Sea $f:{\mathbb{R}}^2⟶\mathbb{R}$

$$f(x,y)=\frac{y}{x}$$

Queremos saber:

• ¿En qué puntos $f$ tiene límite?
• ¿En qué puntos $f$ no tiene límite?
• ¿Cómo es la gráfica de $f$ ?

Analicemos diferentes cortes para poder responder estas preguntas.

1. Cortes paralelos al plano $yz$

$x=x_0$ constante.

$$f(x_0,y)={\displaystyle \frac{y}{x_0}}$$

Corte especial para $x=0$

para $x=x_0=0$

$$f(0,y)=0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $x_0$.

https://www.geogebra.org/classic/vaquauek

2. Cortes con el plano $x=1$

$z=f(1,y)={\displaystyle \frac{y}{1}}$

https://www.geogebra.org/classic/mt9rgkzj

3. Cortes paralelos al plano $xz$

$y=y_0$ constante.

$$f(x,y_0)=\frac{y_0}{x}$$

Corte especial para $y=0$

para $y=y_0=0$

$$f(x,0)=0$$

En la siguiente animación, puedes ver los cortes para diferentes valores de $y_0$.

https://www.geogebra.org/classic/cmppwys

Sea $\alpha :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ una curva parametrizada por longitud de arco. Y supongamos ${\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\ne \overrightarrow{0}.$

Sea $P=\alpha (s_0)$ y $Q=\alpha (s_1).$

Sea $m$ la mediatriz de $PQ$ y $n$ la recta normal a la curva en el punto $\alpha (s_0)$, la ecuación de $n$ es de la forma:

$$t⟶\overrightarrow{\alpha }(s_0)+t\overrightarrow{N}(s_0)$$

donde $\overrightarrow{N}(s_0)={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime \prime }(s_0)}{\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\Vert }}.$

Afirmación:

Cuando $s_1$ tiende a $s_0$ la recta $m$ se aproxima a la recta $n.$

$Q=\alpha (s_1)=(x(s_1),y(s_1))$

$P=\alpha (s_0)=(x(s_0),y(s_0))$

$R=$ punto medio $PQ=({\displaystyle \frac{x(s_0)+x(s_1)}{2}},{\displaystyle \frac{y(s_0)+y(s_1)}{2}})$

Vector de dirección de $m$ ortogonal a $PQ$

$$PQ=(–y(s_1)–y(s_0),x(s_1)–x(s_0))$$

La ecuación de $m$ es

$$(x–{\displaystyle \frac{x(s_0)+x(s_1)}{2}},y–{\displaystyle \frac{y(s_0)+y(s_1)}{2}})\cdot (x(s_1)–x(s_0),y(s_1)–y(s_0))=0$$

Fijamos $s_0$ y dividimos todo entre $s_1–s_0$

$$(x–{\displaystyle \frac{x(s_0)+x(s_1)}{2}},y–{\displaystyle \frac{y(s_0)+y(s_1)}{2}})\cdot ({\displaystyle \frac{x(s_1)–x(s_0)}{s_1–s_0}},{\displaystyle \frac{y(s_1)–y(s_0)}{s_1–s_0}})=0$$

Haciendo $s_1⟶s_0$

$$(x–x(s_0),y–y(s_0))\cdot (x^{\prime }(s_0),y^{\prime }(s_0))=0$$

donde esta última es la ecuación de $n.$

(1) Restringimos la búsqueda del centro de la circunferencia osculatriz a puntos en la recta normal a la curva en el punto $P=\alpha (s_0).$

Ecuación paramétrica de dicha recta

$$\{(x(s_0),y(s_0))+t(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))|t\in \mathbb{R}\}$$

Buscamos un valor de $t$ en especial. $t^{\ast }$ tal que está en la intersección de las dos rectas normales y es de la forma

$$(x(s_0),y(s_0))+t^{\ast }(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))=(x(s_1),y(s_1))+t^{\ast }(–y^{\prime }(s_1),x^{\prime }(s_1))$$

Veamos que pasa cuando $Q\to P$ es decir, cuando $s_1\to s_0$

$(x(s_0),y(s_0))=P$ fijo.

