Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.
Demostración:
Sea $(x_0, y_0) \in A.$
$\Big[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0, y_0) \Big]$
Basta demostrar que existe $L = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f (x, y)$ y $ L = f (x_0, y_0).$
Sea $\epsilon > 0.$
Basta demostrar que existe $\delta > 0 $ tal que si
5. Sistemas Dinámicos Discretos y Modelos de Crecimiento
5.1. Ejemplos elementales de sistemas dinámicos: números de Fibonacci, modelo de Malthus discreto
Los números de Fibonacci
Los números de Fibonacci son una secuencia de números enteros que aparecen en muchos fenómenos de la naturaleza. Esta secuencia se define de una manera muy simple: cada número, a partir del tercero, es la suma de los dos números anteriores. Es decir, la secuencia comienza así:
$F_0 = 0,$
$F_1 = 1,$
$F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1,$
$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2,$
$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3, \quad \dots$
Formalmente, la sucesión de Fibonacci se expresa como:
$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, donde $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ son condiciones iniciales.
Este patrón se repite para todos los números de la secuencia. Los números de Fibonacci aparecen, por ejemplo, en la distribución de las hojas de las plantas, las espirales de los caracoles, la proporción de las ramas de los árboles y muchos otros fenómenos naturales. Esto nos lleva a preguntarnos no sólo cómo se genera esta secuencia, sino por qué estructuras naturales parecen seguirla. Las matemáticas modelan patrones de crecimiento y organización que optimizan recursos en organismos vivos.
Fotografía 1. Disposición espiral de hojas en una suculenta. La estructura sigue una espiral, lo cual permite un empaquetamiento denso y eficiente de las hojas. Este patrón, también común en piñas, conchas y caracoles, está estrechamente ligado a la sucesión de Fibonacci, ya que el número de espirales suele corresponder a números consecutivos de dicha sucesión. https://geometrymatters.com/decoding-the-mathematical-secrets-of-plants-spiraling-leaf-patterns/
La sucesión de Fibonacci
En el año 1202, Leonardo de Pisa (1175–1250), mejor conocido como Fibonacci, publicó su libro Liber Abaci en el cual planteó el siguiente problema: Si se pone una pareja de conejos en un lugar rodeado por un muro, ¿cuántas parejas de conejos pueden salir de esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que, a partir del segundo mes, se vuelve fértil?
Para resolver el problema, Fibonacci supuso que cada pareja ―a partir del segundo mes― daba a luz a una nueva pareja de conejos por mes, y que cada pareja está conformada por un macho y una hembra. Para modelar esto matemáticamente, se define como
$y_n= \sum_{k=1}^\infty y_{k,n}$,
donde $y_{k,n}$ representa el número de parejas de conejos de edad k (meses) en el mes n; $y_n$ el número total de parejas en el mes n. También se asume que ningún conejo muere. De manera que cada conejo de edad k en el mes n, tendrá edad k + 1 en el mes n + 1. Por lo que la población de cada mes sería
$y_{k,n} = y_{k+1,n+1}$ para $y \geq 0, k \geq 0$.
Además, el número de parejas de conejos de un mes de edad en n + 1 es igual al número de parejas de dos meses o más en el mes anterior, es decir
$y_{1,n+2}=y_{2,n+1}+y_{3,n+1}+…$
Ahora, se supone que la pareja del inicio es adulta y no debe esperar dos meses para poder engendrar, por lo que las condiciones iniciales son
$y_{1,1} =0, y_{2,1}=0, y_{3,1}=1, y_{k,1}=0$ para $k\geq 3$,
luego $y_1=1$. Entonces las condiciones iniciales son $y_0=y_1=1$.
Para entender cómo crece esta población con el tiempo, tenemos que resolver la ecuación obtenida $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$, que nos ayuda a predecir cómo se comportará la población de conejos en el futuro. Para esto, se necesita encontrar una fórmula general que permita predecir cómo será el número de parejas de conejos en cualquier mes n.
Lo que sigue es encontrar la solución general de esta ecuación, y para eso utilizamos algo llamado la ecuación característica. La idea es proponer una solución de la forma:
$y_n = C \lambda^n$,
donde C es una constante (que encontraremos más tarde), y $\lambda$ es lo que llamamos la raíz de la ecuación. La razón por la que proponemos esta forma es que la solución $y_n$ crece como crecen las poblaciones, de forma exponencial.
Ahora, sustituimos esta forma en la ecuación de diferencias para encontrar $\lambda$. Esto es lo que se hace en la ecuación característica.
Sustituyendo $y_n = C \lambda^n$ en la ecuación $y_{n+2} = y_n + y_{n+1}$, obtenemos:
$y_{n+2} = C \lambda^{n+2}$
$y_n = C \lambda^n$
$y_{n+1} = C \lambda^{n+1}$
Ahora, sustituyendo estas tres expresiones en $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$:
$C \lambda^{n+2} = C \lambda^n + C \lambda^{n+1}$
Como C es una constante no nula, podemos cancelarla en ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con:
$\lambda^{n+2} = \lambda^n + \lambda^{n+1}$
Ahora, podemos dividir toda la ecuación entre $\lambda^n$ ―asumiendo que $\lambda \neq 0$―, luego:
$\lambda^2 = \lambda + 1$
Este es el resultado de la ecuación característica, y así es como queda simplificada la ecuación $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$ en una ecuación cuadrática:
$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0$
Ahora, utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos que:
$\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$
En este caso, los coeficientes de la ecuación son:
Estas dos soluciones son los valores de $\lambda$ que describen el crecimiento de la población de conejos. En este caso, la solución positiva $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ es la que nos interesa, porque nos da la tasa de crecimiento de la población, que es un número mayor que 1. Este número es conocido como la proporción áurea y tiene muchas propiedades interesantes en biología y naturaleza.
