Introducción

Hemos llegado al punto en que presentaremos la integral de Riemann-Stieltjes. Antes de abordar el tema con resultados más abstractos y formales (que expondremos en las siguientes dos entradas del blog) motivaremos la definición con funciones distribución de probabilidad. Aunque no requerimos más que la idea de dicha función para entender esta sección, para un conocimiento más profundo podrías consultar las entradas:
Probabilidad I: Funciones de Distribución de Probabilidad,
Probabilidad I: Variables Aleatorias Discretas y
Probabilidad I: Variables Aleatorias Continuas.

Dada $\mathcal{X}$ una variable aleatoria, se conoce como función de distribución de $\mathcal{X}$ a la función $F_{\mathcal{X}}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \,$ definida como:
$$F_{\mathcal{X}}(x) := \mathbb{P}(\mathcal{X} \leq x)$$
es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que $x.$ Satisface lo siguiente:

1. $\forall \, x \in \mathbb{R}, \, 0 \leq F_{\mathcal{X}}(x) \leq 1$
2. Es continua por la derecha y tiene límite por la izquierda.
3. Es no decreciente, es decir, si $x_1 \leq x_2$ entonces $F_{\mathcal{X}}(x_1) \leq F_{\mathcal{X}}(x_2).$
4. $\underset{x \to \, -\infty}{F_{\mathcal{X}}(x)} = 0.$
5. $\underset{x \to \, \infty}{F_{\mathcal{X}}(x)} = 1.$

Dependiendo las propiedades de la variable aleatoria, la función $F_\mathcal{X}$ puede ser de dos formas:

Si $\mathcal{X}$ es variable aleatoria discreta, entonces

$$F_{\mathcal{X}}(x) = \underset{t \leq x}{\sum}f(t).$$

Donde $f(t)$ es la probabilidad de que $\mathcal{X}$ tome el valor $t$, la cual es distinta de cero solamente para un conjunto a lo más numerable de valores $t.$

Si $\mathcal{X}$ es variable aleatoria continua, entonces

$$F_{\mathcal{X}}(x) = \int_{- \infty}^{x}f(t)dt.$$

Donde $f(t)$ es la probabilidad de que $\mathcal{X}$ tome el valor $t$, la cual es distinta de cero solamente para un conjunto a lo más numerable de valores $t.$

Podríamos preguntarnos si es posible definir una integral que muestre el valor de la función, sin importar el tipo de variable aleatoria.

En los cursos de cálculo se habla del concepto de integral de Riemann de una función $f:[a,b] \to \mathbb{R}, \, a,b \in \mathbb{R}.$ A partir de una partición $P= \{x_0= a,…, x_n = b\}$ se define la suma de Riemann como
$$S(P,f) = \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1})$$
donde $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i] \,$ y
$$\, S(P,f) \to \int_{a}^{b}f(x) \, dx \,$$
cuando $\, n \to \infty.$

La integral de Riemann-Stieltjes generaliza esta idea, modificando los intervalos generados por la partición a través de una función $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$

Definición. Suma de Riemann-Stieltjes. Sean $f:[a,b] \to \mathbb{R}, \,$ $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R} \,$ funciones y $P= \{x_0=a,…,x_n=b\}$ una partición de $[a,b].$ Definimos la suma de Riemann-Stieltjes de $P$ con respecto a $f$ y $\alpha$ como

\begin{align}
S(P,f,\alpha) := \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))
\end{align}

Definición. Integral de Riemann-Stieltjes. Sean $f, \, \alpha$ y $P\, $ como en la definición anterior. Si existe el límite en $S(P,f, \alpha)$ cuando $n \to \infty,$ se define y denota a la integral de Riemann-Stieltjes como

\begin{align}
\int_{a}^{b}f(x) \, d \alpha := \underset{n \to \infty}{lim} \, \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))
\end{align}

Para visualizar las ideas, consideremos los siguientes:

Ejemplos

En cualquier caso, $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}.$

• $\alpha(x) = x.$ En este caso coincide con la integral de Riemann. Evidentemente:
  \begin{align*}
  \int_{a}^{b}f(x) \, d \alpha := \underset{n \to \infty}{lim} \, \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) = \underset{n \to \infty}{lim} \, \sum_{i =1}^{n} f(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1}).
  \end{align*}
• Si $\alpha(x) = F_{\mathcal{X}}(x)$ es la función de distribución de $\mathcal{X},$ entonces la integral de Riemman-Stieltjes es la esperanza de la variable aleatoria $Y=f(\mathcal{X}).$

