(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos las definiciones de lo que es una función inyectiva o uno a uno, suprayectiva, cuando el codominio y la imagen coincide, y las biyectivas, aquellas funciones que son inyectivas y suprayectivas al mismo tiempo. Terminaremos mostrando que el hecho de tener una función invertible es equivalente a ser una función biyectiva.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es una función inyectiva si para cada $x_1$, $x_2$ $\in A$ se tiene que:

$x_1\neq x_2$ implica que $f(x_1)\neq f(x_2)$

o de modo equivalente

$f(x_1)=f(x_2)$ implica que $x_1=x_2.$

Ejemplo 1

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de inyectividad para mostrar cuándo una función es inyectiva.

Sea $f:\mathbb R\setminus \set{1}\to \mathbb R$ dada por $f(x)=\frac{x}{x-1}$

Sean $x_1,x_2\in \mathbb R\setminus \set{1}$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$

$f(x_1)=f(x_2)$ $\Longrightarrow$

$\frac{x_1}{x_1-1}= \frac{x_2}{x_2-1}$ $\Longrightarrow$

$x_1(x_2-1)=x_2(x_1-1)$ $\Longrightarrow$

$x_1x_2-x_1=x_2x_1-x_2$ $\Longrightarrow$

$-x_1=-x_2$ $\Longrightarrow$

$x_1=x_2.$

Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Ejemplo 2

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de inyectividad para mostrar cuándo una función no es inyectiva.

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = x^2$. Sean $-2$ y $2$. Se tiene que $f(-2) = (-2)^2 = 4 = 2^2 = f(2)$. Si $f$ fuera inyectiva, para cada $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ se tendría que $f(x_1) = f(x_2)$ implicaría que $x_1 = x_2$. Sin embargo, $f(-2) = f(2)$ con $-2 \neq 2$. Concluimos entonces que $f$ no es inyectiva.

Notemos que para comprobar que una función $f$ no es inyectiva, basta con mostrar $x_1, x_2$ elementos distintos en el dominio de $f$ tales que $f(x_1)=f(x_2).$

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es una función suprayectiva si para toda $y\in B$ existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$, o de modo equivalente $Im\,f=B$.

Ejemplo 3

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de suprayectividad para mostrar cuándo una función es suprayectiva.

Sea $f:\mathbb{R}\setminus\{2\} \to \mathbb{R}\setminus\{0\}$ dada por $f(x) = \frac{1}{x-2}$.

¿La función es suprayectiva?, ¿para toda $y\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $, existe $x\in \mathbb R\setminus \set{2}$ tal que $f(x)=y$?

Consideremos entonces $y\in \mathbb{R}\setminus\{0\} $ y veamos si podemos hallar $x\in \mathbb R\setminus \set{2}$ tal que $f(x)=y$, pero de acuerdo a la regla de correspondencia de $f$ esto equivale a que $\frac{1}{x-2}=y.$ Analizando

$\frac{1}{x-2}=y\Leftrightarrow 1=y(x-2)\Leftrightarrow \frac{1}{y}=x-2\Leftrightarrow \frac{1}{y}+2=x.$

Notemos que la segunda equivalencia es posible gracias a que $y\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ y por lo tanto $y\neq 0$. Además, $\frac{1}{y}+2\neq 2$ pues si $\frac{1}{y}+2= 2$ tendríamos que $\frac{1}{y}=0$ y en consecuencia que $1=y(0)=0$ lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, para cada $y\in \mathbb{R}\setminus\{0\} $ hemos hallado $x=\frac{1}{y}+2\in \mathbb R\setminus \set{2}$ tal que $f(x)=y$, probando con ello que $f$ es suprayectiva.

Ejemplo 4

En este ejemplo veremos cómo aplicar la definición de suprayectividad para mostrar cuándo una función no es suprayectiva.

$f:\mathbb R\setminus \set{-5}\to \mathbb R$ dada por $f(x)=\frac{2}{x+5}+1$

¿La función es suprayectiva?, Para toda $y\in \mathbb R$, ¿existe $x\in \mathbb R\setminus \set{-5}$ tal que $f(x)=y$?

