¡Hola! Si estás leyendo esto, probablemente te estás preparando para cursar Modelos Biomatemáticos I, una asignatura que puede parecer desafiante si no sientes familiaridad con los números.

Este material fue diseñado pensando en ti. Aquí encontrarás explicaciones claras y concisas, acompañadas de ejemplos y ejercicios prácticos que te ayudarán a repasar y fortalecer conceptos fundamentales como fracciones, porcentajes, proporciones, potencias, sucesiones y más.

El objetivo con estas notas es que descubras cómo las matemáticas son un lenguaje que te permitirá describir y analizar fenómenos biológicos de forma precisa.

Tómate tu tiempo, resuelve los ejercicios, equivócate, vuelve a intentar. Este es un espacio seguro para aprender, repasar y ganar confianza.
Espero que estas páginas te acompañen como una herramienta útil en tu camino hacia una comprensión más sólida, no solo de la asignatura, sino también del papel que tienen las matemáticas en tu formación como estudiante de biología.

¡Ánimo y adelante!

Módulo 1

1. Fracciones

a. Definición de una fracción

Una fracción es una forma de representar una parte de un todo. Se representa como 

$$\frac{a}{b},$$

donde a es el numerador, que indica cuántas partes tomamos; b es el denominador, que indica en cuántas partes se divide el todo.

b. Cómo simplificar fracciones

Para simplificar una fracción, la sugerencia siempre es buscar el máximo común divisor (MCD) entre el numerador y el denominador. En algunos casos, esto implica descomponer ambos números en sus factores primos. Una vez que se tiene el MCD, se dividen ambas partes de la fracción entre ese número.

Ejemplo: para simplificar $\frac{18}{24}$

• Los factores primos de 18 son 2 × 3 × 3.
• Los factores primos de 24 son 2 × 2 × 2 × 3.
• El MCD es 2 × 3 = 6.

Entonces, $\frac{18}{24}$ se simplifica dividiendo ambos números entre 6:

$$\frac{18÷6}{24÷6} = \frac{3}{4}$$

c. Operaciones con fracciones

Suma y Resta

Si los denominadores son iguales, simplemente se realiza la suma o resta de los numeradores. 

Ejemplos: 

$$\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1$$ $$\frac{4}{7} − \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$$

Si los denominadores son diferentes, necesitas un denominador común. 

Ejemplo: 

Para sumar $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ un denominador común es 12. Convertimos las fracciones: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}​, \frac{1}{4} = \frac{3}{12}$​; por lo tanto $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.​

Multiplicación

Se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador. 

Ejemplo: 

$$\frac{2}{3} × \frac{4}{5} = \frac{2×4}{3×5} = \frac{8}{15}$$

División 

Multiplicamos la primera fracción por el inverso de la segunda. 

Ejemplo:

$$\frac{2}{3} ÷ \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}​$$

d. Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. Para encontrar fracciones equivalentes se multiplica o divide el numerador y el denominador por el mismo número.

Ejemplo: 

$\frac{1}{2}$​ es equivalente a $\frac{2}{4}​, \frac{3}{6}​, \frac{5}{10}​$

e. Conversión de fracciones a decimales

Para convertir una fracción a decimal, divide el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75$$

f. Reconocer decimales exactos y periódicos

Decimal exacto: es un decimal que termina después de un número finito de decimales, por ejemplo 0.5 o 0.75.

Decimal periódico: es un decimal que tiene una parte decimal que se repite infinitamente, por ejemplo $\frac{1}{3} = 0.\overline{3}$, donde el 3 se repite indefinidamente.

g. Cómo expresar un decimal en fracción

Para convertir un decimal a fracción, si el decimal tiene una cantidad finita de dígitos, se escribe el número como fracción sobre 10, 100, 1000, etc., dependiendo de la cantidad de decimales.

Ejemplo:

Para convertir 0.75 a fracción se sigue que $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

h. Para convertir un número decimal infinito periódico a fracción

Paso 1. Identificar el período: sea x un número decimal periódico $x = 0.\overline{a}$, donde a es el dígito o grupo de dígitos que se repite, es decir, el período.

Por ejemplo, si tenemos $x = 0.\overline{3}$, entonces a = 3.

Paso 2. Multiplicar por una potencia de 10: se multiplican ambos lados de la ecuación por la potencia de 10 que corresponda a la cantidad de dígitos del período para desplazar el punto decimal.

Si el período tiene un solo dígito (como en el caso del ejemplo), se multiplica por 10: $10x = 10(0.\overline{3}) = 3.\overline{3}$.

Paso 3. Restar la ecuación original de la ecuación multiplicada: ahora se resta la ecuación original de la ecuación recién obtenida. Esto eliminará la parte decimal periódica. 

En el caso del ejemplo se resta: $10x-x = 3.\overline{3} – 0.\overline{3} \Longrightarrow 9x = 3$.

Paso 4. Resolver para x: finalmente se resuelve la ecuación para x.

En el caso del ejemplo, dividiendo ambos lados entre 9:

$$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}​$$.
Por lo tanto, $0.\overline{3}$ es igual a $\frac{1}{3}​$.

Ejemplo: con un número decimal periódico más largo

Sea un número decimal $x= 0.\overline{142857}$.

Se identifica el período: el grupo de dígitos que se repite, o período de

$x= 0.\overline{142857}$ es 142 857.

Se multiplica por una potencia de 10: como el período tiene seis dígitos, se multiplica ambos lados de la ecuación por $10^6 = 1000000$:

$$1000000x= 1000000(0.\overline{142857}) = 142857.\overline{142857}$$.

Restar la ecuación original: se resta la ecuación original:

$$1000000x-x = 142857.\overline{142857} – 0.\overline{142857}$$.

Esto da como resultado: $999999x= 142857$.

Resolver para x: se resuelve para x dividiendo ambos lados entre 999 999:

$$x = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$$​.

Así, $0.\overline{142857}$ es igual a $\frac{1}{7}$​.

2. Porcentajes

a. Definición de porcentajes

El porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100.

$$\text{Porcentaje} = \frac{\text{Parte}}{\text{Total}} \times 100$$

b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes

• Fracción a porcentaje: multiplicar la fracción por 100.

Ejemplo:

$$\frac{1}{4} \times 100 = 25 %$$

• Decimal a porcentaje: multiplicar el número decimal por 100.

Ejemplo:

$$0.75 \times 100 = 75 %$$

c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones

• Porcentaje a decimal: dividir entre 100.

Ejemplo:

$$25\% = \frac{25}{100} = 0.25$$

• Porcentaje a fracción: escribir el porcentaje como fracción y simplificar.

Ejemplo:

$$75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$$

d. Operaciones con porcentajes

Porcentaje de una cantidad: multiplicar la cantidad por el porcentaje expresado como decimal.

Ejemplo:

El 20 % de 50 es: 50 × 0.20 = 10

3. Proporciones y razones

a. Cálculo de proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Para resolver proporciones, se puede usar el producto cruzado: a × d = b × c.

