_1\subseteq C_2\setminus B_2$ $\implies$ $\mu(C_1\setminus C_2)=\mu(C_2\setminus C_1)=0$ $\implies$ $\mu(C_1)=\mu(C_1)-\mu(C_1\setminus C_2)+\mu(C_2\setminus C_1)=\mu(C_2)$. Similarmente $\mu(B_1)=\mu(B_2)$.

De la definición es inmediato que $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}} $ y $\mu=\overline{\mu}$ sobre $\mathcal{M}$, pues si $A\in \mathcal {M}$ $\implies$ $A\subseteq A\subseteq A$ y $\mu(A\setminus A)=0$.

Veamos que $\overline{\mathcal{M}}$ es una $\sigma$-álgebra.

• Es claro que $\emptyset \in \overline{\mathcal{M}}$.
• Si $A\in \overline{\mathcal{M}}$, por definición existen $B,C\in \mathcal{M}$ con $B\subseteq A\subseteq C$ y $\mu(C\setminus B)=0$ $\implies$ $C^c\subseteq A^c\subseteq B^c$ y $\mu(B^c\setminus C^c)=\mu(C\setminus B)=0$, lo que implica que $A^c\in \overline{\mathcal{M}}$.
• Si $A_1,A_2,\dots \in \overline{\mathcal{M}}$, existen $B_1,B_2,\dots$; $C_1,C_2,\dots$ en $\mathcal{M}$ tales que $B_k\subseteq A_k\subseteq C_k$ y $\mu(C_k\setminus B_k)=0$ para cada $k\in \mathbb{N}$. Luego: $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$ (con el primer y último conjunto en $\mathcal{M}$), y $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\right)\leq \mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}(C_k\setminus B_k)\right)\leq \sum_{k=1}^{\infty}\mu(C_k\setminus B_k)=0.$$ Por lo que $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\in \overline{\mathcal{M}}$.

Finalmente, veamos que $\overline{\mu}$ es una medida. Es inmediato que $\overline{\mu}(\emptyset)=0$. Sean $A_1,A_2,\dots \in \overline{\mathcal{M}}$ conjuntos ajenos. Tomando $B_1,B_2,\dots$; $C_1,C_2,\dots$ como en el párrafo anterior, se sigue que $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty}C_k$, $\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}C_k\setminus \bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)=0$. En particular, los $B_k$ son ajenos y $\overline{\mu}(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(B_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\overline{\mu}(A_k).$

$\square$

A la medida $\overline{\mu}$ construida en el ejemplo anterior se le conoce como la completación de $\mu$.

Observación. La completación de una medida completa es ella misma.

Ejemplo. La completación de la medida de Lebesgue restringida en los conjuntos de Borel es la medida de Lebesgue estándar.

Demostración. Como consecuencia del teorema de caracterización de conjuntos medibles, para cualquier conjunto $A\in \mathcal{L}_n$, podemos encontrar conjuntos $F_1\subseteq F_2 \subseteq\dots $ cerrados y $U_1\supseteq U_2\supseteq \dots$ abiertos tales que $F_k\subseteq A \subseteq U_k$ y $\lambda(U_k\setminus F_k)<\frac{1}{k}$ para cada $k\in \mathbb{N}$.

Al Tomar $F=\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k$ y $U=\bigcap_{k=1}^{\infty}U_k$, es fácil ver que $F\subseteq A \subseteq U$ y $\lambda(U\setminus F)=0$. $F$ y $U$ son conjuntos de Borel, pues son uniones e intersecciones de conjuntos de Borel respectivamente.

De la definición, concluimos que la medida de Lebesgue sobre $\mathcal{L}_n$ es la completación de la medida de Lebesgue sobre $\mathcal{B}_n$.

$\triangle$

Para efectos de integración, casi siempre podemos asumir que la medida es completa. El siguiente resultado justifica esta idea.

Proposición. Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ su completación. Entonces:

1. Para cualquier función $\overline{\mathcal{M}}$-medible $f:X\to [-\infty, \infty]$ existe una función $\mathcal{M}$-medible $g:X\to[-\infty, \infty]$ tal que $f=g$ en $\overline{\mathcal{M}}$-casi todo punto.
2. Si $g:X\to [0,\infty]$ es una función $\mathcal{M}$-medible no negativa, entonces $g$ es $\overline{\mathcal{M}}$ medible y además $$\int g \ \mathrm{d}\mu=\int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$
3. Si $g\in L^1(X,\mathcal{M},\mu)$ $\implies$ $g\in L^1(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ y además $$\int g \ \mathrm{d}\mu=\int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$

Demostración.