Supongamos que sí es suprayectiva, entonces para toda $y\in \mathbb R$, existe $x\in \mathbb R\setminus \set{-5}$ tal que $f(x)=1=y$. Analizando

$y=\frac{2}{x+5}+1\Leftrightarrow y-1=\frac{2}{x+5}.$

En este punto notamos que hay dos opciones, $y=1$ o $y\neq 1$. Notemos que para $y=1$ completando las equivalencias anteriores tendríamos

$1=\frac{2}{x+5}+1\Leftrightarrow 0=\frac{2}{x+5}\Leftrightarrow 0(x+5)=2\Leftrightarrow0=2,$

pero $0\neq 2$ así que concluimos que no existe $x\in \mathbb R\setminus \set{-5}$ tal que $f(x)=1$ y, por lo tanto, $f$ no es suprayectiva.

Notemos que para mostrar que una función no es supreyectiva basta exhibir algún $y$ en el codominio de $f$ tal que no exista $x$ en el dominio de $f$ con $f(x)=y$.

Definición

Sean $A,B$ conjuntos $f:A\to B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si $f$ es inyectiva y suprayectiva.

Teorema

Una función es invertible si y sólo si es biyectiva.

Demostración

$\Longrightarrow$ Demostración de la implicación de ida

Supongamos que $f$ es invertible.

Por demostrar que es biyectiva.

Como $f$ es invertible, existe $f^{-1}:B\to A$ la inversa de $f$.

Veamos que $f$ es inyectiva.

Sean $x_1,x_2\in A$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$

Como $f(x_1)=f(x_2)$ y $f^{-1}$ es una función sabemos que $f^{-1}(f(x_1))= f^{-1}(f(x_2))$, lo que por la definición de composición de funciones es equivalente a que $f^{-1}\circ f(x_1)= f^{-1}\circ f(x_2).$ Pero debido a que $f^{-1}$ es la función inversa de $f$ tenemos que $id_A(x_1)=id_B(x_2)$ y por la regla de correspondencia de las funciones identidad esto equivale a que $x_1=x_2.$

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Para ver que $f$ es suprayectiva, sea $y\in B$ y veamos que hay un elemento $x$ en $A$ tal que $f(x)=y$. Consideremos $f^{-1}(y)\in A$, al aplicarle $f$ tenemos que:

$f(f^{-1}(y))=f\circ f^{-1}(y) = id_B(y)=y$.

Así, $f$ es suprayectiva.

$\Longleftarrow$ Demostración de la implicación de regreso

Supongamos que $f$ es biyectiva

Por demostrar que es invertible.

Dado $y\in B$, por ser $f$ suprayectiva, existe $x\in A$ tal que $f(x)=y$, además como $f$ es inyectiva dicha $x$ es única, llamémosle $x_y$.

Definimos $g:B\to A$ con $g(y)=x_y$, donde $x_y$ es el único elemento de $A$ tal que $f(x_y)=y$.

Como $g$ asigna a cada $y\in B$ un único elemento de $A$, entonces $g$ es una función.

Veamos ahora que $g$ es una inversa de $f$.

Dado $y\in B$ se tiene que

$f\circ g(y)=f(g(y))=f(x_y)=y$, y así $f\circ g=id_B.$

Dado $x\in A$ se tiene que

$g\circ f(x)=g(f(x))=x_{f(x)}$, el único elemento en $A$ que bajo $f$ nos da $f(x)$, pero $x\in A$ es tal que bajo $f$ da $f(x)$. Así, $x_{f(x)}=x$ y entonces $g\circ f(x)=x$, por lo tanto, $g\circ f=id_A$.

Así, $g$ es una inversa de $f$ y concluimos que $f$ es invertible.

$\square$

Tarea Moral

1. Prueba o da un contraejemplo:

i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es inyectiva, ¿Es $f$ necesariamente inyectiva?

ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es inyectiva, ¿Es $g$ necesariamente inyectiva?

2. Prueba o da un contraejemplo:

i) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es suprayectiva, ¿Es $f$ necesariamente suprayectiva ?

ii) Sean $f:A\to B$, $g:B\to C$ tales que $g\circ f$ es suprayectiva, ¿Es $g$ necesariamente suprayectiva ?

3. Determina si las siguientes funciones son inyectivas, suprayectivas o biyectivas.

i) $f:\mathbb R\to (-\infty,3]$ con $f(x)=x^2+3$

ii) $f:[1,\infty)\to [0,\infty)$ con $f(x)=4(x-1)^2$

iii) $f:\set{x\in \mathbb R\mid x\neq -\frac{5}{3}}\to \mathbb R$ con $f(x)=\frac{1}{3x+5}$.

iv) $f:\set{x\in \mathbb R\mid x\neq 7}\to \set{x\in \mathbb R\mid x\neq 1}$ con $f(x)=\frac{1}{x-7}+1$.

