Curvas parametrizadas
Sea $$ \alpha (t) = (x(t), y(t), z(t))$$ una curva, donde $t$ es el tiempo y $(x(t), y(t), z(t))$ la posición en el espacio.
Es decir, para cada $t$ tenemos que:
$$t \longrightarrow (x(t), y(t), z(t))$$
Y la curva representa el camino que describe.
La derivada de $\alpha (t)$ está dada por:
$$ {\alpha}’ (t) = ({x}'(t), {y}'(t), {z}'(t))$$
$${\alpha}’ (t) = \lim_{\Delta t \to \infty} \frac{(\alpha (t_0 \, – \, \Delta t) \, – \, \alpha (t_0))}{\Delta t} $$
Y representa la velocidad instantánea.
La rapidez es $\|{\alpha}’ (t) \|.$
Además, la aceleración instantánea está dada por $${{\alpha}’}’ (t)$$
Movimiento rectilíneo uniforme
Dado el punto $\vec{p_0} (x_0, y_0, z_0)$ que representa la posición inicial.
El vector velocidad constante, está dado por $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3).$
Por lo que, la curva que representa el camino que se describe es: $$ \alpha (t) = \vec{p_0} + \vec{v}(t)$$ $$ \alpha (t) = (x_0, y_0, z_0) +t(v_1, v_2, v_3)$$ $$ \alpha (t) = (x_0 + t v_1, y_0 + t v_2, z_0 + t v_3)$$
La ecuación de la recta tangente es: $$\beta (t) = \alpha (t_0) + t {\alpha}’ (t_0)$$
Existe una recta tangente si ${\alpha}’ (t_0) \neq \vec{0}$.
Si ${\alpha}’ (t_0) = \vec{0}$, estamos diciendo que la velocidad es $0$, es decir, no se mueve, y por tanto $\alpha (t) = \vec{p_0}$ para toda $t.$
Los puntos donde ${\alpha}’ (t_0) = 0$ son excepcionales pero, son especiales.
Ejemplo 1
Movimiento circular uniforme
Dada una circunferencia de radio $r > 0$ con centro en $(h, k)$, posición inicial $(x_0, y_0)$ y velocidad inicial $(x’_0, y’_0)$, analizamos diferentes casos para poder calcular su frecuencia, velocidad angular, periodo, amplitud y fase.
Caso sencillo
Radio $r = 1$
Centro $(h, k) = (0, 0)$
Posición inicial $(x_0, y_0) = (1, 0)$
Velocidad inicial $(x’_0, y’_0) = (0, 1)$
Entonces $\left\{ x(t) = \cos (t) \atop y(t) = \sin (t) \right.$
Tenemos que la rapidez unitaria es $\| {\alpha}’ (t)\| = 1.$
Si el periodo es $2\pi$ entonces, para toda $t$:
$\left\{ x(t + 2\pi) = x (t) \atop y(t + 2\pi) = y (t) \right.$
Por lo que $\vec{\alpha} (t) = \vec{\alpha} (t + 2\pi).$
¿Cómo serian las ecuaciones si el movimiento fuera de $\textcolor{Blue}{periodo \; 1}$?
$\left\{ x(t) = \cos (2\pi t) \atop y(t) = \sin (2\pi t) \right.$
Entonces para $t = 0$ la posición es $ (1, 0)$; y para $ t = 1$ la posición también es $(1, 0).$
Luego, la rapidez de $\left\{ x(t) = \cos (2\pi t) \atop y(t) = \sin (2\pi t) \right.$ es
$\left\{ x’ (t) = -2 \sin (2\pi t) \atop y’ (t) = 2 \cos (2\pi t) \right.$
Por lo que $\|(x’ (t), y'(t)) \| = \sqrt{(2 \pi)^2 (\cos^2 (2\pi t) + \sin^2 (2 \pi t))}$,
es decir que la rapidez es: $$\|(x’ (t), y'(t)) \| = 2 \pi $$
Para periodos $T > 0$
$\left\{ x(t) = \cos \left( \frac{2\pi t}{T} \right) \atop y(t) = \sin \left( \frac{2\pi t}{T} \right) \right.$
Entonces para $t = 0$ la posición es $ (1, 0)$; y para $ t = T$ la posición también es $(1, 0).$
¿Cómo serían las ecuaciones si recorremos la circunferencia en el sentido horario, con periodo $T = 2\pi$?