1. Veamos primero el caso de una función simple. Sea $s=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{A_k}$ $\overline{\mathcal{M}}$-medible. Como $A_1,A_2,\dots, A_n$ son $\overline{\mathcal{M}}$ medibles, podemos encontrar $B_1,B_2,\dots , B_m$ conjuntos $\mathcal{M}$-medibles tales que $B_j\subseteq A_j$ y $\overline{\mu}(A_j\setminus B_j)=0$ (en particular $\mu(B_j)=\overline{\mu}(A_j)$). Entonces la función $s’=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k \chi_{B_k}$ es $\mathcal{M}$ medible y es igual $\overline{\mu}$ en c.t.p. a $s$ (observa que además $s’\leq s$).
   Ahora consideremos una función $\overline{\mathcal{M}}$-medible $f$. Sea $s_k$ una sucesión de funciones simples $\overline{\mathcal{M}}$-medibles tales que $$s_k\uparrow f.$$ Por el caso anterior, podemos encontrar una sucesión de funciones simples $\mathcal{M}$-medibles $\{ s_k’ \}_{k=1}^{\infty}$ tales que $s_k’=s_k$ en $\overline{\mathcal{M}}$ c.t.p. La función $$\sup s_k’$$ es $\mathcal{M}$-medible e igual a $f$ en $\overline{\mu}$- c.t.p.
   El caso general se sigue de escribir $f=f_+-f_-$ y aplicar el caso anterior a $f_+$ y $f_-$ por separado.
2. Si $g\geq 0$ es $\mathcal{M}$-medible entonces en automático es $\overline{\mathcal{M}}$-medible pues $\mathcal{M}\subseteq \overline{\mathcal{M}}$. Si denotamos como $S_{\mathcal{M}}$ y $S_{\overline{\mathcal{M}}}$ a las funciones simples, no negativas, $\mathcal{M}$ y $\overline{\mathcal{M}}$ medibles respectivamente, entonces:
   $$\sup \left\{ \int s \ \mathrm{d}\mu \ | \ s\in S_{\mathcal{M}}; \ s\leq g \right\}\leq \sup\left\{ \int s \ \mathrm{d}\mu \ | \ s\in S_{\overline{\mathcal{M}}}; \ s\leq g \right\}.$$
   Pues el conjunto de la izquierda está contenido en el de la derecha ($S_{\mathcal{M}}\subseteq S_{\overline{\mathcal{M}}}$). Más aún, los conjuntos son iguales: La construcción del inciso anterior muestra que para cualquier $s\in S_{\overline{\mathcal{M}}}$ con $s\leq f$, existe $s’\in S_{\mathcal{M}}$ tal que $s’\leq s\leq f$ y $\int s’ \ \mathrm{d} \mu = \int s \ \mathrm{d}\mu$. Por definición de la integral se sigue que: $$\int g \ \mathrm{d}\mu = \int g \ \mathrm{d}\overline{\mu}.$$
3. Se sigue de escribir $g=g_+-g_-$ y aplicar el inciso anterior a $g_+$ y $g_-$ por separado.

$\square$

Más adelante…

Estudiaremos dos ejemplos importantes de medida inducidas: La medida inducida por una función medible no negativa y la medida imágen (o pushforward).

Tarea moral

• Sea $\delta_{x_0}$ la medida de Dirac sobre $X$. ¿Es $\delta_{x_0}$ una medida finita? ¿Es $\sigma$-finita?
• Sea $\mu_f$ la medida inducida por una función medible no negativa. Prueba que $\mu_f$ es finita si y sólo si $f\in L^1(X)$.
• Decimos que una medida es semi-finita si para cada $F\in \mathcal{M}$ con $\mu(F)=\infty$, existe algún $E\in \mathcal{M}$ tal que $E\subseteq F$ y $\mu(E)<\infty$. Prueba que si $\mu$ es semi-finita, y $\mu(F)=\infty$, entonces para cada $C>0$ existe $E\subseteq F$ con $C<\mu(E)<\infty$.
• Prueba que la medida de Dirac es completa.
• Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida completo. Supón que $f$ es una función $\mathcal{M}$-medible y $g$ una función arbitraria. Pruba que si el conjunto $\{x \ | \ f(x)\neq g(x) \}$ es nulo, entonces $g$ es $\mathcal{M}$-medible. ¿Lo anterior es cierto si $\mu$ no es completa? [SUGERENCIA: Asumiendo que $B_1\subsetneq L_1$, debe existir $A$ un conjunto nulo Lebesgue-medible, pero no Borel-medible. Considera $\chi_A$].

