Motivación: para funciones $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ un teorema importante es que dada $f|_{[a, b]} \longrightarrow \mathbb{R}$, y $f$ continua, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

La generalización es, si $f$ es continua, $f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}; f|_K$ con $ K $ compacto, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

Definición: Sea $K \subseteq \mathbb{R}^n$.

Decimos que una familia de abiertos $\{ A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ es una cubierta abierta de $K$ si $$K \subseteq \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$$

Decimos que $K$ es compacto si toda cubierta abierta de $K$ tiene una subcubierta finita. Existe $\{ A_1, A_2, …, A_n\} $ con $ A_i \in \{A_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}.$ $$K \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$$

Proposición: Todo conjunto compacto es cerrado y acotado.

Demostración:

Sea $K$ un conjunto compacto.

[ (a) por demostrar: $K$ es cerrado, es decir $K = \bar{K} = K \cup \partial K $]

Basta demostrar que $ \partial K \subseteq K. $

Supongamos que existe $\vec{L} \in \partial K $ tal que $\vec{L} \neq K. $

Como $\vec{L} \in \partial K $ en toda vecindad perforada de $\vec{L} $ existen elementos de $K.$

Consideremos la siguiente cubierta abierta de $K.$

$A_1 = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > 1\}$

$A_2 = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{2}\}$

$\vdots$

$A_i = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{i}\}$

$\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ es una cubierta abierta de $K.$

$$K \subseteq \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}^n \setminus \{ \vec{L}\}$$

y cada $A_i$ es abierto, por que son exteriores de un círculo.

Como $K$ es compacto existe una subcubierta finita y $K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_m}.$

Sea $N = máx\{ i_1, i_2, \dots, i_m\}$ por lo que $K \subseteq A_N.$

Entonces $\vec{L}$ seria un punto aislado. (CONTRADICCIÓN; pues $\vec{L}$ está en $\partial K$)

$\therefore$ $K$ es cerrado.

[ (b) por demostrar: $K$ es acotado. ]

Plan: proponer una cubierta de $K$ que sea conveniente para lo que queremos demostrar.

Sea $A_m = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \| x\| < m \}$ abiertos.

Entonces $ \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m = \mathbb{R}^n $ y $ K \subseteq \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m.$

Pero como $K$ es compacto, existe una subcubierta finita tal que $ K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_r}.$

Sea $M = máx\{ i_1, i_2, \dots, i_r\}.$

Luego $K \subseteq A_M = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n | \, \| \vec{x} \| < M \}$

$\therefore K $ está acotado. $_{\blacksquare}$

https://www.geogebra.org/classic/sawfrk66

Consideremos la transformación de coordenadas polares $$T : (0, \infty ) \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0, 0)\}$$ $$(r, \theta) \longrightarrow (x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$$

En el dominio quitamos $r = 0$ porque ahí la función no es inyectiva. Sin embargo, con este dominio, sigue sin ser inyectiva.

Vamos a ver opciones de dominio.

$A \subseteq \mathbb{R}^2$ tales que $T |_A$ sea inyectiva.

¿Qué hace la función inversa?

$A = (0, \infty) \times (0, 2\pi)$

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (x, 0) | x \geq 0 \}$

¿Cuál es la regla de correspondencia de $T^{-1}: B \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow A \subset \mathbb{R}^2 \; $?

$$ (x, y) \longrightarrow (r, \theta)$$ $$ r = \sqrt{ x^2 + y^2 }$$

$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x < 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (\pi, 2\pi) \end{array} \right.$

$\theta = f (x, y)$

El conjunto $B$ es abierto. Veamos que pasa si tomamos un punto en la frontera de $B$. Por ejemplo el punto $(1, 0)$. Podemos calcular límites.

$$\{ (x_n, y_n) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1, 0)$$

$x_n = 1; y_n = \frac{1}{n}$

¿Existe el límite de $\{ \theta (x_n, y_n) \}_{n \in \mathbb{N}}$ ?

El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( x_n, y_n) = 0.$

$\{ T^{-1} (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1,0)$

$u_n = 1; v_n = \frac{-1}{n}$

¿Existe el límite de $\{ \theta (u_n, v_n) \}_{n \in \mathbb{N}}$ ?