Ejemplo:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{x} \Rightarrow 2 \times x = 3 × 4 \Longrightarrow x = 6$$

b. Proporciones directas e inversas

• Proporción directa: si una cantidad aumenta, la otra también aumenta necesariamente, por ejemplo y = k × x.

• Proporción inversa: si una cantidad aumenta, la otra disminuye, por ejemplo $y = \frac{k}{x}$.

4. Medidas de tendencia central

a. Media (promedio)

La media se obtiene sumando todos los valores de un conjunto de datos y dividiendo entre la cantidad total de elementos en dicho conjunto.

Fórmula::

$$\text{Media} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}$$

donde $x_i$ son los valores de los datos y n es la cantidad de datos.

Ejemplo:
Supongamos que medimos el número de hojas en 5 plantas: 8, 10, 12, 10, 10.

La media es: $\frac{8 + 10 + 12 + 10 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10$.

b. Mediana

La mediana es el valor que se encuentra en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si hay un número impar de datos, es el valor central. Si hay un número par, es el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo: con número impar de datos

Datos: 7, 9, 10, 13, 15

Ordenados: 7, 9, 10, 13, 15

→ La mediana es 10 (el del medio)

Ejemplo: con número par de datos

Datos: 5, 7, 8, 9
→ Mediana = $\frac{7 + 8}{2}$ = $\frac{15}{2}$ = 7.5

c. Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:

Datos: 3, 4, 4, 5, 6, 4, 7

→ La moda es 4, porque se repite tres veces.

Importante recordar: Puede haber más de una moda (moda bimodal o multimodal), o ninguna si todos los datos aparecen solo una vez.

5. Sucesiones

Una sucesión es una lista ordenada de números, llamados términos, que siguen una regla o patrón. Estos números pueden representar fenómenos naturales que cambian con el tiempo, como el crecimiento de una población, la cantidad de bacterias en una placa, o la altura de una planta en distintas semanas.

a. Definición de sucesión

Una sucesión es una secuencia de números dispuestos en un orden específico. Cada número tiene una posición que se indica con un subíndice:

$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$​, donde $a_1$​ es el primer término, $a_2$​ el segundo, y así sucesivamente hasta $a_n$ para cualquier n en los naturales.

b. Fórmulas generales de sucesiones

Algunas sucesiones siguen reglas simples que nos permiten encontrar cualquier término sin tener que listar todos los anteriores.

• Sucesión aritmética: se forma sumando una cantidad fija llamada razón.

Fórmula general:

$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot d$, donde d es la diferencia común.

Ejemplo:

$2, 5, 8, 11, \dots$ tiene $a_1 = 2$, $d = 3$, entonces $a_5 = 2 + (5 – 1)\cdot3 = 14$

• Sucesión geométrica: se forma multiplicando por una cantidad fija, es decir, la razón geométrica.

Fórmula general:

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$, donde r es la razón multiplicativa.

Ejemplo:

$3, 6, 12, 24, \dots$ tiene $a_1 = 3$, $r = 2$, entonces $a_4 = 3 \cdot 2^{3} = 24$

c. Algunas sucesiones conocidas

• Sucesión de Fibonacci: cada término es la suma de los dos anteriores

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 \dots$

Esta sucesión aparece en la naturaleza: por ejemplo en la distribución de hojas, en el crecimiento de conchas, bifurcación de ramas, etcétera.

• Sucesión de cuadrados: $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ representa el área de cuadrados de lado $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

6. Potencias y exponentes

a. Definición de potencia

Una potencia es una forma abreviada de representar una multiplicación repetida de un mismo número:

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \quad \text{(n veces)}$, donde a es la base, n es el exponente o índice.

Ejemplo:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

Importante: signos y paréntesis
Hay una diferencia fundamental entre:

$(-2)^5 = -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 \cdot -2 = -32$ y $-(2^5) = -32$

Regla clave:
Si el signo negativo está dentro de paréntesis, la base es negativa. De lo contrario, solo el número es base y el signo queda afuera.

b. Propiedades de las potencias

• Producto con la misma base:  $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

• Cociente con la misma base: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

• Potencia de una potencia: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

• Potencia de un producto: $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$

• Potencia de un cociente: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

c. Exponentes especiales

• Exponente cero:

$a^0 = 1$ para $a \neq 0$

• Exponente uno: $$a^1 = a$$

• Exponente negativo: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Ejemplo: $$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$$​

d. Potencias con fracciones

• Si la base es una fracción: $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

• Y si el exponente es negativo: $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

Ejemplo:

$$\left( \frac{3}{5} \right) ^{-2}= \left( \frac{5}{3} \right) ^2 = \frac{25}{9}$$

e. Exponentes fraccionarios

Un exponente fraccionario representa una raíz: 

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$​

Ejemplos:

• $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

• $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$

También se puede hacer en dos pasos: 

$$27^{\frac{2}{3}} = \left(27^{1/3}\right)^2 = (3)^2 = 9$$

7. Radicales y racionalización

a. Definición de raíz

Una raíz es la operación inversa de una potencia. La raíz cuadrada de un número a es aquel número que al elevarlo al cuadrado da a:

$\sqrt{a} = b \Longleftrightarrow b^2 = a$

Para raíces cúbicas: $\sqrt[3]{a} = b \Longrightarrow b^3 = a$

b. Propiedades de las raíces

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

• $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

• $\sqrt{a^2} = |a|$

• $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Estas propiedades son válidas sólo si los números involucrados están definidos en el conjunto de los números reales (por ejemplo, no se puede extraer raíz par de un número negativo en los reales).

c. Simplificación de raíces cuadradas

Para simplificar una raíz cuadrada, se busca el mayor cuadrado perfecto que divida al radicando.

Ejemplo:

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$​

Otros ejemplos:

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

• $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$

d. Racionalización

Racionalizar es el proceso de eliminar raíces del denominador de una fracción.

• Caso básico

$$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$$

Ejemplo:

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6} – 3}$ se racionaliza multiplicando por el conjugado: $\frac{\sqrt{6} + 3}{\sqrt{6} + 3}$

• Binomios con radicales

Cuando el denominador es un binomio con una raíz, se multiplica por su conjugado:

$$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{\sqrt{a} – \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} – \sqrt{b}}{a – b}$$

Ejemplo:

$$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2}$$

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Teorema

Sea $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, con $A$ abierto, tal que existen las derivadas parciales en $A$ y son acotadas, entonces $f$ es continua en $A$.