Analicemos más esta última función. Sea $P= \{x_0 = a,…,x_n =b\}$. Entonces para cada $i=0,…,n$

$$\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}) = \lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil$$

Si suponemos que los intervalos son muy pequeños, podemos pedir que $|P|<1.$ En esta situación dos puntos consecutivos de la partición podrían estar entre dos enteros consecutivos o bien, tener un entero entre ellos. Así tenemos dos casos:

1. \begin{align*}
   \lceil x_i \rceil &= \lceil x_{i-1} \rceil\\
   \Rightarrow \, \lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil &= 0
   \end{align*}
   o bien
2. \begin{align*}
   \lceil x_i \rceil &> \lceil x_{i-1} \rceil \, \\
   \Rightarrow \, \lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil &= 1.
   \end{align*}

En consecuencia, si $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ entonces cada sumando toma los siguientes valores:

En el caso 1. $f(\xi_i)(\lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil) = 0.$
En el caso 2. $f(\xi_i)(\lceil x_i \rceil \, – \, \lceil x_{i-1} \rceil) = f(\xi_1).$

La siguiente imagen permite visualizar este comportamiento.

Calculemos $\int_{0}^{10}1 \, d \, \lceil x \rceil.$

En las siguientes entradas veremos que se satisface:

Proposición: Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $\alpha$ es monótona, existe $\int_{a}^{b} f(x) \, d \alpha.$

Con la integral de Riemann-Stieltjes es posible identificar las funciones de distribución de variables aleatorias, sin importar si la variable es discreta, continua o una «mezcla» de ambas.

Entonces, si $F_{\mathcal{X}}$ es la función distribución de la variable aleatoria descrita se satisface:

$F_{\mathcal{X}}(b) \, – \, F_{\mathcal{X}}(a) = \text{Probabilidad de que } \mathcal{X} \text{ tome valores en } [a,b] = \int_{a}^{b}1 \, d \alpha.$

La esperanza de una variable aleatoria puede expresarse con una integral de Riemann-Stieltjes

A continuación presentamos una definición de la esperanza con la integral que estamos conociendo y es equivalente a la usada convencionalmente. Para profundizar en la teoría, visitar Probabilidad I: Valor Esperado de una Variable Aleatoria

Definición. Esperanza de $\mathcal{X}.$ Sea $\mathcal{X}$ una variable aleatoria con función de distribución $\alpha(x).$ La esperanza de $\mathcal{X}$ es
$$E(\mathcal{X}) = \int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha.$$

Ejemplos

Sea $\mathcal{X}$ variable aleatoria con distribución binomial, $n=3, \, p= \frac{1}{2}.$ Dado que

$$\mathbb{P}(\mathcal{X} = k) = \binom{3}{k}\frac{1}{2}^k\frac{1}{2}^{3-k}$$

Se sigue:

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 0) = \frac{1}{8}$

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 1) = \frac{3}{8}$

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 2) = \frac{3}{8}$

$\mathbb{P}(\mathcal{X} = 3) = \frac{1}{8}$

Y la esperanza es

\begin{align*}
\sum_{k=0}^{3}k \, \mathbb{P}(\mathcal{X} = k) &= (0)\left(\frac{1}{8}\right) + (1)\left(\frac{3}{8}\right) + (2)\left(\frac{3}{8}\right) + (3)\left(\frac{1}{8}\right) \\
&=\frac{6}{4}
\end{align*}

Dejaremos como $\textcolor{orange}{\text{ejercicio de tarea moral,}}$ verificar la integral de Riemann-Stieltjes

\begin{align*}
\int_{\infty}^{\infty}x \, d\alpha &= \int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha + \int_{0}^{3}x \, d\alpha + \int_{3}^{\infty}x \, d\alpha\\
&=0 + \dfrac{6}{4} +0\\
&= \dfrac{6}{4}.
\end{align*}

Como sugerencia, verifica que en una partición de $[0,3]$ con intervalos muy pequeños $(\delta< 1)$ los únicos sumandos que no se anulan en la suma de Riemann-Stieltjes serán los correspondientes a intervalos que tienen algún entero en $\{0,1,2,3\}.$

Otro ejemplo para terminar esta sección

Ahora supongamos que la función de distribución de una variable aleatoria está dada por:

Vamos a calcular la esperanza de $\mathcal{X}$ por medio de:

$$\int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha.$$

Los detalles se dejarán como $\textcolor{orange}{\text{ejercicios de tarea moral.}}$ Nota que

$$\int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha= \textcolor{PineGreen}{\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha} \textcolor{blue}{+ \int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, d\alpha + \int_{\frac{1}{2}}^{1}x \, d\alpha} \textcolor{PineGreen}{+ \int_{1}^{\infty}x \, d\alpha}.$$

