¡Hola de nuevo!

Si estás leyendo esto, ya recorriste un buen tramo en el camino de Modelos Biomatemáticos I. En este segundo módulo encontrarás herramientas que te ayudarán a comprender conceptos más complejos, pero igual de interesantes, y así ampliar tu capacidad para modelar, interpretar y comprender fenómenos biológicos.

En este segundo módulo exploraremos contenidos esenciales como ecuaciones, logaritmos, desigualdades, iteraciones, funciones, sistemas de ecuaciones, matrices y más. Aunque algunos de estos temas pueden parecer desafiantes, no estás solo en este proceso: encontrarás aquí explicaciones claras, ejemplos aplicados y ejercicios pensados para ayudarte a conectar estos conceptos con situaciones reales en biología.

Tómate tu tiempo, explora, equivócate sin miedo y vuelve a intentar. Este es un espacio para aprender y seguir construyendo confianza.

Espero que este material te siga acompañando y ayudando a ver las matemáticas no solo como una asignatura más, sino como una herramienta para seguir navegando en el mundo biomatemático. Vamos paso a paso… pero ya estás mucho más cerca de dominarlo.

¡Ánimo!

Módulo 2

8. Ecuaciones y factorización

a. Definición de ecuación

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más variables, y representa una condición que debe cumplirse.

Ejemplo: $2x + 3 = 7$

Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad.

b. Ecuaciones lineales (primer grado)

Las ecuaciones lineales de primer grado tienen la forma general: $ax + b = c$.

Para resolver:
Paso 1. Agrupar términos semejantes.
Paso 2. Aislar la variable.
Paso 3. Despejar.

Ejemplo: $5(x + 2)-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 10-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 7 = 2x + 4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

c. Resolución de ecuaciones cuadráticas (segundo grado)

Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma general: $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$, b y c son constantes.

• Factorización
  Factorizar una expresión algebraica es reescribirla como un producto de factores más simples. Esto es muy útil para resolver ecuaciones y simplificar expresiones.

Casos comunes:

■ Factor común: $abx^2 + acx = ax(bx + c)$

Se saca el mayor factor que todos los términos tienen en común.

Ejemplo: $4x^4 + 8x^3 = 4x^3(x + 2)$

■ Diferencia de cuadrados: $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$

Ejemplo: $9x^2 – 16 = (3x – 4)(3x + 4)$

■ Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Ejemplo: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

■ Trinomio general: $ax^2 + bx + c = (dx + e)(fx + g)$

Buscamos dos números que multiplicados den $a \cdot c$ y que sumen b.
Luego se reescribe y agrupa.

Ejemplo: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

■ Suma o diferencia de cubos: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

■ Agrupación: Se agrupan en pares y se factoriza dos veces.

Ejemplo: $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = (x^2 – 6x) – (4x – 24) = x(x – 6) -4(x – 6) = (x – 4)(x – 6)$

• Fórmula general
  La fórmula general permite resolver cualquier ecuación cuadrática:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a},$$ donde a, b, y c son los coeficientes de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.
El término $b^2 – 4ac$ se llama discriminante, y nos indica que:

○ si $b^2-4ac > 0$, hay dos soluciones reales distintas,
○ si $b^2-4ac = 0$, hay una solución real doble,
○ si $b^2-4ac < 0$, no hay soluciones reales (son complejas).

Ejemplo: $2x^2-4x-6 = 0$

Identificamos que a = 2, b = −4, c = −6

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}$$

$$x = \frac{4 \pm 8}{4} \Rightarrow x = \frac{12}{4} = 3, \quad x = \frac{-4}{4} = -1$$

• Completando el cuadrado
  Este método transforma un trinomio cuadrático en el cuadrado de un binomio, útil en geometría analítica, física y más.

Se procede de la siguiente manera:

Paso 1. Asegúrate de que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Si no lo es, divide toda la ecuación.
Paso 2. Toma la mitad del coeficiente de x, elévalo al cuadrado.
Paso 3. Súmalo y réstalo en la expresión.
Paso 4. Agrupa el trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo:

$x^2 + 6x + 5$

Tomamos la mitad de 6 → $\frac{6}{2} = 3$, al cuadrado: 9

$x^2 + 6x + 9 – 4 = (x + 3)^2 – 4$

Otro ejemplo con coeficiente diferente de 1:

$2x^2 + 8x + 3$

Factor común en los dos primeros términos:

$2(x^2 + 4x) + 3$

Completo cuadrado dentro del paréntesis:

$2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 3 = 2((x + 2)^2 – 4) + 3 = 2(x + 2)^2 – 8 + 3 = 2(x + 2)^2 – 5$

9. Desigualdades

a. Definición de desigualdad

Una desigualdad es una relación matemática que compara dos expresiones usando los símbolos de menor que (<), mayor que (>), menor o igual que (≤) y mayor o igual que (≥).

Ejemplos:
• $3 < 5$
• $x + 2 \geq 10$
A diferencia de las ecuaciones, que tienen soluciones exactas, las desigualdades representan conjuntos de soluciones que satisfacen una condición.

b. Propiedades de las desigualdades

Suma y resta:
Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$.
Es análogo para la resta: Si $a < b$, entonces $a – c < b – c$.

Multiplicación o división por un número positivo:
Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $ac < bc$.

Multiplicación o división por un número negativo:
Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $ac > bc$. 
Ojo: ¡El signo de desigualdad se invierte!


Ejemplo 1. Desigualdad lineal simple

Resolviendo: $2x – 3 < 5$
Paso 1. Sumar 3 a ambos lados: $2x < 8$
Paso 2. Dividir entre 2: $x < 4$
Solución: Todos los x menores que 4.

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo abierto en 4 y una flecha hacia la izquierda.

Ejemplo 2. Desigualdad con cambio de signo

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo cerrado en 1 y una flecha hacia la izquierda.

c. Desigualdades cuadráticas

Para resolver desigualdades del tipo $x^2 – 5x + 6 > 0$ se procede:

Paso 1. Factorizamos: $(x – 2)(x – 3) > 0$
Paso 2. Identificamos los ceros: $x = 2$ y $x = 3$
Paso 3. Probamos los intervalos:
• $x < 2$ → positivo
• $2 < x < 3$ → negativo
• $x > 3$ → positivo
Solución: $x < 2$ o $x > 3$

Representación gráfica: 

d. Formas de escribir las soluciones

Las soluciones de desigualdades se pueden expresar en:

• Forma verbal: Todos los números mayores que 5.
• Notación con desigualdades: $x > 5$
• Notación de intervalo: $(5, \infty)$
Recuerda: Si usas aréntesis ( ), se excluye el número y se llama intervalo cerrado; y si usas corchetes [ ], se incluye el número y se llama intervalo abierto.

10. Logaritmos

a. Definición de logaritmo

Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número dado. Se expresa como:

$\log_b a = x$ si y solo si $b^x = a$, 

donde b es la base del logaritmo (debe ser positiva y distinta de 1), a es el argumento (el número del que tomamos el logaritmo), x es el resultado, es decir, el exponente que buscamos.

Ejemplos:

• $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$
• $\log_{10} 1000 = 3$, porque $10^3 = 1000$

b. Logaritmos comunes y naturales

• Logaritmo común

Si la base es 10 $\Longrightarrow \log a = \log_{10} a$

• Logaritmo natural

Si la base es e (número de Euler, aprox. 2.718) $\Longrightarrow \ln a = \log_e a$

c. Propiedades de los logaritmos

• Producto: $$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$$

• Cociente: $$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y$$

• Potencia: $$\log_b (x^r) = r \cdot \log_b x$$

• Logaritmo de 1:

$\log_b 1 = 0$ cualquier número elevado a 0 da 1.

