La longitud de una curva como una integral nos permite estudiarla analíticamente. Recordemos que en cálculo el estudio de ciertos objetos matemáticos se hacen a partir de una aproximación. En este caso la noción intuitiva será: la longitud de una curva será el límite de longitudes de polígonos aproximados. Esta longitud estará definida como una integral.
Definición. Una arco de curva esta dado por una función vectorial $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$. Donde el dominio esta restringido al intervalo cerrado $[a,b]\in\mathbb{R}$. Definición. Sea C un arco de curva en $\mathbb{R}^{n}$ dada por la función $$f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),…,f_{n}(t))$$ Consideremos el conjunto $$P=\{P~\Big{|}~P~es~partici\acute{o}n~de~[a,b]\}$$ Para cada partición $P:~a=t_{0},t_{1},…,t_{n-1},t_{n}=b$ de $[a,b]$ consideramos la poligonal $$f(t_{0}),f(t_{2}),…,f(t_{n-1}),f(t_{n})$$ y su correspondiente longitud $$s(P)=|f(t_{1})-f(t_{0})|+|f(t_{2})-f(t_{1})|+\cdots+|f(t_{n-1})-f(t_{n})|=\sum_{i=1}^{n}||f(t_{i})-f(t_{i-1})||$$ Se dice C es rectificable si el conjunto ${s(P)}$ esta acotado.
Ejemplo. Muestre que el arco de parábola C dado por $f(t)=(t,t^{2})$ con $t\in(0,1)$ es rectificable. En este caso sea $P\in[0,1]$ dada por $0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=1$. Tenemos entonces \begin{align*} s(P) & =\sum_{i=1}^{n}|f(t_{i})-f(t_{i-1})| \\ & =\sum_{i=1}^{n}|(t_{i},t_{i}^{2})-(t_{i-1},t_{i-1}^{2})| \\ &=\sum_{i=1}^{n}|(t_{i}-t_{i-1},t_{i}^{2}-t_{i-1}^{2})| \\ & \leq \sum_{i=1}^{n}|t_{i}-t_{i-1}|+|t_{i}^{2}-t_{i-1}^{2}| \\ &=\sum_{i=1}^{n}|t_{i}-t_{i-1}|+|(t_{i}-t_{i-1}|~|(t_{i}+t_{i-1}|\\ &=\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})(1+(t_{i}-t_{i-1})~~\textcolor{red}{Si~0\leq t_{i-1}\leq t_{1}\leq 1~entonces~1+t_{i-1}+t_{i}\leq 3}\\ &\leq 3\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})\\ &\leq 3 \end{align*} esto quiere decir que la suma $s(P)$ es acotada y por lo tanto, el arco es rectificable.$~~ \blacksquare$ Ejemplo. Mostrar que la siguiente función vectorial (curva) $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $\displaystyle{f(t)=\left[t,t\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right]}$ donde $f(0)=(0,0)$ no es rectificable. En este caso consideramos particiones de $[0,1]$ de la forma $$P:t_{0}=0,t_{1}=\frac{1}{(n-1)\pi},t_{2}=\frac{1}{(n-2)\pi},…,t_{n-2}=\frac{1}{2\pi},t_{n-1}\frac{1}{\pi},t_{n}=1$$ Los puntos de la poligonal que corresponden a la partición P son $$f(t_{0})=(0,0),f(t_{1})=\left(\frac{1}{(n-1)\pi},\frac{1}{(n-1)\pi}\cos((n-1)\pi)\right),f(t_{2})=\left(\frac{1}{(n-2)\pi},\frac{1}{(n-2)\pi}\cos((n-2)\pi)\right),…$$ $$,f(t_{n-2})=\left(\frac{1}{2\pi},\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi)\right),f(t_{n-1})=\left(\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi}\cos(\pi)\right),f(t_{n})=(1,\cos(1))$$ La suma de las distancias de los segmentos de la poligonal es \begin{align*} s(P)&=|f(t_{1})-f(t_{0})|+|f(t_{2})-f(t_{1})|+\cdots|f(t_{n})-f(t_{n-1})| \\ &=\left|\left(\frac{1}{(n-1)\pi},\frac{1}{(n-1)\pi}\cos((n-1)\pi)\right)\right| \\ &+\left|\left(\frac{1}{(n-2)\pi}-\frac{1}{(n-1)\pi},\frac{1}{(n-2)\pi}\cos((n-2)\pi)-\frac{1}{(n-1)\pi}\cos((n-1)\pi)\right)\right| \\ &+\cdots+\left|\left(1-\frac{1}{\pi},\cos(1)-\frac{1}{\pi}\cos(\pi)\right)\right| \\ &\geq \sum_{k=1}^{n-2}\left|\left(\frac{1}{k\pi}-\frac{1}{(k+1)\pi},\frac{1}{k\pi}\cos(k\pi)-\frac{1}{(k+1)\pi}\cos((k+1)\pi)\right)\right| \\ &\geq \sum_{k=1}^{n-2}\left|\frac{1}{k\pi}\cos(k\pi)-\frac{1}{(k+1)\pi}\cos((k+1)\pi)\right|\\ &\geq \sum_{k=1}^{n-2}\left|\frac{(-1)^{k}}{k\pi}-\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1)\pi}\right|\\ &=\sum_{k=1}^{n-2}\left|\frac{1}{k\pi}+\frac{1}{(k+1)\pi}\right|\\ &\geq \frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{k+1} \end{align*} Entonces, $$\lim_{n\rightarrow\infty}s(P)\geq \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{k+1}=+\infty$$ lo cual implica que la suma $s(P)$ no es acotada y por lo tanto el arco de curva no es rectificable.$~~ \blacksquare$ Teorema. [Criterio para determinar si una curva es rectificable] Todo arco de curva de clase $C^{1}$ (con derivada continua) es rectificable. Demostración.Sea $f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),…,f_{n}(t))$ un arco de curva de clase $C^{1}$. Entonces, las funciones $f'{i}$ son continuas en $[a,b]$ y por tanto estan acotadas es decir, existen constantes positivas $M{1},…,M_{n}$ tales que $$|f'{1}(t)|\leq M{1},…,|f'{n}(t)|\leq M{n}~~~\forall~t\in[a,b]$$ Sea P una partición del intervalo $[a,b]$ determinada por los puntos $a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b$. Para cada $i\in{1,2,…,n}$ tenemos \begin{align*} \|f(t_{i})-f(t_{i-1})\|&=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\left(f_{j}(t_{i})-f_{j}(t_{i-1})\right)^{2}} \\ &\leq \sum_{j=1}^{n}\left|f_{j}(t_{i})-f_{j}(t_{i-1})\right| \end{align*} Por el teorema del valor medio de Lagrange, existen $\xi_{1},\xi_{2},…,\xi_{n}$ en el intervalo $(t_{i-1},t_{i})$ tales que \begin{align*} \left|f_{1}(t_{i})-f_{1}(t_{i-1})\right| &= |f'{1}(\xi{1})|(t_{i}-t_{i-1}) \\ \vdots & =\vdots \\ \left|f_{n}(t_{i})-f_{n}(t_{i-1})\right| &= |f'{n}(\xi{1})|(t_{i}-t_{i-1}) \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} \|f(t_{i})-f(t_{i-1})\|&\leq \left|f_{1}(t_{i})-f_{1}(t_{i-1})\right|+\cdots +\left|f_{n}(t_{i})-f_{n}(t_{i-1})\right| \\ & \leq \left(|f'{1}(\xi{1})|+\cdots+|f'{n}(\xi{1})|\right)(t_{i}-t_{i-1})\\ &\leq (M_{1}+\cdots+ M_{n})(t_{i}-t_{i-1}). \end{align*} Si $s(P)$ es la longitud de la poligonal determinada por P tenemos \begin{align*} s(P)&=\sum_{i=1}^{n}\|f(t_{i})-f(t_{i-1})\| \\ &\leq (M_{1}+\cdots+ M_{n})\sum_{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1}) \\ &=(M_{1}+\cdots+ M_{n})(b-a). \end{align*} Es decir, el conjunto ${s(P)}$ con P partición de $[a,b]$ está acotado y por tanto el arco de curva es rectificable.$ \blacksquare$ Ejemplo. Muestre que el arco de curva C dado por $f(t)=(t,t^{3})$ con $t\in(0,1)$ es rectificable. En este caso $f'(t)=(1,3t^{2})$, cada función componente es continua y por tanto $f(t)$ es de clase $C^{1}$ por lo que según el resultado anterior, se tiene que f es rectificable en el intervalo indicado.$~~\blacksquare$
Más adelante
En esta sección vimos cómo aproximar la longitud de arco de una función vectorial con dominio acotado mediante el cálculo de las longitudes de polígonos. En la siguiente sección definiremos el cálculo de la longitud de arco, el cual, está determinado mediante una integral.
Tarea Moral
1.- Prueba que la curva definida como $y=\begin{cases}x^{2}sen\dfrac{1}{x},0< x\leq 1\\ 0,x=0\end{cases}$ tiene longitud finita.