Introducción

En la entrada pasada generalizamos el concepto de medida para espacios abstractos. Ahora veremos como extender el concepto de integración sobre un espacio de medida general y analizaremos un par de ejemplos clásicas.

Un comentario importante

La mayoría de definiciones y resultados que hemos establecido hasta ahora para la medida e integral de Lebesgue son válidos también para espacios de medida en general. La razón de esto es que las propiedades de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ son, por definición, las mismas que las de cualquier medida sobre un espacio abstracto $(X,\mathcal{M},\mu)$. Por ésta razón omitiremos la mayoría de pruebas pues, esencialmente, ya las hemos hecho. En prácticamente todos los casos basta reemplazar dentro de los argumentos las menciones de $(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\lambda)$ por $(X,\mathcal{M},\mu)$ respectivamente.

La única excepción son los teoremas de caracterización de conjuntos medibles utilizados en la prueba de los teoremas de cambio de variable y Fubini. Estos resultados destacan la relación que existe entre la medida de Lebesgue y la topología de $\mathbb{R}^n$.

Integración en espacios de medida

Para definir la integral en espacios de medida general, podemos seguir el mismo órden que usamos para definir la integral en $\mathbb{R}^n$. En lo que sigue $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida (salvo que se especifique lo contrario). Por simplicidad, cuando sea claro del contexto nos referiremos a las funciones $\mathcal{M}$-medibles simplemente como medibles.

Recordemos primero la definición de funciones simples:

Definición. Decimos que $s:X\to [-\infty, \infty]$ es una función simple si toma solamente una cantidad finita de valores.

Definición. Dado $X$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$, denotamos por $S_{\mathcal{M}}$ (o simplemente $S$) al conjunto de funciones simples y $\mathcal{M}$-medibles $s$, tales que $0\leq s <\infty$.

Observemos que toda función $s\in S_{\mathcal{M}}$. Se puede escribir como $$s=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\chi_{E_k},$$ Donde $0\leq \alpha_k <\infty$ y los conjuntos $E_k$ son $\mathcal{M}$-medibles y ajenos.

Una de las propiedades más importantes que probamos es que cualquier función medible se puede aproximar por funciones simples:

Teorema (Aproximación mediante funciones simples). Supongamos que $f:X\to [-\infty, \infty]$ es $\mathcal{M}$ medible. Entonces existe una sucesión $s_1,s_2,\dots$ de funciones simples $\mathcal{M}$-medibles tales que $$\lim_{k\to \infty} s_k = f.$$ Si $f\geq 0$, podemos tomar la sucesión de modo que $0\leq s_1\leq s_2\ \leq \dots$ . O más generalmente, podemos tomar la sucesión de modo que $|s_1|\leq \ |s_2|\leq \dots$ . Si $f$ es acotada, podemos hacer que la convergencia sea uniforme.

$\square$

Cuando sea claro del contexto, denotaremos a $S_{\mathcal{M}}$ como $S$.

Definición. Dado un espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$ y una función simple $s=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\chi_{E_k}\in S_{\mathcal{M}}$, definimos su integral como:
$$\int_X s \ \mathrm{d}\mu=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k \mu(E_k).$$

Definición. Dada una función $\mathcal{M}$-medible no negativa $f:X\to[0,\infty]$, definimos su integral como:

$$\int f_X \ \mathrm{d}\mu=\sup\left\{ \int_X s \ \mathrm{d}\mu \ | \ s\leq f, \ s\in S \right\}.$$

Otras formas comunes para referirse a la integral son:

$$\int f \ \mathrm{d}\mu, \ \ \ \int f(x) \ \mathrm{d}\mu(x), \ \ \ \int_X \mathrm{d}\mu \ f, \ \ \ \int_X \mathrm{d}\mu(x) \ f(x).$$

Proposición (Propiedades de la integral de una función no negativa). Sean $f,g:X\to [0,\infty]$ funciones medibles. Entonces:

1. La integral de cualquier función medible no negativa $f$ está bien definida.
2. $$0\leq \int f \ \mathrm{d}\mu \leq \infty.$$
3. Si $0\leq c<\infty$ es una constante, $$\int cf \ \mathrm{d}\mu=c\int f \ \mathrm{d}\mu.$$
4. Si $f\leq g$, entonces $$\int f \ \mathrm{d}\mu\leq \int g \ \mathrm{d}\mu.$$
5. Si $\int f \ \mathrm{d}\mu=0$ Entonces $$\mu(\{ x \ | \ f(x)>0 \})=0.$$
6. $$\int (f+g) \ \mathrm{d}\mu=\int f \ \mathrm{d}\mu+\int g \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

También podemos dar versiones generales de los teoremas de convergencia para integrales. Nuevamente las demostraciones son idénticas al caso en $\mathbb{R^n}$ así que las omitimos.

Teorema (de convergencia monótona de Lebesgue). Sea $\{f_k \}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión creciente de funciones medibles no negativas sobre $X$: $$0\leq f_1\leq f_2\leq f_3\leq \dots$$ Entonces $$\lim_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\mu=\int \left( \lim_{k\to \infty} f_k \right) \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

Teorema (Lema de Fatou). Sean $f_1,f_2,f_3,\dots$ funciones medibles y no negativas. Entonces: $$\int\left( \liminf_{k\to \infty} f_k \right) \ \mathrm{d}\mu\leq \liminf_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\mu.$$

Similarmente, podemos definir la integral de funciones medibles más generales de manera análoga a la integral en $\mathbb{R}^n$.

$\square$

Definición. Sea $f:X\to [-\infty,\infty]$ una función medible, con parte positiva y negativa $f_+$ y $f_-$ respectivamente. Definimos la integral de $f$ como $$\int f \ \mathrm{d}\mu=\int f_+ \ \mathrm{d}\mu-\int f_- \ \mathrm{d}\mu.$$ Siempre que este número esté bien definido. Decimos que una función $f$ es integrable si:
$$\int f_+ \ \mathrm{d}\mu,\int f_- \ \mathrm{d}\mu<\infty.$$ Denotaremos la clase de funciones integrables como $L^1(X,\mathcal{M},\mu),L^1(X)$ o simplemente como $L^1$ si el espacio de medida es claro del contexto.

Proposición (Propiedades de la integral de funciones $L^1$). Sean $f,g:X\to \infty$ funciones en $L^1(X,\mathcal{M},\mu)$.

1. (Desigualdad del triángulo). $$\left| \int f \ \mathrm{d}\mu\right|\leq \int |f| \ \mathrm{d}\mu.$$ Además $$f\in L^1 \ \ \iff \ \ |f|\in L^1.$$
2. (Linealidad). Dados $a,b\in \mathbb{R}$ constantes $$\int (af+bg) \ \mathrm{d}\mu=a\int f \ \mathrm{d}\mu+b\int g \ \mathrm{d}\mu.$$
3. Si $f\leq g$, entonces $$\int f \ \mathrm{d}\mu\leq \int g \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

Teorema (de convergencia dominada). Sea $f_1,f_2,f_2,\dots$ una sucesión de funciones medibles sobre $X$ tales que $$\lim_{k\to \infty} f_k(x)$$ Existe para (c.t.p.) $x\in X$, y además existe una función $g\in L^1(X)$ tal que $$|f_k(x)|\leq g(x)$$ Para (c.t.p.) $x\in X$ y $k\in \mathbb{N}$. Entonces $f\in L^1(X)$ y $$\int \left(
\lim_{k\to \infty} f_k \right) \ \mathrm{d}\mu=\lim_{k\to \infty} \int f_k \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

En el teorema pasado hacemos uso del concepto de «en casi todo punto». Éste es identico al caso en $\mathbb{R}^n$: Una propiedad se cumple «casi donde sea» o «en casi todo punto» (abreviado por c.t.p.) si el conjunto de puntos donde NO se cumple tal propiedad es de medida ($\mu$) cero. Naturalmente también hay versiones en casi todo punto de los teoremas de convergencia monótona y el Lema de Fatou pero omitimos su enunciado.

Al igual que antes, los conjuntos de medida cero no afectan el valor de la integral.