• Logaritmo de la base: $$\log_b b = 1$$

d. Cambio de base

A veces necesitamos calcular un logaritmo con una base distinta a la que tenemos disponible (por ejemplo, en una calculadora). La fórmula es:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Usualmente se usa la base 10 o e (logaritmo común o natural).

Ejemplo:

$$\log_2 100 = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} \approx \frac{2}{0.3010} \approx 6.64$$

e. Aplicaciones de logaritmos en biología

Los logaritmos aparecen en muchos modelos de crecimiento, poblaciones, reacciones químicas y escalas biológicas.

Ejemplo. Crecimiento poblacional

El modelo exponencial: $P(t) = P_0 e^{kt}$

Si queremos encontrar el tiempo que tarda en alcanzarse cierta población P(t), usamos logaritmos:

$$t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{P(t)}{P_0}\right)$$

Ejemplo. Escala logarítmica en el pH

La fórmula del pH es: $\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]$

Si la concentración de iones hidrógeno $1 \times 10^{-7}$, entonces:

$\text{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = 7$

11. Iteración

a. Definición de iteración

Una iteración es un proceso que consiste en aplicar repetidamente una misma regla o fórmula, donde el valor siguiente depende del valor anterior. Se representa generalmente como:

$$x_{n+1} = f(x_n)$$

Ejemplo:
Comienza con el número 1 y suma 2 en cada paso: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
Aquí cada número se obtiene sumando 2 al anterior. La regla es: $x_{n+1} = x_n + 2$

b. Propiedades de las iteraciones

• Condición inicial: toda iteración necesita un valor de partida. A partir de él, se generan los siguientes valores. Por ejemplo $x_0 = 1$.
• Regla de cambio: es la fórmula o relación que se aplica en cada paso. Por ejemplo $x_{n+1} = 2x_n$.
• Dependencia del tiempo o pasos: iterar es como avanzar en el tiempo, en cada paso, el sistema cambia según la regla dada.

Ejemplo:
Si $x_0 = 1$ y la regla es $x_{n+1} = 2x_n$​, la secuencia será: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$

Ejemplo aplicado:
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si al inicio hay 100 bacterias:

$P_0 = 100$, se tiene que $P_{n+1} = 2P_n$​

Los primeros valores son:

$$P_1 = 2(100) = 200 \quad P_2 = 2(200) = 400 \quad P_3 = 2(400) = 800 \dots$$

c. Crecimiento lineal vs. crecimiento exponencial

(agregar grafs)

Paso	Crecimiento lineal (suma 100)	Crecimiento exponencial (duplica)
0	100	100
1	200	200
2	300	400
3	400	800

---

d. Iteraciones con fórmulas más complejas:

Algunas iteraciones incluyen otros elementos, como tasas de crecimiento, disminución, o límites. Por ejemplo:

$$x_{n+1} = x_n + r x_n (1 – \frac{x_n}{K})$$

Esta es una forma iterativa del modelo logístico, usado para describir poblaciones con límite ambiental.

12. Funciones y sus gráficas

a. Definición de función

Una función es una relación matemática entre dos variables, donde a cada elemento del conjunto variables independientes (dominio) le corresponde exactamente un elemento del conjunto de variables dependientes (rango). 

Se representa generalmente como: $f(x) = y$, donde x es la variable independiente (entrada), y es la variable dependiente (salida), f es la regla que asigna a cada x un único valor y.

Ejemplo:
Si $f(x) = 2x + 1$, entonces: $f(1) = 2(1) + 1 = 3,\quad f(2) = 2(2) + 1 = 5$.

b. Función lineal

Una función lineal tiene la forma general $f(x) = mx + b$, donde m es la pendiente (indica el crecimiento), b es la ordenada al origen (el valor de y cuando $x = 0$). 

Análisis gráfico:
• La gráfica de una función lineal es una línea recta.
• La pendiente m determina si la recta sube (m > 0) o baja (m < 0).
• El valor b indica el punto donde la recta corta al eje Y.

Ejemplo:
Una planta crece 2 cm por día, con una altura inicial de 5 cm:

$f(x) = 2x + 5$ (5 cm de altura inicial) Graficar

c. Funciones no lineales

No todas las relaciones son lineales. Muchas veces en biología hay curvas, aceleraciones o desaceleraciones.

￭ Cuadrática
Tiene la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$

Análisis gráfico:
• La gráfica es una parábola tal que si a > 0, se abre hacia arriba, si a < 0, se abre hacia abajo.
• El vértice es el punto de mínimo (si a > 0) o máximo (si a < 0).
• Las raíces (o ceros) de la función son los valores de x donde $f(x) = 0$, y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Puntos importantes:
• Vértice: punto máximo o mínimo.
• Raíces: valores de x que hacen que $f(x) = 0$ (pueden calcularse con la fórmula cuadrática).

Ejemplo:

$f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ Esta parábola se abre hacia abajo. El vértice y las raíces permiten analizar cómo varía la función con el tiempo, por ejemplo en procesos de crecimiento que luego disminuyen.

￭ Exponencial
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot b^x$, donde a es el valor inicial, si b > 1 hay crecimiento exponencial, si 0 < b < 1 hay decaimiento exponencial.

Análisis gráfico:
• Crece o decrece rápidamente.
• Siempre es positiva si a > 0.
• A medida que $x \to \infty$, f(x) crece si b > 1; si b < 1, decrece hacia 0.

Ejemplo:
Crecimiento bacteriano: $f(x) = 100 \cdot 2^x$

￭ Logarítmica
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot \log(x)$, donde se define sólo para x > 0, y a ajusta la escala.

Análisis gráfico:
• Crece, pero muy lentamente conforme x aumenta.
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 (no puede tomar valores negativos).

Ejemplo:
Respuesta fisiológica a un estímulo, como percepción del sonido o intensidad de luz.

￭ Racionales
Su forma general es $f(x) = \frac{1}{x}$. 

Análisis gráfico:
• Tiene dos ramas (una en cada lado del eje y),
• No está definida en x = 0,
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0.

Ejemplo:
Relaciones inversas como velocidad y tiempo: a mayor velocidad, menor tiempo.

￭ Potencial o alométrica
Su forma general es $y = a \cdot x^k$, donde a es una constante de proporcionalidad, k puede ser positivo o negativo, entero o fraccionario.

Análisis gráfico:
• Si k > 1: crecimiento acelerado.
• Si 0 < k < 1: crecimiento desacelerado.
• Si k < 0: decrecimiento.

Ejemplo:
Relación entre masa corporal y tasa metabólica: $f(x) = 70 \cdot x^{0.75}$
Este tipo de función describe cómo cambia una variable fisiológica en función del tamaño corporal.

d. Dominio y codominio

• Dominio: conjunto de todos los posibles valores de entrada x que hacen que la función esté bien definida.

• Codominio: conjunto de todos los posibles valores de salida y.

Ejemplo:
Para $f(x) = \sqrt{x}$, el dominio es $x \geq 0$, porque no se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales).

e. Coeficientes de correlación

Cuando se tiene un conjunto de datos empíricos o experimentales (por ejemplo, mediciones de dos variables en una muestra), es útil saber qué tan fuertemente están relacionadas.

El coeficiente de correlación (r) mide la intensidad y dirección de una relación lineal entre dos variables, es decir, permite cuantificar qué tan bien se ajustan a una función lineal.