2.- Prueba que $y=\begin{cases}xsen\dfrac{1}{x},0< x\leq 1\\ 0,x=0\end{cases}$ no es rectificable.
3.- Prueba que si una función f es deinida y monótona en el intervalo cerrado $[a,b]$ entonces el arco de curva definido como $y=f(x)$, $(a\leq x \leq b)$ es rectificable.
4.- Muestra que la siguiente función $\gamma :A=\left[ 0,2\pi \right] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $\gamma(t)=\dfrac{3}{2}(cos(t), sint(t))$ es rectificable.
5.- Propón una función vectorial cuyo arco de curva sea rectificable y una donde no lo sea.
A lo largo de este capítulo, exploraremos el origen del concepto de pago de intereses y rastrearemos la evolución de los modelos matemáticos que describen los fenómenos de interés simple y compuesto. Abordaremos conceptos clave como el valor presente, tasas efectivas, tasas nominales, tasas instantáneas y sus características individuales. Además, examinaremos las interrelaciones entre estos conceptos. Al comprender estos fundamentos, obtendremos el conocimiento necesario para calcular tasas equivalentes.
Estos conceptos son fundamentales en el campo de las Matemáticas Financieras y proporcionan las herramientas esenciales para desarrollar modelos más complejos que resuelvan problemas cotidianos en diversos ámbitos de la sociedad. Esto incluye situaciones como préstamos entre individuos, transacciones comerciales entre empresas y actividades gubernamentales en todos los sectores de la economía. La falta de comprensión de estos modelos puede tener un impacto directo en la situación financiera de cada individuo.
Antecedentes
El nacimiento de las Matemáticas Financieras está estrechamente ligado al desarrollo del comercio. A lo largo de miles de años y en diversas culturas como la fenicia, hebrea, griega, egipcia y china, ha sido una práctica común y equitativa recibir una compensación cuando una persona presta un bien, servicio o una suma de dinero a otra persona. Este pago de compensación, a menudo denominado interés, se fundamenta en el hecho de que el prestamista está cediendo temporalmente su propiedad a favor del prestatario. Durante este período, el prestamista se priva del uso de ese bien, lo que justifica recibir una recompensa que compense esta privación.
En términos simples, el interés es el costo que se incurre al hacer uso de los recursos ajenos. Para el propósito de nuestro estudio, la mayoría de las veces, estos recursos serán dinero.
El objetivo principal de las Matemáticas Financieras es desarrollar modelos matemáticos que describan este fenómeno social que hemos mencionado. Para lograrlo, examinaremos cómo se realizan los pagos de intereses y analizaremos las variables involucradas en esta actividad, considerando cómo interactúan a lo largo del tiempo.
En un préstamo típico, se pueden identificar dos actores principales: el prestamista (quien presta el bien o el dinero) y el prestatario (también conocido como acreditado, que recibe el préstamo). La compensación que regularmente se conoce como intereses.
El fenómeno que vamos a estudiar implica que una persona presta dinero a otra durante un período determinado, y durante ese tiempo, la persona que recibe el préstamo debe pagar una cierta cantidad de intereses al prestamista. A partir de esto, podemos identificar las siguientes variables clave:
Figura 1.1 Elaboración propia basado en Cánovas T., 2004, Matemáticas Financieras Fundamentos y Aplicaciones, pág. 14
Donde:
$K$ es el valor del bien, dinero o capital, prestado o invertido.
$i$ es la tasa de interés que el prestamista y el prestatario han acordado como compensación o premio por el capital prestado y recibido. Cabe hacer mención que generalmente se manejan las tasas de interés en términos de porcentaje (%), con el objeto de generalizar y de simplificar, la determinación del interés por pagar. La tasa de interés se define como: la proporción que por unidad de capital y de tiempo, habrá de pagarse por disfrutar de un préstamo. En dicha tasa se debe de establecer la periodicidad con la cual se va a estar pagando, esto es, anual, mensual, semanal, diaria, instantánea, etc.
$I$ representa los intereses, en dinero, que recibirá el prestamista por el capital prestado o invertido y que resultan de multiplicar la tasa de interés $i$, expresada en porcentaje, por el capital $K$, es decir $Ki$.
$M$ es la suma del capital invertido más los intereses ganados, esto es; $K+I$, y se le conoce con el nombre de monto.
$t$ es el tiempo, plazo o duración que dure la operación. Es decir, el tiempo total que han convenido el prestamista y el prestatario para que este último disfrute del préstamo. Es importante señalar que las unidades de tiempo $t$, estarán dadas de acuerdo con la periodicidad con la que se pague la tasa. Si la tasa es mensual y el préstamo es a un año, entonces t tendrá un valor de 12, que equivale al número de meses que tiene un año.
Las Matemáticas Financieras, tienen por objeto estudiar la relación que hay entre las variables anteriores, y construir modelos que expliquen y describan dicho fenómeno del pago de intereses, cuya representación gráfica se muestra a continuación:
Figura 1.1 Elaboración propia basado en Cánovas T., 2004, Matemáticas Financieras Fundamentos y Aplicaciones, pág. 15
Tenemos entonces:
$K=$ Capital
$i =$ tasa de Interés
$M =$ Monto (Capital prestado más los intereses)
$t =$ Tiempo
$I =$ Intereses (Capital multiplicado por la tasa de interés acordada)
Es importante señalar, que el «apellido» inseparable del valor de la «tasa» es la temporalidad o periodicidad con que deberá ser pagada, de tal forma que no quede duda de cada cuándo se realizará el negocio.
Por ejemplo, imaginemos que una persona A le presta dinero a una persona B de \$1000, y en compensación B le pagará \$100 pesos por concepto de intereses al mes. Ante tal situación la cantidad a pagar después de haber transcurrido dicho mes es de \$1100. Lo anterior lo podemos expresar como:
\$1000 que es el capital originalmente prestado, es decir el valor de $K$
\$1100 qué es valor de $M =$ La suma del capital más los intereses.
\$1100 – \$1000 = \$100 es la cantidad de intereses generados durante un mes.
Para determinar la tasa de interés efectiva por periodo, esto es, la proporción de intereses ganados por unidad de capital y tiempo, dividimos los intereses ganados entre el capital. Esto se puede escribir como:
Es decir, el interés obtenido es equivalente al 10% efectivo mensual. La palabra efectivo o efectiva se utiliza para especificar la tasa a la que califica, y corresponde a la que se pagará por unidad de capital y tiempo.
Como se ha mencionado previamente, la periodicidad de la tasa determina la frecuencia con la que se pagarán los intereses. Estos pagos pueden realizarse a discreción, ya sea cada hora, diariamente, mensualmente, semestralmente, anualmente, cada cinco años, u otras opciones.
Además de los actores y las variables que influyen en cualquier transacción financiera, existe un último elemento digno de análisis: la elección con respecto al destino de los intereses, es decir, si se reinvierten o no.
Por otro lado, el término «efectiva» cumple la función de diferenciar este tipo de tasas de otras denominadas «nominales», que operan de manera distinta, como se detallará más adelante.
Estas dos alternativas se conocen como interés compuesto (cuando los intereses generan nuevos intereses) e interés simple (cuando los intereses no generan nuevos intereses).
A continuación, se va a construir el modelo sobre el interés simple.
Interés Simple
Se abordará este tema con fines comparativos, dado que, en la actualidad, el modelo de interés simple tiene una aplicación cada vez más limitada.
Una de las características clave de este modelo es que los intereses generados por el capital no generan intereses adicionales.
Supongamos que una persona A le presta a una persona B \$100.00 y pactan una tasa de interés del 10% mensual. Una vez transcurrido el primer mes, la persona B le tiene que pagar a la persona A un rendimiento de \$10.00 por concepto de intereses, proceso que se repetirá hasta que se termine el plazo que hayan acordado entre ambas partes involucradas para regresar el dinero prestado. Vamos a suponer que el tiempo acordado es de 5 meses. Esto implica que al final del segundo mes, la persona B tendrá que realizar el pago de los siguientes intereses, los cuales ascienden a nuevamente otros \$10.00.
Dicho proceso se irá repitiendo exactamente igual durante los siguientes 3 meses, de tal forma que la persona B habrá pagado a la persona A una cantidad total de \$50.00 de intereses. Entonces, el capital más los intereses sumarían una cantidad de \$150.00
Observemos que, si al final de cada mes la persona B le paga los intereses a la persona A, dichos intereses no generan nuevos intereses, dichos intereses ya están en manos de la persona A, motivo por el cual ya no tienen por qué seguir cobrando intereses a la persona B por una cantidad que ya no adeuda.
Sin embargo, puede darse el caso que la persona A haya convenido con la persona B, que la cantidad generada por motivo de intereses (\$50.00), la pagará al final de los 5 meses a la tasa convenida del 10% mensual y que, además, la operación se realizaría bajo el modelo de interés simple. En dicho caso, la cantidad que se genera a partir del concepto de intereses será conservada por parte de la persona B, hasta el término del plazo pactado.