Proposición (insensibilidad de la integral). Sean $f,g:X\to[-\infty,\infty]$ funciones medibles tales que $\mu(\{ x \ | \ f(x)\neq g(x) \})=0$. Si $f\in L^1(X)$ $\implies$ $g\in L^1(X)$ con $$\int f \ \mathrm{d}\mu=\int g \ \mathrm{d}\mu.$$

$\square$

Al igual que en $\mathbb{R}^n$, podemos definir integrales sobre conjuntos $\mathcal{M}$-medibles:

Definición. Sea $f$ una función definida sobre un conjunto $\mathcal{M}$-medible $E$. Decimos que $f$ es medible sobre $E$ si $f\chi_E$ es $\mathcal{M}$-medible, o equivalentemente, si $f^{-1}(B)\in \mathcal{M}$ para cualquier conjunto de Borel $B$.

Definimos la integral de $f$ sobre $E$ (cuando tenga sentido) como: $$\int_E f \ \mathrm{d}\mu=\int f\cdot\chi_E \ \mathrm{d}\mu.$$
Diremos que $f\in L^1(E)$ si $f\cdot\chi_E\in L^1(X)$.

La integral sobre conjuntos tiene propiedades análogas a las de la integral sobre conjuntos de $\mathbb{R}^n$. Omitimos los detalles.

Algunos ejemplos típicos

Si bien la integral sobre un espacio de medida abstracto tiene propiedades análogas a las de la integral de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$, ésta nos puede decir información muy diferente dependiendo del espacio sobre el que estemos trabajando. Veamos un ejemplo concreto: La integral respecto a la medida de conteo.

Ejemplo. Consideremos $(X,2^{X},\mu)$, donde $X$ es un conjunto finito o numerable y $\mu$ es la medida de conteo. Notemos que cualquier función $f:X\to[-\infty, \infty]$ es medible pues $f^{-1}([-\infty,t])\in 2^X$ para cualquier $t$.

Ahora, sea $f\geq 0$ una función no negativa. Como $X$ es a lo más numerable podemos escribir: $$f(y)=\sum_{x\in X}f(x)\chi_{\{ x\}}(y).$$ Aplicando el teorema de la convergencia monótona y linealidad:
$$ \int f \ \mathrm{d}\mu =\int \sum_{x\in X}f(x)\chi_{\{ x\}} \ \mathrm{d}\mu=\sum_{x\in X}\left( f(x) \int \chi_{\{ x\}} \ \mathrm{d}\mu\right)=\sum_{x\in X} f(x) \mu(\{ x\})$$ $$=\sum_{x\in X} f(x).$$ Pues la medida de cualquier conjunto unitario bajo la medida de conteo es $1$. Esto nos dice que la integral bajo la medida de conteo es simplemente la suma de los valores de la función.

Más generalmente, dada $f:X\to[-\infty,\infty]$, recordemos $f\in L^1(X)$ $\iff$ $|f|\in L^1(X)$. Como $$\int |f| \ \mathrm{d}\mu=\sum_{x\in X}|f(x)|,$$ Concluimos que $f\in L^1(X)$ si y sólo si la serie $\sum_{x\in X} f(x)$ converge absolutamente. En cuyo caso la integral resulta nuevamente: $$\int f \ \mathrm{d}\mu=\int f_+ \mathrm{d}\mu-\int f_- \mathrm{d}\mu=\sum_{x\in X} f_+(x)-\sum_{x\in X} f_-(x)=\sum_{x\in X} f(x).$$
La integral respecto a la medida de conteo sobre conjuntos no numerables se comporta de manera muy similar salvo ciertas restricciones sobre el «soporte» de las funciones (ver Tarea moral).

$\triangle$

Ejemplo. Dado $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y $E\in \mathcal {M}$ un conjunto medible, definimos la $\sigma$-álgebra inducida sobre $E$ como $$\mathcal{M}_E=\{ F\cap E \ | \ F\in \mathcal{M} \}.$$ Definimos la medida inducida por $\mu$ sobre $E$ como $$\mu_E(A)=\mu(A) \ \ \ \ \ \ \forall A\in \mathcal{M}_E.$$ Es fácil ver que $(E,\mathcal{M}_E,\mu_E)$ forman un espacio de medida. Más aún, siempre que tenga sentido, se tiene que: $$\int_E f \ \mathrm{d}\mu=\int f \ \mathrm{d}\mu_E.$$ Es decir, la integral sobre un conjunto se puede pensar como la integral respecto a la medida inducida. La verificación de este hecho es de rutina y se queda como tarea moral.