Más adelante

En la siguiente nota daremos algunos teoremas referentes a la composición de funciones inyectivas con inyectivas y suprayectivas con suprayectivas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 10. Función inversa.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota centraremos nuestros esfuerzos en comprender el concepto de función inversa, primero veremos la definición de lo que es una función inversa derecha o izquierda de una función, para después definir con ello lo que es una función invertible.

Definición

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$, $g:B\to A$ funciones.

Si $g\circ f=id_A$, decimos que $f$ es una inversa derecha de $g$ y que $g$ es una inversa izquierda de $f$.

Decimos que $f$ es invertible si existe una función $g$ que sea inversa izquierda y derecha de $f$; en este caso se dice que $g$ es una inversa de $f$.

Ejemplos

El siguiente ejemplo aparece en el libro de Avella y Campero mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.56, página 193:

1. Sean $f:\set{1,2,3}\to \set{4,5,6,7}$ con:

$f(1)=4$, $f(2)=5$, $f(3)=6$

y $g:\set{ 4,5,6,7 }\to \set{1,2,3}$ con:

$g(4)=1$, $g(5)=2$, $g(6)=3$, $g(7)=3.$

Si se hace la composición $g\circ f$:

$g\circ f(1)=g(f(1))=g(4)=1$

$g\circ f(2)=g(f(2))=g(5)=2$

$g\circ f(3)=g(f(3))=g(4)=3.$

Así, $g\circ f=id_{\set{1,2,3}}$, de forma que $g$ es una inversa izquierda de $f$ y $f$ es una inversa derecha de $g$.

Pero $f\circ g\neq id_{\set{4,5,6,7}}$, pues $f\circ g(7)=f(g(7))=f(3)=6$, y por lo tanto $g$ no es una inversa derecha de $f$ y $f$ no es una inversa izquierda de $g$.

2. Sean $h:\set{1,2,3}\to \set{4,5}$ con:

$h(1)=2$, $h(2)=4$, $h(3)=5$

y $j:\set{4,5}\to \set{1,2,3}$ con:

$j(4)=1$, $j(5)=3.$

Como:

$h\circ j(4)=h(j(4))=h(1)=4$,

$h\circ j(5)=h(j(5))=h(3)=5$,

Notamos que $h\circ j=id_{\set{4,5}}$, pero $j\circ h\neq id_{\set{1,2,3}}$ pues $j\circ h(2)=1$.

Así, $h$ es una inversa izquierda de $j$, $j$ es una inversa derecha de $h$, pero $h$ no es una inversa derecha de $j$ y $j$ no es una inversa izquierda de $h$.

Teorema

Sean $A$, $B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Si $f$ tiene un inverso derecho $g$ y un inverso izquierdo $h$, entonces $g=h$.

Demostración

Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f:A\to B$ una función. Supongamos que existen $g$ un inverso derecho de $f$ y $h$ un inverso izquierdo de $f$.

Como $g$ es un inverso derecho de $f$, por definición $g$ es una función $g:B\to A$ tal que $f\circ g=id_B$.

Como $h$ es un inverso izquierdo de $f$, por definición $h$ es una función $h:B\to A$ tal que $h\circ f=id_A$.

Queremos demostrar que $h=g.$

$h=$	empezamos tomando la función $h$
$h\circ id_B=$	la reescribimos de esta forma, expresándola como la identidad en $B$ compuesta con $h$
$h\circ (f\circ g)=$	por hipotesis $id_B=f\circ g$
$(h\circ f)\circ g=$	por asociatividad de la composición de funciones
$id_A\circ g=$	por hipotesis $id_A=h\circ f$
$g$	la composición con la identidad nos da $g$

$\square$

Corolario

Si una función $f$ es invertible, entonces su inverso es único. En este caso su inverso se denota por $f^{-1}$.

Demostración

Sea $f$ una función invertible. Supongamos que $g$ y $h$ son inversos de $f$. En particular $g$ es un inverso derecho de $f$ y $h$ es un inverso izquierdo de $f$. Así, por el teorema anterior $g=h$.

$\square$

Tarea Moral

En cada inciso determina si existe una inversa derecha de $f$, o bien una inversa izquierda de $f$.

En caso de que exista constrúyela.

1. $f:\set{3,4,7,8}\to \set{1,2,7,8,9}$ con

$f(3)=9$, $f(4)=8$, $f(7)=7$, $f(8)=2$.