Demostración:

Sea $(x_0, y_0) \in A.$

$\Big[$ por demostrar : $f$ es continua en $(x_0, y_0) \Big]$

Basta demostrar que existe $L = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f (x, y)$ y $ L = f (x_0, y_0).$

Sea $\epsilon > 0.$

Basta demostrar que existe $\delta > 0 $ tal que si

$\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta \Rightarrow |f (x, y) \, – \, f (x_0, y_0)|< \epsilon$

Como $\| (x, y) \, – \, (x_0, y_0) \| < \delta$

Sean $ h = x \, – \, x_0 $ y $ k = y \, – \, y_0 $ entonces, si $\| (h, k) \| < \delta \Rightarrow |f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) | < \epsilon$

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0 , y_0 + k) \, + \, f (x_0, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) $

$f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f (x_0, y_0) = \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 + k) h + \dfrac{\partial f}{\partial y} (x_0 , y_0 + \theta_2 k) k$ para algún $\theta_1, \theta_2 \in (0, 1)$

Sean $\xi = x_0 + \theta_1 h \; \in [x_0, x_0 + h]$

y $\eta = y_0 + \theta_2 k \; \in [y_0, y_0 + k]$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(\xi, y_0+k) = \dfrac{\Delta f}{h}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(\xi, y_0+k)h = \Delta f$

Tomando el valor absoluto y aplicando la desigualdad del triángulo tenemos que:

$\Big| f (x_0 + h, y_0 + k) \, – \, f ( x_0, y_0) \Big| \leq \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0 + \theta_1h, y_0 + k) \Bigg| \Big|h \Big| + \Bigg| \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 , y_0 + \theta_2k) \Bigg| \Big|k \Big| \leq M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$

Para que $M \Big| h \Big| + M \Big| k \Big| < \epsilon$ se debe cumplir que

$$\big| h \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

$$\big| k \big| \leq \sqrt{h^2 + k^2 } = \big\| (h, k) \big\|$$

Luego $$\big| h \big| + \big| k \big| \leq 2 \sqrt{h^2 + k^2 } = 2 \big\| (h, k) \big\|$$

Entonces, para que se cumpla que $ 2M \big\| (h, k) \big\| < \epsilon$ basta pedir que

$$ \big\| (h, k) \big\| < \delta = \dfrac{\epsilon}{2M} \; _{\blacksquare}$$

5. Sistemas Dinámicos Discretos y Modelos de Crecimiento

5.1. Ejemplos elementales de sistemas dinámicos: números de Fibonacci, modelo de Malthus discreto

Los números de Fibonacci

Los números de Fibonacci son una secuencia de números enteros que aparecen en muchos fenómenos de la naturaleza. Esta secuencia se define de una manera muy simple: cada número, a partir del tercero, es la suma de los dos números anteriores. Es decir, la secuencia comienza así:

$F_0 = 0,$

$F_1 = 1,$

$F_2 = F_1 + F_0 = 1 + 0 = 1,$

$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2,$

$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3, \quad \dots$

Formalmente, la sucesión de Fibonacci se expresa como:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, donde $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$ son condiciones iniciales.

Este patrón se repite para todos los números de la secuencia. Los números de Fibonacci aparecen, por ejemplo, en la distribución de las hojas de las plantas, las espirales de los caracoles, la proporción de las ramas de los árboles y muchos otros fenómenos naturales. Esto nos lleva a preguntarnos no sólo cómo se genera esta secuencia, sino por qué estructuras naturales parecen seguirla. Las matemáticas modelan patrones de crecimiento y organización que optimizan recursos en organismos vivos.

La sucesión de Fibonacci

En el año 1202, Leonardo de Pisa (1175–1250), mejor conocido como Fibonacci, publicó su libro Liber Abaci en el cual planteó el siguiente problema: Si se pone una pareja de conejos en un lugar rodeado por un muro, ¿cuántas parejas de conejos pueden salir de esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que, a partir del segundo mes, se vuelve fértil?

Para resolver el problema, Fibonacci supuso que cada pareja ―a partir del segundo mes― daba a luz a una nueva pareja de conejos por mes, y que cada pareja está conformada por un macho y una hembra. Para modelar esto matemáticamente, se define como

$y_n= \sum_{k=1}^\infty y_{k,n}$,

donde $y_{k,n}$ representa el número de parejas de conejos de edad k (meses) en el mes n; $y_n$ el número total de parejas en el mes n. También se asume que ningún conejo muere. De manera que cada conejo de edad k en el mes n, tendrá edad k + 1 en el mes n + 1. Por lo que la población de cada mes sería

$y_{k,n} = y_{k+1,n+1}$ para $y \geq 0, k \geq 0$.

Además, el número de parejas de conejos de un mes de edad en n + 1 es igual al número de parejas de dos meses o más en el mes anterior, es decir

$y_{1,n+2}=y_{2,n+1}+y_{3,n+1}+…$

Ahora, se supone que la pareja del inicio es adulta y no debe esperar dos meses para poder engendrar, por lo que las condiciones iniciales son 

$y_{1,0}=0$, $y_{2,0}=1$, $y_{k,0}=0$ para k > 2.

Por lo que para $n\geq 0$ se tiene que 

$y_{n+2}=\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+2}=y_{1,n+2}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}=\sum_{b=2}^\infty y_{b,n+1}+\sum_{a=1}^\infty y_{a,n+1}$,

entonces $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$.

Entonces podemos deducir que 

$y_{1,1} =0, y_{2,1}=0, y_{3,1}=1, y_{k,1}=0$ para $k\geq 3$,

luego $y_1=1$. Entonces las condiciones iniciales son $y_0=y_1=1$.

Para entender cómo crece esta población con el tiempo, tenemos que resolver la ecuación obtenida $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$, que nos ayuda a predecir cómo se comportará la población de conejos en el futuro. Para esto, se necesita encontrar una fórmula general que permita predecir cómo será el número de parejas de conejos en cualquier mes n.

Lo que sigue es encontrar la solución general de esta ecuación, y para eso utilizamos algo llamado la ecuación característica. La idea es proponer una solución de la forma:

$y_n = C \lambda^n$,

donde C es una constante (que encontraremos más tarde), y $\lambda$ es lo que llamamos la raíz de la ecuación. La razón por la que proponemos esta forma es que la solución $y_n$​ crece como crecen las poblaciones, de forma exponencial.

Ahora, sustituimos esta forma en la ecuación de diferencias para encontrar $\lambda$. Esto es lo que se hace en la ecuación característica.

Sustituyendo $y_n = C \lambda^n$ en la ecuación $y_{n+2} = y_n + y_{n+1}$​, obtenemos:

1. $y_{n+2} = C \lambda^{n+2}$
2. $y_n = C \lambda^n$
3. $y_{n+1} = C \lambda^{n+1}$
   

Ahora, sustituyendo estas tres expresiones en $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$:

$C \lambda^{n+2} = C \lambda^n + C \lambda^{n+1}$

Como C es una constante no nula, podemos cancelarla en ambos lados de la ecuación, lo que nos deja con:

$\lambda^{n+2} = \lambda^n + \lambda^{n+1}$

Ahora, podemos dividir toda la ecuación entre $\lambda^n$ ―asumiendo que $\lambda \neq 0$―, luego:

$\lambda^2 = \lambda + 1$

Este es el resultado de la ecuación característica, y así es como queda simplificada la ecuación $y_{n+2}= y_n+y_{n+1}$ en una ecuación cuadrática:

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0$

Ahora, utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas tenemos que:

$\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

En este caso, los coeficientes de la ecuación son:

• a = 1 (el coeficiente de $\lambda^2$),
• b = –1 (el coeficiente de $\lambda$),
• c = –1 (el término independiente).
  

