Este apartado se presentara el concepto de tasa efectiva de interés, sus características y la forma en que se puede aplicar, tanto al modelo de interés simple como al compuesto, para evidenciar su uso.
Definición
Se entiende como tasa efectiva de interés o también tasa efectiva por periodo, a la proporción de intereses ganados por unidad de capital de tiempo. El llamarla efectivo mensual o efectiva, dentro de las matemáticas financieras, para especificar la tasa de la que se está hablando, esto es la tasa que corresponde a la que se pagará por unidad de capital y de tiempo.
Desarrollo
La periodicidad de la tasa es la que nos va a indicar cada cuando se tienen que pagar los intereses. Éstos pueden ser pagados con la periodicidad que se desee, esto es; en años, meses, días, semanas, etc. Bastará con hacer mención que la tasa es efectiva por día, por semana, por mes, etc. Es necesario hacer mención que la tasa de interés siempre tendrá que contar con el lapso o periodicidad con la que se esté trabajando, ya que con esto se da a conocer cada cuando se harán los pagos de los intereses.
El hecho de que éste tipo de tasas se les agregue la palabra «efectiva» hace posible que se eviten confusiones con otro tipo de tasas, como las nominales, las instantáneas, las cuales se verán más adelante.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. En el modelo de interés simple se nos pide que se calcule Los intereses generados por un capital de \$100 con una tasa efectiva mensual del 15% en un plazo de 5 meses
Solución
La respuesta se obtiene aplicando el modelo de interés simple, como a continuación se muestra:
$$M=K(1+it)=100(1+.15(5))=175$$
Los intereses generado son de: \$75
Ejercicio. Haciendo uso del modelo de interés simple, calcula los intereses generados por una tasa efectiva trimestral de 22%, en un plazo de 10 meses con un capital de \$500
Solución
Se sabe que un en 10 meses se tienen 3 trimestres, por lo que $t=3+.333=3.333$
Repitiendo el mismo procedimiento, se tiene:
$$M=500(1+(.22)(3.3333))=536.663$$
Los intereses generados son de \$36.663
Ejercicio. Usando el modelo de interés compuesto calcula los intereses generados por una tasa efectiva anual del 6.5%, luego de 2 años 6 meses, con un monto de \$300.
Solución
La tasa es efectiva anual, entonces el tiempo es de 2.5 años. Luego usando el modelo de interés compuesto se tiene:
Los intereses que genera dicha tasa son: \$51.15120
Más adelante…
Se estarán analizando los diferentes tipos de tasas con las que operan las matemáticas financieras, para conocer e identificar sus características así como sus diferencias.
En este apartado se abordará el tema de tasas equivalentes, el cual nos proporciona de una herramienta bastante útil, ya que nos permites poder obtener cualquier combinación posible de una tasas de interés efectiva a una nominal o a una instantánea. En pocas palabras, cualquier combinación posible
Definición de Tasa Equivalente
Una tasa equivalente es aquella que genera la misma cantidad de dinero, en el mismo tiempo, dicho con otras palabras, producen el mismo efecto de acumulación, después de un tiempo determinado, sin importar la periodicidad de pago, es decir, no importa que la periodicidad de pago no sea la misma.
Reglas de aplicación
Para poder aplicar éste concepto se hará sus de la triple igualdad, y en la siguiente imagen se muestra una descripción de todas las combinaciones posibles que se pueden realizar:
Elaboración propia, basado en Fundamentos de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 84.
Para poder obtener tasa equivalentes hay que hacer uso del modelo de la triple igualdad
Debe cumplir que con una misma cantidad de dinero, se debe obtener el mismo monto acumulado, una vez transcurrido en el mismo tiempo, sin importar que la periodicidad de la tasa sea diferente.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. Calcule la tasa efectiva mensual que sea equivalente a una tasa del 18% efectiva anual.