La solución negativa $\lambda_2$ no es útil en este caso, ya que corresponde a un crecimiento negativo, lo cual no ocurre en este modelo. Como menciona Britton “el crecimiento o decrecimiento geométrico ocurre en casi todos los modelos de ecuaciones diferenciales lineales, incluso cuando se incluye la estructura poblacional. Esto no es necesariamente un problema si tratamos un período finito, como en la pregunta que planteó Fibonacci” (Britton, p. 29).
Entonces, la solución general para la población de conejos en el mes n es:
$F_n = A_1 \lambda_1^n + A_2 \lambda_2^n$,
donde $A_1$ y $A_2$ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.
Usando las condiciones iniciales de la sucesión de Fibonacci para determinar las constantes $A_1$ y $A_2$:
Sabemos que $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$, entonces sustituimos estos valores en la ecuación general para obtener un sistema de ecuaciones.
Ahora que tenemos las constantes $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$, podemos escribir la solución general de la sucesión de Fibonacci como:
Ejemplo Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 6 meses, usando la ecuación $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, luego comprueba el resultado usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$.
El número de parejas de conejos después de seis meses es $F_6 = F_{6-1} + F_{6-2} \Rightarrow F_6 = F_{5} + F_{4}$ entonces $F_6 = 8$.
Ahora, usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, donde $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ y n es el mes para el cual queremos calcular el número de conejos, tenemos que
Lo que buscamos es expresar esta relación en términos de multiplicación de matrices, para poder usar álgebra lineal en lugar de recurrencia.
Observamos que se puede escribir la relación de recurrencia como $\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$
Denotando: • $\vec{x}_n = \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$ • $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ entonces la sucesión se convierte en $\vec{x}_{n+1} = A \vec{x}_n$.
Esto nos lleva a la expresión iterativa
$\vec{x}_1 = A \vec{x}_0, \quad \vec{x}_2 = A \vec{x}_1 = A^2 \vec{x}_0, \quad \vec{x}_3 = A \vec{x}_2 = A^3 \vec{x}_0, \quad \ldots \Rightarrow \vec{x}_n = A^n \vec{x}_0$
Para hallar $\vec{x}_n$ sin repetir multiplicaciones, queremos diagonalizar la matriz A.
$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$,
Estos son • $\lambda_1 = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ • $\lambda_2 = \bar{\phi} = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$
Y cumplen que $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \phi \cdot \bar{\phi} = -1, \quad \bar{\phi} = \frac{-1}{\phi}$
Ahora, queremos encontrar vectores no nulos $\vec{v}$ que cumplan $A \vec{v} = \lambda \vec{v} \Rightarrow (A – \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$
▪ Para $\lambda_1 = \phi$:
$A – \phi I = \begin{bmatrix} -\phi & 1 \\ 1 & 1 – \phi \end{bmatrix} \Rightarrow -\phi x + y = 0 \Rightarrow y = \phi x$
Podemos elegir $x = 1 \Rightarrow y = \phi$, así que $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \phi \end{bmatrix}$
▪ Para $\lambda_2 = \bar{\phi} = -\frac{1}{\phi}$:
$A – \bar{\phi} I = \begin{bmatrix} -\bar{\phi} & 1 \\ 1 & 1 – \bar{\phi} \end{bmatrix} \Rightarrow -\bar{\phi} x + y = 0 \Rightarrow y = \bar{\phi} x$
Elegimos $x = 1 \Rightarrow y = \bar{\phi}$, entonces $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \bar{\phi} \end{bmatrix}$
Luego, para diagonalizar la matriz, construimos $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \phi & \bar{\phi} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \bar{\phi} \end{bmatrix}$
Entonces $A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$
Cualquier vector $\vec{w} \in \mathbb{R}^2$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores propios: $\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2$
Aplicando A iteradamente: $A \vec{w} = c_1 A \vec{v}_1 + c_2 A \vec{v}_2 = c_1 \lambda_1 \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2 \vec{v}_2$
Por lo que en general tenemos que $A^n \vec{w} = c_1 \lambda_1^n \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^n \vec{v}_2$
Usando el vector inicial tenemos que $\vec{x}_0 = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
Queremos $\vec{x}_{n-1} = A^{n-1} \vec{x}_0 \Rightarrow F_n =$ primera coordenada de $A^{n-1} \vec{x}_0$
Usamos la diagonalización $\vec{x}_{n-1} = P D^{n-1} P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
Obtenemos que $F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n – \bar{\phi}^n \right)$
Actividad Mira el video Fibonacci del canal Derivando en https://www.youtube.com/watch?v=yDyMSliKsxI&t=54s&ab_channel=Derivando. Luego responde: a. ¿Qué relación hay entre los números naturales y la sucesión de Fibonacci según el video? b. Expresa el número 68 como la suma de dos números de la sucesión de Fibonacci. c. ¿Qué ejemplo biológico relacionado con insectos presenta el video y cómo se vincula con la sucesión de Fibonacci?
Actividad Mira los videos The Golden Ratio de Numberphile en https://www.youtube.com/watch?v=sj8Sg8qnjOg&ab_channel=Numberphile y The fabulous Fibonacci flower formula de Mathologer en https://www.youtube.com/watch?v=_GkxCIW46to&ab_channel=Mathologer. Luego responde: a. ¿Cómo se define el número áureo matemáticamente? b. Menciona ejemplos de la naturaleza u otros contextos en los que aparece esta proporción. c. ¿Qué significa que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci? d. ¿Cuál es el vínculo entre la proporción áurea y la eficiencia en el espacio?