Entonces $\left\{ x(t) = \cos (t) \atop y(t) = – \sin (t) \right.$
Por lo que $(x'(0), y'(0)) = (0, -1).$
Si ahora cambiamos la posición inicial, digamos que $ \vec{p_0} = (x_0, y_0).$
Dado el punto $(x_0, y_0)$, existe un ángulo $\theta$ tal que:
$\left\{ x_0 = \cos (\theta_0) \atop y_0 = \sin (\theta_0) \right.$
Si $(x_0, y_0) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow \theta_0 = 45° = \frac{\pi}{4}$
Si $(x_0, y_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow \theta_0 = 60° = \frac{\pi}{3}$
Luego, para toda $t$ se tiene que:
$\left\{ x(t) = \cos (t + \theta_0) \atop y(t) = \sin (t + \theta_0) \right.$
Cumple que $(x(0), y(0)) = (\cos \theta_0, \sin \theta_0) = (x_0, y_0)$, es decir, en el instante $t_0 = 0$ la posición inicial es $(x_0, y_0).$
Si hubiéramos escrito
$\left\{ x(t) = \cos (t – \theta_0) \atop y(t) = \sin (t – \theta_0) \right.$
Entonces $\left\{ x(\theta_0) = 1 \atop y(\theta_0) = 0 \right.$ es decir, en el instante $t_0 = \theta_0$ la posición es $(1, 0).$
Observación:
Si escribimos $\left\{ x(t) = \cos ( – t) = cos (t) \atop y(t) = \sin ( – t) = – \sin (t) \right.$
entonces estamos recorriendo la circunferencia en sentido horario.
Ahora estudiemos el siguiente caso:
$\left\{ x(t) = \cos (w t ) \atop y(t) = \sin (w t ) \right.$
El periodo es $\frac{2 \pi}{T} = \omega \Rightarrow T = \frac{2 \pi}{\omega}.$
Otro caso:
Si tenemos las ecuaciones $\left\{ x(t) = A \cos (w t ) \atop y(t) = A \sin (w t ) \right.$
y $A = 2$ entonces las ecuaciones
$\left\{ x(t) = 2 \cos (w t ) \atop y(t) = 2 \sin (w t ) \right.$
representan una circunferencia de radio 2. $A$ se denomina amplitud.
Caso centro $(h, k)$
Si el centro está en el punto $(h, k)$, entonces:
$$\left\{ x(t) = A \cos (w t ) + h \atop y(t) = A \sin (w t ) + k \right.$$
Parametrización de elipses e hipérbolas
La elipse : $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$
se puede parametrizar como
$$\left\{ x = a \cos \theta \atop y = b \sin \theta \right.$$
ya que si elevamos al cuadrado ambas ecuaciones obtenemos que $$\left\{ x^2 = a^2 \cos^2 \theta \atop y^2 = b^2 \sin^2 \theta \right.$$ luego, despejando y sumando miembro a miembro observamos que $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$$ que es la ecuación de la elipse.
La hipérbola: $$x^2 – y^2 = 1$$
se puede parametrizar como
$$\left\{ x = \sec \theta \atop y = \tan \theta \right.$$
ya que si elevamos al cuadrado cada ecuación tenemos que $$\left\{ x^2 = \sec^2 \theta \atop y^2 = \tan^2 \theta \right.$$ luego, restándolas vemos que $$ x^2 – y^2 = \sec^2 \theta – \tan^2 \theta = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} – \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{1 – \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \dfrac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1 $$ obtenemos la ecuación de la hipérbola.
Otra manera de parametrizar la hipérbola es considerando
$$\left\{ x = \cosh \theta = \dfrac{e^t + e^{-t}}{2} \atop y = \sinh \theta = \dfrac{e^t – e^{-t}}{2}\right.$$
$$ x^2 – y^2 = \cosh^2 \theta – \sinh^2 \theta = 1$$
Longitud de arco
Consideramos una curva parametrizada $$\alpha : [a, b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$$ $$\alpha (t) =(x(t), y(t))$$
Sean $P = \alpha (a)$
y $Q = \alpha (b)$
¿Cuál es la longitud de arco desde $P$ hasta $Q$?