Primero vamos a obtener

$$ \textcolor{blue}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, d\alpha}.$$

Sea $P= \{x_0=0,…,x_{n-1},x_n= \frac{1}{2}\}$ una partición de $[0,\frac{1}{2}].$ Calculemos

\begin{align}
\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1}))= \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) + f(\xi_n)(\alpha(\frac{1}{2}) \, – \, \alpha(x_{n-1}))
\end{align}

Entonces

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) &= \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)\left( \frac{x_i \, – \, x_{i-1}}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(x_i \, – \, x_{i-1})
\end{align*}

De modo que
\begin{align}
\nonumber \underset{n\to \infty}{lim}\, \sum_{i=1}^{n-1}f(\xi_i)(\alpha(x_i) \, – \, \alpha(x_{i-1})) &= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, dx \\
\nonumber &= \frac{1}{2} \frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{\frac{1}{2}}\\
&= \frac{1}{16}.
\end{align}

En cuanto al último intervalo, cuando el tamaño de este tiende a $0$ se satisface

\begin{align}
f(\xi_n)(\alpha(\frac{1}{2}) \, – \, \alpha(x_{n-1})) \, \, \to \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4} \, – \, \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}
\end{align}

Por lo tanto, haciendo $n \to \infty$ en (3) por (4) y (5) tenemos:

\begin{align}
\textcolor{blue}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}x \, d\alpha}= \frac{1}{16}+\frac{1}{8} = \frac{3}{16}
\end{align}

Análogamente se puede verificar que también

\begin{align}
\textcolor{blue}{\int_{\frac{1}{2}}^{1}x \, d\alpha}= \frac{3}{16}
\end{align}

En cuanto a la integral $\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha \,$ nota que eligiendo $\frac{1}{k}$ muy pequeñito podemos separarla como

\begin{align}
\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha = \int_{-\infty}^{-\frac{1}{k}}x \, d\alpha + \int_{-\frac{1}{k}}^{0}x \, d\alpha
\end{align}

Evidentemente, la primera parte $\int_{-\infty}^{-\frac{1}{k}}x \, d\alpha \,$ se anula. La otra integral $\int_{-\frac{1}{k}}^{0}x \, d\alpha \,$ se puede calcular con sumas de Riemann-Stieltjes: Si $P=\{x_0= \frac{1}{k},…,x_n=0\}$ es una partición de $[\frac{1}{k},0]$ el único sumando significativo es el último donde $f(\xi_n)(\alpha(x_{0}) \, – \, \alpha(x_{n-1})) \, \to \, 0(\frac{1}{4} \, – \, 0)=0.$

Por lo tanto

\begin{align}
\textcolor{PineGreen}{\int_{-\infty}^{0}x \, d\alpha = 0}.
\end{align}

Es sencillo comprobar que también

\begin{align}
\textcolor{PineGreen}{\int_{1}^{\infty}x \, d\alpha = 0}.
\end{align}

Y así, de (6), (7),(9) y (10) concluimos que
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}x \, d\alpha = \frac{6}{16}= \frac{3}{8}.
\end{align}

Más adelante…

Veremos resultados formales de la integral de Riemann-Stieltjes y algunas de sus propiedades.

Tarea moral

1. Resuelve los detalles pendientes de esta entrada que se fueron indicando.
2. Sea $\alpha:[a,b] \to \mathbb{R}\, $ una función escalonada, calcula $\int_{a}^{b}f \, d\alpha$ con $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ continua.

Enlaces

• Análisis Matemático.
• Enlace a entrada anterior.
• Enlace a entrada siguiente.

Introducción

Una vez analizado los temas de Razón Cruzada e Involución, es hora de realizar unos ejercicios que se dejaran a continuación, todo con el objetivo de practicar y fortalecer el tema visto.

Ejercicios

1.- Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos distintos en una recta, analice las razones cruzadas $\{ABCB\}$, $\{ABCA\}$ y $\{ABCC\}$.

2.- Demuestre el Teorema de Desargües, referente a triángulos en perspectiva en propiedades de razón cruzada.

3.- Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales, encuentre $D$ talque $\{BACD\}=\{ABCD\}$.

4.- Muestre que la razón cruzada de cuatro puntos en una recta, es igual a la razón cruzada de sus polares con respecto a cualquier circunferencia.