En dicho caso, se observa que la cantidad generada por concepto de intereses sigue estando en manos de la persona B, entonces esto implicaría que dicha persona debería también pagar intereses sobre esos intereses. Sin embargo, esto no ocurre así, dado que la operación se está realizando bajo el modelo de interés simple y, por ello, la persona sólo pagará al final de los 5 meses el capital prestado (\$100) más la suma aritmética de los intereses mensuales (\$50).
Es aquí donde surge la diferencia entre el modelo de interés simple y el compuesto. En el primer caso los intereses no generan nuevos intereses, aunque no se hayan pagado; mientras que, en el segundo, si los intereses no se pagan, pasarían a formar parte del capital prestado y producirían nuevos intereses.
Figura 1.3 Se representa de forma generalizada la construcción del modelo de interés simple.
En la figura 1.3 se observa que en el modelo del interés simple la recta horizontal representa el tiempo, la cual está seccionada en partes iguales que son los periodos en que los intereses serán pagados. El número de periodos está determinado por la temporalidad o periodicidad de la tasa de interés, si la tasa es efectiva mensual, los periodos serán meses, si es anual serán años, y así sucesivamente según sea el caso.
Al final de cada periodo (en este caso al final de cada mes), se describen los cálculos que se realizan para determinar el monto alcanzado hasta esa fecha, por ejemplo, el monto final del segundo periodo está dado por el monto del periodo inmediato anterior $M = K(1+i),$ más los intereses devengados por el capital del original durante el segundo periodo, el cual es: $M = K(1+2i)$.
También en la figura 1.3 se muestran las operaciones para calcular el monto final de los periodos restantes, que como se puede apreciar, siguen un comportamiento análogo al que se ha estado utilizando para calcular los montos anteriores.
Con base en lo anterior, se puede deducir, que el modelo de interés simple para calcular el monto para el periodo t está representado por:
$$M=K(1+it).$$
Si hacemos uso de esa fórmula y la aplicamos en el ejemplo anterior, pero modificando el periodo de 5 meses a 7, el resultado que se tendría luego de haber transcurrido dicho plazo es:
Es de gran relevancia mencionar las características de las variables que aparecen en la fórmula de interés simple, las cuales son:
Los valores que tienen las variables $M$ y $K$ son unidades monetarias (pesos, dolares, etc).
La tasa de interés $i$ es en términos porcentuales (%), sin embargo, para fines prácticos será utilizada al tanto por uno, esto es ya dividida entre 100.
La variable $t$ corresponde al tiempo al cual está determinado siempre por la periodicidad que esté manejando la tasa de interés. Si la tasa es mensual, la variable $t$ será establecida en meses.
Despejar otras variables de la fórmula de interés simple
A partir de la ecuación que se obtuvo para describir el modelo de interés simple, es posible hacer el cálculo de las demás variables expresándolas en términos de las demás, esto es, calcular las variables $K, i,$ y $t$ realizando los despejes que a continuación se ilustran.
Para obtener el valor de la variable $K$ tenemos:
$$K=\frac{M}{(1+it)}.$$
Para expresar el valor de la tasa de interés $i$:
Partiendo de la expresión original, lo primero que debe hacerse es dividir entre $K$ ambos lados de la ecuación:
$$\frac{M}{K}=\frac{(1+it)}{K},$$
Luego, restar 1 de ambos lados de la ecuación:
$$\frac{M}{K}-1=it.$$
$$it=\frac{M-K}{K}.$$
Y, por último, dividir entre $t$ ambos lados de la ecuación:
$$\frac{it}{t}=\frac{M-K}{Kt}$$
$$i=\frac{M-K}{Kt}.$$
Ahora, para obtener $t$, se aplica el mismo razonamiento, para llegar a la siguiente expresión:
$$t=\frac{M-K}{Ki}.$$
Con esto se puede concluir que, es posible obtener el valor de cualquier variable, a partir de conocer las otras 3. De forma gráfica, el modelo de interés simple queda descrito por una línea recta, tal y como se representa en la figura 1.4:
Figura 1.4. Comportamiento del Modelo de Interés Simple
En donde, se observa que el eje $y$ representa el monto acumulado $M$, mientras que el eje de las $x$ representa el tiempo $t$, y la pendiente de la recta descrita representa el crecimiento del monto a través del tiempo, lo que equivale a la expresión $Ki$.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Si sabemos que el capital inicial es \$2000 y la tasa de interés es de 8% mensual, ¿Cuánto es el monto que obtendremos después de 5 periodos, con el modelo de interés simple?
Solución
Solución. Usando la fórmula sería:
$M=K(1+it)$
donde:
$K=\$2000$
$i=8\%=0.08$ mensual
$t=5$ meses
Sustituyendo cada uno de los valores de las variables en nuestro modelo de interés simple, nos queda:
$M=K(1+it)=2000[1+(0.08)(5)]=2800$
La respuesta es: Obtendremos un monto de $\$2800$.
Ejercicio. Una persona prestó \$3000 a otra que ofrece pagarle \$6000 después de 6 meses. ¿Cuál es la tasa de interés anual que se está ganando?
Solución
Para este problema necesitaremos la fórmula $M=K(1+it)$.
Sustituyendo los valores que nos han proporcionado tenemos:
$6000=3000[1+i(0.5)]$
Usando la ecuación que obtuvimos para encontrar la tasa de interés, nos queda:
Observación. Por ser una tasa anual, y al tener un plazo de 6 meses, tenemos que considerar la mitad de dicha tasa, ya que es la mitad del año.
Por lo tanto el resultado es: Se está pagando una tasa de interés del 200%.
Ejercicio. ¿Cuánto debo invertir?, para que dentro de 1 año, bajo el modelo de interés simple, obtenga una cantidad \$10000, si el banco me paga una tasa del 5% mensual.
Solución
De nuestra ecuación de interés simple, directamente vamos a utilizar la ecuación que deducimos previamente:
$$K=\frac{M}{(1+i)}$$
Sustituyendo cada uno de los datos tenemos:
$$K=\frac{10000}{(1+(0.05)(12))}$$
Entonces se tendría que invertir la cantidad de \$6250.
Más adelante…
En esta entrada hemos discutido los antecedentes de las matemáticas financieras, abordando el tema del interés simple, su proceso de construcción, y finalmente deducimos la ecuación que describe este fenómeno. También exploramos el concepto de interés simple y presentamos algunos ejercicios resueltos. Aunque el interés simple es intrigante, en muchas ocasiones deseamos no solo reinvertir el capital inicial, sino también los intereses acumulados. Esto nos lleva al próximo tema que exploraremos en la siguiente entrada: el concepto de interés compuesto.
Generalizando un poco las ideas del cálculo diferencial de funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ a funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$. Recordemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en un punto $t_{0}$ si $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t_{0}+h)-f(t_{0})}{h}$$existe y en tal caso lo denotamos $f'(t_{0})$
Definición. Sea $r:I\subset\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una función vectorial definida en un intervalo abierto $I\in\mathbb{R}$ y $t\in I$. Se define la derivada de f en $t$, denotada por $r'(t)$ como $$r'(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{r(t+h)-r(t)}{h}$$cuando este limite existe
Ejemplo. Usa la definición para calcular la derivada de la función. $$r(t)=(3t+4)i+(t^{2}-4t+3)j$$
Tenemos que $$r'(t)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{r(t+h)-r(t)}{h}$$ $$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{[(3(t+h)+4)i+((t+h)^{2}-4(t+h)+3)j]-[(3t+4)i+(t^{2}-4t+3)j]}{h}$$ $$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{(3t+3h+4)i-(3t+4)i+(t^{2}+2th+h^{2}-4t-4h+3)j-(t^{2}-4t+3)j}{h}$$ $$=\lim_{h\rightarrow0}(3i+(2th+h-4)j)$$ $$=3i+(2t-4)j.~~ \blacksquare$$
Teorema. Sea $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una función vectorial, $t_{0}\in \mathbb{R}$. f es diferenciable en el punto $t_{0}$ si y solo si cada función componente $x_{i}(t)$ de f es diferenciable en el punto $t_{0}$, en cuyo caso $$f'(t_{0})=(x’_{1}(t_{0}),x’_{2}(t_{0}),..,x’_{n}(t_{0}))$$
Demostración. $(\textcolor{red}{\Rightarrow})$ Supongamos que f es diferenciable en $t_{0}$. Entonces
$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t_{0}+h)-f(t_{0})}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\left(\frac{(x_{1}(t_{0}+h),x_{2}(t_{0}+h),…,x_{n}(t_{0}+h))-(x_{1}(t_{0}),x_{2}(t_{0}),…,x_{n}(t_{0}))}{h}\right)$$ $$=\lim_{h\rightarrow 0}\left(\frac{x_{1}(t_{0}+h)-x_{1}(t_{0})}{h},\frac{x_{2}(t_{0}+h)-x_{2}(t_{0})}{h},…,\frac{x_{n}(t_{0}+h)-x_{n}(t_{0})}{h}\right)$$ $$=\left(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x_{1}(t_{0}+h)-x_{1}(t_{0})}{h},\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x_{2}(t_{0}+h)-x_{2}(t_{0})}{h},…,\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x_{n}(t_{0}+h)-x_{n}(t_{0})}{h}\right)$$ conforme $h\rightarrow 0$ cada limite de las funciónes componentes existe $\therefore$ $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x_{i}(t_{0}+h)-x_{i}(t_{0})}{h}=x’_{i}(t_{0})$$ $\therefore$ cada $x_{i}$ es diferenciable en $t_{0}$
$(\textcolor{red}{\Leftarrow})$ Se pueden regresar en los pasos de la prueba anterior.$~~ \blacksquare$ Definición. La derivada $f'(t)$ de una trayectoria f puede ser asociada a una matriz $n\times 1$ la cual es conocida como la matriz Jacobiana de f en el punto $t_{0}$.