$-1 \leq r \leq 1$

• $r \approx 1$: correlación positiva fuerte (ambas variables aumentan juntas).
• $r \approx -1$: correlación negativa fuerte (una aumenta mientras la otra disminuye).
• $r \approx 0$: no hay relación lineal.

Ejemplo:
Si midieras la longitud del ala y el peso de aves, podrías obtener un r cercano a 0.8, indicando una fuerte relación positiva.

Otro ejemplo:
Una investigadora mide la concentración de glucosa en sangre en función del tiempo después de una comida. Si los datos tienen r = −0.92, se puede decir que la concentración de glucosa disminuye de forma lineal conforme pasa el tiempo.

Importante recordar: Correlación no implica causalidad. Que dos variables estén relacionadas no significa que una cause la otra.

13. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Resolver un sistema significa encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

a. Solución de un sistema

Una solución puede ser un par ordenado $(x, y)$ que satisfaga todas las ecuaciones del sistema.

Tipos de soluciones:

• Una única solución (sistema compatible determinado)
Las rectas se cortan en un único punto, por lo que el sistema tiene solución única.

• Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)
Las rectas son la misma recta (coinciden totalmente), entonces todas las soluciones de una son soluciones de la otra.

• Ninguna solución (sistema incompatible)
Las rectas son paralelas y no se cortan, entonces no hay valores que satisfagan las ecuaciones a la vez.

b. Métodos de resolución

￭ Método gráfico
Consiste en graficar ambas ecuaciones en el plano cartesiano y observar el punto (si existe) donde se cruzan las rectas.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

• Primera recta: $y = -x + 4$
• Segunda recta: $y = x – 2$
Graficando, se cruzan en el punto (3, 1). Esa es la solución del sistema.

￭ Método de sustitución

Paso 1. Se despeja una variable en una de las ecuaciones.
Paso 2. Se sustituye en la otra ecuación.
Paso 3. Se resuelve y luego se reemplaza para encontrar la otra variable.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

Paso 1. De la primera ecuación, despejamos $x = 4 – y$
Paso 2. Sustituimos en la segunda

$(4 – y) – y = 2 \Rightarrow 4 – 2y = 2 \Rightarrow y = 1$

Paso 3. Reemplazamos en $x = 4 – y$

$x = 4 – 1 = 3$

Solución: (3, 1)

￭ Método de igualación

Paso 1. De despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
Paso 2. De igualan las expresiones.
Paso 3. De resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo:

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$

Paso 1. Como ya están ambas ecuaciones igualadas a y, se continúa al siguiente paso.
Paso 2. Se igualan ambas ecuaciones

$2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$

Paso 3: se resuelve que $y = 2(1) + 1 = 3$
Solución: (1, 3)

￭ Método de reducción (o suma y resta)

Paso 1. Se multiplican las ecuaciones (si es necesario) para que, al sumarlas o restarlas, una variable se elimine.
Paso 2. Se resuelve la variable restante y luego se reemplaza.

Ejemplo:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Paso 1. $(2x + y) + (x – y) = 5 + 1 \Longrightarrow 3x = 6 \Longrightarrow x = 2$
Paso 2. $2 – y = 1 \Longrightarrow y = 1$
Solución: (2, 1)

14. Matrices y determinantes

a. Definición de matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, ordenados en filas y columnas.

Se denota por una letra mayúscula (como A, B, M…), y sus elementos se representan con subíndices:

$A = a_{ij}​$, donde i es el número de la fila y j el de la columna.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Esta es una matriz de 2 filas y 3 columnas, o matriz $2 \times 3$ (se dice “dos por tres”).
En este caso se puede observar que $a_{11} = 1$ y $a_{23} = 6$.

b. Tipos de matrices

Las matrices se pueden clasificar según su forma y contenido. 

Tipo de matriz	Descripción	Ejemplo
Matriz fila	Solo tiene una fila.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$
Matriz columna	Solo tiene una columna.	$\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}​$​​
Matriz rectangular	Número de filas distinto al de columnas.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
Matriz cuadrada	Mismo número de filas y columnas (n × n). Sólo las matrices cuadradas tienen determinante e inversa.	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz diagonal	Cuadrada, sólo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.	$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
Matriz identidad	Diagonal con unos en la diagonal principal	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz nula	Todos sus elementos son cero	$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

c. Operaciones con matrices

Las matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse, siempre que cumplan ciertas condiciones.

• Suma y resta de matrices
Sólo pueden sumarse o restarse matrices del mismo tamaño, es decir, con igual número de filas y de columnas.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$, $$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

$$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación por un escalar
Se multiplica cada elemento de la matriz por ese número.

Ejemplo:

$$2 \cdot A = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación de matrices
Solo se puede multiplicar una matriz $A_{m \times n}$​ por una matriz $B_{n \times p}$​: las columnas de la primera deben coincidir con las filas de la segunda. El resultado será una matriz $C_{m \times p}$​.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \Rightarrow AB = (1)(3) + (2)(4) = 11$$

d. Determinantes

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Es importante para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución única, calcular la inversa de una matriz.

Se denota como $\det(A)$ o $|A|$.

• Determinante de una matriz 2×2

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = ad – bc$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = (3)(4) – (2)(1) = 12 – 2 = 10$$

• Determinante de una matriz 3×3 (Regla de Sarrus)
La regla de Sarrus permite calcular de forma rápida el determinante de una matriz 3×3.
Dada una matriz

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

Paso 1. Repite las dos primeras columnas a la derecha

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}​$$

Paso 2. Suma los productos de las diagonales principales

$$a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$$

Paso 3. Resta los productos de las diagonales secundarias

$$a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

Paso 1.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{bmatrix}​$$

Paso 2.

$1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 = 45 + 84 + 96 = 225$

Paso 3.

$3 \times 5 \times 7 + 1 \times 6 \times 8 + 2 \times 4 \times 9 = 105 + 48 + 72 = 225$

Determinante: 225 – 225 = 0

e. Matriz inversa
La inversa de una matriz A (si existe), denotada $A^{-1}$, es aquella tal que:

$$A \cdot A^{-1} = I$$

Solo existen inversas para matrices cuadradas y no singulares (es decir, cuyo determinante no es cero).

f. Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices
Un sistema lineal puede escribirse como $AX = B$, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y B es la matriz de resultados.
Si A es invertible, se cumple que $X = A^{-1} \cdot B$.

Ejemplo:
Sea el sistema

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x – y = 4 \end{cases}$$

Se tiene que

• Matriz de coeficientes: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
• Incógnitas: $X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
• Resultados: $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$
• $A \cdot X=B$

Luego se calcula la inversa de A
Determinante: $det(A) = (2)(−1) − (3)(1) = − 2 − 3 = −5$
Inversa de A:

$$A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix}$$

Después se multiplica $A^{-1} \cdot B = X$

$$X = A^{-1} \cdot B = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$$

Multiplicamos:

• Primera fila: $0.2 \times 5 + 0.2 \times 4 = 1 + 0.8 = 1.8$
• Segunda fila: $0.6 \times 5 + (-0.4) \times 4 = 3 – 1.6 = 1.4$
Se obtiene que $X = \begin{bmatrix} 1.8 \\ 1.4 \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad x = 1.8,\ y = 1.4$

¡Hola! Si estás leyendo esto, probablemente te estás preparando para cursar Modelos Biomatemáticos I, una asignatura que puede parecer desafiante si no sientes familiaridad con los números.

Este material fue diseñado pensando en ti. Aquí encontrarás explicaciones claras y concisas, acompañadas de ejemplos y ejercicios prácticos que te ayudarán a repasar y fortalecer conceptos fundamentales como fracciones, porcentajes, proporciones, potencias, sucesiones y más.