Solución
Lo que se necesita es obtener una tasa efectiva que sea equivalente a otra efectiva, con distinta periodicidad. Para hacerlo se realiza lo siguiente:
Se toma como capital inicial la cantidad de un peso, el cual lo vamos a acumular por un mes a una tasa $i$ mensual, lo cual se traduce en la siguiente expresión:
$$M=1(1+i)=(1+i)$$
Como la tasa que que nos dan es efectiva anual, y buscamos la tasa equivalente efectiva mensual que produzca el mismo monto durante un mes. Como la tasa que nos dan es anual, entonces $t$ debería ser medida en años, y se sabe que un año está formado por 12 meses, de tal forma que la variable $t=\frac{1}{12}$. Entonces tenemos la siguiente ecuación:
$$M=(1+0.18)^{\frac{1}{12}}=1.013888$$
Ahora se iguala ambas expresiones para encontrar la tasa equivalente que se quiere obtener.
$$(1+i)=1.01388$$
de dicha expresión se despeja $i$ y se obtiene:
$$i=1-1.013888=0.013888$$
Por lo tanto la tasa equivalente es del 1.1888%, la cual es la tasa efectiva mensual equivalente a 18% efectiva anual.
Comprobando la definición de tasa equivalente, se calculara el monto que producen ambas tasas con un capital de \$200 en un tiempo de 18 meses.
Primero se calcula con la tasa efectiva anual del 18%
$$200(1+0.18)^{1.5}=256.3615$$
Ahora se calcula con la tasa equivalente encontrada:
$$200(1+0.13888)^{18}=256.3615$$
Lo cual comprueba que se generan los mismos montos, por lo tanto las tasas son equivalentes.
Ejercicio. Calcule la tasa nominal pagadera 4 veces al año, es decir trimestral, equivalente a una tasa efectiva anual, del 15%
Por lo tanto, la tasa equivalente que se busca es: 14.2232%
Más adelante…
Se continuará abordando, temas de aplicación y combinación de herramientas como la que se vio en éste tema, para una mejor comprensión de la relevancia que van adquiriendo cada uno de los conceptos abordados.
Este apartado considera algunos casos reales en los que podemos aplicar los conocimientos adquiridos a lo largo de éstas notas. Son ejemplos que nos permiten conocer qué tipo de inversiones nos convienen más, como lo es cuando queremos invertir en CETES, ante dicha situación podemos usar el conocimiento adquirido para determinar, el valor de uno de sus títulos, y poner en práctica de forma real, para conocer mejor cual es el manejo real de algunas una de las formulas, evidenciando la forma en la que se pueden utilizar de forma aplicada en alguna situación real.
Aplicación en CETES
Como se estuvo exponiendo a lo largo del desarrollo de éstas notas, las matemáticas financieras son una poderosa herramienta, que nos sirve para determinar el valor del dinero a través del tiempo. Para realizar dicho análisis, vimos una cierta cantidad de conceptos que nos permitieron comprender mejor cómo funciona el mundo de las finanzas, aspectos que la afectan como lo es la inflación, partiendo desde el ejemplo más simple de interés compuesto, hasta llegar al punto de elaborar tablas de amortización, cálculo de valor de bonos, temas en los que se combinaban una enorme cantidad de conceptos para su construcción.
En este apartado, lo que se va a realizar es, mostrar algunos ejemplos con aplicaciones reales, de los conceptos que en éstas notas se estuvieron abordando, para que se pueda tener una mejor comprensión de la importancia del uso de las matemáticas financieras, en el mundo real.
Un ejemplo práctico del uso de las matemáticas financieras, en un caso real es el siguiente:
El precio de un CETE se puede calcular, conociendo su tasa de rendimiento, o su tasa de descuento, y se obtiene utilizando la siguiente ecuación1:
$$P=\frac{VN}{\left(1+\frac{i*t}{360}\right)}$$
donde:
P = Valor del CETE (redondeado a 7 decimales)
VN = Valor Nominal del título en pesos
i = Tasa de rendimiento
t = tiempo o plazo en días del CETE
Si $d$ es la tasa de descuento de un CETE se tiene que:
$$d=\frac{i}{\left(1+\frac{i*t}{360}\right)}$$
despejando $i$,
$$i=\frac{d}{\left(1-\frac{d*t}{360}\right)}$$
Al sustituir éste resultado en la primera ecuación se obtiene el precio de un CETE a partir de su tasa de descuento:
$$P=VN*\left(1-\frac{d*t}{360}\right)$$
Por lo que se tiene que el precio de un CETE está compuesto por el valor presente de su valor nominal.