Se denota $$Jf(t_{0})=\left[\begin{matrix}x’_{1}(t_{0})\\x’_{2}(t_{0})\\\vdots\\x’_{n}(t_{0})\end{matrix}\right]$$
Propiedades de la derivada de funciones con valores vectoriales
Ejercicio. Utiliza la definición de derivada para demostrar que: Si $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ esta dada por $f(t)=a\in\mathbb{R}^{n}$, $a$ constante, entonces $f'(t)=0$ Solución. $$f'(t)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h) – f(t)}{h}= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a-a}{h} = 0.~~ \blacksquare$$ Ejercicio. Prueba lo siguiente: Si $f(t)=ah(t)$ entonces $f'(t)=ah'(t)$ Solución. \[\begin{array}{ll} f'(t) & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h) – f(t)}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{ah(t+h t) – ah(t)}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} a \lim_{h \rightarrow 0}\frac{h(t+h) – h(t)}{h}\\ \ \ & = ah'(t).~~ \blacksquare \end{array}\] Ejercicio. Demuestre lo siguiente: Si $f(t)$ y $g(t)$ son funciones vectoriales, entonces $(f+g)'(t)=f'(t)+g'(t)$ Solución \[\begin{array}{ll} (f+g)'(t) & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f+g(t+h) – [f+g(t)]}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h)+g(t+h) – f(t)-g(t)}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h) – f(t)}{h} + \frac{g(t+h) – g(t)}{h}\\ \ \ & = f'(t)+g'(t).~~ \blacksquare \end{array}\] Ejercicio. Pruebe lo siguiente: $(f\cdot g)'(t)=f(t)\cdot g'(t)+f'(t)\cdot g(t)$ Solución. \[\begin{array}{ll} (f\cdot g(t))’& = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h)\cdot g(t+h) – f(t)\cdot g(t)}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h)\cdot[g(t+h) – g(t)] +[f(t+h)-f(t)]\cdot g(t)}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h)\cdot[g(t+h) – g(t)]}{h} + \frac{[f(t+h) – f(t)]\cdot g(t)}{h}\\ \ \ & = f(t)\cdot g'(t)+f'(t)\cdot g(t).~ \blacksquare \end{array}\] $\fbox{$(f \times g)'(t)=f(t)\times g'(t)+f'(t)\times g(t)$}$ Solución. \[\begin{array}{ll} (f\times g(t))’& = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h)\times g(t+h) – f(t)\times g(t)}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h)\times [g(t+h) – g(t)] +[f(t+h)-f(t)]\times g(t)}{h}\\ \ \ & = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(t+h)\times [g(t+h) – g(t)]}{h} + \frac{[f(t+h) – f(t)]\times g(t)}{h}\\ \ \ & = f(t)\times g'(t)+f'(t)\times g(t).~~ \blacksquare \end{array}\] Ejemplo. Dadas las funciones vectoriales \begin{align*} r(t)&=(6t+8)i+(4t^{2}+2t-3)j+5tk\\ u(t&)=(t^{2}-3)i+(2t+4)j+(t^{3}-3t)k \end{align*} calcule cada una de las siguientes derivadas usando las propiedades de la derivada de funciones vectoriales. $$\displaystyle{\frac{d}{dt}[r(t)\cdot u(t)]}$$ $$\displaystyle{\frac{d}{dt}[u(t)\times u'(t)]}$$ En este caso tenemos que $r'(t)=6i+(8t+2)j+5k$ y $u'(t)=2ti+2j+(3t^{2}-3)k$. Por tanto \begin{align*} \frac{d}{dt}[r(t)\cdot u(t)]&=r'(t)\cdot u(t)+r(t)\cdot u'(t) \\ &=(6i+(8t+2)j+5k)\cdot((t^{2}-3)i+(2t+4)j+(t^{3}-3t)k) \\ &+((6t+8)i+(4t^{2}+2t-3)j+5tk)\cdot(2ti+2j+(3t^{2}-3)k) \\ &=6(t^{2}-3)+(8t+2)(2t+4)+5(t^{3}-3t) \\ &+2t(6t+8)+2(4t^{2}+2t-3)+5t(3t^{2}-3) \\ &=20t^{3}+42t^{2}+26t-16. \end{align*} Primero, necesitamos adaptar la propiedad correspondiente para este problema: $$\frac{d}{dt}[u(t)\times u'(t)]=u'(t)\times u'(t)+u(t)\times u^{\prime\prime}(t)$$ Recuerda que el producto cruz de cualquier vector consigo mismo es cero. Además, $u^{\prime\prime}(t)$ representa la segunda derivada de $u(t)$: $$u^{\prime\prime}(t)=\frac{d}{dt}[u'(t)]=\frac{d}{t}[2ti+2j+(3t^{2}-3)k]=2i+6tk$$ Por lo tanto \begin{align*} \frac{d}{dt}[u(t)\times u'(t)]&=0+((t^{2}-3)i+(2t+4)j+(t^{3}-3t)k)\times (2i+6tk) \\ &=\left|\begin{matrix}i&j&k\\t^{2}-3&2t+4&t^{3}-3t\\2&0&6t\end{matrix}\right| \\ &=6t(2t+4)i-(6t(t^{2}-3)-2(t^{3}-3t))j-2(2t+4)k \\ &=(12t^{2}+24t)i+(12t-4t^{3})j-(4t+8)k.~ \blacksquare \end{align*}
Integrales de funciones con valores vectoriales
Introdujimos antiderivadas de funciones con valores reales en Antiderivadas e integrales definidas de funciones de valor real. Cada uno de estos conceptos se puede extender a funciones con valores vectoriales. Además, así como podemos calcular la derivada de un valor vectorial diferenciando las funciones componentes por separado, podemos calcular la antiderivada de la misma manera. Además, el Teorema Fundamental del Cálculo se aplica también a las funciones vectoriales. La antiderivada de una función vectorial aparece en las aplicaciones. Por ejemplo, si una función con valores vectoriales representa la velocidad de un objeto en el tiempo t, entonces su antiderivada representa la posición. O, si la función representa la aceleración del objeto en un momento dado, entonces la antiderivada representa su velocidad. Sean $f_{1}(t),…,f_{n}(t)$ funciones de variable real sobre un intervalo $[a,b]$. La integral indefinida de una función vectorial $r(t)=(f_{1}(t), \ldots,f_{n}(t))$ es $$\boxed{\int~r(t)~dt=\int[(f_{1}(t), \ldots,f_{n}(t))]=\left[\int~f_{1}(t)~dt,~\int~f_{2}(t)~dt,…,\int~f_{n}(t)~dt\right]}$$ La integral definida de una función vectorial es $$\boxed{\int_{a}^{b}~r(t)~dt=\int_{a}^{b}[(f_{1}(t), \ldots,f_{n}(t))]=\left[\int_{a}^{b}~f_{1}(t)~dt,~\int_{a}^{b}~f_{2}(t)~dt,…,\int_{a}^{b}~f_{n}(t)~dt\right]}$$ La integral existe siempre que cada una de las integrales $\displaystyle\int_{a}^{b}f_{i}(t)~dt$ con $i=1,\ldots,n$ existe. En particular, si $f_{i}$ es continua sobre $[a,b]$ entonces $\displaystyle\int_{a}^{b}f_{i}(t)~dt$ existe. Dado que la integral indefinida de una función con valores vectoriales implica integrales indefinidas de las funciones componentes, cada una de estas integrales de componentes contienen una constante de integración. Todas pueden ser diferentes. Por ejemplo en el caso, en dos dimensiones, podemos tener $$\int~r_{1}(t)~dt=F(t)+C_{1}~~y~~\int~r_{3}(t)~dt=G(t)+C_{2}$$ donde F y G son antiderivadas de $r_{1}(t)$ y $r_{2}(t)$, respectivamente. Entonces \begin{align*} \int[r_{1}(t)+r_{2}(t)]~dt & =\left[\int~r_{1}(t)~dt\right]+\left[\int~r_{2}(t)~dt\right] \\ & =(F(t)+C_{1})+(G(t)+C_{2}) \\ & =F(t)+G(t)+C_{1}+C_{2} \\ & =F(t)+G(t)+C \end{align*} donde $C=C_{1}i+C_{2}j$. Por lo tanto, la constante de integración se convierte en un vector constante. Ejemplo. Calcula cada una de las siguientes integrales: \begin{align*} (a)&~\displaystyle{\int~[(3t^{2}+2t)i+(3t-6)j+(6t^{3}+5t^{2}-4)k]~dt}\\ (b)&~\displaystyle{\int~[(t,t^{2},t^{3})\times(t^{3},t^{2},t)]~dt}\\ (c)&~\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~[\sin(2t)i+\tan(t)j+e^{-2t}k]~dt} \end{align*} (a) En este caso usamos la primera parte de la definición de la integral de una curva espacial: \begin{align*} \int~[(3t^{2}+2t)i+(3t-6)j+(6t^{3}+5t^{2}-4)k]~dt&=\left[\int~(3t^{2}+2t)~dt\right]i+\left[\int~(3t-6)~dt\right]j \\ &+\left[\int~(6t^{3}+5t^{2}-4)~dt\right]k\\ &=\left(t^{3}+t^{2}\right)i+\left(\frac{3}{2}t^{2}-6t\right)j+\left(\frac{3}{2}t^{4}+\frac{5}{3}t^{3}-4t\right)k+C \end{align*} (b) En este caso primero calcula $(t,t^{2},t^{3})\times (t^{3},t^{2},t)$ \begin{align*} (t,t^{2},t^{3})\times (t^{3},t^{2},t) & =\left|\begin{matrix}i&j&k\\t&t^{2}&t^{3}\\t^{3}&t^{2}&t\end{matrix}\right| \\ &=\left(t^{2}(t)-t^{3}(t^{2})\right)i-\left(t^{2}-t^{3}(t^{3})\right)j+\left(t(t^{2})-t^{2}(t^{3})\right)k \\ & =\left(t^{3}-t^{5}\right)i+\left(t^{6}-t^{2}\right)j+\left(t^{3}-t^{5}\right)k \end{align*} A continuación, sustituya esto de nuevo en la integral e integre: \begin{align*} \int~[(t,t^{2},t^{3})\times(t^{3},t^{2},t)]~dt&=\int~\left(t^{3}-t^{5}\right)i+\left(t^{6}-t^{2}\right)j+\left(t^{3}-t^{5}\right)k~dt \\ &=\left(\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{6}}{6}\right)i+\left(\frac{t^{7}}{7}-\frac{t^{3}}{3}\right)j+\left(\frac{t^{4}}{4}-\frac{t^{6}}{6}\right)k+C \end{align*} (c) En este caso utilice la definición de la integral de una curva espacial: \begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~[\sin(2t)i+\tan(t)j+e^{-2t}k]~dt&=\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~\sin(2t)~dt\right]i+\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~\tan(t)~dt\right]j+\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~e^{-2t}~dt\right]k \\ &=\left(-\frac{1}{2}\cos(2t)\right)\Big{|}{0}^{\frac{\pi}{3}}i-\left(\ln(\cos(t))\right)\Big{|}{0}^{\frac{\pi}{3}}j-\left(\frac{1}{2}e^{-2t}\right)\Big{|}_{0}^{\frac{\pi}{3}}k \\ &=\left(-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2}\cos(0)\right)i-(\ln\left(\cos\frac{\pi}{3}\right)-\ln(\cos(0)))j \\ &-\left(\frac{1}{2}e^{-\frac{2pi}{3}}-\frac{1}{2}e^{-2(0)}\right)k\\ &=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)i-(-\ln(2))j-\left(\frac{1}{2}e^{-\frac{2\pi}{3}}-\frac{1}{2}\right)k\\ &=\frac{3}{4}i+(\ln(2))j+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-\frac{2\pi}{3}}\right)k.~~ \blacksquare \end{align*} Teorema. Si $f=(f_{1}, \ldots, f_{n})$ es continua sobre un intervalo $I$ y $a\,\epsilon\,I$ entonces: $$\frac{d\displaystyle\int_{a}^{t}f}{dt}=f(t) \quad \forall \quad t\,\epsilon\,I$$ Demostración. En este caso se obtiene por la aplicación del primer teorema fundamental del cálculo a cada una de las funciones componentes \begin{align*} \int_{a}^{t}f(t)~dt&=\left(\int_{a}^{t}f_{1}(t)~dt, \ldots,\int_{a}^{t}f_{n}(t)~dt\right) \\ &=\left(\frac{d}{dt}\int_{a}^{t}f_{1}(t)~dt,ldots,\frac{d}{dt}\int_{a}^{t}f_{n}(t)~dt\right) \\ &=(f_{1}(t), \ldots , f_{n}(t)) \\ &= f(t).~~ \blacksquare \end{align*} Teorema. Si $f(t)=(f_{1}(t), \ldots, f_{n}(t))$ tiene derivada continua sobre un intervalo $I$, entonces $\forall~~ a,b\,\in I,~~\displaystyle\int_{a}^{b}f'(t)=f(b)-f(a)$ Demostración. \begin{align*} \int_{a}^{b}f’& =\int_{a}^{b}(f’_{1}, \ldots,f’_{n}) \\ & =\left( \displaystyle\int_{a}^{t}f’_{1}, \ldots, \displaystyle\int{a}^{t}f’_{n}\right) \\ & = \left( f_{1}(b)-f_{1}(a), \ldots,f_{n}(b)-f_{n}(a)\right)\\ & = f(b)-f(a).~~ \blacksquare \end{align*} Ejemplo. Si $f(t)=(f_{1}(t),f_{2}(t),…,f_{n}(t))$ es integrable en $[a,b]$, para todo vector $C=(c_{1},c_{2},…,c_{n})$ entonces el producto escalar $C\cdot F$ es integrable en $[a,b]$ y $$C\cdot \int_{a}^{b} f(t)dt= \int_{a}^{b}C\cdot f(t)dt$$ En efecto tenemos que \begin{align*} C\cdot \int_{a}^{b} f(t)dt&=(c_{1},c_{2},…,c_{n})\cdot\left(\int_{a}^{b} f_{1}(t)dt,\int_{a}^{b} f_{2}(t)dt,…,\int_{a}^{b} f_{n}(t)dt\right) \\ &=\left(c_{1}\cdot\int_{a}^{b} f_{1}(t)dt+c_{2}\cdot\int_{a}^{b} f_{2}(t)dt+…+c_{n}\cdot\int_{a}^{b} f_{n}(t)dt\right) \\ &=\left(\int_{a}^{b}c_{1}\cdot f_{1}(t)dt+,\int_{a}^{b} c_{2}\cdot f_{2}(t)dt+…+\int_{a}^{b}c_{n}\cdot f_{n}(t)dt\right) \\ &=\int_{a}^{b}C\cdot f(t) dt.~~ \blacksquare \end{align*}
Ahora echemos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Esto es importante de entender para estudiar el cálculo de funciones vectoriales.
Definición. Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ una función vectorial definida para todos los valores de $t$ en alguna vecindad de un punto $t_0$, excepto quiza en $t_0$. Entonces se dice que el límite de la función f cuando $t$ se acerca a $t_0$ es $L\in\mathbb{R}^{n}$ y se expresa como \[ \lim_{t\rightarrow t_0} f(t)=L \] si y solo si $\forall$ $\epsilon>0$ $\exists ~\delta~>~0$ tal que $|f(t)-L|~<~\epsilon$, siempre que $|t-t_0|<\delta$
Teorema. Si $f:I\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n$ es una función vectorial, entonces \[ \lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=L=(l_1,\cdots,l_n)\in \mathbb{R}^n\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \lim_{t\rightarrow t_0}x_i(t)=l_i~~\forall~i=1,…,n \] Donde $f(t)=(x_1(t),\cdots,x_n(t))$
Demostración. Si \[ \lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=L \] entonces $\forall$ $\epsilon>0$ $\exists$ $\delta>0$ tal que si $0<|t-t_0|<\delta$, entonces $|f(t)-L|<\epsilon$. Pero como \[ |f(t)-L|=|x_1(t)-l_1,\cdots,x_n(t)-l_n|= \left(\sum_{i=1}^n(x_i(t)-l_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}<\epsilon \] se tiene que \[ |x_i(t)-l_i|\leq\left(\sum_{i=1}^n(x_i(t)-l_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}<\epsilon \] Por lo tanto dado $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $0<|t-t_0|<\delta\Rightarrow|x_i(t)-l_i|<\epsilon$ por lo tanto \[ \lim_{t\rightarrow t_0}x_i(t)=l_i \] Reciprocamente supongamos ahora que \[ \lim_{t\rightarrow t_0}x_i(t)=l_i\ \ \ \ \ i=1,\cdots,n. \] Esto quiere decir que $\forall$ $\epsilon_i>0$ $\exists$ $\delta_i>0$ tal que $0<|t-t_0|<\delta_i\Rightarrow|x_i(t)-l_i|<\epsilon_i$.
Sea $\epsilon>0$ y sea $\displaystyle{\epsilon_i=\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}}$ tomamos $\delta=\textbf{min}(\delta_1,\cdots,\delta_n)$.