El objetivo con estas notas es que descubras cómo las matemáticas son un lenguaje que te permitirá describir y analizar fenómenos biológicos de forma precisa.

Tómate tu tiempo, resuelve los ejercicios, equivócate, vuelve a intentar. Este es un espacio seguro para aprender, repasar y ganar confianza.
Espero que estas páginas te acompañen como una herramienta útil en tu camino hacia una comprensión más sólida, no solo de la asignatura, sino también del papel que tienen las matemáticas en tu formación como estudiante de biología.

¡Ánimo y adelante!

Módulo 1

1. Fracciones

a. Definición de una fracción

Una fracción es una forma de representar una parte de un todo. Se representa como 

$$\frac{a}{b},$$

donde a es el numerador, que indica cuántas partes tomamos; b es el denominador, que indica en cuántas partes se divide el todo.

b. Cómo simplificar fracciones

Para simplificar una fracción, la sugerencia siempre es buscar el máximo común divisor (MCD) entre el numerador y el denominador. En algunos casos, esto implica descomponer ambos números en sus factores primos. Una vez que se tiene el MCD, se dividen ambas partes de la fracción entre ese número.

Ejemplo: para simplificar $\frac{18}{24}$

• Los factores primos de 18 son 2 × 3 × 3.
• Los factores primos de 24 son 2 × 2 × 2 × 3.
• El MCD es 2 × 3 = 6.

Entonces, $\frac{18}{24}$ se simplifica dividiendo ambos números entre 6:

$$\frac{18÷6}{24÷6} = \frac{3}{4}$$

c. Operaciones con fracciones

Suma y Resta

Si los denominadores son iguales, simplemente se realiza la suma o resta de los numeradores. 

Ejemplos: 

$$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ $$\frac{4}{7} − \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$$

Si los denominadores son diferentes, necesitas un denominador común. 

Ejemplo: 

Para sumar $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ un denominador común es 12. Convertimos las fracciones: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}​, \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$​; por lo tanto $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.​

Multiplicación

Se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador. 

Ejemplo: 

$$\frac{2}{3} × \frac{4}{5} = \frac{2×4}{3×5} = \frac{8}{15}$$

División 

Multiplicamos la primera fracción por el inverso de la segunda. 

Ejemplo:

$$\frac{2}{3} ÷ \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}​$$

d. Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. Para encontrar fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número.

Ejemplo: 

$\frac{1}{2}$​ es equivalente a $\frac{2}{4}​, \frac{3}{6}​, \frac{5}{10}​$

e. Conversión de fracciones a decimales

Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75$$

f. Reconocer decimales exactos y periódicos

Decimal exacto: es un decimal que termina después de un número finito de decimales, por ejemplo 0.5 o 0.75.

Decimal periódico: es un decimal que tiene una parte decimal que se repite infinitamente, por ejemplo $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, donde el 3 se repite indefinidamente.

g. Cómo expresar un decimal en fracción

Para convertir un decimal a fracción, si el decimal tiene una cantidad finita de dígitos, se escribe el número como fracción sobre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la cantidad de decimales.

Ejemplo:

Para convertir 0.75 a fracción se sigue que $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

h. Para convertir un número decimal infinito periódico a fracción

Paso 1. Identificar el período: sea x un número decimal periódico $x = 0.\overline{a}$, donde a es el dígito o grupo de dígitos que se repite, es decir, el período.

Por ejemplo, si tenemos $x = 0.\overline{3}$, entonces a = 3.

Paso 2. Multiplicar por una potencia de 10: se multiplican ambos lados de la ecuación por la potencia de 10 que corresponda a la cantidad de dígitos del período para desplazar el punto decimal.

Si el período tiene un solo dígito (como en el caso del ejemplo), se multiplica por 10: $10x = 10(0.\overline{3}) = 3.\overline{3}$.

Paso 3. Restar la ecuación original de la ecuación multiplicada: ahora se resta la ecuación original de la ecuación recién obtenida. Esto eliminará la parte decimal periódica. 

En el caso del ejemplo se resta: $10x-x = 3.\overline{3} – 0.\overline{3} \Longrightarrow 9x = 3$.

Paso 4. Resolver para x: finalmente se resuelve la ecuación para x.

En el caso del ejemplo, dividiendo ambos lados entre 9:

$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}​$$.
Por lo tanto, $0.\overline{3}$ es igual a $\frac{1}{3}​$.

Ejemplo: con un número decimal periódico más largo

Sea un número decimal $x= 0.\overline{142857}$.

Se identifica el período: el grupo de dígitos que se repite, o período de

$x= 0.\overline{142857}$ es 142 857.

Se multiplica por una potencia de 10: como el período tiene seis dígitos, se multiplica ambos lados de la ecuación por $10^6 = 1000000$:

$$1000000x= 1000000(0.\overline{142857}) = 142857.\overline{142857}$$.

Restar la ecuación original: se resta la ecuación original:

$$1000000x-x = 142857.\overline{142857} – 0.\overline{142857}$$.

Esto da como resultado: $999999x= 142857$.

Resolver para x: se resuelve para x dividiendo ambos lados entre 999 999:

$$x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$$​.

Así, $0.\overline{142857}$ es igual a $\frac{1}{7}$​.

2. Porcentajes

a. Definición de porcentajes

El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100.

$$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100$$

b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes

• Fracción a porcentaje: multiplicar la fracción por 100.

Ejemplo:

$$\frac{1}{4} \times 100 = 25 %$$

• Decimal a porcentaje: multiplicar el número decimal por 100.

Ejemplo:

$$0.75 \times 100 = 75 %$$

c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones

• Porcentaje a decimal: dividir entre 100.

Ejemplo:

$$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$$

• Porcentaje a fracción: escribir el porcentaje como fracción y simplificar.

Ejemplo:

$$75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$$

d. Operaciones con porcentajes

Porcentaje de una cantidad: multiplicar la cantidad por el porcentaje expresado como decimal.

Ejemplo:

El 20 % de 50 es: 50 × 0.20 = 10

3. Proporciones y razones

a. Cálculo de proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Para resolver proporciones, se puede usar el producto cruzado: a × d = b × c.

Ejemplo:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{x} \Rightarrow 2 \times x = 3 × 4 \Longrightarrow x = 6$$

b. Proporciones directas e inversas

• Proporción directa: si una cantidad aumenta, la otra también aumenta necesariamente, por ejemplo y = k × x.

• Proporción inversa: si una cantidad aumenta, la otra disminuye, por ejemplo $y = \frac{k}{x}$.

4. Medidas de tendencia central

a. Media (promedio)

La media se obtiene sumando todos los valores de un conjunto de datos y dividiendo entre la cantidad total de elementos en dicho conjunto.

Fórmula::

$$\text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}$$

donde $x_i$ son los valores de los datos y n es la cantidad de datos.

Ejemplo:
Supongamos que medimos el número de hojas en 5 plantas: 8, 10, 12, 10, 10.

La media es: $\frac{8 + 10 + 12 + 10 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$.

b. Mediana

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si hay un número impar de datos, es el valor central. Si hay un número par, es el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo: con número impar de datos

Datos: 7, 9, 10, 13, 15

Ordenados: 7, 9, 10, 13, 15

→ La mediana es 10 (el del medio)

Ejemplo: con número par de datos

Datos: 5, 7, 8, 9
→ Mediana = $\frac{7 + 8}{2}$ = $\frac{15}{2}$ = 7.5

c. Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:

Datos: 3, 4, 4, 5, 6, 4, 7

→ La moda es 4, porque se repite tres veces.