Respuestas modelo Actividad a. El video muestra que todo número natural positivo se puede escribir como suma de números de Fibonacci sin repetir ninguno, es decir, cualquier número puede expresarse de manera única como suma de términos no consecutivos de la sucesión. b. 55 + 13 c. El video explica el árbol genealógico de las abejas. En esta especie, las abejas macho (zánganos) nacen de un solo progenitor (una hembra), mientras que las hembras nacen de dos (macho y hembra). Esto genera una estructura genealógica donde el número de ancestros en cada generación sigue la sucesión de Fibonacci: 1 padre, 1 abuelo y 2 bisabuelos, luego 3 tatarabuelos, y así sucesivamente.
Actividad a. El número áureo, denotado como $\phi$, se define como el número irracional $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$, que cumple la propiedad de que $\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ cuando a > b > 0. Es decir, la razón entre el todo y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor. b. Aparece en la disposición de hojas (filotaxia), en la estructura de caracoles, piñas, girasoles y también en proporciones corporales. Se asocia también con obras de arte, arquitectura y diseño. c. Que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci significa que el número de espirales visibles en su estructura (como en las semillas de un girasol o las hojas de una piña) corresponde a términos consecutivos de la sucesión (por ejemplo, 21 y 34). d. La proporción áurea logra un empaquetamiento óptimo en el que se evitan solapamientos, es decir, maximiza el uso del espacio de manera eficiente y equilibrada, lo que es favorable para el crecimiento natural.
Modelo de Malthus discreto
El modelo de Malthus describe cómo crece una población en condiciones ideales, es decir, cuando no hay limitaciones en los recursos disponibles (como alimentos, espacio o energía). Este modelo supone que la población crece de manera exponencial, lo que significa que el número de individuos en cada periodo de tiempo aumenta en función del tamaño de la población en el periodo anterior. El modelo se expresa como:
$P_{n+1} = r P_n$
donde $P_n$ es el tamaño de la población en el tiempo n (por ejemplo, el número de individuos al mes n), y r es la tasa de crecimiento de la población, que nos indica cuántas veces crece la población en cada periodo. Si r > 1, la población está creciendo; si r < 1, la población está decreciendo.
En este modelo, no se tienen en cuenta las limitaciones de recursos, lo que significa que la población puede crecer indefinidamente sin restricciones. Este tipo de crecimiento es característico de poblaciones de microorganismos en cultivo, como las bacterias, cuando se encuentran en un ambiente con recursos abundantes y sin competencia.
Limitaciones del modelo
Aunque el modelo de Malthus proporciona una descripción útil del crecimiento rápido de poblaciones en condiciones ideales, no es realista para describir el comportamiento de poblaciones en ecosistemas naturales. En la realidad, los recursos son finitos. Esto significa que a medida que la población crece, los recursos disponibles (como comida y espacio) se vuelven limitados, lo que provoca que el crecimiento de la población disminuya.
En estos casos, el modelo de Malthus deja de ser aplicable, ya que no toma en cuenta los efectos de la competencia por recursos. Por esta razón, en la naturaleza, el crecimiento de las poblaciones se describe mejor mediante modelos más complejos, como el modelo logístico, que tiene en cuenta las restricciones de los recursos y permite predecir un crecimiento poblacional que eventualmente se estabiliza en un valor determinado.
Ejemplo Supón que una población inicial de bacterias es de 50 individuos, y la tasa de crecimiento es de 1.2 por mes. ¿Cuántos individuos habrá en la población al final de 6 meses?
Tenemos que el modelo original de Malthus es: $P_{n+1} = r \cdot P_n$ Aquí, $P_n$ es la población en el mes n, mientras que r es la tasa de crecimiento, y $P_{n+1}$ es la población en el siguiente mes. Entonces, en el mes 1 tenemos que $P_1 = r \cdot P_0$. Luego, en el mes 2, sustituyendo $P_1$ obtenemos $P_2 = r \cdot P_1 = r \cdot (r \cdot P_0) = r^2 \cdot P_0$. En el mes 3 la población será $P_3 = r \cdot P_2 = r \cdot (r^2 \cdot P_0) = r^3 \cdot P_0$. Y así sucesivamente. De manera que para el mes n la población se calcula como
$P_n = r^n \cdot P_0$
Por lo tanto, la población después de 6 meses será: $P_6 = 50 \cdot (1.2)^6 \approx 50 \cdot 2.98598 \approx 149.3$ individuos.
Ejercicio Si una población de 100 individuos tiene una tasa de crecimiento $r = 1.5$, ¿cuántos individuos habrá después de 10, 20 y 30 meses? Compara cómo varía el crecimiento de la población con diferentes tasas $r = 1.2, \, r = 1.5, \, r = 2.0$.
Respuesta modelo
Para r = 1.5: • Después de 10 meses: $P_{10} = 100 \cdot (1.5)^{10} \approx 100 \cdot 57.665 \approx 5766.5$ • Después de 20 meses: $P_{20} = 100 \cdot (1.5)^{20} \approx 100 \cdot 3325.2567 \approx 332525.67$ • Después de 30 meses: $P_{30} = 100 \cdot (1.5)^{30} \approx 100 \cdot 191751.0592 \approx 19175105.92$
Para r = 1.2: • Después de 10 meses: $P_{10} = 100 \cdot (1.2)^{10} \approx 100 \cdot 6.1917 \approx 619.17$ • Después de 20 meses: $P_{20} = 100 \cdot (1.2)^{20} \approx 100 \cdot 38.3375 \approx 3833.75$ • Después de 30 meses: $P_{30} = 100 \cdot (1.2)^{30} \approx 100 \cdot 237.3763 \approx 23737.63$
Para r = 2.0: • Después de 10 meses: $P_{10} = 100 \cdot (2.0)^{10} = 100 \cdot 1024 = 102400$ • Después de 20 meses: $P_{20} = 100 \cdot (2.0)^{20} = 100 \cdot 1048576 = 104857600$ • Después de 30 meses: $P_{30} = 100 \cdot (2.0)^{30} = 100 \cdot 1073741824 = 107374182400$
Comparación El modelo de Malthus muestra un crecimiento exponencial, entre más grande sea la tasa de crecimiento, mayor es también el aumento de la población en el tiempo. Se puede observar cómo las tasas r = 1.5 y r = 2.0 muestran un crecimiento mucho más rápido que r = 1.2.