$\triangle$

Ejemplo. En $\mathbb{R}^n$, la integración sobre la medida de Hausdorff $s$-dimensional $\mathcal{H}^s$ con $s<n$ entero, generaliza los conceptos de integral de línea y superficie a dominios y funciones mucho más generales.

$\triangle$

Más adelante…

Revisaremos brevemente algunas propiedades que nos ayudan a «clasificar» medidas y que son de gran importancia para establecer resultados más avanzados.

Tarea moral

• Sea $X$ un conjunto no numerable con la medida de conteo $\mu$ y $f:X \to [0,\infty]$. Demuestra que $$\int f \ \mathrm{d}\mu=\sum_{x\in\{ x | f(x)\neq 0 \}} f(x).$$ Si $\{x \ | \ f(x)\neq 0 \}$ es numerable y $$\int f \ \mathrm{d}\mu=\infty.$$ En otro caso.
• Sea $\delta_{x_0}$ la medida de Dirac en $x_0$ sobre $X$. Calcula $$\int f \ \mathrm{d}\delta_{x_0} .$$
• Con la notación del último ejemplo, demuestra que $$\int_E f \ \mathrm{d}\mu=\int f \ \mathrm{d}\mu_E.$$ [SUGERENCIA: Procede con el órden usual: función característica $\implies$ función simple $\implies$ función no negativa].

Introducción

Hasta ahora, nos hemos limitado a estudiar el problema de la medida e integración en $\mathbb{R}^n$, sin embargo, todo lo que hemos visto se puede generalizar de manera automática a un contexto más general.

La integración en espacios de medida es una generalización poderosa de la integral de Lebesgue, que extiende el concepto de integración a espacios más abstractos. Es fundamental en la formulación moderna de la teoría de probabilidad y tiene un sinnúmero de consecuencias dentro del análisis y sus aplicaciones. En esta entrada definiremos el concepto de espacio de medida, veremos algunos ejemplos y sus principales propiedades.

Un salto a la generalidad

Definición.Un espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$ es una terna con:

1. $X$ un conjunto no vacío.
2. $\mathcal{M}\subseteq 2^{X}$ una $\sigma$-álgebra sobre el conjunto $X$.
3. Una medida sobre $(X,\mathcal{M})$. Esto es, una función $\mu: \mathcal{M}\to [0,\infty]$ que satisface:
   • $\mu(\emptyset)=0$
   • Para cualesquiera $A_1,A_2,\dots$ conjuntos disjuntos en $\mathcal{M}$, $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$

Cuando la $\sigma$-álgebra sea clara del contexto, diremos simplemente que $\mu$ es una medida sobre $X$.

En ésta y en las próximas entradas, $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.

Algunos ejemplos típicos

Las medidas generales tienen propiedades «similares» a la medida de Lebesgue, aunque pueden surgir de contextos MUY distintos. Dedicaremos esta sección a ver algunos ejemplos clásicos.

Ejemplo. Por supuesto, $X=\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}=\mathcal{L}_n$ y $\mu=\lambda$, forman un espacio de medida.

$\triangle$

Ejemplo. La medida de Lebesgue restringida a los conjuntos de Borel, es decir, $X=\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}=\mathcal{B}_n$ y $\mu=\lambda_{|\mathcal{B}_n}$, forman un espacio de medida.

$\triangle$

Ejemplo. Cualquier conjunto no vacío $X$, con $\mathcal{M}=2^X$ y la función $\mu:2^X\to [0,\infty]$, con regla $\mu(\emptyset)=0$ y $\mu(A)=\infty$ si $A\neq \emptyset$, forman un espacio de medida.

$\triangle$

Ejemplo (medida de conteo). Cualquier conjunto no vacío $X$, $\mathcal{M}=2^X$ y $\mu$ la función definida por:

\begin{equation*}
\mu(A)=
\begin{cases}
\#A & \text{si } A \text{ es finito } \\
\infty & \text{si } A \text{ es infinito }
\end{cases}
\end{equation*}

Donde $\#A$ denota la cardinalidad de $A$, forman un espacio de medida. En este caso, a la medida $\mu$ se le llama la medida de conteo sobre $X$.