Importante recordar: Puede haber más de una moda (moda bimodal o multimodal), o ninguna si todos los datos aparecen solo una vez.

5. Sucesiones

Una sucesión es una lista ordenada de números, llamados términos, que siguen una regla o patrón. Estos números pueden representar fenómenos naturales que cambian con el tiempo, como el crecimiento de una población, la cantidad de bacterias en una placa, o la altura de una planta en distintas semanas.

a. Definición de sucesión

Una sucesión es una secuencia de números dispuestos en un orden específico. Cada número tiene una posición que se indica con un subíndice:

$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$​, donde $a_1$​ es el primer término, $a_2$​ el segundo, y así sucesivamente hasta $a_n$ para cualquier n en los naturales.

b. Fórmulas generales de sucesiones

Algunas sucesiones siguen reglas simples que nos permiten encontrar cualquier término sin tener que listar todos los anteriores.

• Sucesión aritmética: se forma sumando una cantidad fija llamada razón.

Fórmula general:

$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$, donde d es la diferencia común.

Ejemplo:

$2, 5, 8, 11, \dots$ tiene $a_1 = 2$, $d = 3$, entonces $a_5 = 2 + (5 – 1)\cdot3 = 14$

• Sucesión geométrica: se forma multiplicando por una cantidad fija, es decir, la razón geométrica.

Fórmula general:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, donde r es la razón multiplicativa.

Ejemplo:

$3, 6, 12, 24, \dots$ tiene $a_1 = 3$, $r = 2$, entonces $a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 24$

c. Algunas sucesiones conocidas

• Sucesión de Fibonacci: cada término es la suma de los dos anteriores

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \dots$

Esta sucesión aparece en la naturaleza: por ejemplo en la distribución de hojas, en el crecimiento de conchas, bifurcación de ramas, etcétera.

• Sucesión de cuadrados: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ representa el área de cuadrados de lado $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

6. Potencias y exponentes

a. Definición de potencia

Una potencia es una forma abreviada de representar una multiplicación repetida de un mismo número:

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \quad \text{(n veces)}$, donde a es la base, n es el exponente o índice.

Ejemplo:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Importante: signos y paréntesis
Hay una diferencia fundamental entre:

$(-2)^5 = -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 = -32$ y $-(2^5) = -32$

Regla clave:
Si el signo negativo está dentro de paréntesis, la base es negativa. De lo contrario, solo el número es base y el signo queda afuera.

b. Propiedades de las potencias

• Producto con la misma base:  $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

• Cociente con la misma base: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

• Potencia de una potencia: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

• Potencia de un producto: $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$

• Potencia de un cociente: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

c. Exponentes especiales

• Exponente cero:

$a^0 = 1$ para $a \neq 0$

• Exponente uno: $$a^1 = a$$

• Exponente negativo: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Ejemplo: $$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$$​

d. Potencias con fracciones

• Si la base es una fracción: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

• Y si el exponente es negativo: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Ejemplo:

$$\left( \frac{3}{5} \right) ^{-2}= \left( \frac{5}{3} \right) ^2 = \frac{25}{9}$$

e. Exponentes fraccionarios

Un exponente fraccionario representa una raíz: 

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$​

Ejemplos:

• $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

• $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$

También se puede hacer en dos pasos: 

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(27^{1/3}\right)^2 = (3)^2 = 9$$

7. Radicales y racionalización

a. Definición de raíz

Una raíz es la operación inversa de una potencia. La raíz cuadrada de un número a es aquel número que al elevarlo al cuadrado da a:

$\sqrt{a} = b \Longleftrightarrow b^2 = a$

Para raíces cúbicas: $\sqrt[3]{a} = b \Longrightarrow b^3 = a$

b. Propiedades de las raíces

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

• $\sqrt{a^2} = |a|$

• $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Estas propiedades son válidas sólo si los números involucrados están definidos en el conjunto de los números reales (por ejemplo, no se puede extraer raíz par de un número negativo en los reales).

c. Simplificación de raíces cuadradas

Para simplificar una raíz cuadrada, se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.

Ejemplo:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$​

Otros ejemplos:

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

• $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

d. Racionalización

Racionalizar es el proceso de eliminar raíces del denominador de una fracción.

• Caso básico

$$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$$

Ejemplo:

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6} – 3}$ se racionaliza multiplicando por el conjugado: $\frac{\sqrt{6} + 3}{\sqrt{6} + 3}$

• Binomios con radicales

Cuando el denominador es un binomio con una raíz, se multiplica por su conjugado:

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{\sqrt{a} – \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a – b}$$

Ejemplo:

$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2}$$

---

Teorema

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración:

Sea $(x_0, y_0) \in A.$

$\Big[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0, y_0) \Big]$

Basta demostrar que existe $L = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f (x, y)$ y $ L = f (x_0, y_0).$

Sea $\epsilon > 0.$

Basta demostrar que existe $\delta > 0 $ tal que si

$\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta \Rightarrow |f (x, y) \, – \, f (x_0, y_0)|< \epsilon$

Como $\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta$

Sean $ h = x \, – \, x_0 $ y $ k = y \, – \, y_0 $ entonces, si $\| (h, k) \| < \delta \Rightarrow |f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) | < \epsilon$

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0 , y_0 + k) \, + \, f (x_0, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) $

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 + k) h + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0 + \theta_2 k) k$ para algún $\theta_1, \theta_2 \in (0, 1)$

Sean $\xi = x_0 + \theta_1 h \; \in [x_0, x_0 + h]$

y $\eta = y_0 + \theta_2 k \; \in [y_0, y_0 + k]$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\xi, y_0+k) = \dfrac{\Delta f}{h}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi, y_0+k)h = \Delta f$

Tomando el valor absoluto y aplicando la desigualdad del triángulo tenemos que:

$\Big| f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f ( x_0, y_0) \Big| \leq \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1h, y_0 + k) \Bigg| \Big|h \Big| + \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 , y_0 + \theta_2k) \Bigg| \Big|k \Big| \leq M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$

Para que $M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$ se debe cumplir que

$$\big| h \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

$$\big| k \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

Luego $$\big| h \big| + \big| k \big| \leq 2 \sqrt{h^2 + k^2 } = 2 \big\| (h, k) \big\|$$

Entonces, para que se cumpla que $ 2M \big\| (h, k) \big\| < \epsilon$ basta pedir que

$$ \big\| (h, k) \big\| < \delta = \dfrac{\epsilon}{2M} \; _{\blacksquare}$$

5. Sistemas Dinámicos Discretos y Modelos de Crecimiento

5.1. Ejemplos elementales de sistemas dinámicos: números de Fibonacci, modelo de Malthus discreto

Los números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son una secuencia de números enteros que aparecen en muchos fenómenos de la naturaleza. Esta secuencia se define de una manera muy simple: cada número, a partir del tercero, es la suma de los dos números anteriores. Es decir, la secuencia comienza así:

$F_0 = 0,$

$F_1 = 1,$

$F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1,$

$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2,$

$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3, \quad \dots$

Formalmente, la sucesión de Fibonacci se expresa como:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, donde $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ son condiciones iniciales.

Este patrón se repite para todos los números de la secuencia. Los números de Fibonacci aparecen, por ejemplo, en la distribución de las hojas de las plantas, las espirales de los caracoles, la proporción de las ramas de los árboles y muchos otros fenómenos naturales. Esto nos lleva a preguntarnos no sólo cómo se genera esta secuencia, sino por qué estructuras naturales parecen seguirla. Las matemáticas modelan patrones de crecimiento y organización que optimizan recursos en organismos vivos.