Sustituyendo en la fórmula general, tenemos:

$\lambda = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4(1)(-1)}}{2(1)}$

Simplificando:

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Esto nos da dos soluciones para $\lambda$:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ y $\lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​

Estas dos soluciones son los valores de $\lambda$ que describen el crecimiento de la población de conejos. En este caso, la solución positiva $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$​​ es la que nos interesa, porque nos da la tasa de crecimiento de la población, que es un número mayor que 1. Este número es conocido como la proporción áurea y tiene muchas propiedades interesantes en biología y naturaleza.

La solución negativa $\lambda_2$​ no es útil en este caso, ya que corresponde a un crecimiento negativo, lo cual no ocurre en este modelo. Como menciona Britton “el crecimiento o decrecimiento geométrico ocurre en casi todos los modelos de ecuaciones diferenciales lineales, incluso cuando se incluye la estructura poblacional. Esto no es necesariamente un problema si tratamos un período finito, como en la pregunta que planteó Fibonacci” (Britton, p. 29).

Entonces, la solución general para la población de conejos en el mes n es:

$F_n = A_1 \lambda_1^n + A_2 \lambda_2^n$​,

donde $A_1$​ y $A_2$​ son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales. 

Usando las condiciones iniciales de la sucesión de Fibonacci para determinar las constantes $A_1$​ y $A_2$:

Sabemos que $F_0 = 0$ y $F_1 = 1$, entonces sustituimos estos valores en la ecuación general para obtener un sistema de ecuaciones.

Para n = 0:

$F_0 = A_1 \lambda_1^0 + A_2 \lambda_2^0 = A_1 + A_2 = 0 \Rightarrow A_1 = -A_2$​

Para n = 1:

$F_1 = A_1 \lambda_1^1 + A_2 \lambda_2^1 = A_1 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1$

Sustituyendo $A_1 = -A_2$ tenemos que $-A_2 \lambda_1 + A_2 \lambda_2 = 1 \Rightarrow A_2 (\lambda_2 – \lambda_1) = 1$

Tenemos que las raíces de la ecuación característica para la sucesión de Fibonacci son:

$\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$​​.

Ahora, para calcular la diferencia $\lambda_2 – \lambda_1$​, simplemente restamos estas dos expresiones:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right) – \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)$

Para simplificar, primero agrupamos los términos de forma conveniente:

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{1 – \sqrt{5} – 1 – \sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = \frac{-2\sqrt{5}}{2}$

$\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$

Luego, como $\lambda_2 – \lambda_1 = -\sqrt{5}$​, tenemos:

$A_2 (-\sqrt{5}) = 1 \quad \Rightarrow \quad A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$.

Por lo tanto, $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$​.

Ahora que tenemos las constantes $A_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}$ y $A_2 = \frac{-1}{\sqrt{5}}$​, podemos escribir la solución general de la sucesión de Fibonacci como:

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\lambda_1^n – \lambda_2^n)$.

Dado que $\lambda_2$​ tiende a cero cuando n crece, podemos aproximar

$F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$​ para valores grandes de n.

Ejemplo
Calcula de los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci:

Los primeros 10 términos son:
$F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_3 = 2, \quad F_4 = 3, \quad F_5 = 5, \quad F_6 = 8, \quad F_7 = 13, \quad F_8 = 21, \quad F_9 = 34.$

Ejemplo
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 6 meses, usando la ecuación $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, luego comprueba el resultado usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$.

El número de parejas de conejos después de seis meses es $F_6 = F_{6-1} + F_{6-2} \Rightarrow  F_6 = F_{5} + F_{4}$ entonces $F_6 = 8$.

Ahora, usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, donde $\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$ y n es el mes para el cual queremos calcular el número de conejos, tenemos que 

$F_6 \approx \frac{(1.618)^6}{\sqrt{5}} \approx 8.02$. 

Ejercicio
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 38 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_38 \approx \frac{(1.618)^{38}}{\sqrt{5}} \approx 39056979.55$.

En 38 meses habrá 39 056 979 conejos.

Ejercicio
Calcula cuántas parejas de conejos habrá en 83 meses.

Respuesta modelo
Usando la fórmula $F_n \approx \frac{\lambda_1^n}{\sqrt{5}}$, tendremos que

$F_83 \approx \frac{(1.618)^{83}}{\sqrt{5}} \approx \frac{2.2142 \times 10^{17}}{\sqrt{5}} \approx 9.9022 \times 10^{21}$.
En 83 meses habrá aproximadamente $9.9022 \times 10^{21}$ conejos.

Demostración matricial de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se define de forma recursiva como:

$F_0 = 0,\quad F_1 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, para $n \geq 2$

Lo que buscamos es expresar esta relación en términos de multiplicación de matrices, para poder usar álgebra lineal en lugar de recurrencia.

Observamos que se puede escribir la relación de recurrencia como
$\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$

Denotando:
• $\vec{x}_n = \begin{bmatrix} F_n \\ F_{n-1} \end{bmatrix}$
• $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
entonces la sucesión se convierte en $\vec{x}_{n+1} = A \vec{x}_n$.

Esto nos lleva a la expresión iterativa

$\vec{x}_1 = A \vec{x}_0, \quad \vec{x}_2 = A \vec{x}_1 = A^2 \vec{x}_0, \quad \vec{x}_3 = A \vec{x}_2 = A^3 \vec{x}_0, \quad \ldots \Rightarrow \vec{x}_n = A^n \vec{x}_0$

Para hallar $\vec{x}_n$​ sin repetir multiplicaciones, queremos diagonalizar la matriz A.

$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$,

donde D es diagonal, entonces $D^n$ se calcula 

$D^n = \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{bmatrix}$

Siguiendo para encontrar los valores propios de A:

dada $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

El polinomio característico se obtiene resolviendo:

$\det(A – \lambda I) = 0$
$A – \lambda I = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & 1 – \lambda \end{bmatrix}, \quad \det(A – \lambda I) = (-\lambda)(1 – \lambda) – 1 = \lambda^2 – \lambda – 1$

Resolvemos

$\lambda^2 – \lambda – 1 = 0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Estos son
• $\lambda_1 = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
• $\lambda_2 = \bar{\phi} = \frac{1 – \sqrt{5}}{2}$

Y cumplen que
$\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \phi \cdot \bar{\phi} = -1, \quad \bar{\phi} = \frac{-1}{\phi}$

Ahora, queremos encontrar vectores no nulos $\vec{v}$ que cumplan
$A \vec{v} = \lambda \vec{v} \Rightarrow (A – \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$

▪ Para $\lambda_1 = \phi$:

$A – \phi I = \begin{bmatrix} -\phi & 1 \\ 1 & 1 – \phi \end{bmatrix} \Rightarrow -\phi x + y = 0 \Rightarrow y = \phi x$

Podemos elegir $x = 1 \Rightarrow y = \phi$, así que
$\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \phi \end{bmatrix}$

▪ Para $\lambda_2 = \bar{\phi} = -\frac{1}{\phi}$​:

$A – \bar{\phi} I = \begin{bmatrix} -\bar{\phi} & 1 \\ 1 & 1 – \bar{\phi} \end{bmatrix} \Rightarrow -\bar{\phi} x + y = 0 \Rightarrow y = \bar{\phi} x$

Elegimos $x = 1 \Rightarrow y = \bar{\phi}$​, entonces
$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Luego, para diagonalizar la matriz, construimos
$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \phi & \bar{\phi} \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \bar{\phi} \end{bmatrix}$

Entonces
$A = P D P^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^n = P D^n P^{-1}$

Cualquier vector $\vec{w} \in \mathbb{R}^2$ se puede escribir como combinación lineal de los vectores propios:
$\vec{w} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2$

Aplicando A iteradamente:
$A \vec{w} = c_1 A \vec{v}_1 + c_2 A \vec{v}_2 = c_1 \lambda_1 \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2 \vec{v}_2$

Por lo que en general tenemos que
$A^n \vec{w} = c_1 \lambda_1^n \vec{v}_1 + c_2 \lambda_2^n \vec{v}_2$

Usando el vector inicial tenemos que
$\vec{x}_0 = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Queremos
$\vec{x}_{n-1} = A^{n-1} \vec{x}_0 \Rightarrow F_n =$ primera coordenada de $A^{n-1} \vec{x}_0$

Usamos la diagonalización
$\vec{x}_{n-1} = P D^{n-1} P^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

Obtenemos que
$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n – \bar{\phi}^n \right)$

Concretamente

$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n – \left( \frac{1 – \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)$

Esta es la fórmula de Binet para Fibonacci.

Actividad
Mira el video Fibonacci del canal Derivando en https://www.youtube.com/watch?v=yDyMSliKsxI&t=54s&ab_channel=Derivando.
Luego responde:
a. ¿Qué relación hay entre los números naturales y la sucesión de Fibonacci según el video?
b. Expresa el número 68 como la suma de dos números de la sucesión de Fibonacci.
c. ¿Qué ejemplo biológico relacionado con insectos presenta el video y cómo se vincula con la sucesión de Fibonacci? 

Actividad
Mira los videos The Golden Ratio de Numberphile en https://www.youtube.com/watch?v=sj8Sg8qnjOg&ab_channel=Numberphile y The fabulous Fibonacci flower formula de Mathologer en https://www.youtube.com/watch?v=_GkxCIW46to&ab_channel=Mathologer.
Luego responde:
a. ¿Cómo se define el número áureo matemáticamente?
b. Menciona ejemplos de la naturaleza u otros contextos en los que aparece esta proporción.
c. ¿Qué significa que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci?
d. ¿Cuál es el vínculo entre la proporción áurea y la eficiencia en el espacio?

Respuestas modelo
Actividad
a. El video muestra que todo número natural positivo se puede escribir como suma de números de Fibonacci sin repetir ninguno, es decir, cualquier número puede expresarse de manera única como suma de términos no consecutivos de la sucesión.
b. 55 + 13
c. El video explica el árbol genealógico de las abejas. En esta especie, las abejas macho (zánganos) nacen de un solo progenitor (una hembra), mientras que las hembras nacen de dos (macho y hembra). Esto genera una estructura genealógica donde el número de ancestros en cada generación sigue la sucesión de Fibonacci: 1 padre, 1 abuelo y 2 bisabuelos, luego 3 tatarabuelos, y así sucesivamente.

Actividad
a. El número áureo, denotado como $\phi$, se define como el número irracional $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$, que cumple la propiedad de que $\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ cuando a > b > 0. Es decir, la razón entre el todo y la parte mayor es igual a la razón entre la parte mayor y la menor.
b. Aparece en la disposición de hojas (filotaxia), en la estructura de caracoles, piñas, girasoles y también en proporciones corporales. Se asocia también con obras de arte, arquitectura y diseño.
c. Que una planta “siga” la sucesión de Fibonacci significa que el número de espirales visibles en su estructura (como en las semillas de un girasol o las hojas de una piña) corresponde a términos consecutivos de la sucesión (por ejemplo, 21 y 34).
d. La proporción áurea logra un empaquetamiento óptimo en el que se evitan solapamientos, es decir, maximiza el uso del espacio de manera eficiente y equilibrada, lo que es favorable para el crecimiento natural.

Modelo de Malthus discreto

El modelo de Malthus describe cómo crece una población en condiciones ideales, es decir, cuando no hay limitaciones en los recursos disponibles (como alimentos, espacio o energía). Este modelo supone que la población crece de manera exponencial, lo que significa que el número de individuos en cada periodo de tiempo aumenta en función del tamaño de la población en el periodo anterior. El modelo se expresa como:

$P_{n+1} = r P_n$

donde $P_n$ es el tamaño de la población en el tiempo n (por ejemplo, el número de individuos al mes n), y r es la tasa de crecimiento de la población, que nos indica cuántas veces crece la población en cada periodo. Si r > 1, la población está creciendo; si r < 1, la población está decreciendo.

En este modelo, no se tienen en cuenta las limitaciones de recursos, lo que significa que la población puede crecer indefinidamente sin restricciones. Este tipo de crecimiento es característico de poblaciones de microorganismos en cultivo, como las bacterias, cuando se encuentran en un ambiente con recursos abundantes y sin competencia.

Limitaciones del modelo

Aunque el modelo de Malthus proporciona una descripción útil del crecimiento rápido de poblaciones en condiciones ideales, no es realista para describir el comportamiento de poblaciones en ecosistemas naturales. En la realidad, los recursos son finitos. Esto significa que a medida que la población crece, los recursos disponibles (como comida y espacio) se vuelven limitados, lo que provoca que el crecimiento de la población disminuya.

En estos casos, el modelo de Malthus deja de ser aplicable, ya que no toma en cuenta los efectos de la competencia por recursos. Por esta razón, en la naturaleza, el crecimiento de las poblaciones se describe mejor mediante modelos más complejos, como el modelo logístico, que tiene en cuenta las restricciones de los recursos y permite predecir un crecimiento poblacional que eventualmente se estabiliza en un valor determinado.

Ejemplo
Supón que una población inicial de bacterias es de 50 individuos, y la tasa de crecimiento es de 1.2 por mes. ¿Cuántos individuos habrá en la población al final de 6 meses?