Veamos que $(X,\mathcal{M},\mu)$ es efectivamente un espacio de medida. Ya sabemos que $2^X$ es una $\sigma$-álgebra sobre $X$, así que basta probar que $\mu$ es una medida. Por definición, $\mu(\emptyset)=0$, así que solo falta probar que $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$ Para cualesquiera $A_1,A_2\dots$ conjuntos disjuntos:

• Si algunos de los $A_i$ es infinito, entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ es infinito, por lo que $\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\infty$. Por otro lado, como $\mu(A_i)=\infty$, tenemos $\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)=\infty=\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)$.
• Si todos los $A_k$ son finitos pero $\#A_k>0$ para una cantidad infinita de $k$, entonces $\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k$ es infinito $\implies$ $\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k)=\infty$. De igual manera $\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)=\infty$ al tener una cantidad infinita de sumandos $\geq 1$.
• Si $\#A=0$ salvo para una cantidad finita de $k$, digamos $A_1,\dots, A_N$ $$\implies \bigcup_{k=1}^{\infty}A_k=\bigcup_{k=1}^{N}A_k$$ Finalmente, por definición y el hecho que $A_1,\dots, A_N$ son disjuntos: $$\implies \mu\left (\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\sum_{k=1}^{N} \#A_k=\sum_{k=1}^{N}\mu(A_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$

$\triangle$

Ejemplo. Sea $X$ un conjunto no vacío $X$ y $x_0\in X$ un punto arbitrario pero fijo. Definimos la función $\mu:2^X\to [0,\infty]$ como $\mu(A)=\chi_A(x_0)$. La terna $(X,2^X,\mu)$ es un espacio de medida (tarea moral). En este caso a $\mu$ se le conoce como la medida de Dirac en $x_0$ y se denota usualmente por $\delta(x_0)$.

$\triangle$

Ejemplo. Un espacio de Probabilidad es un espacio de medida $(X,\mathcal{M},\mu)$ tal que $\mu(X)=1$. En este caso a $\mu$ se le conoce como medida de Probabilidad. Generalmente se reserva la letra $\mathbb{P}$ para referirse a las medidas de probabilidad.

$\triangle$

Ejemplo. Sea $X=\mathbb{R}^n$ y $\mathcal{M}=\mathcal{L}_n$. Cualquier función medible no negativa $f:\mathbb{R}^n\to [0,\infty]$ induce una medida $\mu_f$ dada por $$\mu_f(E)=\int_E f \ \mathrm{d}\lambda.$$ Esto es consecuencia de la aditividad numerable de la integral.

$\triangle$

El siguiente ejemplo es importante pero bastante técnico, por lo que que nos limitamos a los detalles más generales.

Ejemplo. La medida de Hausdorff generaliza el concepto de longitud, área y volumen a dimensiones no enteras y espacios métricos arbitrarios. Dado un espacio métrico $(X,d)$, la medida de Hausdorff $s$-dimensional ($s\geq 0$) de un conjunto $A\subseteq X$, denotada $\mathcal{H}^s(A)$, se define como $$\mathcal{H}^s(A)=\liminf_{\delta \to 0}\left\{ \sum_{i\in I} (diam(U_i))^s \ | \ A\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \ \ diam(U_i)<\delta\right\}.$$ Donde $diam(U_i)$ es el diámetro del conjunto $U_i$, e $I$ es un conjunto de índices a lo más numerable. Esta medida está definida sobre los conjuntos de Borel de $X$, denotados como $B_X$, que es la $\sigma$-álgebra generada por los conjuntos abiertos de $X$ (aunque se pude extender a una $\sigma$-álgebra más grande de conjuntos $\mathcal{H}^s$-medibles análoga a los conjuntos Lebesgue-medibles).

Cuando $X=\mathbb{R}^n$ y $s=n$, la medida de Hausdorff coincide con la medida de Lebesgue.