Ejercicio Supón que una población de bacterias comienza con 500 individuos, pero su tasa de crecimiento cambia a lo largo del tiempo. Durante los primeros 3 meses, la tasa de crecimiento es 1.1, y durante los siguientes 3 meses, la tasa es 1.3. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 6 meses?
Respuesta modelo Hemos de dividir el cálculo en dos partes:
Primeros 3 meses con tasa de crecimiento 1.1: $P_3 = 500 \cdot (1.1)^3 \approx 500 \cdot 1.331 = 665.5$
Próximos 3 meses con tasa de crecimiento 1.3: $P_6 = 665.5 \cdot (1.3)^3 \approx 665.5 \cdot 2.197 = 1462.1$
Así, después de 6 meses, la población será aproximadamente 1462 individuos.
En entradas anteriores, definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\infty]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta: ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$?
En general $L^p \nsubseteq L^q$
A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\leq p\leq \infty$ y $1\leq q \leq \infty$ con $p\neq q$, NO se tiene ninguna contención: $$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$
Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to\frac{1}{x^{\alpha}}.$$ Es fácil verificar que $$\int_1^\infty \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha>1.$$ Y que $$\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha<1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\infty)$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma>0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{\chi_{[1,\infty)}(x)}{x^{\gamma}}$ y $g(x)=\frac{\chi_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma}}$.
Luego $$\int_{\mathbb{R}} |f|^q \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |f|^p \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x=\infty. $$ Por lo que $f\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$. Similarmente $$\int_{\mathbb{R}} |g|^p \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |g|^q \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x=\infty.$$ Por lo que $g\in L^p(\mathbb{R})$ pero $g\notin L^q(\mathbb{R})$.
$\triangle$
Aunque en general $L^p\nsubseteq L^q$ cuando $p\neq q$, sí podemos garantizar una contención cuando $\mu$ es una medida finita.
Proposición. Si $\mu$ es una medida finita y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $$\left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$
Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder: \begin{align*} \left\lVert f \right\lVert_s^s &=\int_X |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\ &= \int_X 1\cdot |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\ &\leq \left( \int_X 1 \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{r-s}{r}} \left( \int_X (|f|^s)^{\frac{r}{s}} \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{s}{r}} \\ &= (\mu(X))^{\frac{r-s}{r}}\left\lVert f \right\lVert_r^{s} \end{align*} De modo que $$\implies \left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$ Como queríamos probar.
$\square$
Interpolación de espacios $L^p$
También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\neq r$.
Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\leq p <q<r\leq \infty$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $$\left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{1-\lambda}.$$
Donde $\lambda\in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}.$$ Es decir $\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\infty}=0$).
Demostración. Si $r=\infty$, tenemos que $|f|^q\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p$ y $\lambda=\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:
$$\left\lVert f \right\lVert_{q}=\left( \int_X |f|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left( \int_X \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{p}{q}}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\frac{p}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}.$$
Si $r<\infty$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q}, \frac{r}{(1-\lambda)q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda)q}{r}=q\left( \frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}\right)=\frac{q}{q}=1.$$
Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:
Tomando raíces $q$-ésimas: $$ \left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda }\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )}.$$
$\square$
Tarea moral
Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida finita (i.e. $\mu(X)<\infty$). Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible y acotada sobre $X$. Prueba que $f\in L^p$ $ \ \ \forall p\in [1,\infty]$.
Decimos que $f:\mathbb{R}^n\to [-\infty,\infty]$ es localmente $L^p$, denotado como $f\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$, si $f\in L^p(K)$ para cualquier $K$ subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$.
Demuestra que $L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)\subseteq L^q_{loc}(\mathbb{R}^n)$ si $1\leq q \leq p \leq \infty$. En particular, deduce que toda función en $L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$ es $L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$.
Sea $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función continua. Prueba que $f\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$ $\forall p \in [1,\infty]$.
Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\infty}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y como veremos, comparten varias de sus propiedades. También le daremos sentido a nuestra convención de que el dual de Hölder de 1 sea $\infty$.
Durante toda la entrada $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.
Definición. Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, posiblemente definida en $\mu$-c.t.p. de $X$. Decimos que $f$ es esencialmente acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ con $0\leq M<\infty$ tal que $$|f(x)|\leq M.$$ Para $\mu$-c.t.p. de $X$. O equivalentemente $$\mu(\{ x \ | \ \ M<|\ f(x)|\})=0.$$
Al igual que hicimos con los espacios $L^p$, identificaremos a las funciones que son iguales en $\mu$-c.t.p. de $X$, es decir, a lo largo de esta entrada, cuando hablemos de alguna función $f$, nos referiremos implícitamente a la clase de equivalencia de funciones $\mathcal{M}$-medibles e iguales en $\mu$-c.t.p. a $f$.