$(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))$ fijo.

solo varía $t$

¿Qué podemos decir de $t^{\ast }$ cuando $s_1\to s_0$

Para responder a esta pregunta usamos la ecuación anterior para tener una expresión más «amigable» de $t^{\ast }.$

Tratamos de despejar $t^{\ast }$ en función de $s_0$ y $s_1.$

(2) Despejar $t^{\ast }$

$$t^{\ast }(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))–t^{\ast }(–y^{\prime }(s_1),x^{\prime }(s_1))=(x(s_1),y(s_1))–(x(s_0),y(s_0))$$

$$t^{\ast }({\displaystyle \frac{y^{\prime }(s_1)–y^{\prime }(s_0)}{s_1–s_0}}),({\displaystyle \frac{(x^{\prime }(s_0)–x^{\prime }(s_1)}{s_1–s_0}})={\displaystyle \frac{(x(s_1)–x(s_0))}{s_1–s_0}}–{\displaystyle \frac{(y(s_1)–y(s_0))}{s_1–s_0}}$$

Tomando el límite cuando $s_1⟶s_0$, obtenemos que:

$\hat{t}(y^{\prime \prime }(s_0),–x^{\prime \prime }(s_0))=(x^{\prime }(s_0),y^{\prime }(s_0))$

Multiplicando por $(x^{\prime }(s_0),y^{\prime }(s_0))$

$$\hat{t}(x^{\prime }(s_0)y^{\prime \prime }(s_0)–y^{\prime }(s_0)x^{\prime \prime }(s_0))=1$$

Por lo tanto

$$\hat{t}={\displaystyle \frac{1}{(x^{\prime }(s_0)y^{\prime \prime }(s_0)–y^{\prime }(s_0)x^{\prime \prime }(s_0))}}$$

es el radio de la circunferencia osculatriz.

Sin pérdida de generalidad; si la curva está parametrizada de tal forma que ${\alpha }^{\prime \prime }(s_0)=(x^{\prime \prime }(s_0),y^{\prime \prime }(s_0))=\mathcal{K}(s_0)(–y^{\prime }(s_0),x^{\prime }(s_0))$ con $\mathcal{K}(s_0)>0.$

En tal caso, $\Vert {\alpha }^{\prime \prime }(s_0)\Vert =\mathcal{K}(s_0)$ es la curvatura.

$|\begin{array}{cc}{x}^{\prime }(s_0)& x^{\prime \prime }(s_0)\\ y^{\prime }(s_0)& y^{\prime \prime }(s_0)\end{array}|=x^{\prime }{y}^{\prime \prime }–y^{\prime }{x}^{\prime \prime }={\displaystyle \frac{1}{\mathcal{K}}}$

IMAGEN INTERACTIVA EN REVISIÓN

https://www.geogebra.org/classic/bppzcxq6

Sean:

$\alpha :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$

$\beta :I\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$

dos curvas tales que:

$\alpha (t_0)=\beta (t_0)=\overrightarrow{x_0}$;

${\alpha }^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}$ y

${\beta }^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}.$

Definimos el ángulo entre las curvas como el ángulo entre los vectores tangentes ${\alpha }^{\prime }(t_0)$ y ${\beta }^{\prime }(t_0)$

$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{{\alpha }^{\prime }(t_0)\cdot {\beta }^{\prime }(t_0)}{\Vert {\alpha }^{\prime }(t_0)\Vert \Vert {\beta }^{\prime }(t_0)\Vert }}$$

En esta imagen puedes observar un ejemplo.

Longitud de arco

Sea $\alpha :[a,b]\subset \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ continua.

Para cada partición del $[a,b]$, $t_0=a<t_1<t_2<\cdots <t_n=b$, podemos calcular los puntos $\alpha (t_i).$

Más aún, podemos calcular las longitudes de los segmentos de recta que unen puntos consecutivos de la partición y sumarlos, $$\sum _{i=1}^n\Vert \alpha (t_i)–\alpha (t_{i–1})\Vert =\mathcal{L}(C)$$

$\mathcal{L}(C)$ es la longitud de una trayectoria poligonal inscrita en una curva $C.$

Definimos la longitud de arco de $\alpha$ desde $\overrightarrow{p}=\alpha (a)$ hasta $\overrightarrow{q}=\alpha (b)$ como el supremo del conjunto de números

$$\{\sum _{i=1}^n\Vert \alpha (t_i)–\alpha (t_{i–1})\Vert ;t_0=a<t_1<t_2<\cdots <t_n=b\}$$

$$\mathcal{L}(\alpha ):=sup\{\mathcal{L}(C)\}$$

Observación:

ésta definición se extiende a espacios métricos $(\mathcal{X},d)$, con

$\alpha :I\subset \mathbb{R}\to \mathcal{X}$

$$\mathcal{L}(C)=\sum _{i=1}^{n}d(\alpha (t_{i-1}),\alpha (t_i))$$

$$\mathcal{L}(\alpha ):=sup\{\mathcal{L}(C)\}$$

Curvas parametrizadas

Sea $$\alpha (t)=(x(t),y(t),z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t),y(t),z(t))$ la posición en el espacio.