La sucesión de Fibonacci

En el año 1202, Leonardo de Pisa (1175–1250), mejor conocido como Fibonacci, publicó su libro Liber Abaci en el cual planteó el siguiente problema: Si se pone una pareja de conejos en un lugar rodeado por un muro, ¿cuántas parejas de conejos pueden salir de esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que, a partir del segundo mes, se vuelve fértil?

Para resolver el problema, Fibonacci supuso que cada pareja ―a partir del segundo mes― daba a luz a una nueva pareja de conejos por mes, y que cada pareja está conformada por un macho y una hembra. Para modelar esto matemáticamente, se define como

$y_n= \sum_{k=1}^\infty y_{k,n}$,

donde $y_{k,n}$ representa el número de parejas de conejos de edad k (meses) en el mes n; $y_n$ el número total de parejas en el mes n. También se asume que ningún conejo muere. De manera que cada conejo de edad k en el mes n, tendrá edad k + 1 en el mes n + 1. Por lo que la población de cada mes sería

$y_{k,n} = y_{k+1,n+1}$ para $y \geq 0, k \geq 0$.

Además, el número de parejas de conejos de un mes de edad en n + 1 es igual al número de parejas de dos meses o más en el mes anterior, es decir

$y_{1,n+2}=y_{2,n+1}+y_{3,n+1}+…$

Ahora, se supone que la pareja del inicio es adulta y no debe esperar dos meses para poder engendrar, por lo que las condiciones iniciales son 

$y_{1,0}=0$, $y_{2,0}=1$, $y_{k,0}=0$ para k > 2.

Por lo que para $n\geq 0$ se tiene que 

$y_{n+2}=\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+2}=y_{1,n+2}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}=\sum_{b=2}^\infty y_{b,n+1}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}$,

entonces $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$.

Entonces podemos deducir que 

$y_{1,1} =0, y_{2,1}=0, y_{3,1}=1, y_{k,1}=0$ para $k\geq 3$,

luego $y_1=1$. Entonces las condiciones iniciales son $y_0=y_1=1$.

Para entender cómo crece esta población con el tiempo, tenemos que resolver la ecuación obtenida $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$, que nos ayuda a predecir cómo se comportará la población de conejos en el futuro. Para esto, se necesita encontrar una fórmula general que permita predecir cómo será el número de parejas de conejos en cualquier mes n.

Lo que sigue es encontrar la solución general de esta ecuación, y para eso utilizamos algo llamado la ecuación característica. La idea es proponer una solución de la forma:

$y_n = C \lambda^n$,

donde C es una constante (que encontraremos más tarde), y $\lambda$ es lo que llamamos la raíz de la ecuación. La razón por la que proponemos esta forma es que la solución $y_n$​ crece como crecen las poblaciones, de forma exponencial.

Ahora, sustituimos esta forma en la ecuación de diferencias para encontrar $\lambda$. Esto es lo que se hace en la ecuación característica.

Sustituyendo $y_n = C \lambda^n$ en la ecuación $y_{n+2} = y_n + y_{n+1}$​, obtenemos:

1. $y_{n+2} = C \lambda^{n+2}$
2. $y_n = C \lambda^n$
3. $y_{n+1} = C \lambda^{n+1}$
   

Ahora, sustituyendo estas tres expresiones en $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$:

$C \lambda^{n+2} = C \lambda^n + C \lambda^{n+1}$

Como C es una constante no nula, podemos cancelarla en ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con:

$\lambda^{n+2} = \lambda^n + \lambda^{n+1}$

Ahora, podemos dividir toda la ecuación entre $\lambda^n$ ―asumiendo que $\lambda \neq 0$―, luego:

$\lambda^2 = \lambda + 1$

Este es el resultado de la ecuación característica, y así es como queda simplificada la ecuación $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$ en una ecuación cuadrática:

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0$

Ahora, utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos que:

$\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

En este caso, los coeficientes de la ecuación son:

• a = 1 (el coeficiente de $\lambda^2$),
• b = –1 (el coeficiente de $\lambda$),
• c = –1 (el término independiente).
  

Sustituyendo en la fórmula general, tenemos:

$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$

Simplificando:

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Esto nos da dos soluciones para $\lambda$:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y $\lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​

Estas dos soluciones son los valores de $\lambda$ que describen el crecimiento de la población de conejos. En este caso, la solución positiva $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$​​ es la que nos interesa, porque nos da la tasa de crecimiento de la población, que es un número mayor que 1. Este número es conocido como la proporción áurea y tiene muchas propiedades interesantes en biología y naturaleza.

La solución negativa $\lambda_2$​ no es útil en este caso, ya que corresponde a un crecimiento negativo, lo cual no ocurre en este modelo. Como menciona Britton “el crecimiento o decrecimiento geométrico ocurre en casi todos los modelos de ecuaciones diferenciales lineales, incluso cuando se incluye la estructura poblacional. Esto no es necesariamente un problema si tratamos un período finito, como en la pregunta que planteó Fibonacci” (Britton, p. 29).

Entonces, la solución general para la población de conejos en el mes n es:

$F_n = A_1 \lambda_1^n + A_2 \lambda_2^n$​,

donde $A_1$​ y $A_2$​ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. 

Usando las condiciones iniciales de la sucesión de Fibonacci para determinar las constantes $A_1$​ y $A_2$:

Sabemos que $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$, entonces sustituimos estos valores en la ecuación general para obtener un sistema de ecuaciones.

Para n = 0:

$F_0 = A_1 \lambda_1^0 + A_2 \lambda_2^0 = A_1 + A_2 = 0 \Rightarrow A_1 = -A_2$​

Para n = 1:

$F_1 = A_1 \lambda_1^1 + A_2 \lambda_2^1 = A_1 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1$

Sustituyendo $A_1 = -A_2$ tenemos que $-A_2 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1 \Rightarrow A_2 (\lambda_2 – \lambda_1) = 1$

Tenemos que las raíces de la ecuación característica para la sucesión de Fibonacci son:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​.

Ahora, para calcular la diferencia $\lambda_2 – \lambda_1$​, simplemente restamos estas dos expresiones:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right) – \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)$

Para simplificar, primero agrupamos los términos de forma conveniente:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{1 – \sqrt{5} – 1 – \sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{-2\sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$

Luego, como $\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$​, tenemos:

$A_2 (-\sqrt{5}) = 1 \quad \Rightarrow \quad A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$.

Por lo tanto, $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$​.

Ahora que tenemos las constantes $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$​, podemos escribir la solución general de la sucesión de Fibonacci como:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\lambda_1^n – \lambda_2^n)$.

Dado que $\lambda_2$​ tiende a cero cuando n crece, podemos aproximar

$F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$​ para valores grandes de n.

Ejemplo
Calcula de los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci:

Los primeros 10 términos son:
$F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_3 = 2, \quad F_4 = 3, \quad F_5 = 5, \quad F_6 = 8, \quad F_7 = 13, \quad F_8 = 21, \quad F_9 = 34.$

Ejemplo
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 6 meses, usando la ecuación $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, luego comprueba el resultado usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$.

El número de parejas de conejos después de seis meses es $F_6 = F_{6-1} + F_{6-2} \Rightarrow  F_6 = F_{5} + F_{4}$ entonces $F_6 = 8$.

Ahora, usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, donde $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ y n es el mes para el cual queremos calcular el número de conejos, tenemos que 

$F_6 \approx \frac{(1.618)^6}{\sqrt{5}} \approx 8.02$. 

Ejercicio
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 38 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_38 \approx \frac{(1.618)^{38}}{\sqrt{5}} \approx 39056979.55$.