Esta medida proporciona información valiosa sobre la estructura fina de fractales como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpiński, etc., además de ser clave en el estudio de la geometría de objetos con «singularidades»

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Propiedades de las medidas

Proposición. Sea $(X,M,\mu)$ un espacio de medida. Entonces

1. (Monotonía). Si $A,B\in \mathcal{M}$ y $A\subseteq B$, entonces $\mu(A)\leq \mu(B)$.
2. (Subaditividad). Si $\{ A_k \}_{k=1}^{\infty}\subseteq \mathcal{M}$, entonces $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)\leq \sum_{k=1}^{\infty}\mu(A_k).$$
3. (Continuidad por abajo). Si $A_1\subseteq A_2\subseteq \dots$ es una sucesión creciente de conjuntos $\mathcal{M}$-medibles, entonces $$\mu\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\lim_{k\to \infty} \mu(A_k).$$
4. (Continuidad por arriba). $A_1\supseteq A_2\supseteq \dots$ es una sucesión decreciente de conjuntos $\mathcal{M}$-medibles, y $\mu(A_1)<\infty$, entonces $$\mu\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\right)=\lim_{k\to \infty} \mu(A_k).$$

Comentario. Casi todas las definiciones y resultados que hemos establecido para la medida e integral de Lebesgue también son válidos para espacios de medida en general. La razón de esto es que las propiedades de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ son, por definición, las mismas que las de cualquier medida sobre un espacio abstracto $(X,\mathcal{M},\mu)$. Observa que la prueba debajo es idéntica al caso de la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$.

Demostración.

1. Si $A\subseteq B$, podemos escribir a $B$ como la unión ajena $B=A\cup(B\setminus A)$. Luego: $$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\setminus A)$$ $$\implies \mu(A)\leq \mu(B).$$ Pues $\mu(B\setminus A)\geq 0$. La primera igualdad tambien implica que $\mu()$
2. Sea $B_1=A_1$ y $B_k=A_k\setminus(\bigcup_{j=1}^{k-1}A_j)$ para $k>1$. Los $B_k$ son conjuntos disjuntos con $B_k\subseteq A_k$ para todo $k\in \mathbb{N}$. Observa que $\bigcup_{j=1}^{m}B_j=\bigcup_{j=1}^{m}A_j$. Luego, por definición de medida y 1.: $$\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)=\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}B_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(B_j)\leq \sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j).$$
3. Definiendo $A_0=\emptyset$, observa que $A_m=\bigcup_{j=1}^{m}A_j=\bigcup_{j=1}^{m}(A_j\setminus A_{j-1})$ y los conjuntos $\{ A_j\setminus A_{j-1}\}_{j=1}^{\infty}$ son ajenos. Luego: $$\mu\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty}\mu(A_j\setminus A_{j-1})=\lim_{k\to \infty}\sum_{j=1}^{k}\mu(A_j\setminus A_{j-1})=\lim_{k\to \infty} \mu(A_k).$$
4. Sea $F_j=A_1\setminus A_j$; entonces $F_1\subseteq F_2\subseteq \dots$ Para cada $j$ notemos que $\mu(A_1)=\mu(F_j)+\mu(A_j)$, además $\bigcup_{j=1}^{\infty}F_j=A_1\setminus (\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j)$. Se sigue por 3. que: $$\mu(A_1)=\mu\left(\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j\right)+\lim_{j\to \infty}\mu(F_j)=\mu\left(\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j\right)+\lim_{j\to \infty}[\mu(A_1)-\mu(A_j)].$$ Restando $\mu(A_1)<\infty$ de ambos lados se sigue 4.

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Más adelante…

Con la integral de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ como modelo, definiremos la integral sobre espacios de medida en general y veremos algunos ejemplos.

Tarea moral

• Prueba que la medida de Dirac $\delta_{x_0}$ es una medida.
• Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida. Sea $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra y $\mu_{\mathcal{N}}$ la restricción de $\mu$ sobre $\mathcal{N}$. Demuestra que $(X,\mathcal{N},\mu_{|\mathcal{N}})$ es un espacio de medida.
• Sea $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ y $\mu_f(E)=\int_E f \ \mathrm{d}\lambda$ para todo $E\in \mathcal{L}_n$. ¿Es $\mu_f$ una medida?
• Sea $g(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ ($\sigma>0$). Demuestra que $\int_{\mathbb{R}}g(x) \ \mathrm{d}x=1$. Deduce que $\mu_g$ es una medida de probabilidad. ($g$ es la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normalmente distribuida con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$). [SUGERENCIA: Usa un cambio de variable sobre la integral gaussiana].
• Sea $\mathcal{M}$ una $\sigma$-álgebra sobre $X$; $\mu_1,\mu_2, \dots, \mu_n$ medidas sobre $X$ y $a_1,a_2,\dots,a_n \in [0,\infty)$. Demuestra que $\sum_{k=1}^{n}a_k\mu_k$ es una medida sobre $X$.