2. $f:\set{-2,-1,0,1,2}\to \set{3,6,9}$ con

$f(-2)=f(2)=3$, $f(1)=f(-1)=6$, $f(0)=9$.

3. $f:\set{0,2,4,6}\to \set{1,3,5,7}$ con

$f(x)=x+1$.

4. $f:\set{1,2,3}\to \set{5,6,7}$ con

$f(1)=f(2)=5$, $f(3)=7$.

5. Utiliza el siguiente recurso de geogebra para obtener la función inversa de algunas funciones.

Más adelante

En la siguiente nota analizaremos las definiciones de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 9. Composición de funciones.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.

Agradecemos a Erwin Cortés por el recurso de GeoGebra.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Bajo ciertas condiciones, dadas dos funciones podemos evaluar el resultado de una en otra, es decir aplicar una función seguida de la otra, para formar una nueva función. A esta operación entre funciones se le llama la composición y la estudiaremos en esta entrada. Esta operación nos dará una amplia gama de funciones muy útiles como lo son la composición de las funciones trigonométricas con las funciones lineales. Para motivar el tema trata de obtener la siguiente familia de funciones con geogebra, $sen(kx+t)$, con $k,t\in \mathbb R$, en la que primero mandamos a $x$ a $kx+t$ y luego le aplicamos la función seno; éstas te darán una serie de curvas con las que se pueden describir distintos tipos de ondas. Te invitamos a revisar el recurso de geogebra donde se usa la función seno y se compone con funciones lineales para modelar ondas sonoras, y a darle un vistazo al siguiente video donde se habla de música y matemáticas.

Definición

Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\rightarrow B$, $g:C\rightarrow D$ funciones, con $Im\,f\subseteq C$. Definimos la composición de $f$ seguida de $g$ como:

$$g\circ f:A\to D$$

con regla de correspondencia $g\circ f(x)=g(f(x))$, para todo $ x\in A.$ Observa que escribiremos la composición de derecha a izquierda, aunque existen autores que la escriben de izquierda a derecha.

Ejemplos

1. Sean $f:\mathbb R\to \mathbb R $ y $g:\mathbb R\to \mathbb R $ con

$f(x)=3x^2+1$, $g(x)=2x-1$, para toda $x\in \mathbb R$.

La composición $g\circ f:\mathbb R\to \mathbb R$ manda a cada $x\in \mathbb R$ en

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(3x^2+1)=2(3x^2+1)-1=6x^2+1,$

mientras que la composición $f\circ g:\mathbb R\to \mathbb R$ manda a cada $x\in \mathbb R$ en

$f\circ g(x)=f(g(x))=f(2x-1)=3(2x-1)^2+1=12x^2-12x+4.$

2. Sean $\alpha:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$, $\beta:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ con

$\alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 3 & 1\end{pmatrix} $

$\beta =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 3\end{pmatrix} $

Las composiciones $\beta\circ \alpha:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ y $\alpha\circ \beta:\set{1,2,3}\to \set{1,2,3}$ son

$\beta\circ \alpha=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 2\end{pmatrix} $

$\alpha\circ \beta=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\
3 & 2 & 1\end{pmatrix} $

3. Sean $a,k,t\in \mathbb R.$ Considera las funciones $f:\mathbb R\to \mathbb R $, $g:\mathbb R\to \mathbb R $ con $f(x)=a \, sen(x)$, $g(x)=kx+t$ para toda $x\in \mathbb R.$ Tenemos que $f\circ g:\mathbb R\to \mathbb R $ con $f\circ g(x)=f(g(x))=f(kx+t)=a \, sen(kx+t)$ para toda $x\in \mathbb R.$

En el siguiente recurso de geogebra mueve los deslizadores $a$, $k$ y $t$ para obtener la gráfica de $a \, sen(kx+t)$.

Teorema

Sean $A,B,C,D$ conjuntos, $f:A\to B$, $g:B\to C$ y $h:C\to D$, entonces $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$, es decir la composición es asociativa.

Demostración

Para esta prueba usaremos el hecho de que dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y la misma regla de correspondencia. Empecemos probando que $h\circ (g\circ f) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Como $g\circ f: A\to C$ y $h: C\to D$, entonces $h\circ (g\circ f): A\to D.$

Como $f: A\to B$ y $h\circ g: B\to D$, entonces $(h\circ g)\circ f: A\to D.$

Así, $h\circ (g\circ f ) $ y $(h\circ g)\circ f$ tienen el mismo dominio y el mismo codominio.

Para ver que tienen la misma regla de correspondencia hagamos lo siguiente:

Sea $x\in A$.