En 38 meses habrá 39 056 979 conejos.

Ejercicio
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 83 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_83 \approx \frac{(1.618)^{83}}{\sqrt{5}} \approx \frac{2.2142 \times 10^{17}}{\sqrt{5}} \approx 9.9022 \times 10^{21}$.
En 83 meses habrá aproximadamente $9.9022 \times 10^{21}$ conejos.

Demostración matricial de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se define de forma recursiva como:

$F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, para $n \geq 2$

Lo que buscamos es expresar esta relación en términos de multiplicación de matrices, para poder usar álgebra lineal en lugar de recurrencia.

Observamos que se puede escribir la relación de recurrencia como
$\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$

Denotando:
• $\vec{x}_n = \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$
• $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
entonces la sucesión se convierte en $\vec{x}_{n+1} = A \vec{x}_n$.

Esto nos lleva a la expresión iterativa

$\vec{x}_1 = A \vec{x}_0, \quad \vec{x}_2 = A \vec{x}_1 = A^2 \vec{x}_0, \quad \vec{x}_3 = A \vec{x}_2 = A^3 \vec{x}_0, \quad \ldots \Rightarrow \vec{x}_n = A^n \vec{x}_0$

Para hallar $\vec{x}_n$​ sin repetir multiplicaciones, queremos diagonalizar la matriz A.

$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$,

donde D es diagonal, entonces $D^n$ se calcula 

$D^n = \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{bmatrix}$

Siguiendo para encontrar los valores propios de A:

dada $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

El polinomio característico se obtiene resolviendo:

$\det(A – \lambda I) = 0$
$A – \lambda I = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 – \lambda \end{bmatrix}, \quad \det(A – \lambda I) = (-\lambda)(1 – \lambda) – 1 = \lambda^2 – \lambda – 1$

Resolvemos

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Estos son
• $\lambda_1 = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
• $\lambda_2 = \bar{\phi} = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$

Y cumplen que
$\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \phi \cdot \bar{\phi} = -1, \quad \bar{\phi} = \frac{-1}{\phi}$

Ahora, queremos encontrar vectores no nulos $\vec{v}$ que cumplan
$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \Rightarrow (A – \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$

▪ Para $\lambda_1 = \phi$:

$A – \phi I = \begin{bmatrix} -\phi & 1 \\ 1 & 1 – \phi \end{bmatrix} \Rightarrow -\phi x + y = 0 \Rightarrow y = \phi x$

Podemos elegir $x = 1 \Rightarrow y = \phi$, así que
$\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \phi \end{bmatrix}$

▪ Para $\lambda_2 = \bar{\phi} = -\frac{1}{\phi}$​:

$A – \bar{\phi} I = \begin{bmatrix} -\bar{\phi} & 1 \\ 1 & 1 – \bar{\phi} \end{bmatrix} \Rightarrow -\bar{\phi} x + y = 0 \Rightarrow y = \bar{\phi} x$

Elegimos $x = 1 \Rightarrow y = \bar{\phi}$​, entonces
$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Luego, para diagonalizar la matriz, construimos
$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \phi & \bar{\phi} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Entonces
$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$

Cualquier vector $\vec{w} \in \mathbb{R}^2$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores propios:
$\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2$

Aplicando A iteradamente:
$A \vec{w} = c_1 A \vec{v}_1 + c_2 A \vec{v}_2 = c_1 \lambda_1 \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2 \vec{v}_2$

Por lo que en general tenemos que
$A^n \vec{w} = c_1 \lambda_1^n \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^n \vec{v}_2$

Usando el vector inicial tenemos que
$\vec{x}_0 = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Queremos
$\vec{x}_{n-1} = A^{n-1} \vec{x}_0 \Rightarrow F_n =$ primera coordenada de $A^{n-1} \vec{x}_0$

Usamos la diagonalización
$\vec{x}_{n-1} = P D^{n-1} P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Obtenemos que
$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n – \bar{\phi}^n \right)$

Concretamente

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)$

Esta es la fórmula de Binet para Fibonacci.

Actividad
Mira el video Fibonacci del canal Derivando en https://www.youtube.com/watch?v=yDyMSliKsxI&t=54s&ab_channel=Derivando.
Luego responde:
a. ¿Qué relación hay entre los números naturales y la sucesión de Fibonacci según el video?
b. Expresa el número 68 como la suma de dos números de la sucesión de Fibonacci.
c. ¿Qué ejemplo biológico relacionado con insectos presenta el video y cómo se vincula con la sucesión de Fibonacci? 

Actividad
Mira los videos The Golden Ratio de Numberphile en https://www.youtube.com/watch?v=sj8Sg8qnjOg&ab_channel=Numberphile y The fabulous Fibonacci flower formula de Mathologer en https://www.youtube.com/watch?v=_GkxCIW46to&ab_channel=Mathologer.
Luego responde:
a. ¿Cómo se define el número áureo matemáticamente?
b. Menciona ejemplos de la naturaleza u otros contextos en los que aparece esta proporción.
c. ¿Qué significa que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci?
d. ¿Cuál es el vínculo entre la proporción áurea y la eficiencia en el espacio?

Respuestas modelo
Actividad
a. El video muestra que todo número natural positivo se puede escribir como suma de números de Fibonacci sin repetir ninguno, es decir, cualquier número puede expresarse de manera única como suma de términos no consecutivos de la sucesión.
b. 55 + 13
c. El video explica el árbol genealógico de las abejas. En esta especie, las abejas macho (zánganos) nacen de un solo progenitor (una hembra), mientras que las hembras nacen de dos (macho y hembra). Esto genera una estructura genealógica donde el número de ancestros en cada generación sigue la sucesión de Fibonacci: 1 padre, 1 abuelo y 2 bisabuelos, luego 3 tatarabuelos, y así sucesivamente.

Actividad
a. El número áureo, denotado como $\phi$, se define como el número irracional $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$, que cumple la propiedad de que $\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ cuando a > b > 0. Es decir, la razón entre el todo y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor.
b. Aparece en la disposición de hojas (filotaxia), en la estructura de caracoles, piñas, girasoles y también en proporciones corporales. Se asocia también con obras de arte, arquitectura y diseño.
c. Que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci significa que el número de espirales visibles en su estructura (como en las semillas de un girasol o las hojas de una piña) corresponde a términos consecutivos de la sucesión (por ejemplo, 21 y 34).
d. La proporción áurea logra un empaquetamiento óptimo en el que se evitan solapamientos, es decir, maximiza el uso del espacio de manera eficiente y equilibrada, lo que es favorable para el crecimiento natural.

Modelo de Malthus discreto

El modelo de Malthus describe cómo crece una población en condiciones ideales, es decir, cuando no hay limitaciones en los recursos disponibles (como alimentos, espacio o energía). Este modelo supone que la población crece de manera exponencial, lo que significa que el número de individuos en cada periodo de tiempo aumenta en función del tamaño de la población en el periodo anterior. El modelo se expresa como:

$P_{n+1} = r P_n$

donde $P_n$ es el tamaño de la población en el tiempo n (por ejemplo, el número de individuos al mes n), y r es la tasa de crecimiento de la población, que nos indica cuántas veces crece la población en cada periodo. Si r > 1, la población está creciendo; si r < 1, la población está decreciendo.

En este modelo, no se tienen en cuenta las limitaciones de recursos, lo que significa que la población puede crecer indefinidamente sin restricciones. Este tipo de crecimiento es característico de poblaciones de microorganismos en cultivo, como las bacterias, cuando se encuentran en un ambiente con recursos abundantes y sin competencia.

