MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
Continuaremos nuestro estudio de la medida exterior. Estudiaremos algunos resultados relacionados con la aditividad de la medida exterior. Veremos también un ejemplo clásico de que la medida exterior no es aditiva: El conjunto de Vitali.
Algunos resultados de aditividad para la medida exterior.
Proposición (aditividad numerable ó $\sigma$-aditividad). Si $A=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ entonces $$\lambda^*(A)\leq \sum_{k=1}^{\infty} \lambda^*(A_k).$$
Demostración. Si alguno de los $A_k$ es de medida exterior infinita, se da la igualdad (¿Porqué?). Así que supongamos que $\lambda^*(A_k)<\infty$ para todo $k$. Sea $\varepsilon>0$ arbitrario. Por definición de medida exterior, para cada $k$, podemos encontrar una cubierta de rectángulos (digamos, cerrados) $A_k\subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty}R_j^k$ tal que: $$\lambda^*(A_k) \leq \sum_{j=1}^{\infty} |R_j^k|\leq \lambda^*(A_k) +\frac{\varepsilon}{2^k}.$$ Luego, $A\subseteq\bigcup_{k,j\in \mathbb{N}}R_j^k$ es una cubierta de $A$ con rectángulos cerrados. De modo que:
\begin{align*} \lambda^*(A)\leq \sum_{j,k\in \mathbb{N}}|R_j^k| &= \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty} |R_j^k| \\
&\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left( \lambda^*(A_k) +\frac{\varepsilon}{2^k}\right) \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \lambda^*(A_k) + \varepsilon.
\end{align*}
Como lo anterior es cierto para cualquier $\varepsilon>0$, concluimos que $\lambda^*(A)\leq \sum_{k=1}^{\infty} \lambda^*(A_k)$.
$\square$
Tarea moral (subaditividad). Prueba lo anterior para una cantidad finita de conjuntos (puedes usar la proposición anterior, rellenando con conjuntos vacíos).
El siguiente corolario es relevante.
Corolario. Dado $A\subseteq \mathbb{R}^n$ entonces $\lambda^*(A)=\inf \{ \lambda^*(U) \ : \ A\subseteq U$ y $U$ es un subconjunto abierto$\}$.
Demostración. Si $\lambda^*(A)=\infty$, esto es inmediato pues $A\subseteq \mathbb{R}^n$ es abierto con $\lambda^*(\mathbb{R}^n)=\infty$ y cualquier abierto que contenga a $A$ debe tener medida exterior infinita. Así que supongamos que $\lambda^*(A)<\infty$.
Por definición de ínfimo y monotonía es claro que: $\lambda^*(A)\leq \inf \{ \lambda^*(U) \ : \ A\subseteq U$ y $U$ es un subconjunto abierto$\}$.
Para establecer la desigualdad opuesta, dado $\varepsilon>0$ podemos encontrar una cubierta de $A$ con rectángulos abiertos $A\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} R_k$ tales que $\sum_{k=1}^{\infty} |R_k| < \lambda^*(A)+\varepsilon$. El conjunto $ \bigcup_{k=1}^{\infty} R_k$ es abierto al ser unión de abiertos. Por la aditividad numerable: $$\lambda^*(A)\leq \lambda^*\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} R_k\right)\leq \sum_{k=1}^{\infty}\lambda^*(R_j)=\sum_{k=1}^{\infty} |R_k|<\lambda^*(A)+\varepsilon.$$ Como lo anterior es cierto para cualquier $\varepsilon>0$ concluimos que $\lambda^*(A)=\inf \{ \lambda^*(U) \ : \ A\subseteq U $ y $U$ es un subconjunto abierto$\}$.
$\square$
Proposición (Aditividad para conjuntos separados). Si $A,B\subseteq \mathbb{R}^n$ y $d(A,B)>0$ entonces $\lambda^*(A\cup B)=\lambda^*(A)+\lambda^*(B)$. (Recuerda que la distancia entre subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ se define como $d(A,B)=\inf \{d(x,y) \ : \ x\in A_1 \text{ y } x\in A_2\}$).