Ejercicios resueltos
Ejercicio. El 31 de agosto del año 2000, un inversionista compra CETES con las siguientes características:
Valor nominal: \$10 pesos
Fecha de colocación: 31 de agosto del año 2020
Fecha de vencimiento: 28 de septiembre del año 2020
Días por vencer del título: 28 días
Suponiendo que está sujeto a una tasa de rendimiento anual del 15%, obtener el valor del CETE.
Solución
Para poder obtener el precio del CETE, se puede hacer por dos caminos, el primero sería calcular el valor presente, usando la tasa de rendimiento. Mientras que la segunda forma de obtenerlo es usando la tasa de descuento que proporcione este rendimiento.
Vamos a realizar utilizando la tasa de rendimiento que nos proporcionaron, calculando su valor presente, esto es:
Con base en esta tasa de descuento (15.32%) se determina el precio al cual el inversionista tendrá que liquidar cada uno de los CETES que adquirió. Cabe señalar que es convención del mercado redondear a diezmilésimas las tasas de rendimiento y descuento, esto origina que el precio de un CETE calculado a partir del rendimiento difiera en algunos decimales del precio calculado a partir del descuento.*
$$P=10*\left(1-\frac{0.1532*28}{360}\right)$$
$$=10*(0.98808444)=9.8808444$$
Ejercicio. Supongamos ahora, el siguiente caso: un inversionista compra CETES con las siguientes características:
Valor nominal: \$10 pesos
Fecha de colocación: 24 de marzo de 2023
Fecha de vencimiento: 23 de junio de 2023
Duración del título: 91 días
Tasa de rendimiento: 4.39%
Solución
**Se obtendrá el precio, usando la tasa de rendimiento, calculando el valor presente, es decir:
Con base en esta tasa de descuento (4.34%) se determina el precio al cual el inversionista tendrá que liquidar cada uno de los CETES que adquirió. Cabe señalar que es convención del mercado redondear a diezmilésimas las tasas de rendimiento y descuento, esto origina que el precio de un CETE calculado a partir del rendimiento difiera en algunos decimales del precio calculado a partir del descuento.2
Aplicación para calcular el Costo Anual Total (CAT)
Otra aplicación bastante útil, para la que nos sirve las Matemáticas financieras, es cuando nosotros contratamos una tarjeta de crédito, y deseamos saber el costo real que vamos a tener que pagar por la línea de crédito que no otorgan, dicho en otras palabras, deseamos saber cuánto dinero nos va a costar tener a nuestra disposición dichos recursos económicos.
Primero que nada, la definición del CAT, es una forma de poder medir el total de costos y gastos que se tienen que hacer, cuando algún banco nos otorga un crédito, en este caso particular, se va a analizar el caso de una tarjeta de crédito (lo que incluye intereses, comisiones, anualidad, comisiones por apertura, gastos de investigación, seguros, etc.). La importancia de conocer ésta herramienta, nos permite comparar y poder elegir cuál es la mejor opción de banco o institución financiera que nos ofrece la opción con un menor costo.
Para poder calcular el Costo Anual Total, de acuerdo con la circular 21/20093 emitida por el Banco de México, la metodología utilizada para calcular el CAT es la siguiente:
$j =$ Número consecutivo que identifica cada crédito
$A_j =$ Monto de la j-ésima disposición de crédito
$N =$ Número total de pagos
$k =$ Número consecutivo que identifica cada pago
$B_k =$ Monto del k-ésimo pago
$t_j =$ Intervalo de tiempo, expresado en años y fracciones de año, que transcurre entre la fecha en que surte efecto el contrato y la fecha j-ésima disposición del crédito
$s_k =$ Intervalo de tiempo, expresado en años y fracciones de año, que transcurre entra la fecha que surte efecto el contrato y la fecha del k-ésimo pago
$\sum =$ Símbolo utilizado para expresar la suma de las cantidades indicadas
Notemos que dentro de la ecuación que se acaba de presentar, se está usando el concepto de valor presente en la expresión $(1+i)^{t_j}$, aunque de forma general, la expresión para calcular el CAT, del lado izquierdo considerando la sumatoria, nos permite obtener la sumas del valor presente de las disposiciones del crédito.