Tenemos que el modelo original de Malthus es: $P_{n+1} = r \cdot P_n$​
Aquí, $P_n$​ es la población en el mes n, mientras que r es la tasa de crecimiento, y $P_{n+1}$​ es la población en el siguiente mes.
Entonces, en el mes 1 tenemos que $P_1 = r \cdot P_0$​.
Luego, en el mes 2, sustituyendo $P_1$ obtenemos​ $P_2 = r \cdot P_1 = r \cdot (r \cdot P_0) = r^2 \cdot P_0$. 
En el mes 3 la población será $P_3 = r \cdot P_2 = r \cdot (r^2 \cdot P_0) = r^3 \cdot P_0$.
Y así sucesivamente. De manera que para el mes n la población se calcula como

$P_n = r^n \cdot P_0$

Por lo tanto, la población después de 6 meses será:
$P_6 = 50 \cdot (1.2)^6 \approx 50 \cdot 2.98598 \approx 149.3$ individuos.

Ejercicio
Si una población de 100 individuos tiene una tasa de crecimiento $r = 1.5$, ¿cuántos individuos habrá después de 10, 20 y 30 meses? Compara cómo varía el crecimiento de la población con diferentes tasas $r = 1.2, \, r = 1.5, \, r = 2.0$.

Respuesta modelo

Para r = 1.5:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.5)^{10} \approx 100 \cdot 57.665 \approx 5766.5$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.5)^{20} \approx 100 \cdot 3325.2567 \approx 332525.67$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.5)^{30} \approx 100 \cdot 191751.0592 \approx 19175105.92$

Para r = 1.2:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (1.2)^{10} \approx 100 \cdot 6.1917 \approx 619.17$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (1.2)^{20} \approx 100 \cdot 38.3375 \approx 3833.75$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (1.2)^{30} \approx 100 \cdot 237.3763 \approx 23737.63$

Para r = 2.0:
• Después de 10 meses:
$P_{10} = 100 \cdot (2.0)^{10} = 100 \cdot 1024 = 102400$
• Después de 20 meses:
$P_{20} = 100 \cdot (2.0)^{20} = 100 \cdot 1048576 = 104857600$
• Después de 30 meses:
$P_{30} = 100 \cdot (2.0)^{30} = 100 \cdot 1073741824 = 107374182400$

Comparación
El modelo de Malthus muestra un crecimiento exponencial, entre más grande sea la tasa de crecimiento, mayor es también el aumento de la población en el tiempo. Se puede observar cómo las tasas r = 1.5 y r = 2.0 muestran un crecimiento mucho más rápido que r = 1.2.

Ejercicio
Supón que una población de bacterias comienza con 500 individuos, pero su tasa de crecimiento cambia a lo largo del tiempo. Durante los primeros 3 meses, la tasa de crecimiento es 1.1, y durante los siguientes 3 meses, la tasa es 1.3. ¿Cuál será el tamaño de la población después de 6 meses?

Respuesta modelo
Hemos de dividir el cálculo en dos partes:

1. Primeros 3 meses con tasa de crecimiento 1.1:
   $P_3 = 500 \cdot (1.1)^3 \approx 500 \cdot 1.331 = 665.5$

2. Próximos 3 meses con tasa de crecimiento 1.3:
   $P_6 = 665.5 \cdot (1.3)^3 \approx 665.5 \cdot 2.197 = 1462.1$

Así, después de 6 meses, la población será aproximadamente 1462 individuos.

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Introducción

En entradas anteriores, definimos los espacios de Lebesgue $L^p$ para $p\in [1,\infty]$ y estudiamos algunas de sus propiedades. En esta entrada trataremos de responder la pregunta: ¿Qué relación existe entre los espacios $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$?

En general $L^p \nsubseteq L^q$

A pesar de lo que la intuición podría sugerirnos, en general, dados $1\leq p\leq \infty$ y $1\leq q \leq \infty$ con $p\neq q$, NO se tiene ninguna contención:
$$L^p\subseteq L^q$$ Ni $$L^q\subseteq L^p.$$

Ejemplo. Consideremos funciones de la forma $$x\to\frac{1}{x^{\alpha}}.$$ Es fácil verificar que $$\int_1^\infty \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha>1.$$ Y que $$\int_0^1 \frac{1}{x^{\alpha}} \ \mathrm{d}x<\infty \iff \alpha<1.$$ Entonces, dados $p,q\in [1,\infty)$ con $p<q$, podemos encontrar un número $\gamma>0$ tal que $$\gamma p<1<\gamma q.$$ Tomemos $f(x)=\frac{\chi_{[1,\infty)}(x)}{x^{\gamma}}$ y $g(x)=\frac{\chi_{(0,1)}(x)}{x^{\gamma}}$.

Luego $$\int_{\mathbb{R}} |f|^q \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |f|^p \ \mathrm{d}x=\int_1^\infty \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x=\infty. $$ Por lo que $f\in L^q(\mathbb{R})$ pero $f\notin L^p(\mathbb{R})$. Similarmente
$$\int_{\mathbb{R}} |g|^p \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma p}} \ \mathrm{d}x<\infty; \ \ \ \ \int_{\mathbb{R}} |g|^q \ \mathrm{d}x=\int_0^1 \frac{1}{x^{\gamma q}} \ \mathrm{d}x=\infty.$$ Por lo que $g\in L^p(\mathbb{R})$ pero $g\notin L^q(\mathbb{R})$.

$\triangle$

Aunque en general $L^p\nsubseteq L^q$ cuando $p\neq q$, sí podemos garantizar una contención cuando $\mu$ es una medida finita.

Proposición. Si $\mu$ es una medida finita y $s<r$, entonces $L^r(X)\subseteq L^s(X)$ con $$\left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$

Demostración. Tomando $(p,q)=(\frac{r}{r-s},\frac{r}{s})$ en la desigualdad de Hölder: \begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_s^s &=\int_X |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\ &= \int_X 1\cdot |f|^s \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X 1 \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{r-s}{r}} \left( \int_X (|f|^s)^{\frac{r}{s}} \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{s}{r}} \\
&= (\mu(X))^{\frac{r-s}{r}}\left\lVert f \right\lVert_r^{s}
\end{align*} De modo que $$\implies \left\lVert f \right\lVert_s\leq (\mu(X))^{\frac{r-s}{rs}}\left\lVert f \right\lVert_r.$$
Como queríamos probar.

$\square$

Interpolación de espacios $L^p$

También podemos decir algo sobre $L^p\cap L^r$ con $p\neq r$.

Proposición (Identidad de interpolación). Sean $1\leq p <q<r\leq \infty$. Si $f\in L^p\cap L^r$, entonces $f\in L^q$. Además $$\left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{1-\lambda}.$$

Donde $\lambda\in (0,1)$ es aquel número tal que $$\frac{1}{q}=\frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}.$$
Es decir $\lambda=\frac{q^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-r^{-1}}$. (En este caso, hacemos la convención $\frac{1}{\infty}=0$).