Sabemos que $h\circ (g\circ f )(x)=h( g\circ f(x) )=h(g(f(x))).$

Por otro lado, $(h\circ g)\circ f(x)= h\circ g (f(x))=h(g(f(x))).$

Entonces $h\circ (g\circ f )(x)=(h\circ g)\circ f(x)$ para toda $x\in A$.

Así, $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ .

$\square$

Definición

Sea $A$ un conjunto. La función identidad en $A$ es:

$id_A:A\to A$

con regla de correspondencia $id_A(x)=x$ para toda $ x\in A$.

Proposición

Sean $A,B$ conjuntos, $f:A\to B$ una función. Se cumple que:

1. $f\circ id_A=f,$
2. $id_B\circ f=f.$

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que $f\circ id_A=f$.

$f\circ id_A$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.

Vamos a ver que tienen la misma regla de correspondencia.

Sea $x\in A$. De acuerdo a la definición de composición $f\circ id_A(x)=f(id_A(x))$ y por definición de identidad tenemos que $f(id_A(x))=f(x)$. Concluimos que $f\circ id_A(x)=f(x)$.

Así, $f\circ id_A$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto $f\circ id_A=f$.

Demostración de 2

$id_B\circ f$ y $f$ tienen dominio $A$ y codominio $B$.

Sea $x\in A$. De acuerdo a la definición de composición $id_B\circ f(x)=id_B(f(x))$ y por definición de la función identidad tenemos que $id_B(f(x))=f(x)$. Concluimos que $id_B\circ f(x)=f(x)$.

Así, $id_B\circ f$ y $f$ tienen el mismo dominio, el mismo condominio y la misma regla de correspondencia, por lo tanto $id_B\circ f=f$.

$\square$

El siguiente ejemplo aparece en el libro Curso introductorio de Álgebra I de Avella y Campero, mencionado en la bibliografía, Ejemplo 4.54.

Ejemplo

$f:\mathbb R\to [0,\infty)$, $x\longmapsto x^2$

$g:[0,\infty)\to \mathbb R$, $x\longmapsto +\sqrt{x}$

$f\circ g:[0,\infty)\to [0,\infty)$

$f\circ g(x)=f(g(x))=f(+\sqrt{x} )=( +\sqrt{x} )^2=x$

$g\circ f:\mathbb R\to \mathbb R $

$g\circ f(x)=g(f(x))=g(x^2)=+\sqrt{x^2} =|x|$

Observa el siguiente clip

Aquí $f\circ g=id_{[0,\infty)}$, pero $g\circ f\neq id_{\mathbb R}$.

En el siguiente recurso de geogebra cambia los valores de $f$ y $g$, observa cómo son $f\circ g$ y $g\circ f$.

Tarea Moral

1. Considera las funciones

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ con $f(x)=x^2+5$

$g:\mathbb R^+\to \mathbb R$ con $g(x)=\frac{3}{x}-1.$

Calcula, si es posible, las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$:

2. ¿Existirán dos funciones $f$ y $g$ de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ tales que $f\neq g$ pero $g\circ f=f\circ g$?

3. $f:\set{5,6,7}\to \set{0,2,4,6}$, $f(5)=0$, $f(6)=4$, $f(7)=6$,

$g:\set{ 0,2,4,6 }\to \set{5,6,7}$, $g(0)=g(2)=5$, $g(4)=6$, $g(6)=7$.

Calcula las composiciones $g\circ f$ y $f\circ g$ . ¿Qué puedes decir del comportamiento de las composiciones? ¿Y si ahora $g(2)=7$?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos del concepto de función inversa y daremos condiciones para que una función sea invertible.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

Enlace a la nota anterior. Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.

Enlace a la nota siguiente. Nota 10. Función inversa.

Queremos agradecer a  Javier Cayetano Rodríguez por permitirnos usar su recurso mediante los recursos públicos de GeoGebra.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota analizaremos a las funciones observando las imágenes de subconjuntos del dominio y los elementos del dominio que bajo la función son asignados a ciertos elementos tomados del codominio.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función. Dado $A’\subseteq A$, la imagen directa de $A’$ bajo $f$ es:

$f[A’]=\set{f(x)\mid x\in A’}.$

Dado $B’\subseteq B$ la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}.$

Observa que:

$f[A’]\subseteq B$ y que $f^{-1}[B’]\subseteq A$, además $f[A]=Imf$.