Definición. El espacio $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ es la colección de (clases de equivalencia) de funciones $\mathcal{M}$-medibles y esencialmente acotadas en $X$, equipado con la norma: $$\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=\inf \{M\in \mathbb{R} \ \ | \ \ |f(x)|\leq M \text{ en } \mu-c.t.p. \}.$$ Al número $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ le llamaremos el supremo esencial de $f$.
Cuando el espacio sobre el que estemos trabajando sea claro, denotaremos a $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ como $L^{\infty}(X)$ o simplemente como $L^{\infty}$.
No es trivial que $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$ es una norma sobre $L^{\infty}$. Antes de probarlo, veamos una propiedad útil de $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$:
Proposición. Si $f\in L^{\infty}$ $\implies$ $|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ en $\mu$-c.t.p. $x\in X$.
Demostración. Por definición de ínfimo, podemos encontrar una sucesión $\{M_k \}_{k=1}^{\infty}$ tal que $$M_k\longrightarrow \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Y $$|f(x)|\leq M_k.$$ Para cada $x\in X\setminus N_k$ con $\mu(N_k)=0$.
Ahora, definiendo $$N=\bigcup_{k=1}^{\infty} N_k$$ Se sigue que $\mu(N)=0$. Además, para todo $x\in X\setminus N$ tenemos que $$|f(x)|\leq M_k \ \ \ \forall k\in \mathbb{N}$$ $$\implies |f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$
$\square$
Teorema. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio normado.
Demostración. Es inmediato de la definición que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\geq 0$. Notemos también que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=0$ $\iff$ $|f(x)|\leq 0$ en c.t.p. $x\in X$ $\iff$ $f=0$ (como clase de equivalencia).
Dadas $f,g\in L^{\infty}$, por la proposición anterior: $$|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}; \ \ \ \ \ |g(x)|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$. Por la desigualdad del triángulo se sigue entonces: $$|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$ $$\implies \left\lVert f+g\right\lVert_{\infty}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$
$\square$
Como habíamos adelantado, el espacio $L^{\infty}$ comparte varias propiedades con los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$. Veamos algunas de ellas.
Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $p,q\in [1,\infty]$ conjugados de Hölder (es decir, tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ si $p,q>1$ o bien $p=1,q=\infty$ o bien $p=\infty, q=1$). Si $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu)$ y $g\in L^q(X,\mathcal{M},\mu)$, entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}\left\lVert f \right\lVert_{q}$$
Demostración. El caso $p,q\in [1,\infty)$ ya lo habíamos probado. Basta suponer que $f\in L^1$ y $g\in L^{\infty}$, de modo que $|g|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. $\implies$ $|fg|\leq |f|\left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. Luego: $$\int |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left(\int|f| \ \mathrm{d}\mu \right)\left\lVert g \right\lVert_{\infty}=\left\lVert f \right\lVert_{1}\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$
$\square$
Proposición. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio de Banach.
Demostración. Sea $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión de Cauchy en $L^{\infty}$. Redefiniendo por $0$ a las funciones $f_k$ en un conjunto de medida nula apropiado (¿Cuál?), podemos asumir sin pérdida de generalidad que:
De esta manera, para cada $x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}.$$ En particular, la sucesión $\{ f_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ es de Cauchy (en $\mathbb{R}$) por lo que converge a un límite $f(x)$.
La función $f(x)$ está definida en cada punto y es medible al ser límite de funciones medibles. Veamos que de hecho $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.
Como la sucesión $f_k$ es de Cauchy, en particular es acotada, por lo que $\exists M>0$ tal que $$ \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M.$$ Para todo $k$. En particular $|f_k(x)|\leq \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $x\in X$. $$\implies |f(x)|= \lim_{k\to \infty} |f_k(x)|\leq M.$$ Para cada $x\in X$. Concluimos que $f$ es (esencialmente) acotada: $f\in L^{\infty}$ con $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq M$.
Dado $\varepsilon>0$, podemos encontrar un entero $N$ tal que $\forall k,j>N$: $$\left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon$$ $$\implies |f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X.$$ Fijando $k>N$ y haciendo tender $j\to \infty$ se sigue: $$|f_k(x)-f(x)|\leq \varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X$$ $$\implies \left\lVert f_k-f \right\lVert_{\infty}\leq \varepsilon.$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $\varepsilon>0$, concluimos que $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.
$\square$
El teorema a continuación es otra de las razones para justificar la notación $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$. Por conveniencia, dado $p\in[1,\infty]$ y $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, definamos: \begin{equation*} \left\lVert f \right\lVert_{p}= \begin{cases} \left\lVert f \right\lVert_{p} & \text{si } f\in L^p \\ \infty & \text{si } f \notin L^p \end{cases} \end{equation*}
Teorema. Sea $f\in L^r(X,\mathcal{M},\mu)$ para algún $r<\infty$. Entonces $$\lim_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$
Nota. Aquí hay dos afirmaciones: que el límite existe y que es igual a $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$.
Demostración. Primero tomemos $t$ tal que $$0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Por definición de la norma $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$, el conjunto $$A=\{ x\in X \ | \ |f(x)|\geq t \}.$$ Tiene medida positiva $$\mu(A)>0.$$ Ahora: \begin{align*} \left\lVert f \right\lVert_{p} &= \left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\geq \left(\int_A |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\geq \left(\int_A t^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= (t^p\mu(A))^{\frac{1}{p}} \\ &= t(\mu(A))^{\frac{1}{p}}. \end{align*} Tenemos dos casos:
Si $0<\mu(A)<\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$.