Demostración. Por la sub-aditividad, ya sabemos que $\lambda^*(A\cup B)\leq \lambda^*(A)+\lambda^*(B)$. Así que sólo falta establecer la desigualdad opuesta. Si $A$ ó $B$ son de medida exterior infinita, la (des)igualdad se da de manera obvia así que podemos suponer que son de medida exterior finita (en cuyo caso $A\cup B$ también es de medida exterior finita).
Sea $d=\frac{1}{2}d(A,B)>0$. Dado $\varepsilon>0$, podemos encontrar una cubierta de $A\cup B$ con rectángulos cerrados $A\cup B \subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} R_k$ tal que $\sum_{k=1}^{\infty}|R_k|<\lambda^*(A\cup B)+\varepsilon$. Más aún, podemos suponer sin pérdida de generalidad que cada $R_k$ tiene diámetro menor a $d$. (recuerda que el diámetro de un conjunto $S$ se define como $\sup\{d(x,y) \ : \ x,y\in S \}$):
De no ser así, podemos dividir cada rectángulo $R_k$ en subrectángulos $R_k^1,\dots, R_k^{m_k}$ tan pequeños como queramos (en particular con diámetro $<d$). Como $|R_k|=\sum_{j=1}^{m_k}|R_k^j|$[ENLACE] , podemos reemplazar la cubierta $\{ R_k\}_{k=1}^{\infty}$ por $\{ R_k^j\}_{1\leq k\leq \infty; 1\leq j \leq m_k}$, pues la suma de los volumenes de rectángulos coincide y ésta ultima consta de rectángulos con diámetro $<d$.
Observa que para cada $k$, si $R_k\cap A\neq \emptyset$ entonces $R_k\cap B = \emptyset$ y si $R_k\cap B\neq \emptyset$ entonces $R_k\cap A = \emptyset$. De no ser así necesariamente existen $a\in R_k \cap A$ y $b\in R_k \cap B$, de modo que $d(A,B)\leq d(a,b)\leq \text{diam}(R_k)< d =\frac{1}{2}d(A,B)$ lo cual es absurdo.
Si denotamos por $I_A$ al conjunto de índices $k$ tales que $R_k\cap A\neq \emptyset$ y definimos análogamente $I_B$, se verifica:
$$A\subseteq \bigcup_{k\in I_A}R_k; \ \ \ \ B\subseteq \bigcup_{k\in I_B}R_k$$ De donde:
\begin{align*} \lambda^*(A)+\lambda^*(B) &\leq \sum_{k\in I_A}|R_k|+\sum_{j\in I_B }|R_j| \\ &\leq \sum_{k=1}^{\infty} |R_k| \\ &< \lambda^*(A\cup B)+\varepsilon
\end{align*}
Al ser esto cierto para cualquier $\varepsilon>0$ concluimos que $\lambda^*(A\cup B)=\lambda^*(A)+\lambda^*(B)$.
$\square$
Corolario. Si $K_1,K_2$ son compactos ajenos, entonces $\lambda^*(K_1\cup K_2)=\lambda^*(K_1)+\lambda^*(K_2)$.
$\square$
La demostración se reduce a probar que cualesquiera dos compactos ajenos tienen distancia positiva (se deja como tarea moral).
Insuficiencia de la medida exterior.
Hasta ahora la medida exterior parece un gran candidato para la definición de medida. Sin embargo, carece de una propiedad clave: la aditividad. En el siguiente ejemplo clásico veremos primero que no se satisface una propiedad más fuerte: la aditividad contable, esto es, si $A=\bigcup_{k=1}^{n}A_k$ con $A_1,A_2,\dots$ conjuntos ajenos dos a dos, entonces $\lambda^*(A)=\sum_{k=1}^{\infty} \lambda^*(A_k)$.
Ejemplo (Conjunto de Vitali). Considera la siguiente relación de equivalencia en $[0,1]$: $x\sim y$ $\iff$ $x-y\in \mathbb{Q}$. Asumiendo el axioma de elección, podemos tomar exactamente un representante de cada clase de equivalencia. Llamemos a este conjunto $$V\subseteq[0,1].$$
Para cada $q\in \mathbb{Q}$ podemos tomar la traslación de $V$ por $q$: $V+q$. Observa que si $q\neq r$ entonces $(V+q)\cap (V+r)=\emptyset$. De no ser así existiría $x=v_1+q=v_2+r\in V+q\cap V+r$ $\implies$ $(v_1-v_2)=(r-q)\in \mathbb{Q}$ $\implies$ $v_1\sim v_2$ lo cual es imposible por la definición de $V$.