Ejemplos

1. $f:\set{1,2,3,4,5}\rightarrow\ \set{-2,-1,0,1}$.

$f(1)= f(2)=-1$, $ f(3)= f(4)=0$, $ f(5)=1$.

Si $A’=\set{1,2,5}$, entonces $f[A’]=\set{-1,1}$.

Mientas que si $B’=\set{-2,0,1}$, entonces $f^{-1}[B’]=\set{3,4,5}$.

2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$, $g(x)=x^2$

$A’=[-1,2]$

$g[A’]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$

Observa el siguiente clip donde se asigna a los elementos de $A’$ que se muestran en verde, a los elementos de su imagen directa $g[A’]$ que se muestran en rojo.

Ahora considera $A^{\prime\prime}=[0,2]$

$g[A^{\prime\prime}]=\set{x\in \mathbb R\mid 0\leq x\leq 4}$

Observa el siguiente clip

Observa que, aunque $A’\neq A^{\prime\prime}$, tienen la misma imagen directa $g[A’]= g[A^{\prime\prime}].$

Ahora analicemos la definición de imagen inversa con el mismo ejemplo.

Si $B’=[0,1]$, la imagen inversa de $B’$ bajo $f$ es:

$f^{-1}[B’ ]=\set {x\in \mathbb R\mid f(x)\in [0,1]}$

$f^{-1}[B’ ] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$

En el siguiente clip se muestran en rojo los elementos de $B’$ y en verde los elementos de $f^{-1}[B’]$.

Observa que si $B^{\prime\prime}=[-1,1]$, la imagen inversa de $B^{\prime\prime}$ bajo $f$ es la misma que $B’$, $f^{-1}[B^{\prime\prime}] = \set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$, pues no hay números reales elevados al cuadrado que vayan a dar números negativos. Observa el siguiente clip:

Si $C=[-2,-1]$ entonces $f^{-1}[C]=\emptyset$, por que para todo $x\in \mathbb R$, $f(x)=x^2\notin [-2,-1]$.

Proposición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, $f: A\to B$ una función, $A’\subseteq A$, $B’\subseteq B$. Se cumple que:

1. $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$
2. $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$

Demostración

Demostración de 1

Por demostrar que $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$

Sea $a\in A’\subseteq A$, entonces $f(a)\in f[A’]=\set{f(x)\in B\mid x\in A’}$, así $a$ cumple con la propiedad del siguiente conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$, es decir $ a\in \set{x\in A\mid f(x)\in f[A’]}$ que es por definición $f^{-1}[f[A’]]$, entonces $a\in f^{-1}[f[A’]]$.

Por lo tanto $A’\subseteq f^{-1}[f[A’]]$.

Demostración de 2

Por demostrar que $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.

Sea $b\in f[f^{-1}[B’]]=\set{f(x)\mid x\in f^{-1}[B’] }$, eso nos indica que existe $a\in f^{-1}[B’]=\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$ tal que $f(a)=b$ y, como $a$ cumple las características que definen a los elementos del conjunto $\set{x\in A\mid f(x)\in B’}$, tenemos que $f(a)\in B’$. Así, $b=f(a)\in B’$.

Por lo tanto $f[f^{-1}[B’]]\subseteq B’$.

$\square$

Tarea moral

Considera la siguiente función:

$f:\mathbb R\to \mathbb R$ dada por $f(x)=-3x^2 $

• Para $A=[-3,4]$ calcula $f^{-1}[f[A]]$. ¿Qué relación tiene con $A$?
• Para $B=[-12,1]$ calcula $f[f^{-1}[B]]$. ¿Qué relación tiene con $B$?

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos de la composición de funciones y sus propiedades.

Enlaces relacionados

Página principal del curso

Enlace a la nota anterior. Nota 7 Relaciones y funciones.

Enlace a la nota siguiente. Nota 9. Composición de funciones.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota hablaremos de lo que es una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$, utilizaremos ese concepto para poder definir lo que significa una función entre dos conjuntos $A$ y $B$, que será una relación en la que cada elemento de $A$ se relaciona con uno y sólo uno de $B$.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, una relación de $A$ con $B$ es un subconjunto de $A\times B$, es decir un conjunto $\mathcal R$ tal que $\mathcal R\subseteq A\times B$.

El dominio de $\mathcal R$ es:

$Dom \mathcal R =\set{a\in A\mid \exists b\in B\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$

La imagen de $\mathcal R$ es:

$Im \mathcal R =\set{b\in B\mid \exists a\in A\,\,tal \,\,que \,\, (a,b)\in \mathcal R}$

El codominio de $\mathcal R$ es el conjunto $B$. Si $(a,b)\in R$ diremos que $a$ está relacionado con $b$ y en ocasiones también se denota por $aRb$.