Demostración. Si $r=\infty$, tenemos que $|f|^q\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p$ y $\lambda=\frac{p}{q}$. Integrando, se sigue que:

$$\left\lVert f \right\lVert_{q}=\left( \int_X |f|^q \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left( \int_X \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{q-p}|f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{p}{q}}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\frac{p}{q}}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\lambda}\left\lVert f \right\lVert_{p}^{\lambda}.$$

Si $r<\infty$, observemos que la pareja $\frac{p}{\lambda q}, \frac{r}{(1-\lambda)q}$ son conjugados de Hölder pues: $$\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda)q}{r}=q\left( \frac{\lambda}{p}+\frac{(1-\lambda)}{r}\right)=\frac{q}{q}=1.$$

Así que, aplicando la desigualdad de Hölder con tales conjugados:

\begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_{q}^q &= \int_X |f|^q \ \mathrm{d}\mu \\
&= \int_X |f|^{\lambda q}|f|^{(1-\lambda)q} \ \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left( \int_X (|f|^{\lambda q})^{\frac{p}{\lambda q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}}\left( \int_X (|f|^{(1-\lambda) q})^{\frac{r}{(1-\lambda )q}} \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{\lambda q}{p}} \left( \int_X |f|^r \ \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{(1-\lambda) q}{r}} \\
&= \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda q}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )q}
\end{align*}

Tomando raíces $q$-ésimas:
$$ \left\lVert f \right\lVert_{q}\leq \left\lVert f \right\lVert_{q}^{\lambda }\left\lVert f \right\lVert_{r}^{(1-\lambda )}.$$

$\square$

Tarea moral

• Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ un espacio de medida finita (i.e. $\mu(X)<\infty$). Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible y acotada sobre $X$. Prueba que $f\in L^p$ $ \ \ \forall p\in [1,\infty]$.
• Decimos que $f:\mathbb{R}^n\to [-\infty,\infty]$ es localmente $L^p$, denotado como $f\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$, si $f\in L^p(K)$ para cualquier $K$ subconjunto compacto de $\mathbb{R}^n$.
  • Demuestra que $L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)\subseteq L^q_{loc}(\mathbb{R}^n)$ si $1\leq q \leq p \leq \infty$. En particular, deduce que toda función en $L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$ es $L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$.
  • Sea $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una función continua. Prueba que $f\in L^p_{loc}(\mathbb{R}^n)$ $\forall p \in [1,\infty]$.

Introducción

Anteriormente definimos los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$, definimos su norma y estudiamos algunas de sus propiedades analíticas más importantes. En esta entrada estudiaremos el concepto de supremo esencial y el espacio $L^{\infty}$. Bajo ciertas condiciones, este último espacio se puede pensar como «un caso límite» de los espacios $L^p$, y como veremos, comparten varias de sus propiedades. También le daremos sentido a nuestra convención de que el dual de Hölder de 1 sea $\infty$.

Durante toda la entrada $(X,\mathcal{M},\mu)$ denotará un espacio de medida arbitrario salvo que se especifique lo contrario.

Definición. Sea $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, posiblemente definida en $\mu$-c.t.p. de $X$. Decimos que $f$ es esencialmente acotada si existe $M\in \mathbb{R}$ con $0\leq M<\infty$ tal que $$|f(x)|\leq M.$$ Para $\mu$-c.t.p. de $X$. O equivalentemente $$\mu(\{ x \ | \ \ M<|\ f(x)|\})=0.$$

Al igual que hicimos con los espacios $L^p$, identificaremos a las funciones que son iguales en $\mu$-c.t.p. de $X$, es decir, a lo largo de esta entrada, cuando hablemos de alguna función $f$, nos referiremos implícitamente a la clase de equivalencia de funciones $\mathcal{M}$-medibles e iguales en $\mu$-c.t.p. a $f$.

Definición. El espacio $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ es la colección de (clases de equivalencia) de funciones $\mathcal{M}$-medibles y esencialmente acotadas en $X$, equipado con la norma:
$$\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=\inf \{M\in \mathbb{R} \ \ | \ \ |f(x)|\leq M \text{ en } \mu-c.t.p. \}.$$ Al número $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ le llamaremos el supremo esencial de $f$.

Cuando el espacio sobre el que estemos trabajando sea claro, denotaremos a $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ como $L^{\infty}(X)$ o simplemente como $L^{\infty}$.

No es trivial que $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$ es una norma sobre $L^{\infty}$. Antes de probarlo, veamos una propiedad útil de $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$:

Proposición. Si $f\in L^{\infty}$ $\implies$ $|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ en $\mu$-c.t.p. $x\in X$.

Demostración. Por definición de ínfimo, podemos encontrar una sucesión $\{M_k \}_{k=1}^{\infty}$ tal que $$M_k\longrightarrow \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Y $$|f(x)|\leq M_k.$$ Para cada $x\in X\setminus N_k$ con $\mu(N_k)=0$.

Ahora, definiendo $$N=\bigcup_{k=1}^{\infty} N_k$$ Se sigue que $\mu(N)=0$. Además, para todo $x\in X\setminus N$ tenemos que $$|f(x)|\leq M_k \ \ \ \forall k\in \mathbb{N}$$ $$\implies |f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Teorema. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio normado.

Demostración. Es inmediato de la definición que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\geq 0$. Notemos también que $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}=0$ $\iff$ $|f(x)|\leq 0$ en c.t.p. $x\in X$ $\iff$ $f=0$ (como clase de equivalencia).

Dadas $f,g\in L^{\infty}$, por la proposición anterior: $$|f(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}; \ \ \ \ \ |g(x)|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$. Por la desigualdad del triángulo se sigue entonces: $$|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$ En $\mu$-c.t.p. $x\in X$ $$\implies \left\lVert f+g\right\lVert_{\infty}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}+\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Como habíamos adelantado, el espacio $L^{\infty}$ comparte varias propiedades con los espacios $L^p$ para $p\in [1,\infty)$. Veamos algunas de ellas.

Teorema (desigualdad de Hölder). Sean $p,q\in [1,\infty]$ conjugados de Hölder (es decir, tales que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ si $p,q>1$ o bien $p=1,q=\infty$ o bien $p=\infty, q=1$). Si $f\in L^p(X,\mathcal{M},\mu)$ y $g\in L^q(X,\mathcal{M},\mu)$, entonces $fg\in L^1$ y además: $$\int_X |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{p}\left\lVert f \right\lVert_{q}$$

Demostración. El caso $p,q\in [1,\infty)$ ya lo habíamos probado. Basta suponer que $f\in L^1$ y $g\in L^{\infty}$, de modo que $|g|\leq \left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. $\implies$ $|fg|\leq |f|\left\lVert g \right\lVert_{\infty}$ en c.t.p. Luego: $$\int |fg| \ \mathrm{d}\mu\leq \left(\int|f| \ \mathrm{d}\mu \right)\left\lVert g \right\lVert_{\infty}=\left\lVert f \right\lVert_{1}\left\lVert g \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Proposición. $(L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu),\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty})$ es un espacio de Banach.