Por otra parte, el lado derecho de la fórmula para calcular el CAT, representa la suma del valor presente de los pagos que se realizaran para liquidar el crédito. Si hacemos un pequeño recordatorio, en general la fórmula que estamos usando, tanto el lado izquierdo como el derecho, ambas en conjunto son una ecuación de valor, concepto que también, fue abordado en su momento, para explicar cómo se realizan las operaciones financieras, es decir, los derechos que tiene el deudor, deben de ser iguales a los del prestamista o acreedor.
Ejercicios resueltos
Para mostrar la forma en que se utiliza la fórmula para calcular el CAT, se propone el siguiente ejemplo3:
Un banco otorga una tarjeta de crédito al señor Luis, por una línea de crédito disponible de \$15,000 pesos, cantidad que el decide gastar, inmediatamente después de haberla recibido. La cantidad de \$15 mil pesos es el valor de $A$ que es una disposición del crédito. Dicho crédito, el señor Luis, considera pagarlo dentro de 2 años, de forma mensual mediante pagos de \$962.33, sin embargo el banco le cobra una comisión por apertura de \$100 pesos.
Solución
Para encontrar le valor de CAT, se hace lo siguiente:
La disposición es $A=15,000$
La expresión anterior la igualamos con los pagos, y nos queda:
De donde despejando $i$ se obtiene que el Costo Anual Total es de .5736
Expresado como tasa de interés en porcentaje $i=57.4$.
Si a lo anterior, hacemos la sumatoria de cada uno de los pagos, junto con las comisiones, la cantidad total que deberá pagar por dicho crédito, con una tasa CAT del $57.4%$ es de $23,195.85$
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Información obtenida de https://www.banxico.org.mx/mercados/d/%7B0DE0044F-662D-09D2-C8B3-4F1A8E43655F%7D.pdf ↩︎
información obtenida de: https://www.banxico.org.mx/elib/mercado-valores-gub-en/OEBPS/Rsc/anexo0201.pdf ↩︎
Información obtenida de: https://www.banxico.org.mx/marco-normativo/normativa-emitida-por-el-banco-de-mexico/circular-21-2009/%7B29285862-EDE0-567A-BAFB-D261406641A3%7D.pdf ↩︎
En ésta sección, se continúa analizando otro tipo de anualidades y la forma en que se puede construir su respectiva tabla de amortización, considerando el caso, en el que algunas empresas, de acuerdo con su experiencia, tienen contemplado el ingreso de recursos extras, a lo largo del año.
Concepto y construcción
En la sección donde se abordó el tema de anualidades, hubo algunos casos en donde se otorgaba un crédito en el que la forma de pagarlo, el acreditado realizaba pagos en el año, pero al final de éste agregaba más pagos, ya que, por ejemplo, consideraba recursos que podía tener, por concepto de aguinaldo, prestaciones, cajas de ahorro, por mencionar algunas. Para este tipo de situaciones, la tabla de amortización que puede representar el comportamiento de los pagos de dicho crédito, en general es semejante el proceso de construcción que hasta este momento se ha estado utilizando. Con la diferencia radica en la forma en que se hacen los registros de éstos pagos extras, los cuales también se harán en un mismo periodo.
Por ejemplo: Se otorga un crédito hipotecario a una empresa de refresco, la cual quiere modernizar su planta de producción, la cantidad de dicho crédito asciende a \$445,000 , para pagar en un lapso de tiempo de 3 años, mediante 12 trimestres en los que se hará un pago de \$33,573.45, los días 20 del mes. Posterior a ése tiempo, se realizarán pagos anuales por la cantidad de \$60,000 a partir del mes de diciembre.