Para esta $\delta$ se tiene que si $0<|t-t_0|<\delta\Rightarrow|x_i(t)-l_i|<\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}$ $\forall$ $i=1,\cdots,n$, entonces \[ |f(t)-L|=\left(\sum_{i=1}^n(x_i(t)-l_i)^2\right)^\frac{1}{2}< \left(\sum_{i=1}^n\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}\right)^2\right)^\frac{1}{2}=\epsilon \] Por lo tanto \[ \lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=L~~ \blacksquare \]
Ejemplo. Se sabe que \[ \lim_{t\rightarrow 2} (t,t)=(2,2) \] Dado $\epsilon>0$, determine $\delta>0$ que verifique la validez del límite.
Tenemos que \[ \lim_{t\rightarrow 2}(t,t)=\left(\lim_{t\rightarrow 2}t, \lim_{t\rightarrow 2}t\right)=(2,2) \]
$\therefore$ Según la definición $$|(t,t)-(2,2)|=\sqrt{(t-2)^2+(t-2)^2}=\sqrt{2(t-2)^2}=\sqrt{2}|t-2|$$ $$\therefore \quad si\quad \sqrt{2}|t-2|<\epsilon$$ podemos definir a $\displaystyle{\delta=\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}}$.$~~ \blacksquare$
Ejemplo. Se sabe que \[ \lim_{t\rightarrow 2} (t,t^{3})=(2,8) \] Dado $\epsilon>0$, determine $\delta>0$ que verifique la validez del límite.
Tenemos que \[ \lim_{t\rightarrow 2}(t,t^{3})=\left(\lim_{t\rightarrow 2}t, \lim_{t\rightarrow 2}t^{3}\right)=(2,8) \] Ahora bien para $\displaystyle{\delta_{1}=\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}}$ se tiene $$0<|t-2|<\delta_{1}~\Rightarrow~|t-2|<\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$$
y para $\displaystyle{\delta_{2}=\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}}$ se tiene $$0<|t-2|<\delta_{2}~\Rightarrow~|t^{3}-8|<\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}$$ Por lo tanto si consideramos $\delta=min{\delta_{1},\delta_{2}}$ se tiene $$|(t,t^{3})-(2,8)|=\sqrt{(t-2)^2+(t^{3}-8)^2}<\sqrt{\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\epsilon}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{2\frac{\epsilon^{2}}{2}}=\epsilon$$ $$\therefore \lim_{t\rightarrow 2} (t,t^{3})=(2,8).~~ \blacksquare$$
Continuidad de Funciones Vectoriales
Ahora que sabemos cómo calcular el límite de una función vectorial, podemos definir la continuidad en un punto para tal función.
Definición. Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n$ una función vectorial. Se dice que $f$ es continua en $t_0$ si y solo si se cumple que \[ \lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=f(t_0) \]
Teorema. La función vectorial $f(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),…,x_{n}(t))$ es continua en $t_0$ si y solo si $x_{1},x_{2},…,x_{n}$ son continuas en $t_0$.
Demostración. Como $f(t)$ es continua en $t=t_{0}$, tenemos que se cumple $$\lim_{t\rightarrow t_{0}}f(t)=f(t_{0})$$ Por otro lado se tiene que $$\lim_{t\rightarrow t_{0}}f(t)=\lim_{t\rightarrow t_{0}}\left(x_{1}(t),x_{2}(t),…,x_{n}(t)\right)=\left(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{2}(t),…,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t)\right)$$ y como $f(t_{0})=(x_{1}(t_{0}),x_{2}(t_{0}),…,x_{n}(t_{0}))$ entonces $$\left(\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t),\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{2}(t),…,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t)\right)=(x_{1}(t_{0}),x_{2}(t_{0}),…,x_{n}(t_{0}))$$ $$\therefore \quad \lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{1}(t)=x_{1}(t_{0})\quad , \quad \lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{2}(t)=x_{2}(t_{0}),…,\lim_{t\rightarrow t_{0}}x_{n}(t)=x_{n}(t_{0})$$ $\therefore$ $x_{1}(t),x_{2}(t),…x_{n}(t)$ son continuas en $t=t_{0}$.$~~ \blacksquare$
Ejemplo. Definir la función \[ f(t)=\frac{\sin t}{t}\hat{i}+\cos (t) \hat{j} \] en $t=0$ de manera que $f(t)$ sea continua en $t=0$.
Tenemos que \[ \lim_{t\rightarrow 0}f(t)= \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}\hat{i}+\cos t \hat{j}= \hat{i}+\hat{j} \] Por lo tanto si definimos $f(0)=\hat{i}+\hat{j}$, entonces \[ \lim_{t\rightarrow t_0} f(t)=f(t_0).~~ \blacksquare \]
Teorema. Si f es continua en $A\subset \mathbb{R}$ entonces para toda sucesión $x_{k}$ en A tal que $x_{k}\rightarrow x_{0}$ se tiene que $f(x_{k})\rightarrow f(x_{0})$
Demostración. $\left(\textcolor{red}{\Rightarrow}\right)$ Supongamos que $x_{k}\rightarrow x$ para mostar que $f(x_{k})\rightarrow f(x)$ sea $\epsilon>0$ como f es continua en $x_{0}\in A$ se tiene que $$0<|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon$$ elegimos entonces $k>N$ tal que
$\left(\textcolor{red}{\Leftarrow}\right)$ Supongamos que para cada $x_{k}\in A$ tal que $x_{k}\rightarrow x$ se tiene que $|f(x_{k})-f(x)|<\epsilon$ y queremos demostrar que f es continua en $x_{0}$. Si $x_{k}\rightarrow x_{0}$ entonces $|x_{k}-x_{0}|<\epsilon$ si $k>N_{0}$ tomemos $\delta=\epsilon_{1}$ y tenemos que $$|x_{k}-x_{0}|<\epsilon_{1}\Rightarrow|x_{k}-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x_{k})-f(x_{0})|<\epsilon~~ \blacksquare$$
Más adelante
Ya que se definieron las funciones vectoriales y se abordó el tema límites y continuidad en estas, a continuación veremos el cálculo subyacente a este tipo de funciones como lo son la derivabilidad y la integrabilidad.
Tarea Moral
1.- Determina el siguiente límite:
\[ \lim_{ x \rightarrow 1}(\dfrac{x^2-1}{x-1}, \sqrt(x+8), \frac{sen\pi x}{ln x}) \]
2.- Analiza la continuidad de la siguiente función
Una función vectorial es una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ ó $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ de la forma $$f(t)=x(t)i+y(t)j~~\acute{o}~~f(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k$$ donde las funciones componentes $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$ son funciones de valor real del parámetro t. Las funciones con valores vectoriales son también escritas en forma $$f(t)=(x(t),y(t))~\acute{o}~f(t)=(x(t),y(t),z(t))$$ En ambos casos, la primera forma de la función define una función vectorial bidimensional; la segunda forma describe una función vectorial tridimensional.
En el siguiente applet desarrollado en Geogebra, podrás manipular un parametro d, dentro de un intervalo $[a,b]$, de tal manera que podrás observar como se va dibujando una curva en el plano.
De acuerdo al applet, el parámetro d puede estar entre dos números reales: $a \leq d \leq b$. Otra posibilidad es que el valor de d tome todos los numeros reales. Las funciones de los componentes en sí mismas pueden tener restricciones de dominio que imponen restricciones en el valor de t. A menudo usamos t como parámetro porque t puede representar el tiempo.
Las rectas en el plano, las podemos pensar como un conjunto definido de la siguiente forma: $$\ell=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~\Big{|}~ax+by+c=0\right\}$$ Si $a\neq 0$ entonces para cualquier $(x,y)\in\ell$ se tiene $$x=\frac{-c-by}{a}$$ Por tanto, a la pareja $(x,y)$ la podemos escribir como $$\left(\frac{-c-by}{a},y\right)$$ es decir, la podemos escribir en términos de una sola variable. Por lo que si consideramos la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $$f(t)=\left(\frac{-c-bt}{a},t\right)$$ se cumple que $f(t)=\ell$.
En efecto $$a\left(\frac{-c-bt}{a}\right)+bt+c=(-c-bt)+bt+c=0$$ con lo cual concluimos $f(t)\subset \ell$. Por otra parte, si $(x,y)\in\ell$, basta tomar $t=y$ para que se cumple $$f(y)=\left(\frac{-c-by}{a},y\right)=(x,y)$$ con lo que concluimos que $\ell\subset f(t)$ y por lo tanto $f(t)=\ell$.$~~\blacksquare$
Con un razonamiento similar se puede probar que la circunferencia con centro en el origen y radio r, se puede describir como el conjunto $$C_{r}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~\Big{|}~x^{2}+y^{2}=r^{2}\right\}$$ y dicho conjunto se puede obtener como la imagen de la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $$f(t)=(r\cos(t),r\sin(t)),~~t\in[0,2\pi].~~\blacksquare$$
Con un razonamiento similar se puede probar que la elipse, se puede describir como el conjunto $$E=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}~\Big{|}~\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\right\}$$ y dicho conjunto se puede obtener como la imagen de la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $$\boxed{f(t)=(a\cos(t),b\sin(t)),~~t\in[0,2\pi].}$$ $\blacksquare$
En general si un subconjunto $C\subset \mathbb{R}^{n}$ es tal que coincide con la imagen de una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, diremos que dicha función es una parametrización de C.