Demostración. Sea $\{ f_k \}_{k=1}^{\infty}$ una sucesión de Cauchy en $L^{\infty}$. Redefiniendo por $0$ a las funciones $f_k$ en un conjunto de medida nula apropiado (¿Cuál?), podemos asumir sin pérdida de generalidad que:

• $\forall k\in \mathbb{N}$ y $\forall x\in X$ $$|f_k(x)|\leq \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}.$$
• $\forall k,j\in \mathbb{N}$ y $\forall x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}.$$

De esta manera, para cada $x\in X$ $$|f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}.$$ En particular, la sucesión $\{ f_k(x)\}_{k=1}^{\infty}$ es de Cauchy (en $\mathbb{R}$) por lo que converge a un límite $f(x)$.

La función $f(x)$ está definida en cada punto y es medible al ser límite de funciones medibles. Veamos que de hecho $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.

Como la sucesión $f_k$ es de Cauchy, en particular es acotada, por lo que $\exists M>0$ tal que $$ \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M.$$ Para todo $k$. En particular $|f_k(x)|\leq \left\lVert f_k \right\lVert_{\infty}\leq M$ para todo $k\in \mathbb{N}$ y para todo $x\in X$. $$\implies |f(x)|= \lim_{k\to \infty} |f_k(x)|\leq M.$$ Para cada $x\in X$. Concluimos que $f$ es (esencialmente) acotada: $f\in L^{\infty}$ con $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq M$.

Dado $\varepsilon>0$, podemos encontrar un entero $N$ tal que $\forall k,j>N$: $$\left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon$$ $$\implies |f_k(x)-f_j(x)|\leq \left\lVert f_k-f_j \right\lVert_{\infty}<\varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X.$$ Fijando $k>N$ y haciendo tender $j\to \infty$ se sigue: $$|f_k(x)-f(x)|\leq \varepsilon, \ \ \ \ \forall x\in X$$ $$\implies \left\lVert f_k-f \right\lVert_{\infty}\leq \varepsilon.$$ Como lo anterior se satisface para cualquier $\varepsilon>0$, concluimos que $f_k\longrightarrow f$ en $L^{\infty}$.

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El teorema a continuación es otra de las razones para justificar la notación $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$. Por conveniencia, dado $p\in[1,\infty]$ y $f$ una función $\mathcal{M}$-medible, definamos: \begin{equation*}
\left\lVert f \right\lVert_{p}=
\begin{cases}
\left\lVert f \right\lVert_{p} & \text{si } f\in L^p \\
\infty & \text{si } f \notin L^p
\end{cases}
\end{equation*}

Teorema. Sea $f\in L^r(X,\mathcal{M},\mu)$ para algún $r<\infty$. Entonces $$\lim_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

Nota. Aquí hay dos afirmaciones: que el límite existe y que es igual a $\left\lVert f \right\lVert_{\infty}$.

Demostración. Primero tomemos $t$ tal que $$0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$ Por definición de la norma $\left\lVert \cdot \right\lVert_{\infty}$, el conjunto $$A=\{ x\in X \ | \ |f(x)|\geq t \}.$$ Tiene medida positiva $$\mu(A)>0.$$ Ahora: \begin{align*}
\left\lVert f \right\lVert_{p} &= \left( \int_X |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\geq \left(\int_A |f|^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\geq \left(\int_A t^p \ \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= (t^p\mu(A))^{\frac{1}{p}} \\
&= t(\mu(A))^{\frac{1}{p}}.
\end{align*} Tenemos dos casos:

1. Si $0<\mu(A)<\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$.
2. Si $\mu(A)=\infty$ $\implies$ $\mu(A)^{\frac{1}{p}}=\infty.$

Sin embargo, en ambos casos $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p} \geq t.$$

Como $0\leq t< \left\lVert f \right\lVert_{\infty}$ era arbitrario, podemos concluir que $$\liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\geq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

Para la desigualdad opuesta, necesitaremos la hipótesis de que $f\in L^r$. Si $f=0$ (en c.t.p.) la desigualdad se cumple trivialmente. Supongamos entonces que $f\neq 0$ (en c.t.p.).

Notemos que $$\left\lVert f \right\lVert_{p}^p=\int_X|f|^p \ \mathrm{d}\mu=\int_X |f|^r|f|^{p-r} \ \mathrm{d}\mu\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\int_X|f|^r \ \mathrm{d}\mu=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{p-r}\left\lVert f \right\lVert_{r}^{r}.$$ $$ \implies \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{\frac{p-r}{p}}=\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}}.$$ Como $\left\lVert f \right\lVert_{r}<\infty$, entonces $\left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}<\infty$. Además $ \left\lVert f \right\lVert_{r}^{\frac{r}{p}}\longrightarrow 1$ cuando $p\longrightarrow \infty$. Así pues, tomando $\limsup$ en el estimado de arriba: \begin{align*}
\limsup_{p\to \infty}\left\lVert f \right\lVert_{p} &\leq \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p}\left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \\
&\leq \left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{r}^\frac{r}{p} \right)\left( \limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{\infty}^{1-\frac{r}{p}} \right) \\
&= (1)\cdot (\left\lVert f \right\lVert_{\infty}) \\
&= \left\lVert f \right\lVert_{\infty}
\end{align*} Juntando los dos estimados establecidos hasta ahora tenemos que: $$\limsup_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}\leq \left\lVert f \right\lVert_{\infty}\leq \liminf_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}.$$ Es decir, $$\lim_{p\to \infty} \left\lVert f \right\lVert_{p}=\left\lVert f \right\lVert_{\infty}.$$

$\square$

Más adelante…

Estudiaremos de varias formas la relación que existe entre $L^p$ y $L^q$ cuando $p\neq q$.

Tarea moral…

• Sea $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ para cada $x\in (0,1)$. Demuestra que $f\in L^1(0,1)$ pero $f\notin L^{\infty}(0,1)$.
• Sea $f(x)=c$ para cada $x\in \mathbb{R}^n$ una función constante con $0<|c|<\infty$. Demuestra que $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ pero $f\notin L^{p}(\mathbb{R}^n)$ para ningún $p\in [1,\infty)$.
• Sea $f:\mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]$ una función medible.
  • Demuestra que si $f\in L^p (\mathbb{R}^n)$ con $1\leq p <\infty$, entonces para cualquier $\varepsilon>0$, existe $R>0$ suficientemente grande tal que $$\int_{\mathbb{R}^n \setminus B_R(0)}|f|^p \ \mathrm{d}\lambda<\varepsilon.$$ Donde $B_R( 0)$ denota la bola de radio $R$ con centro en el orígen.
  • Demuestra que lo anterior no necesariamente es cierto si $f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$. (Es decir, las funciones en $L^p(\mathbb{R}^n)$ ($1\leq p <\infty$) «concentran su masa cerca del orígen» mientras que las funciones en $L^{\infty}$ no necesariamente lo hacen).
• Sean $f_k:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ funciones continuas. Demuestra que $f_k \longrightarrow f$ uniformemente si y sólo si $f_k \longrightarrow f$ en $L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$.