Por la invarianza de la medida exterior bajo traslaciones tenemos $\lambda^*(V)=\lambda^*(V+q)$ $\forall q\in \mathbb{Q}$. Sea entonces $\{r_1, r_2\dots \}$ una numeración de los racionales en $[-1,1]$ y definamos la unión ajena: $$U=\bigcup_{k=1}^{\infty} (V+r_k) $$
Claramente $U\subseteq [-1,2]$ $\implies$ $\lambda^*(U)\leq \lambda^*([-1,2])=3$. Por otro lado veamos que $[0,1]\subseteq U$: dado $x\in[0,1]$, hay algún $v\in V$ tal que $v\sim x$, es decir $v-x=-q’\in \mathbb{Q}\cap [-1,1]$. Pero $q’=r_k$ para algún $k$, de donde $x=v+q’=v+r_k\in V+r_k \subseteq U$. Como esto es cierto para todo $x\in [0,1]$, concluimos que $[0,1]\subseteq U$.
Como $[0,1]\subseteq U \subseteq [-1,2]$ $\implies$ $1 \leq \lambda^*(U) \leq 3 $.
Por la sigma-subaditividad y la invarianza bajo traslaciones sabemos que: $1\leq \lambda^*(U)\leq\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^*(V+r_k) = \sum_{k=1}^{\infty}\lambda^*(V)$, así que necesariamente $\lambda^*(V)>0$.
Si suponemos que la medida exterior es aditiva contable, tendríamos $$\lambda^*(U)=\lambda^*(\bigcup_{k=1}^{\infty} (V+r_k))=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^*(V+r_k)=\sum_{k=1}^{\infty}\lambda^*(V)=\infty$$
Pues $\lambda^*(V)>0$, esto es incompatible con nuestra estimación previa $1 \leq \lambda^*(U) \leq 3 $, lo cual es absurdo. Por tanto, la medida exterior no es contable aditiva.
De hecho tampoco puede ser aditiva: Supongamos por el contrario que la medida exterior es aditiva. Como $\lambda^*(V)>0$ existe algún natural tal que $\lambda^*(V)>\frac{1}{n}$. Ahora, si tomamos cualquier subconjunto finito $J$ de $\mathbb{Q}\cap [-1,1]$ con cardinalidad $3n$ tendríamos similarmente
$$\lambda^*(\bigcup_{q\in J} (q+V))=\sum_{q\in J} \lambda^*(q+V)=3n( \lambda^*(V))>3n\frac{1}{n}=3$$ Lo que de nuevo contradice nuestras estimaciones previas, por tanto la medida exterior tampoco puede ser aditiva.
$\triangle$
El conjunto anterior es un ejemplo clásico de Conjunto no medible (de manera imprecisa, son conjuntos con propiedades «patológicas» respecto a la medida exterior). Pronto veremos qué significa ser un conjunto medible y sus principales consecuencias. Es posible generalizar este contraejemplo a más dimensiones.
La aparición del axioma de elección en esta parte es un hecho bastante delicado. Asumiéndolo, es posible probar que NO EXISTE ninguna función de los subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ a los reales positivos que satisfaga simultáneamente la monotonía, la aditividad y la normalización (de ahí la necesidad de «restringirnos» a clases de conjuntos no tan generales, por ejemplo, los conjuntos medibles que estudiaremos en la siguiente entrada). Este axioma también es necesario para probar la existencia de conjuntos no medibles y de hecho existen algunas nociones de «medida» que niegan este axioma (aunque citando, suelen tener también un comportamiento no muy apropiado). Más sobre estos temas se puede consultar en [REFERENCIA].
Más adelante…
Hemos encontrado una primera dificultad con la medida exterior: No es aditiva. En la siguiente entrada definiremos el concepto de conjunto medible: Los conjuntos «bien portados» bajo la medida exterior y sobre los cuales podemos definir una noción adecuada de medida.