Limitaciones del modelo

Aunque el modelo de Malthus proporciona una descripción útil del crecimiento rápido de poblaciones en condiciones ideales, no es realista para describir el comportamiento de poblaciones en ecosistemas naturales. En la realidad, los recursos son finitos. Esto significa que a medida que la población crece, los recursos disponibles (como comida y espacio) se vuelven limitados, lo que provoca que el crecimiento de la población disminuya.

En estos casos, el modelo de Malthus deja de ser aplicable, ya que no toma en cuenta los efectos de la competencia por recursos. Por esta razón, en la naturaleza, el crecimiento de las poblaciones se describe mejor mediante modelos más complejos, como el modelo logístico, que tiene en cuenta las restricciones de los recursos y permite predecir un crecimiento poblacional que eventualmente se estabiliza en un valor determinado.

Ejemplo
Supón que una población inicial de bacterias es de 50 individuos, y la tasa de crecimiento es de 1.2 por mes. ¿Cuántos individuos habrá en la población al final de 6 meses?

Tenemos que el modelo original de Malthus es: $P_{n+1} = r \cdot P_n$​
Aquí, $P_n$​ es la población en el mes n, mientras que r es la tasa de crecimiento, y $P_{n+1}$​ es la población en el siguiente mes.
Entonces, en el mes 1 tenemos que $P_1 = r \cdot P_0$​.
Luego, en el mes 2, sustituyendo $P_1$ obtenemos​ $P_2 = r \cdot P_1 = r \cdot (r \cdot P_0) = r^2 \cdot P_0$. 
En el mes 3 la población será $P_3 = r \cdot P_2 = r \cdot (r^2 \cdot P_0) = r^3 \cdot P_0$.
Y así sucesivamente. De manera que para el mes n la población se calcula como

$P_n = r^n \cdot P_0$

Por lo tanto, la población después de 6 meses será:
$P_6 = 50 \cdot (1.2)^6 \approx 50 \cdot 2.98598 \approx 149.3$ individuos.

Ejercicio
Si una población de 100 individuos tiene una tasa de crecimiento $r = 1.5$, ¿cuántos individuos habrá después de 10, 20 y 30 meses? Compara cómo varía el crecimiento de la población con diferentes tasas $r = 1.2, \, r = 1.5, \, r = 2.0$.

Respuesta modelo

Para r = 1.5:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.5)^{10} \approx 100 \cdot 57.665 \approx 5766.5$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.5)^{20} \approx 100 \cdot 3325.2567 \approx 332525.67$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.5)^{30} \approx 100 \cdot 191751.0592 \approx 19175105.92$

Para r = 1.2:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.2)^{10} \approx 100 \cdot 6.1917 \approx 619.17$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.2)^{20} \approx 100 \cdot 38.3375 \approx 3833.75$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.2)^{30} \approx 100 \cdot 237.3763 \approx 23737.63$

Para r = 2.0:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (2.0)^{10} = 100 \cdot 1024 = 102400$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (2.0)^{20} = 100 \cdot 1048576 = 104857600$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (2.0)^{30} = 100 \cdot 1073741824 = 107374182400$

Comparación
El modelo de Malthus muestra un crecimiento exponencial, entre más grande sea la tasa de crecimiento, mayor es también el aumento de la población en el tiempo. Se puede observar cómo las tasas r = 1.5 y r = 2.0 muestran un crecimiento mucho más rápido que r = 1.2.

Ejercicio
Supón que una población de bacterias comienza con 500 individuos, pero su tasa de crecimiento cambia a lo largo del tiempo. Durante los primeros 3 meses, la tasa de crecimiento es 1.1, y durante los siguientes 3 meses, la tasa es 1.3. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 6 meses?

Respuesta modelo
Hemos de dividir el cálculo en dos partes:

1. Primeros 3 meses con tasa de crecimiento 1.1:
   $P_3 = 500 \cdot (1.1)^3 \approx 500 \cdot 1.331 = 665.5$

2. Próximos 3 meses con tasa de crecimiento 1.3:
   $P_6 = 665.5 \cdot (1.3)^3 \approx 665.5 \cdot 2.197 = 1462.1$

Así, después de 6 meses, la población será aproximadamente 1462 individuos.

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Introducción

En entradas anteriores, definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\infty]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta: ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$?

En general $L^p \nsubseteq L^q$

A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\leq p\leq \infty$ y $1\leq q \leq \infty$ con $p\neq q$, NO se tiene ninguna contención:
$$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$

Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to\frac{1}{x^{\alpha}}.$$ Es fácil verificar que $$\int_1^\infty \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha>1.$$ Y que $$\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha<1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\infty)$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma>0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{\chi_{[1,\infty)}(x)}{x^{\gamma}}$ y $g(x)=\frac{\chi_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma}}$.

Luego $$\int_{\mathbb{R}} |f|^q \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |f|^p \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x=\infty. $$ Por lo que $f\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$. Similarmente
$$\int_{\mathbb{R}} |g|^p \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |g|^q \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x=\infty.$$ Por lo que $g\in L^p(\mathbb{R})$ pero $g\notin L^q(\mathbb{R})$.

$\triangle$

Aunque en general $L^p\nsubseteq L^q$ cuando $p\neq q$, sí podemos garantizar una contención cuando $\mu$ es una medida finita.

Proposición. Si $\mu$ es una medida finita y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $$\left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$

Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder: \begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_s^s &=\int_X |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\ &= \int_X 1\cdot |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X 1 \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{r-s}{r}} \left( \int_X (|f|^s)^{\frac{r}{s}} \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{s}{r}} \\
&= (\mu(X))^{\frac{r-s}{r}}\left\lVert f \right\lVert_r^{s}
\end{align*} De modo que $$\implies \left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$
Como queríamos probar.

$\square$

Interpolación de espacios $L^p$

También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\neq r$.

Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\leq p <q<r\leq \infty$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $$\left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{1-\lambda}.$$

Donde $\lambda\in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}.$$
Es decir $\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\infty}=0$).

Demostración. Si $r=\infty$, tenemos que $|f|^q\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p$ y $\lambda=\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:

$$\left\lVert f \right\lVert_{q}=\left( \int_X |f|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left( \int_X \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{p}{q}}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\frac{p}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}.$$

Si $r<\infty$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q}, \frac{r}{(1-\lambda)q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda)q}{r}=q\left( \frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}\right)=\frac{q}{q}=1.$$

Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:

\begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_{q}^q &= \int_X |f|^q \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int_X |f|^{\lambda q}|f|^{(1-\lambda)q} \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X (|f|^{\lambda q})^{\frac{p}{\lambda q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}}\left( \int_X (|f|^{(1-\lambda) q})^{\frac{r}{(1-\lambda )q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}} \left( \int_X |f|^r \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda q}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )q}
\end{align*}

Tomando raíces $q$-ésimas:
$$ \left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda }\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )}.$$

$\square$

Tarea moral

• Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida finita (i.e. $\mu(X)<\infty$). Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible y acotada sobre $X$. Prueba que $f\in L^p$ $ \ \ \forall p\in [1,\infty]$.
• Decimos que $f:\mathbb{R}^n\to [-\infty,\infty]$ es localmente $L^p$, denotado como $f\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$, si $f\in L^p(K)$ para cualquier $K$ subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$.
  • Demuestra que $L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)\subseteq L^q_{loc}(\mathbb{R}^n)$ si $1\leq q \leq p \leq \infty$. En particular, deduce que toda función en $L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$ es $L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$.
  • Sea $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función continua. Prueba que $f\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$ $\forall p \in [1,\infty]$.