5.- Demuestre el Teorema de la Mariposa. Si se trazan dos cuerdas $EF$ y $CD$, por el punto medio $M$ de una cuerda, $AB$ de una circunferencia, y si $DE$ y $CF$ intersecan a $AB$ en $G$ y $H$ respectivamente, entonces $M$ es el punto medio de $GH$.

6.- Sean seis puntos colineales con un punto $O$ en una recta se corresponden en pares $A,A’,B,B’,C,C’$, y si $OA \bullet OA’ = OB \bullet OB’ =OC \bullet OC’ $, demuestra que $\{AA’BC\}= \{A’AB’C\}$.

7.- Demuestre que el conjugado del centro de una involución de puntos es el punto ideal de la base.

8.- Sean seis pares de puntos en involución $A,A’,B,B’,C$ y $C’$, y si $D$ y $D’$ son dos puntos en la recta tal que $\{A’B’C’D’\}=\{ABCD\}$, entonces $D$ y $D’$ también son un par conjugado de la involución.

9.- Sea un punto $X$ cualquiera fuera de una circunferencia, si se trazan tres rectas que la corten en los pares de puntos $A,A’,B,B’,C,C’$ respectivamente y si unimos estos puntos a cualquier otro punto de la circunferencia, por demostrar que el haz así obtenido está en involución.

10.- Demostrar el Teorema. Dado un cuadrángulo completo, sus tres pares de lados opuestos son intersecados por cualquier transversal que no pasa por un vértice en tres pares de puntos conjugados de una involución.

Más adelante…

La siguiente unidad abarca varios temas interesantes.

Entradas relacionadas

• Ir a Geometría Moderna II
• Entrada anterior del curso: Haces de líneas en Involución
• Siguiente entrada del curso: Construcciones con regla o compas

Sea $f : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}$

$$f(x, y) = \frac{y}{x} $$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x = x_0$ constante.

$$f(x_0, y) = \dfrac{y}{x_0}$$

Corte especial para $x = 0$

para $x = x_0 = 0$

$$f(0, y) = 0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1, y) = \dfrac{y}{1}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y = y_0$ constante.

$$f(x, y_0) = \frac{y_0}{x}$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$$f(x, 0) =0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwys

Sea $\alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ una curva parametrizada por longitud de arco. Y supongamos ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \neq \vec{0}.$

Sea $P =\alpha (s_0)$ y $Q = \alpha (s_1).$

Sea $m$ la mediatriz de $PQ$ y $n$ la recta normal a la curva en el punto $\alpha (s_0)$, la ecuación de $n$ es de la forma:

$$t \longrightarrow \overrightarrow{\alpha}(s_0) + t \, \overrightarrow{N}(s_0)$$

donde $\overrightarrow{N}(s_0) = \dfrac{{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) }{\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\|}.$

Afirmación:

Cuando $s_1$ tiende a $s_0$ la recta $m$ se aproxima a la recta $n.$

$Q = \alpha (s_1) = (x(s_1), y(s_1))$

$P = \alpha (s_0) = (x(s_0), y(s_0))$

$R = $ punto medio $PQ = \Bigg(\dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg)$

Vector de dirección de $m $ ortogonal a $PQ$

$$PQ = \Big( – \, y(s_1)\, – \, y(s_0), x(s_1)\, – \, x(s_0) \Big)$$

La ecuación de $m$ es

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \, x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( x(s_1) \, – \, x(s_0), y(s_1) \, – \, y(s_0) \Bigg) = 0$$

Fijamos $s_0$ y dividimos todo entre $s_1 \, – \, s_0$

$$ \Bigg( x \, – \, \dfrac{x(s_0)\, + \ x(s_1)}{2}, y \, – \, \dfrac{y(s_0)\, + \, y(s_1)}{2}\Bigg) \cdot \Bigg( \dfrac{x(s_1) \, – \, x(s_0)}{s_1 \, – \, s_0}, \dfrac{y(s_1) \, – \, y(s_0)}{s_1 \, – \, s_0} \Bigg) = 0$$

Haciendo $s_1 \longrightarrow s_0$

$$\big(x \, – \, x(s_0), y \, – \, y(s_0) \big) \cdot \big(x'(s_0), y'(s_0) \big) = 0$$

donde esta última es la ecuación de $n.$

(1) Restringimos la búsqueda del centro de la circunferencia osculatriz a puntos en la recta normal a la curva en el punto $P = \alpha (s_0).$

Ecuación paramétrica de dicha recta

$$\big\{ \big(x(s_0), y(s_0) \big) + t \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \big| t \in \mathbb{R} \big\}$$

Buscamos un valor de $t$ en especial. $t^*$ tal que está en la intersección de las dos rectas normales y es de la forma

$$\big(x(s_0), y(s_0) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) + t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big)$$

Veamos que pasa cuando $Q \rightarrow P$ es decir, cuando $s_1 \rightarrow s_0$

$ \big(x(s_0), y(s_0) \big) = P$ fijo.