Ejemplos

1. Sean $A=\set{Juan,Carlos,Norma,Pedro, Jazmín}$ y
$B=\set{ teoría\,\,de \,\, juegos, estadística, álgebra, cálculo}.$

Entonces $\begin{array}{ll}\mathcal R&=\{(Norma, estadística),(Norma, álgebra), (Pedro, estadística),\\&(Pedro, álgebra), (Jazmín, estadística),(Jazmín, álgebra),(Jazmín, cálculo)\}\end{array}$

es una relación de $A$ con $B$.
$Dom \mathcal R =\set{Norma, Pedro, Jazmín}$
$Im \mathcal R =\set{estadística, álgebra, cálculo}$
A continuación se muestra el producto cartesiano de ambos conjuntos.

Cualquier subconjunto del producto cartesiano será una relación de los dos conjuntos. Por ejemplo consideremos los siguientes subconjuntos:

Dejamos como ejercicio al lector que escriba las relaciones anteriores mediante un conjunto de parejas ordenadas.

5. $\mathcal R\subseteq \mathbb N\times \mathbb N$
$\mathcal R=\set{(1,1),(1,3),(1,4),(2,5)}$
$Dom \mathcal R =\set{1,2}$
$Im \mathcal R =\set{1,3,4,5}$

6. $\mathcal R\subseteq \mathbb R\times \mathbb R$
$\mathcal R=\set{(x,y)\in\mathbb R\times \mathbb R \mid \left|x \right|=\left|y \right|}$.
Observa que:
$(1,-1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|-1\right|,$
$(1,1)\in \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|1\right|,$
$(-\pi,\pi)\in \mathcal R$ ya que $\left|-\pi \right|=\left|\pi \right|,$
$(1,5)\notin \mathcal R$ ya que $\left|1 \right|=\left|5 \right|,$
$(3,-7)\notin \mathcal R$ ya que $\left|3 \right|=\left|-7\right|.$
De manera más general observamos que todos los puntos de las rectas $y=-x$ y $y=x$ están en la relación. Mueve los puntos por las rectas en el siguiente recurso de geogebra y constátalo.

7. $\mathcal R\subseteq \mathbb Z\times \mathbb Z$
$\mathcal R=\set{(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z \mid\,\,a\,\,y\,\,b\,\,tienen\,\,la\,\,misma\,\,paridad}$.
$(5,-1)\in \mathcal R$, $(2,6)\in \mathcal R$, $(0,-4)\in \mathcal R$, $(3,8)\notin \mathcal R$.

Observa que la relación se puede describir como $\mathcal R=\set{(k,-k+2n)\in \mathbb Z\times \mathbb Z \mid k\in \mathbb Z,n\in \mathbb Z}$. En el siguiente clip se muestra gráficamente la disposición de algunas de estas parejas ordenadas.

En el siguiente recurso de geogebra mueve el valor de los deslizadores $n$ y de $k$ para obtener los puntos en el plano con la misma paridad.

8. $\mathcal R=[-1,2]\times (2,3)\subseteq \mathbb R^2$
$\mathcal R=\set{(x,y)|-1\leq x\leq 2,2<y<3}$
$Dom \mathcal R =[-1,2]$
$Im \mathcal R =(2,3)$
La siguiente imagen nos muestra gráficamente la relación:

Notemos que los conjuntos $A$ y $B$ no necesariamente son iguales y su elementos no siempre son números:

9. $\mathcal R\subseteq\mathbb R^2\times \set{\mathcal l\mid\mathcal l\,\,es\,\,una\,\,línea\,\,en\,\,el\,\,plano}$, $(p,\mathcal l)\in \mathcal R$ si y sólo si $p\in \mathcal l$.
$Dom \mathcal R =\mathbb R^2$
$Im \mathcal R$ son todas las líneas del plano.

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos y $f$ una relación de $A$ con $B$. Decimos que $f$ es una función de $A$ en $B$ si:

1. $Dom\, f=A.$
2. Cada elemento $x\in A$ está relacionado con un solo elemento de $B$.

Es decir para todo $x\in A$ existe un único $y\in B$ tal que $(x,y)\in f$, a $y$ se le llama el valor de $f$ en $x$, o $f$ evaluada en $x$.