Definición. Sea $C\subset\mathbb{R}^{n}$. Si existe $\gamma=(\gamma_{1},\gamma_{2},…,\gamma_{n}):\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que $\gamma(I)=C$ decimos que $\gamma$ es una parametrización de C. En tal caso diremos que las ecuaciones \begin{align*} x_{1} & =\gamma_{1}(t) \\ x_{2} & =\gamma_{2}(t) \\ \vdots & =\vdots \\ x_{n} & =\gamma_{n}(t) \end{align*}
son unas ecuaciones paramétricas de C.
Ejemplo. Si $f$ es la función vectorial por $f(t)=(2\cos(t),2\sin(t))$ con $t\in[0,2\pi]$, tenemos entonces que $f$ asocia a cada número real $t$ en el intervalo $[0,2\pi]$, un par ordenado $(x,y)$ con $x=2\cos t$ y $y=2\sin t$, que son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia de radio 2 y centro en el origen. Asi pues la gráfica de $f$ es una circunferencia.
Cada una de las funciones vectoriales que se dan a continuación, define el mismo lugar geométrico o una parte de éste; sin embargo, el sentido, el punto de partida y la rapidez de recorrido así como la porción de la curva que se considera en cada caso varia. \begin{align*} f_{1}(t) &=(2\cos t, 2\sin t) \quad t\in[0,2\pi] \\ f_{2}(t) &=(2\cos t, 2\sin t) \quad t\in[0,\pi] \\ f_{3}(t) &=(2\cos 3t, 2\sin 3t) \quad t\in[0,2\pi] \\ f_{4}(t) &=(2\cos t, 2\sin t) \quad t\in[0,\pi] \\f_{5}(t) &=(2\cos t, 2\sin t) \quad t\in[0,6\pi] \\ f_{6}(t) &=(2\cos t, 2\sin t) \quad t\in[-\pi,\pi] \end{align*}
Para una función vectorial en $\mathbb{R}^{3}$ decimos que: Si $D$ es un conjunto de $\mathbb{R}$, entonces $f(t)$ es una función vectorial con dominio $D$ si y sólo si, para todo $t\,\epsilon\,D$ $$f(t)=x_{1}(t)i+x_{2}(t)j+x_{3}(t)k$$ donde $x_{1}(t),x_{2}(t)$ y $x_{3}(t)$ son funciones escalares con dominio $D$. $\blacksquare$
Ejemplo. Que representa la función vectorial cuyas ecuaciones parametricas son: $$f(t)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\frac{2t}{1+t^{2}}\right)$$
En este caso haciendo la sustitución $\displaystyle{t=\tan\left(\frac{u}{2}\right)}$ se tiene que
$$\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}=\frac{1-\tan^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{1+\tan^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}=\frac{1-\frac{\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}}{1+\frac{\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}}=\frac{\frac{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)-\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}}{\frac{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)+\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}}=\frac{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)-\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)+\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}=\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)-\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)$$ $$=\cos\left(\frac{2u}{2}\right)=\cos(u)$$ $$\frac{2t}{1+t^{2}}=\frac{2\tan\left(\frac{u}{2}\right)}{1+\tan^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}=2\frac{\frac{\sin\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos\left(\frac{u}{2}\right)}}{1+\frac{\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}}=2\frac{\frac{\sin\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos\left(\frac{u}{2}\right)}}{\frac{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)+\sin^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}{\cos^{2}\left(\frac{u}{2}\right)}}=2\sin\left(\frac{u}{2}\right)\cos\left(\frac{u}{2}\right)=\sin\left(\frac{2u}{2}\right)=\sin(u)$$ donde $u\in[0,\pi]$. Al ser $$\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2t}{1+t^{2}}\right)^{2}=\cos^{2}(u)+\sin^{2}(u)=1$$ se trata de una circunferencia de radio 1 con centro en el origen. $\blacksquare$
Ejemplo.Parametrización de la curva Cicloide.
Supongamos que un círculo de radio a rueda sin deslizarse a lo largo de una línea recta horizontal. Encuentre la curva descrita por un punto fijo P de su circunferencia.
Sea t el ángulo en radianes, que forma (la línea que contiene) el radio CP con la línea CR.
Nótese que $OR$ es justamente la longitud de arco RP que es igual a $at$, de modo que el punto C tiene coordenadas $C=(at,a)$. Si $(x(t),y(t))$ denotan las coordenadas del punto p, se tiene
$$x(t)=at+a\sin(t)$$
$$y(t)=a+a\cos(t)$$
Por lo que la cicloide se puede representar por la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $$f(t)=(at+a\sin(t),a+a\cos(t))$$ Si se despeja la variable t en la ecuación paramétrica, se obtendrá la forma cartesiana: $$x=a\arcsin\left(\frac{y}{a}-1\right)+\left(y-a\right)$$. $\blacksquare$ Ejemplo. Parametrización de la curva Epicicloide. Supongamos que un círculo de radio a rueda sin deslizarse sobre una circunferencia. Encuentre la curva descrita por un punto fijo P de su circunferencia.
De acuerdo a la siguiente figura
\begin{align*}\cos(\theta) & =\frac{x_{c1}}{a+b}&\Rightarrow~x_{c1}=(a+b)\cos(\theta) \\sin(\theta) & =\frac{y_{c1}}{a+b}&\Rightarrow~y_{c1}=(a+b)\sin(\theta)\end{align*} También se tiene que el arco de circulo $C_{1}PB$ es igual al arco de circulo $C_{2}AB$ esto es $$a\theta=b\phi~\Rightarrow~\frac{a}{b}\theta=\phi$$ Ahora de acuerdo a la figura
$$\theta+\phi-\beta=\pi~\Rightarrow~\beta=\theta+\phi-\pi$$ Por lo que \begin{align*} P\in C_{1} &~\Leftrightarrow~P\in (b\cos(\beta),b\sin(\beta)) \\ &~\Leftrightarrow~P\in (b\cos(\theta+\phi-\pi),b\sin(\theta+\phi-\pi)) \\ &~\Leftrightarrow~P\in (-b\cos(\theta+\phi),-b\sin(\theta+\phi)) \end{align*} Utilizando todo lo anterior \begin{align*} x & =\left((a+b)\cos(\theta)-b\cos(\theta+\phi)\right) \\ y & =\left((a+b)\sin(\theta)-b\sin(\theta+\phi)\right) \end{align*} Como $\displaystyle{\frac{a}{b}\theta=\phi}$ tenemos \begin{align*} x & =\left((a+b)\cos(\theta)-b\cos\left(\theta+\frac{a}{b}\theta\right)\right) \\ y & =\left((a+b)\sin(\theta)-b\sin\left(\theta+\frac{a}{b}\theta\right)\right) \end{align*} Por lo que la Epicicloide se puede representar por la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $$f(\theta)=\left((a+b)\cos(\theta)-b\cos\left(\theta+\frac{a}{b}\theta\right),(a+b)\sin(\theta)-b\sin\left(\theta+\frac{a}{b}\theta\right)\right)$$ $\blacksquare$ Ejemplo. Parametrización de la curva Hipocicloide. Una curva hipocicloide es la trayectoria descrita por un punto P situado sobre una circunferencia que rueda sin deslizar por el interior de otra circunferencia.
De acuerdo a la siguiente figura se tiene
\begin{align*} \cos(\theta) & =\frac{x}{a-b}&\Rightarrow~x=(a-b)\cos(\theta) \\sin(\theta) & =\frac{y}{a-b}&\Rightarrow~y=(a-b)\sin(\theta) \end{align*} También se tiene que el arco de circulo $C_{1}PB$ es igual al arco de circulo $C_{2}AB$ esto es $$a\theta=b\phi~\Rightarrow~\frac{a}{b}\theta=\phi$$ Ahora de acuerdo a la figura
$$\phi-\theta=\frac{a}{b}\theta-\theta$$ Utilizando todo lo anterior \begin{align*} x & =\left((a-b)\cos(\theta)+b\cos(\phi-\theta)\right) \ y & =\left((a+b)\sin(\theta)-b\sin(\phi-\theta)\right) \end{align*} Como $\displaystyle{\frac{a}{b}\theta=\phi}$ tenemos \begin{align*} x & =\left((a-b)\cos(\theta)+b\cos\left(\frac{a}{b}\theta-\theta\right)\right) \ y & =\left((a+b)\sin(\theta)-b\sin\left(\frac{a}{b}\theta-\theta\right)\right) \end{align*} Por lo que la Epicicloide se puede representar por la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ dada por $$f(\theta)=\left((a-b)\cos(\theta)+b\cos\left(\frac{a}{b}\theta-\theta\right),(a-b)\sin(\theta)-b\sin\left(\frac{a}{b}\theta-\theta\right)\right)$$. $\blacksquare$
Supongamos el espacio tridimensional $\mathbb{R}^{3}$ dotado del sistema de coordenadas $(x,y,z)$. Una curva C parametrizada en este espacio es la representación gráfica de una función vectorial: $$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$$ donde t se denomina el parámetro de una curva, $t\in\mathbb{R}$. La estructura de la curva dependerá de las funciones $x(t), y(t)~ y~z(t)$. Ejemplo. Describa la curva definida por la función vectorial $r(t)=(1+t,2+5t,-1+6t)$.