$\big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big)$ fijo.

solo varía $t$

¿Qué podemos decir de $t^*$ cuando $s_1 \rightarrow s_0$

Para responder a esta pregunta usamos la ecuación anterior para tener una expresión más «amigable» de $t^*.$

Tratamos de despejar $t^*$ en función de $s_0$ y $s_1.$

(2) Despejar $t^*$

$$ t^* \big( \, – \, y’ (s_0) , x’ (s_0) \big) \, – \, t^* \big( \, – \, y’ (s_1) , x’ (s_1) \big) = \big(x(s_1), y(s_1) \big) \, – \, \big( x(s_0), y(s_0) \big) $$

$$ t^* \Bigg(\dfrac{y’ (s_1) \, – \, y’ (s_0)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) , \Bigg( \dfrac{(x’ (s_0) \, – \, x’ (s_1)}{s_1 \, – \, s_0}\Bigg) = \dfrac{(x(s_1) \, – \, x(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} \, – \, \dfrac{(y(s_1) \, – \, y(s_0))}{s_1 \, – \, s_0} $$

Tomando el límite cuando $s_1 \longrightarrow s_0$, obtenemos que:

$\hat{t} ({y}^{\prime \prime} (s_0), – \, {x}^{\prime \prime} (s_0)) = \big(x’ (s_0), {y \, }’ (s_0) \big)$

Multiplicando por $ \big( {x}^{\prime} (s_0), {y}^{\prime} (s_0) \big)$

$$ \hat{t} \big(x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) = 1$$

Por lo tanto

$$ \hat{t} = \dfrac{1}{ \big( x’ (s_0) {y}^{\prime \prime} (s_0) \, – \, {y}^{\prime} (s_0) {x}^{\prime \prime} (s_0) \big) }$$

es el radio de la circunferencia osculatriz.

Sin pérdida de generalidad; si la curva está parametrizada de tal forma que ${\alpha}^{\prime \prime} (s_0) = \big({x}^{\prime \prime} (s_0), {y}^{\prime \prime} (s_0) \big) = \mathcal{K}(s_0) \big(\, – \, {y}^{\prime} (s_0) , {x}^{\prime} (s_0) \big)$ con $\mathcal{K} (s_0) > 0.$

En tal caso, $\big\|{\alpha}^{\prime \prime} (s_0) \big\| = \mathcal{K} (s_0)$ es la curvatura.

$\Biggr|\begin{matrix} {x}^{\prime} (s_0) & {x}^{\prime \prime} (s_0) \\ {y}^{\prime} (s_0) & {y}^{\prime \prime} (s_0) \end{matrix} \Biggr| = {x}^{\prime} {y}^{\prime \prime} \, – \ {y}^{\prime} {x}^{\prime \prime} = \dfrac{1}{\mathcal{K}}$

En el siguiente enlace puedes observar una animación de los conceptos trabajados aplicados a una caso particular.

https://www.geogebra.org/classic/bppzcxq6

Sean:

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

$ \beta : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0) = \beta (t_0) = \vec{x_0}$;

${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$ y

${\beta}’ (t_0) \neq \vec{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha}’ (t_0)$ y ${\beta}’ (t_0)$

$$ \cos \theta = \dfrac{{\alpha}’ (t_0) \cdot {\beta}’ (t_0)}{ \|{\alpha}’ (t_0)\| \|{\beta}’ (t_0)\|}$$

En esta imagen puedes observar un ejemplo.

Longitud de arco

Sea $ \alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ continua.

Para cada partición del $[a, b]$, $t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \| = \mathcal{L} (C) $$

$\mathcal{L} (C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\vec{p} = \alpha (a)$ hasta $\vec{q} = \alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\left\{ \sum\limits_{i = 1}^n \| \alpha (t_i) – \alpha (t_{i – 1}) \|; t_0 = a < t_1 < t_2 < \dots < t_n = b\right\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X}, d)$, con

$ \alpha : I \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{X}$

$$ \mathcal{L}(C)= \sum\limits_{i = 1}^n d \left( \alpha (t_{i-1}), \alpha (t_i) \right)$$

$$\mathcal{L}(\alpha) := sup \{ \mathcal{L}(C) \}$$