Si $\mu(A)=\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}=\infty.$
Sin embargo, en ambos casos $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p} \geq t.$$
Como $0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ era arbitrario, podemos concluir que $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\geq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$
Para la desigualdad opuesta, necesitaremos la hipótesis de que $f\in L^r$. Si $f=0$ (en c.t.p.) la desigualdad se cumple trivialmente. Supongamos entonces que $f\neq 0$ (en c.t.p.).
Notemos que $$\left\lVert f \right\lVert_{p}^p=\int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu=\int_X |f|^r|f|^{p-r} \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\int_X|f|^r \ \mathrm{d}\mu=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{r}.$$ $$ \implies \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{\frac{p-r}{p}}=\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}}.$$ Como $\left\lVert f \right\lVert_{r}<\infty$, entonces $\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}<\infty$. Además $ \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$. Así pues, tomando $\limsup$ en el estimado de arriba: \begin{align*} \limsup_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p} &\leq \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \\ &\leq \left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p} \right)\left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \right) \\ &= (1)\cdot (\left\lVert f \right\lVert_{\infty}) \\ &= \left\lVert f \right\lVert_{\infty} \end{align*} Juntando los dos estimados establecidos hasta ahora tenemos que: $$\limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq \liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}.$$ Es decir, $$\lim_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$
$\square$
Más adelante…
Estudiaremos de varias formas la relación que existe entre $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$.
Tarea moral…
Sea $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ para cada $x\in (0,1)$. Demuestra que $f\in L^1(0,1)$ pero $f\notin L^{\infty}(0,1)$.
Sea $f(x)=c$ para cada $x\in \mathbb{R}^n$ una función constante con $0<|c|<\infty$. Demuestra que $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ pero $f\notin L^{p}(\mathbb{R}^n)$ para ningún $p\in [1,\infty)$.
Sea $f:\mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]$ una función medible.
Demuestra que si $f\in L^p (\mathbb{R}^n)$ con $1\leq p <\infty$, entonces para cualquier $\varepsilon>0$, existe $R>0$ suficientemente grande tal que $$\int_{\mathbb{R}^n \setminus B_R(0)}|f|^p \ \mathrm{d}\lambda<\varepsilon.$$ Donde $B_R( 0)$ denota la bola de radio $R$ con centro en el orígen.
Demuestra que lo anterior no necesariamente es cierto si $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. (Es decir, las funciones en $L^p(\mathbb{R}^n)$ ($1\leq p <\infty$) «concentran su masa cerca del orígen» mientras que las funciones en $L^{\infty}$ no necesariamente lo hacen).
Sean $f_k:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funciones continuas. Demuestra que $f_k \longrightarrow f$ uniformemente si y sólo si $f_k \longrightarrow f$ en $L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$.
En la entrada anterior, definimos los espacios $L^p$ y analizamos algunas de sus propiedades fundamentales. Entre otros resultados, demostramos que son espacios normados y establecimos desigualdades clave relacionadas con ellos.
En esta ocasión, probaremos una propiedad analítica de gran importancia: los espacios $L^p$ son espacios de Banach.
Para esta entrada, $(X,\mathcal{M},\mu)$ denota un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.
A modo de recordatorio:
Definición. Decimos que un espacio vectorial normado $(V,\left\lVert \cdot \right\lVert)$ es un espacio de Banach si es completo respecto a la métrica inducida por la norma: $d(u,v)=\left\lVert u-v \right\lVert$.
Antes de continuar, veamos un Lema que simplificará los desarrollos más adelante:
Lema. Sea $1\leq p < \infty$.Supongamos que $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty}\subseteq L^p$ y $f_k\geq 0$ $\forall k$. Entonces: $$\left\lVert \sum_{k=1}^{\infty} f_k \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p.$$
Demostración. Sea $$F_N=\sum_{k=1}^{N} f_k.$$
Por la desigualdad de Minkowski: $$\left\lVert F_N \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{N} \left\lVert f_k \right\lVert_p\leq \sum_{k=1}^{\infty} \left\lVert f_k \right\lVert_p.$$
Entonces, por el teorema de la convergencia monótona y la continuidad de la función $x\to x^p$, se sigue:
Teorema (Riesz-Fischer). Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida y sea $1\leq p <\infty$. Entonces, el espacio normado $(L^p(X),\left\lVert f \right\lVert_p)$ es un espacio de Banach.
Demostración. Consideremos una sucesión de Cauchy $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty} $ en $L^p$. Al ser de Cauchy, podemos encontrar recursivamente una subsucesión $\{ f_{k_r} \}_{r=1}^{\infty}$ tal que: \begin{equation}\left\lVert f_{k_{r+1}}-f_{k_r} \right\lVert_p<\frac{1}{2^r} \ \ \ \forall r\in \mathbb{N}.\end{equation}
Basta probar que la subsucesión $\{ f_{k_r} \}_{r=1}^{\infty}$ converge en $L^p$. Recordemos que si una subsucesión de una sucesión de Cauchy converge, entonces toda la sucesión converge al mismo límite. Por simplicidad, reenumeremos los índices y supongamos que $\{ f_{k_r} \}_{r=1}^{\infty}=\{ f_{k} \}_{k=1}^{\infty}$.
Definamos $$F=|f_1|+\sum_{j=1}^{\infty} |f_{j+1}-f_j|.$$ Ésta es una función $\mathcal{M}$-medible al ser una serie de funciones medibles. Por el Lema anterior y (1) tenemos que:
En particular, se sigue que $F^p$ es integrable, de modo que $F^p<\infty$ en c.t.p., o equivalentemente, que $F(x)<\infty$ para todo $x\in X\setminus N$ con $N$ algún conjunto nulo: $\mu(N)=0$.