El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( u_n, v_n) = 2\pi.$

Luego no existe el $\lim_{(x,y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$

Otra opción: $A = (0, \infty) \times (-\pi, \pi)$

https://www.geogebra.org/classic/knrkr3yb

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (x, 0) | x \leq 0 \}$ entonces $\theta$ queda de la siguiente manera:

$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x > 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{- \pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (-\pi, 0) \end{array} \right.$

ahora existe $\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$, nótese que además ahora el punto $(1, 0)$ está en $B$, más aún $T^{-1}(1,0) = (1,0)$. Sin embargo, ahora el punto $(-1, 0)$ no está en $B$. Al elegir perdemos algunos puntos.

Otra opción es definir $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, y) | y \geq 0 \}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{-3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

También puede ser $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, y) | y \leq 0 \}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{- \pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$

https://www.geogebra.org/classic/h2wjamfs

Otra opción diferente es:

Dada $f : (0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ consideramos la gráfica de $\theta = f(r)$

$A = \{ (r, \theta) | r > 0, f(r) – \pi < \theta < f(r) + \pi \}$

$f(r) = r ; \; \; r = \theta $ es una espiral.

$T|_A$ es inyectiva.

$$T (r_1, \theta_1) = T (r_2, \theta_2)$$

$$r_1 = r_2$$

y $\theta$ queda bien definida.

https://www.geogebra.org/classic/havzdrbv

Ejemplo

$A = \{(r, \theta) | r>0, \, r- \pi < \theta < r + \pi \}$

En la circunferencia de radio $\pi.$

$$x^2+y^2=\pi^2$$

En la circunferencia de radio $2\pi.$

$$x^2+y^2=(2\pi)^2$$

Dado el punto $P(r, \theta, \phi)$ en coordenadas esféricas, las ecuaciones que permiten realizar la transformación a coordenadas rectangulares son las siguientes:

$$ x = r \sin \phi \cos \theta$$ $$ y = r \sin \phi \sin \theta$$ $$ z = r \cos \phi$$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de la transformación de coordenadas cartesianas a esféricas.

https://www.geogebra.org/classic/jjtaftqe

Dado el punto $P(r, \theta, z) $, en coordenadas cilíndricas, las ecuaciones que permiten hacer la transformación a coordenadas rectangulares son:

$$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$ $$ z = z$$

Por lo que el punto $P$, en coordenadas rectangulares, queda dado por la expresión:

$$P = (x, y, z ) = ( r \cos \theta, r \sin \theta, z )$$

En el siguiente enlace puedes observar una animación del cambio de coordenadas.

https://www.geogebra.org/classic/gsmcqru2

La función $f : \mathbb{R}^2 \setminus \{ (x, y) | x \neq 0\} \longrightarrow \mathbb{R}$

Dada por $f(x, y) = \frac{y}{x}$

$$f\, o\, T(r,\theta) = f(T(r, \theta) )$$

$$f\, o\, T (r, \theta) = f (r \cos \theta, r \sin \theta)$$

$$f\, o\, T (r, \theta) = \frac{ r \sin \theta}{ r \cos \theta}$$

$$f\, o\, T (r, \theta) = \tan \theta$$

https://www.geogebra.org/classic/exswze2h

${}$

En el otro ejemplo $g : \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0\} \longrightarrow \mathbb{R}$ $$g(x, y) = \frac{2xy}{x^2+y^2}$$

$$g\, o\, T(r,\theta) = g(T(r, \theta) )$$

$$g\, o\, T (r, \theta) = g (r \cos \theta, r \sin \theta)$$

$$g\, o\, T (r, \theta) = \frac{ 2 r \cos \theta r \sin \theta}{ (r \cos \theta)^2+(r \sin \theta)^2}$$

$$g\, o\, T (r, \theta) = \frac{ 2 r^2 \cos \theta \sin \theta}{ r^2}$$

$$g\, o\, T (r, \theta) = \sin (2 \theta)$$

En el siguiente enlace puedes observar una animación del cambio de coordenadas.

https://www.geogebra.org/classic/cvn5wpwz