El contrato en cuestión, entra en operación el día 20 de marzo del año 2021, acordando una tasa de interés de 4.4% fija efectiva trimestral, la cual aplicará durante toda la duración del crédito. Los pagos se realizarán en forma vencida, por lo que el primer pago se tendrá que hacer el día 20 de junio del 2021.
La ecuación de valor que se usará para resolver este problema es la siguiente:
A continuación, se muestra la tabla de amortización en la que se agregó una columna, en la que se anotara las fechas en las que se realizaran los pagos. Observe que hay dos columnas para el registro de las fechas de los pagos una que corresponde a los pagos trimestrales, y otra para los pagos anuales, los cuales son pagos que se recibirán al final de año, por concepto de los aguinaldos que en dichas fechas recibe.
Tabla de amortización de N pagos iguales y uno desigual
Este tipo de amortización ocurre, en los casos que la empresa que solicita el crédito pacta que la cantidad de los pagos es ajustada a su posibilidad de pago, en lugar de aceptar la que ofrece la institución que otorga el crédito. En estos casos se hace uso del concepto de anualidades tomando la cantidad que propone el deudor, y la variable n la cual va a representar el número de pagos, para conocer su valor será despejada de la ecuación de valor. Como la cantidad propuesta por el deudor, puede que no tenga considerados pagos completos para cubrir el pago total del préstamo, es por esta razón que se recurre al pago desigual, con el que será liquidado por completo en el último pago, la deuda. Para poder conocer la cantidad a la asciende éste pago desigual, será obtenido a partir de una segunda ecuación de valor, basada en la original, donde ya se conocen la cantidad de pagos completos.
La construcción de la amortización, sigue compartiendo muchas similitudes a como se han venido elaborando en los temas anteriores, con la diferencia de que el último pago es diferente.
Por ejemplo: a una empresa le otorgan un crédito de \$947,000, y de los recursos que tiene por concepto de ingresos, puede disponer de la cantidad \$87,000 de forma mensual, los cuales serán destinado al pago de dicho crédito. La tasa de interés que acordaron fue del 23.1% convertible mensualmente. Para resolver éste problema, la ecuación de valor que se va a utilizar es la siguiente:
recordemos que el valor 0.01925, se obtiene porque se está trabajando con una tasa convertible mensual, por lo que se hace lo siguiente para poder ocuparla:
de dicha ecuación se nos arroja el valor de n=12.332222, lo cual se interpreta como 12 pagos por la cantidad de \$870,000 con un pago desigual, dando un total de 13 pagos. El valor del último pago, se obtiene con la siguiente ecuación:
se obtiene el valor que estamos buscando: X=29,076.67.
A continuación, se muestra la tabla de amortización:
Ejercicios resueltos
Ejercicio. La empresa de refacciones de maquilas, quiere ampliar su planta productora, para lograrlo solicito un crédito por la cantidad de \$800,000 pesos, y de acuerdo a su experiencia de ingresos anuales, puede disponer de la cantidad de \$70 mil pesos, para hacer pagos de forma mensual, con una tasa de interés convertible bimestral del 18%. El dueño de la empresa quiere saber: ¿Cuántos pagos tendría que hacer para liquidar totalmente la deuda? y también quiere conocer su tabla de amortización.
Solución
Para encontrar la solución a éste problema se hará uso de la siguiente ecuación de valor:
Por lo tanto, el número de pagos a realizar es de 12.
Lo que sigue, es sustituir el valor de n en la ecuación de valor que se había planteado inicialmente, pero agregando el valor X del pago que aún no conocemos, por lo que la ecuación queda de la siguiente forma:
Éste valor representa la cantidad del último pago.
Finalmente, ya que se tiene todos los datos, estamos en posibilidades de hacer la construcción de la tabla de amortización, la cual se muestra a continuación.
Más adelante…
Se continuará, un poco más, abordando algunas variantes de construcción de las tablas de amortización, y ejemplificando algunas situaciones en las que se aplican, describiendo el contexto para su mejor comprensión.