Para cualquier $x\in X\setminus N$, $F(x)=|f_1(x)|+\sum_{j=1}^{\infty} |f_{j+1}(x)-f_j(x)|$ converge $\implies$ $f_1(x)+\sum_{j=1}^{\infty} (f_{j+1}(x)-f_j(x))$ converge absolutamente. Como la $k$-ésima suma parcial de la serie «telescópica» anterior es: $$f_1(x)+\sum_{j=1}^{k} (f_{j+1}(x)-f_j(x))=f_k(x).$$ Se sigue que $$f(x)=\lim_{k\to \infty} f_k(x).$$ Existe para cada $x\in X\setminus N$. Definiendo $f=0$ sobre $N$, es fácil ver que $f$ resulta ser $\mathcal{M}$-medible.
Como para cada $x\in X\setminus N$ $$f(x)=f_1(x)+\sum_{j=1}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x)) $$ \begin{equation}\implies |f(x)-f_k(x)|=\left|\sum_{j=k+1}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x))\right|\leq \sum_{j=k+1}^{\infty}|f_{j+1}(x)-f_j(x)|. \end{equation} Observa que este último estimado nos dice que para $x\in X\setminus N$, $$ |f(x)-f_k(x)|\leq \sum_{j=k+1}^{\infty}|f_{j+1}(x)-f_j(x)| \longrightarrow 0 $$ Cuando $k\to \infty$, pues $\sum_{j=1}^{\infty}(f_{j+1}(x)-f_j(x))$ es una serie convergente. Es decir, $f_k(x)\longrightarrow f(x)$ para $x\in X\setminus N$. Debajo enunciamos este hecho como un corolario.
Se sigue del Lema, (1) y (2) que: \begin{align*} \left\lVert f-f_k \right\lVert_p &\leq \left\lVert \sum_{j=k+1}^{\infty}|f_{j+1}-f_j| \right\lVert_p \\ &\leq \sum_{j=k+1}^{\infty} \left\lVert f_{j+1}-f_j \right\lVert_p \\ &\leq \sum_{j=k+1}^{\infty} \frac{1}{2^{j}} \\ &= \frac{1}{2^{k}}<\infty. \end{align*} Por lo anterior, tenemos por un lado que $$\left\lVert f-f_k \right\lVert_p<\infty.$$ $\implies$ $(f-f_k)\in L^p$. Luego $f=(f-f_k)+f_k\in L^p$. Se sigue también que $$\lim_{k\to \infty} \left\lVert f-f_k \right\lVert_p=0.$$ Por lo que $f_k \longrightarrow f$ en $L^p$.
$\square$
Corolario. Si una sucesión $f_k\longrightarrow f$ en $L^p$, entonces existe una subsucesión ${ f_{k_r}}$ tal que $$\lim_{r\to \infty} f_{k_r}(x)=f(x)$$ En c.t.p. $x\in X$.
Modos de convergencia
El corolario anterior podría sugerir alguna relación entre la convergencia en $L^p$ y la convergencia en casi todo punto. Sin embargo, esta cuestión es complicada. Dedicaremos esta sección a estudiar la relación que existe entre los distintos modos de convergencia que hemos construido.
Repasemos las múltiples nociones de convergencia de funciones que conocemos hasta ahora:
Convergencia puntual. $f_k\longrightarrow f$ puntualmente si $f_k(x)\longrightarrow f(x)$ para todo $x\in X$.
Convergencia uniforme. $f_k \longrightarrow f$ uniformemente si $\forall \varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f_k(x)|<\varepsilon$ para todo $x\in X$.
Convergencia en casi todo punto. $f_k\longrightarrow f$ en casi todo punto si existe un conjunto nulo $N$ tal que $f_k(x)\longrightarrow f(x)$ para todo $x\in X\setminus N$.
Convergencia en $L^p$. $f_k\longrightarrow f$ en $L^p$ si $ \left\lVert f-f_k \right\lVert_p\longrightarrow 0$.
Es claro que 2. $\implies$ 1. $\implies$ 3. Es fácil construir ejemplos en los que 1.$\;\not\!\!\!\implies$ 2. ni 3.$\;\not\!\!\!\implies$1. Veamos algunos casos en los que 1. $\;\not\!\!\!\implies$4. ni 4.$\;\not\!\!\!\implies$ 3.
Ejemplo. Consideremos $(\mathbb{R}, \mathcal{L},\lambda)$ los reales con la medida de Lebesgue. Definamos: $$f_k=\frac{1}{k}\chi_{[0,k^p]}.$$
Afirmamos que esta sucesión de funciones converge uniformemente a 0 (en particular puntualmente y en c.t.p.), pero no converge en $L^p$.
La convergencia uniforme es clara: Si $k\geq \frac{1}{\varepsilon}$, entonces $\forall x\in \mathbb{R}$ $|f_k(x)-0|=|f_k(x)|\leq \frac{1}{k}\leq \varepsilon$.
Si $f_k$ converge en $L^p$, digamos a $f$, por el corolario existiría alguna subsucesión $\{f_{k_r}\}_{r=1}^{\infty}$ que converge en c.t.p. a $f$. Como $f$ converge uniformemente a 0, la única posibilidad es $f=0$. Veamos que $f_k$ NO converge a 0 en $L^p$: Para todo $k\in \mathbb{N}$ \begin{align*} \left\lVert f_k-0 \right\lVert_p &= \left( \int_{\mathbb{R}}|\frac{1}{k}\chi_{[0,k^p]}(x)|^p \ \mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{p}} \\ &= \frac{1}{k}\left( \int_0^{k^p}1 \ \mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{p}} \\ &= \frac{1}{k}\left( k^p \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= 1 \neq 0. \end{align*} Por lo que $f_k$ NO converge a 0 en $L^p$.