- Aproximemos la longitud de la curva como suma de segmentos de recta.
Dibujo A
$\sum\limits_{i = 1}^n \|\alpha (t_i) – \alpha (t) \|$ con la partición $ a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$
Nos preguntamos si hay un teorema del valor medio. Es decir, existe $\rho \in (a, b)$ tal que $$f(\rho) = \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a}$$
Entonces existe $\rho \in (a, b)$ tal que $$\overrightarrow{\alpha}(\rho) = \dfrac{\overrightarrow{\alpha}(b) – \overrightarrow{\alpha}(a)}{b – a} $$
Si así fuera, entonces $$\| {\alpha}'(\rho) \| = \dfrac{\| \overrightarrow{\alpha}(b) – \overrightarrow{\alpha}(a) \|}{b – a} = \sum\limits_{i = 1}^n \| {\alpha}'(\rho) \| (t_i – t_{i – n}) $$
$$ \int\limits_a^b \| {\alpha}'(t) \| dt $$ es la longitud de arco desde $P$ hasta $Q.$
CASO CIRCUNFERENCIA
Para $\omega = 1.$
$x (t) = A \cos (t) + h$
$y (t) = A \sin (t) + k$
Derivando
$x’ (t) = – A \sin (t) \Longrightarrow (x’)^2 (t) = A^2 \sin^2 (t)$
$y’ (t) = A \cos (t) \Longrightarrow (y’)^2 (t) = A^2 \cos^2 (t) $
Sumando ambas igualdades
$(x’)^2 + (y’)^2 = A^2$ por lo que $\| {\alpha}'(t) \| = A.$
Si $P = \alpha (\theta_0)$ y $Q = \alpha (\theta_1)$, entonces
$$ \int\limits_{\theta_0}^{\theta_1} A \, dt = A (\theta_1 – \, \theta_0) = \text{radio } \Delta \theta $$
Una parametrización de una curva en coordenadas polares
Sea $r = f (\theta) $ donde a cada $t$ le corresponde $\omega t = \theta$ entonces $$(f(\theta), \theta) = (r, \theta)$$ coordenadas polares.
Donde $\theta = \omega t$ y $ r = f( \omega t)$, que en coordenadas polares es:
$x (t) = f (\omega t) \cos (\omega t)$
$y (t) = f (\omega t) \sin (\omega t)$
Si $\omega = 1$ entonces $\overrightarrow{\alpha} (t) = (x(t), y(t)) = x (t) \vec{e_1} + y (t) \vec{e_2} = r (t) \overrightarrow{\beta} (t)$, donde $\beta (t) = (\cos \theta (t), \sin \theta (t))$
En este caso, ¿cómo calculamos la velocidad?
$x’ (t) = \dfrac{d}{dt} (f(\omega t) \cos (\omega t)) = \omega f'(\omega t) \cos (\omega t) – \sin (\omega t) f(\omega t) \omega$
$y’ (t) = \dfrac{d}{dt} (f(\omega t) \sin (\omega t)) = \omega f'(\omega t) \sin (\omega t) + \cos (\omega t) f (\omega t) \omega$
Luego,
$(x’, y’) = ( \omega f'(\omega t) \cos (\omega t) – \sin (\omega t) f(\omega t) \omega , \omega f'(\omega t) \sin (\omega t) + \cos (\omega t) f(\omega t) \omega )$
$(x’, y’) = \omega f'(\omega t) (\cos (\omega t) , \sin (\omega t) + \omega f(\omega t) ( -\sin (\omega t) , \cos (\omega t)
$\overrightarrow{\alpha}’ (t) = r’ (t) \overrightarrow{\beta} (t) + r (t) \overrightarrow{\beta}’ (t)$
$\beta$, $\beta’$ son una base.
$\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$ son otra base.
Luego, $\alpha’ (t) = x’ (t) \vec{e_1} + y’ (t) \vec{e_2}.$