En este apartado por fin se va analizar el comportamiento de una tabla de amortización, así como su construcción haciendo uso de los temas que se han venido manejando, así mismo, se verán las diferentes combinaciones que pueden haber entre ellas.
Concepto y descripción
Como se ha estado haciendo mención en temas anteriores, se pueden hacer combinaciones de las diferentes anualidades que se han estado estudiando, cada una de ellas puede ser utilizada para resolver alguna eventualidad en particular, dependiendo del contexto que se trate, por ello es importante hacer notar que, también se pueden construir tablas de amortización que describen el comportamiento de los pagos de un crédito que por su naturaleza y diseño, en determinadas ocasiones es necesario hacer que se combinen entre ellos.
Para mostrar el proceso de construcción de ésta tabla de amortización, se hará a través del siguiente ejemplo:
La empresa del señor Juan, desea dar mantenimiento a su parque vehicular, para hacerlo solicita un crédito por un monto de \$35 mil pesos, y planea hacer el contrato dando un anticipo por la cantidad de \$8,400, el saldo que falta por pagar, tiene considerado liquidarla de la siguiente manera:
El banco que le otorgó un crédito de \$26,600, se los prestó a cambio de una tasa del 38% anual, y el señor Juan realizará pagos mensuales por un monto de \$1006.7136, los cuales irán incrementando el 2% en cada periodo, durante dos años y medio.
Sin embargo, al cabo de un año y medio la empresa del señor Juan, quiere re-negociar la deuda, para que el saldo que aún falta por pagar, lo pueda liquidar en pagos mensuales iguales, situación que le cuesta una penalización por parte del banco, de una tasa de interés del 3.3%.
El señor Juan necesita conocer la tabla de amortización bajo éstas condiciones.
Para poder construir la tabla de amortización que nos pide el problema, se requiere calcular primero:
La cantidad a la que asciende el pago de primera cuota, el cual queda determinado por la siguiente expresión:
Ejercicio. Don Felipe quiera abrir una empresa de reparación de autos, para poder hacerlo solicita un crédito a un banco por la cantidad de dos millones y medio, el banco le cobra por dicho monto una tasa de interés del 1.5% mensual, y los planes del señor Felipe es poder pagarlo de la siguiente forma:
Lo realizará por 3 etapas. La primera consiste en diferir los pagos durante los primeros 3 meses, una vez transcurrido dicho tiempo, realizará 6 pagos de forma mensual y crecientes, iniciando una cantidad de \$100 mil pesos, los demás pagos se irán incrementando \20 mil pesos.
Durante la etapa 2, planea hacer 8 pagos mensuales iguales, de forma vencida, cada uno por la cantidad de \$180 mil pesos.
Por último, quiere hacer 5 pagos mensuales, los cuales irán decreciendo por una cantidad de \$15 mil pesos, y dará inicio con un pago por la cantidad de \$150 mil pesos. Una vez transcurridos 4 meses, planea hacer el último pago con el que quiere liquidar el monto que a ése momento falte.
Se requiere obtener la cantidad del último pago, así como la elaboración de la tabla de amortización.
Solución
El planteamiento gráfico de la solución a éste ejercicio se muestra a continuación:
Elaboración propia, basado en Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 196.
a continuación, se muestra su respectiva tabla de amortización:
Elaboración propia, extraído de Matemáticas Financieras, fundamentos y aplicaciones, Cánovas T. Ed. Trillas, pag. 197.
Más adelante…
Hasta este momento se cuenta con las herramientas suficientes para aplicar los conocimientos sobre lo que son las anualidades y se ejemplificó la forma en que se pueden ir combinando, en el siguiente capítulo se abordará el tipo de tablas de amortización que involucran pagos de más anualidades, los cuales suelen presentarse en situaciones en las que las empresas tienen la necesidad de asentar ingresos adicionales por motivo de incremento en ventas, como lo son las temporadas navideñas, o alguna otra fecha que represente un ingreso adicional.