Es decir, para cada $t$ tenemos que:

$$t⟶(x(t),y(t),z(t))$$

Y la curva representa el camino que describe.

La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:

$${\alpha }^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$$

$${\alpha }^{\prime }(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{(\alpha (t_0–\mathrm{\Delta }t)–\alpha (t_0))}{\mathrm{\Delta }t}}$$

Y representa la velocidad instantánea.

La rapidez es $\Vert {\alpha }^{\prime }(t)\Vert .$

Además, la aceleración instantánea está dada por $${\alpha }^{\prime \prime }(t)$$

Movimiento rectilíneo uniforme

Dado el punto $\overrightarrow{p_0}(x_0,y_0,z_0)$ que representa la posición inicial.

El vector velocidad constante, está dado por $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3).$

Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$\alpha (t)=\overrightarrow{p_0}+\overrightarrow{v}(t)$$ $$\alpha (t)=(x_0,y_0,z_0)+t(v_1,v_2,v_3)$$ $$\alpha (t)=(x_0+t{v}_1,y_0+t{v}_2,z_0+t{v}_3)$$

La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t)=\alpha (t_0)+t{\alpha }^{\prime }(t_0)$$

Existe una recta tangente si ${\alpha }^{\prime }(t_0)\ne \overrightarrow{0}$.

Si ${\alpha }^{\prime }(t_0)=\overrightarrow{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t)=\overrightarrow{p_0}$ para toda $t.$

Los puntos donde ${\alpha }^{\prime }(t_0)=0$ son excepcionales.

$$

Haz click en la imagen para ver una animación de la parametrización.

Introducción

En este apartado se abordarán los orígenes que dieron lugar al nacimiento de las matemáticas financieras, las primeras operaciones en las que fueron utilizadas, la aparición del concepto de interés, la descripción de las variables y cómo fueron evolucionando a través de los años.

Muchas de las actividades que se realizan a diario y sobre todo las que tienen que ver con decisiones que involucra dinero, se llevan a cabo gracias al uso de la matemática, aunque en la gran mayoría de veces lo hagamos de forma inconsciente.

Y es que justamente la matemática, nos proporciona una gran cantidad de herramientas que nos permiten modelar, al mismo tiempo que nos otorgan información para tomar mejores decisiones cuando nos enfrentamos a algún problema de índole económico.

Historia

El origen del concepto de interés, se puede ubicar a lo largo de la historia, desde el momento en el que, el ser humano, comenzó ha prestar sus bienes o posesiones a otro; exigiendo que se le devuelve el bien o recurso inicial, más aparte una cantidad extra.

A lo largo de miles de años y en diversas culturas como la fenicia, hebrea, griega, egipcia y china, ha sido una práctica común y equitativa recibir una compensación cuando una persona presta un bien, servicio o una suma de dinero a otra persona. Esto nos lleva a pensar que en la idea de que se tiene que hacer un pago en agradecimiento a por haber hecho uso de un bien ajeno. Este pago de compensación, a menudo denominado interés, se fundamenta en el hecho de que el prestamista está cediendo temporalmente su propiedad a favor del prestatario. Durante este período, el prestamista se priva del uso de ese bien, lo que justifica recibir una recompensa que compense esta privación.

En el Siglo XVIII, Jeremy Bentham (1748-1832) formuló la teoría utilitarista, en la que planteaba que todo individuo que prestaba un bien, también sacrificaba la utilidad de que él mismo había podido darle si hubiera decidido conservarlo. De ésta idea surge, que es razonable que al finalizar el dicho préstamo, la persona que había sido beneficiada, otorgará una cantidad extra como por haberse privado de dicho bien o recurso.