Notación: $f: A\to B$, $y=f(x)$ es el valor de $f$ en $x$, para indicar que la función $f$ le asigna a $x$ el valor $f(x)$ en ocasiones se escribe $ x\longmapsto f(x)$, para indicar la regla de correspondencia de $x$ un elemento del domino de la función $f$ a su correspondiente $f(x)$ en el codominio de la función.

Observa que la imagen de $f$ es:
$Im\, f =\set{y\in B\mid \,\, (x,y)\in f\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$

=$ \set{y\in B\mid\,\,y=f(x)\,\,para \,\, alguna \,\, x\in A}$

=$\set{f(x)\mid x\in A}$

Ejemplos

1. $A=\set{1,2,3}$, $B=\set{8,9,10,11}$,

$f:\set{1,2,3}\to \set{8,9,10,11}$ con $f=\set{(1,8),(2,11),(3,11)}$, es decir
$f(1)=8$, $f(2)=f(3)=11$. $Dom\,f=\set{1,2,3}$, $Im\,f=\set{8,11}$ , $B$ es el codominio de $f$

2. $g:\mathbb R\to \mathbb R$

$(x,y)\in g$ si y sólo si $y=x^2$
En este caso $g(x)=x^2.$
$Dom\,g=\mathbb R$, $\mathbb R$ es el codominio de $g$, mientras que $Im\,g=\set{g(x)\mid x\in \mathbb R}=\set{x^2\mid x\in \mathbb R }= \mathbb R^+\cup \set{0}$

3. $h: \mathbb R^+\cup \set{0}\to \mathbb R$

$x\longmapsto +\sqrt{x} +1$

$h(0)=+\sqrt{0}+1=1$, $h(4)=+\sqrt{4}+1=2+1=3$
$Dom\,h= : \mathbb R^+\cup \set{0}$

$\mathbb R$ es el codominio de $h$.
$Im\,h=\set{h(x)\mid x\in \mathbb R^+\cup \set{0}}=\set{y\in \mathbb R\mid y\geq 1}= [1,\infty]$

Notación

Si $f:A\to B$ y $A$ es un conjunto finito $A=\set{a_1,\dotsi ,a_n}$, con $n$ elementos, podemos describir la regla de correspondencia de $f$ como :

\begin{pmatrix}a_1 & \dotsi & a_n\\
f(a_1) & \dotsi & f(a_n)\end{pmatrix}

Para terminar esta entrada debemos mencionar que, aunque las funciones son relaciones entre conjuntos, y, por lo tanto, conjuntos de parejas ordenadas, son un caso particular de relaciones muy importante y dado que en Álgebra será esencial no sólo la regla de correspondencia de una función sino su dominio y su codominio, la igualdad de dos funciones no se establecerá como la igualdad de los conjuntos de parejas ordenadas que las conforman sino que se establecerá una definición diferente. Cabe mencionar que sólo definiremos la igualdad de dos funciones cuando tengan el mismo dominio y el mismo codominio y en este caso estableceremos que son iguales cuando además coincida su regla de correspondencia:

Definición

Sean $A$ y $B$ conjuntos, dos funciones $f: A\to B$ y $g: A\to B$ son iguales ,$f=g$, si $f(x)=g(x)$ para toda $x\in A$ (es decir, si tienen la misma regla de correspondencia).

Tarea Moral

Determina el dominio, el codominio y la imagen de las siguientes relaciones $\mathcal R$ de $A$ con $B$ y determina si las relaciones son funciones de $A$ en $B$.

1. $A=\set{2,8,5,6}$, $B=\set{-4,9,1,7,2}$
   $\mathcal R=\set{(2,-4),(2,1,(5,9),(6,-4)}$
2. $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $a=|b|$
3. $A=B=\mathbb R$, $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $|a|=b$

Sean $A=B=\set{x\in \mathbb R\mid -1\leq x\leq 1}$ y considera el subconjunto de $A\times B$, $C=\set{(x,y)\in \mathbb R\times \mathbb R\mid x^2+y^2=1}$.

¿Es $C$ una función de $A$ en $B$?

Más Adelante

En la siguiente nota seguiremos usando el concepto de función y estableceremos dos definiciones importantes, la de la imagen directa y la de imagen inversa y deduciremos algunas propiedades básicas pero muy importantes.

Enlaces relacionados

Página principal del curso.

• Enlace a la nota anterior. Nota 6 Conjunto Potencia y el producto cartesiano.
• Enlace a la nota siguiente. Nota 8 Imagen directa e inversa de una función.