$\triangle$
Ejemplo. Consideremos ahora la medida de Lebesgue restringida en el intervalo $[0,1]$, $\lambda_{|[0,1]}$. Para cada $k\in \mathbb{N}$ definamos: $$f_{2^k+j}=k\chi_{\left[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right]}; \ \ \ \ \ j=0,1,\dots, 2^{k}-1.$$
Afirmamos que $f_k\longrightarrow 0$ en $L^p$ para cada $p\in[1,\infty)$, pero $f_k$ NO converge en c.t.p.
Dado $p\in [1,\infty)$: \begin{align*} \left\lVert f_{2^k+j} \right\lVert_p &= \left( \int_0^1 k^p\chi_{\left[\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}\right]} \ \mathrm{d}\lambda \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= k \left( \int_{\frac{j}{2^j}}^{\frac{j+1}{2^k}} 1 \ \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= k\left( \frac{1}{2^k} \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= k\cdot 2^{-\frac{k}{p}} \longrightarrow 0. \end{align*} Cuando $2^k+j\longrightarrow \infty$, de modo que $f_k \longrightarrow 0 $ en $L^p$ para $p\in [1,\infty)$.
Sin embargo, la sucesión $\{ f_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ no converge para ningún $x\in[0,1]$: Dado $N>0$, podemos encontrar $m=2^k+j>N$ tal que $x\in [\frac{j}{2^k},\frac{j+1}{2^k}]$ $\implies$ $f_{2^k+j}(x)=k$. Sin embargo, también podemos encontrar algún $m’=2^k+i$ tal que $x\notin [\frac{i}{2^k},\frac{i+1}{2^k}]$ $\implies$ $f_{2^k+j}(x)=0$. Concluimos que $$\limsup_{j\to \infty} f_j(x)=\infty \neq 0 = \liminf_{j\to \infty} f_j(x).$$ Así que la sucesión NO converge en ningún punto.
$\triangle$
Ejemplo. Una sucesión en $L^{p_1}\cap L^{p_2}$ puede converger en $L^{p_1}$ pero no en $L^{p_2}$. Consideremos nuevamente $(\mathbb{R},\mathcal{L},\lambda)$ y definamos: $$f_k=k^{-1}\chi_{(k,2k)}.$$ De manera que $$\left\lVert f_k \right\lVert_p=\left( \int_{\mathbb{R}} (k^{-1}\chi_{(k,2k)})^p\right)^{\frac{1}{p}}=k^{-1}(k)^{\frac{1}{p}}=k^{-1+\frac{1}{p}}.$$ Por tanto $f_k \in L^p$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $p\in [1,\infty)$. Sin embargo
$f_k \longrightarrow 0$ en $L^p$ si $1<p<\infty$, pues $\left\lVert f_k \right\lVert_p=k^{-1+\frac{1}{p}}\longrightarrow 0$.
$\left\lVert f_k \right\lVert_1=1$ $ \ \forall k$, por lo que $f_k$ no converge a 0 en $L^1$.
$\triangle$
Más adelante…
Introduciremos el espacio $L^\infty$. Un espacio importante que se puede pensar como «un caso límite de los espacios $L^p$», y que comparte varias de sus propiedades analíticas.
Tarea moral…
Sea $f_k(x)=\min(x^{-\frac{1}{2}},k)$ $\forall x\in [0,1]$. Verifica que $\{ f_k\}_{k=1}^{\infty}$ es una sucesión de Cauchy en $L^p([0,1])$ ($1\leq p \leq \infty$). Encuentra el límite de la sucesión en $L^p$.
Sea $f_k(x)=\min(1,kx)$ $\forall x \in [0,1]$. Verifica que $f_k$ es una sucesión de Cauchy en $L^p([0,1])$ y encuentra su límite.
(no-compacidad de la bola unitaria). Sea $f_k=\chi_{[k,k+1]}$ para cada $k\in \mathbb{N}$.
Calcula $\left\lVert f_k \right\lVert_p$ para cada $k$.
¿Es $f_k$ una sucesión de Cauchy en $L^p(\mathbb{R})$?
¿Tiene alguna subsucesión convergente?
Deduce que la bola unitaria en $L^p(\mathbb{R})$: $B=\{ f\in L^p(\mathbb{R}) \ | \ \left\lVert f \right\lVert_p=1\}$ no es un conjunto compacto.
Demuestra que las funciones simples, es decir de la forma $s=\sum_{k=1}^{m}\alpha_k\chi_{A_k}$ con $\alpha_k\in \mathbb{R}$ y $A_k\in \mathcal{M}$ para $k=1,\dots, m$ son densas en $L^p(X,\mathcal{M},\mu)$. Esto es, que para cualquier $f\in L^p$ y $\varepsilon>0$, existe una función simple $s$ tal que $\left\lVert f-s \right\lVert_p<\varepsilon$. [SUGERENCIA: Ya probamos que podemos aproximar puntualmente a $f$ por funciones simples $s_k$ tales que $|s_k|\leq f$].
(convergencia uniforme y en $L^p$).
Demuestra que la convergencia uniforme en $[0,1]$ implica la convergencia en $L^p([0,1])$.
Sea $\{f_i\}_{i\in I}$ un conjunto de funciones diferenciables en $[0,1]$ tales que existe $0<M<\infty$ con $|f_i|,|f’_i|<M$ $\forall i \in I$. Demuestra que $\{f_i\}_{i\in I}$ es un conjunto compacto en $L^p([0,1])$. [SUGERENCIA: Utiliza el inciso anterior y el teorema de Arzela-Ascoli. El teorema del valor medio es útil para verificar la hipótesis de equicontinuidad].