En este caso las ecuaciones paramétricas correspondiente son, $x=1+t$, $y=2+5t$, $z=1+6t$ o sea $r(t)=(1,2,-1)+t(1,5,6)$ se trata de una recta que pasa por $(1,2,-1)$ y es paralela a $(1,5,6)$.$\blacksquare$
Ejemplo. Dibuje la curva cuya ecuación vectorial es $r(t)=2\cos ti+\sin tj+tk$. En este caso, las ecuaciones paramétricas para esta curva son, $x=2\cos t$, $y=\sin t$, $z=t$, por lo que $\displaystyle{x/2=\cos t}$ $\therefore$ $\qquad$ $\displaystyle{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+y^{2}=1}$ la curva se encuentra en el cilindro elíptico $\displaystyle{\left(\frac{x^{2}}{4}\right)^{2}+y^{2}=1}$. Ya que $z=t$ la curva forma una espiral ascendente alrededor del cilindro conforme $t$ se incrementa
Ejemplo. Halle una función vectorial que represente la curva de la intersección del cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ y el plano $y+z=2$. En este caso la figura muestra la forma en que se cruzan, el plano y el cilindro, así mismo la figura ilustra la curva de intersección.
La proyección $C$ sobre el plano $xy$ es el circulo $x^{2}+y^{2}=1$, $z=0$, que podemos parametrizar como $x=\cos t$, $y=\sin t$, $0\leq t \leq 2\pi$, con base en la ecuacion del plano, tenemos que $$z=2-y=2-\sin t$$ $\therefore~~~x=\cos t,~~y=\sin t,~~z=2-\sin t,~~~0\leq t \leq 2\pi$ $\therefore$ la ecuación vectorial correspondiente es $$r(t)=\cos ti+\sin tj+(2-\sin t)k \qquad 0\leq t \leq 2\pi$$ $\blacksquare$
Dominio de la Función Vectorial
El dominio de una función vectorial $r(t)$ es el conjunto de valores permitidos de t. Si $r(t)$ se define en términos de las funciones de las componentes y no se especifica explícitamente el dominio, entonces se sobreentiende que el dominio es la intersección de los dominios naturales de las funciones de las componentes, por lo que éste recibe el nombre de dominio natural de $r(t)$. Sea $f(t)=(x_{1}(t)),x_{2}(t)),…,x_{n}(t))~\in\mathbb{R}^{n}$ entonces el $\displaystyle{Dom_{f}=\bigcap_{i=1}^{n}x_{i}(t)}$
Ejemplo. Halle el dominio de la función vectorial $$f(t)=\left(t^{2},\sqrt{t-1},\sqrt{5-t}\right)$$
tenemos que \[Si\quad x_{1}(t)=t^{2}\quad entonces\quad \textit{Dom} (x_{1}(t))=\{\mathbb{R}\}\] \[Si\quad x_{2}(t)=\sqrt{t-1}\quad entonces\quad \textit{Dom} (x_{2}(t))=\{t\in\mathbb{R}~|~t\geq1\}\] \[Si\quad x_{3}(t)=\sqrt{5-t}\quad entonces\quad \textit{Dom} (x_{3}(t))=\{t\in\mathbb{R}~|~5\geq t\}\] Por lo tanto \[\textit{Dom} (f(t))=\bigcap{\textit{Dom} (x_{1}(t)),\textit{Dom} (x_{2}(t)),\textit{Dom} (x_{3}(t))}=\{t\in\mathbb{R}~|~1~\leq t~\leq 5\} \]. $\blacksquare$
Halle el dominio de la función vectorial $$f(t)=\left(Ln(t),\frac{t}{t-1},e^{-t}\right)$$
tenemos que \[Si\quad x_{1}(t)=Ln(t)\quad entonces\quad \textit{Dom} (x_{1}(t))=\{t\in\mathbb{R}|0<t\}\] \[Si\quad x_{2}(t)=\frac{t}{t-1}\quad entonces\quad \textit{Dom} (x_{2}(t))=\{t\in\mathbb{R}|1\neq t\}\] \[Si\quad x_{3}(t)=e^{-t}\quad entonces\quad \textit{Dom} (x_{3}(t))=\{\mathbb{R}\}\] Por lo tanto \[\textit{Dom} (f(t))=\bigcap{\textit{Dom} (x_{1}(t)),\textit{Dom} (x_{2}(t)),\textit{Dom} (x_{3}(t))}=\{t\in\mathbb{R}~|~0< t,\quad t\neq1\} \].$$\blacksquare$$
Graficar funciones con valores vectoriales
Recuerda que un vector plano consta de dos cantidades: dirección y magnitud. Dado cualquier punto en el plano (el punto inicial), si nos movemos en una dirección específica por una distancia específica, llegamos a un segundo punto. Esto representa el punto final de el vector. Calculamos las componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial a las coordenadas del punto terminal. Se considera que un vector está en posición estándar si el punto inicial se encuentra en el origen. Al graficar un valor vectorial, por lo general, representamos gráficamente los vectores en el dominio de la función en la posición estándar, porque hacerlo garantiza la unicidad de la gráfica. Esta convención se aplica también a las gráficas de funciones vectoriales tridimensionales. La gráfica de una función vectorial de la forma $r(t)=f(t)i+g(t)j$ consiste en el conjunto de todos $(t,r(t))$, y la ruta que traza se llama curva plana.
La gráfica de una función vectorial de la forma $r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k$ consiste en el conjunto de todos $(t, r(t))$, y el camino que traza se llama curva espacial.
Cualquier representación de una curva plana o una curva espacial utilizando un valor vectorial se denomina parametrización vectorial de la curva.
Ejemplo. Cree una gráfica de la siguiente funcion con valores vectoriales: $$r(t)=4\cos(t)i+3\sin(t)j,~~~0\leq t\leq 2\pi$$
Como con cualquier gráfico, comenzamos con una tabla de valores. Luego graficamos cada uno de los vectores en la segunda columna en posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva. Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen.
Ejemplo. Cree una gráfica de la siguiente funcion con valores vectoriales: $$r(t)=\cos(t)i+\sin(t)j+tk,~~~0\leq t\leq 4\pi$$
Realizamos el mismo procedimiento para una función vectorial tridimensional.
Los valores luego se repiten, excepto por el hecho de que el coeficiente de k siempre es creciente. Esta curva se llama hélice. Observe que si se elimina la componente k, entonces la función se convierte en $r(t)=\cos(t)i+\sin(t)j$, que es un círculo unitario centrado en el origen.
Operaciones con Funciones Vectoriales
Las operaciones usuales del algebra vectorial pueden aplicarse para combinar 2 funciones o una función vectorial con una función real.
Si $f$ y $g$ son funciones vectoriales y si $u$ es una función real, teniendo todas un dominio común, definimos nuevas funciones $F+G$, $uF$ y $F\cdot G$ mediante \begin{align*} (F+G)(t)&=F(t)+G(t)\\ u~F(t)&=u(t)~F(t)\\ (F\cdot G) (t)&= F(t)\cdot G(t)\\ (F\times G )(t)&=F(t)\times G(t)~si~F,G\in \mathbb{R}^{3} \end{align*}
Más adelante
Una vez definido el concepto de función vectorial vamos a aprender a calcular el límite de estas funciones. Cuando calculamos el límite de una sola variable basta que coincidan los límites laterales para saber que existe, pero cuando lo hacemos en más dimensiones tenemos más direcciones de aproximación.
Tarea moral
1.- Sobre la parte exterior de una circunferencia fija de radio a rueda (sin resbalar) otra circunferencia de radio b. Encuentre una función de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^{2}$ que describa el movimiento de un punto que se encuentre en la cicunferencia exterior.
2.- Sea $R \subset \mathbb{R}^{2}$ la recta cuya ecuación cartesiana es $ax+by+c=0$ (con $a^2+b^2>0$). Muestra que si $\overline{x_0}=(x_0,y_0)$ y $\overline{x_1}=(x_1,y_1)$ son dos puntos diferentes que pertenecen a $\mathbb{R}$ entonces la función $f(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^2}$ dada por $f(t)= \overline{x_0} +t( \overline{x_1}- \overline{x_0})$ es una parametrización de $R$
3.- Halla el dominio de la siguiente función vectorial $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R^3}$ donde $f(t)=(t^2, ln(t-2), \sqrt{4-t})$
4.- Dadas las funciones vectoriales $f(t)=(1+t,t^2)$, $g(t)=(t, t^3)$ halla $(fg)(t)$
5.- Crea la gráfica de la siguiente función vectorial $r(t)=(t^2-1)i+(2t-3)j$, $0 \leq t \leq 3$
Enlaces
En el siguiente enlace podrás conocer algunas curvas paramétricas famosas