Éstas ideas fueron adoptadas por los economistas del siglo XX, en particular por Irving Fisher, el cual desarrollo la teoría del interés, en la que plantea la razón de la exigencia de intereses en la devolución de cualquier préstamo, agregando que dicha compensación no solamente se basa en la utilidad del bien, sino que también agrego la cantidad de tiempo en que fue prestado. Es decir, no sólo tenían que ver aspectos cuantitativos, sino también temporales. Es Fisher quien comienza a introducir la noción de tasas de interés.

Definición interés

Entonces se puede definir al interés, como el pago o compensación que da una persona, a cambio de hacer uso de un bien o dinero, solicitado en calidad de préstamo, durante un cierto tiempo.

En la mayor parte de las operaciones financieras, son basada en hacer pagos por cierta cantidad de dinero, denominada interés, a cambio de hacer uso de dichos recursos económicos. En la mayoría de los bancos, muchos recursos surgen a partir de ésta idea que se acaba de mencionar, muchos de los ingresos que tienen los bancos son generados por el cobro de intereses que generan préstamos otorgados a los clientes.

Desde un punto de vista económico, el concepto de interés, se puede interpretar como el precio que tiene el dinero en el tiempo, es decir, es el costo que se tiene que pagar, por tener acceso de forma anticipada, a ésos recursos económicos.

Como se puede observar, se han citado varios ejemplos de actividades financieras, en las que se muestra, el hecho de pagar una cantidad de dinero, que se definió como interés, por hacer uso de una cantidad de dinero que no se tiene aún. En general todas la actividad financiera, están relacionadas con éste concepto, que tiene que ver con la cantidad de dinero que se produce en cierto tiempo, y que más adelante se le irán adjudicando diferentes conceptos relacionados, como por ejemplo, inversión, rendimiento, ganancias, etc.

El interés será denotado por la letra $I$, y para fines prácticos, se entenderá como la cantidad de dinero pagada, por haber hecho uso de una cantidad económica denominada como capital (mejor conocida como préstamo). Dicho capital será representado por la letra $K$. cuyo valor se irá incrementando de acuerdo con el valor que vaya adquiriendo $I$.

Como ya se menciono, el interés es el pago que se realiza por hacer uso del dinero. De la necesidad de tener una metodología para calcular los intereses es que comenzaron a surgir las matemáticas financieras. Podemos decir que toda operación financiera esta basada en el concepto de un préstamo, en el que hay como mínimo 2 personas involucradas el prestamista que entrega los recursos a un prestatario que es, quien recibe dicha cantidad de dinero, y que luego de haber transcurrido una cierta cantidad de tiempo, devuelve la cantidad recibida inicialmente más una cantidad por concepto de compensación.

Variables que intervienen en el concepto de interés

En una operación financiera, se entiende como interés a la diferencia que hay entre lo que se devuelve y lo que se presta. Para éstos efectos se enuncian a continuación las variables que intervienen en éste fenómeno.

1. $K=$ Es el capital inicial, o el dinero prestado
2. $M=$ Es el dinero final, o capital devuelto
3. $I=$ Interés

De tal forma que para conocer el valor de $I$ se hace lo siguiente:

$$I=M-K$$

En dicha ecuación que se acaba de citar, se muestra la relación que hay entre las variables de capital, monto e interés.

Hay algunas ocasiones en las que se va a requerir calcular cuál es el interés que se cobra por unidad de tiempo, concepto que nos conduce a definir lo que es una tasa de interés, misma que sera denotada por $i$.

En una operación financiera, la tasa de interés $i$, es la proporción que por unidad de capital y de tiempo, habrá de pagarse, por haber disfrutado de un préstamo.

Dicha tasa está dada en tanto por ciento, y siempre se debe especificar su temporalidad o periodicidad, con la cual se va a pagar.

Ejercicios resueltos

Ejercicio. Luis González hace un depósito en el banco por la cantidad de $20,000, luego de haber transcurrido 30 días, hay en su cuenta la cantidad de $23.500. ¿Cuánto es la cantidad de interés que le otorgo el banco?

Ejercicio. Una empresa solicita un préstamo a un banco, por la cantidad de $400,000, durante 5 años, al término de dicho tiempo, la empresa tiene que devolver la cantidad de $500,000. ¿Cuánto es el interés que ésta pagando?

Más adelante…

Se presentan los temas de interés simple, y de interés compuesto que complementarán los conceptos que en éste apartado fueron abordados, así como sus características y las reglas que los rigen.

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