En está sección estudiaremos el concepto matemático que define los puntos infinitamente cercanos a un conjunto.
Sea A un subconjunto arbitrario de . Se dice que 𝕟 es un ó de , si toda bola abierta con centro en contiene un punto de distinto de es decir Al conjunto de puntos de acumulación de se le denomina el conjunto derivado de y se le denota
Lema 1.- es punto de acumulación de si y solamente si
Demostración. Si es un punto de acumulación de A entonces \quad \quad esta expresión es equivalente a por lo que pero esto significa que es un punto de adherencia de
Ejercicio. Pruebe que
Demostración. Sea se tiene entonces por lo tanto
Ejercicio. Pruebe que
Demostración. Sea se tiene entonces por lo tanto
Proposición 1.-Si es un punto de acumulación de , entonces toda bola abierta contiene una infinidad de puntos de .
Demostración. Sea una bola abierta arbitraria con centro , supongase que esta bola tuviese solamente un número finito de puntos de , digamos cada uno distinto de elijamos . Consideremos ahora la bola abierta . Es claro que y de la desigualdad se sigue que no contiene puntos de distintos de pues todo punto de que estubiese en también sería elemento de lo cual no es posible ya que son los únicos elementos de que están en . Entonces la bola abierta no tiene puntos de diferentes de , esto contradice la hipotesis de que es punto de acumulación.
Teorema 1.- Un conjunto es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.
Demostración. Sea un punto de acumulación de . si , el conjunto abieto es una vecindad de , que debe contener cuando menos un punto de , pero esto no es posible, por lo tanto se concluye . Inversamente:Si A contiene a todos sus puntos de acumulación se habrá de probar que es abierto. Sea entonces no es punto de acumulación de . Por lo tanto, existe una vecindad de tal que . En consecuencia . Dado que esto es válido se deduce que es abierto es cerrado.
Ejercicio. Sean . Pruebe que
Demostración. Tenemos que Inversamente de lo anterior se tiene
Ejercicio. Pruebe que
Demostración.
de lo anterior se tiene
Más adelante
Tarea moral
1.- Prueba que si es un conjunto arbitrario entonces
2.- Prueba que
3.- Sea Describe y prueba quién es
4.- Determina quien es el de
5.-Da un ejemplo de un conjunto en donde sólo tenga un punto de acumulación y otro donde contenga una infinidad.
Recordemos el teorema del valor medio para funciones de
Suponga que es derivable en y continua en entonces existe tal que
En esta sección se presenta el caso en la versión para funciones de en . De esta manera el caso general se ve de la siguiente manera:
Teorema. Sea una función definida en el conjunto abierto de . Si se pide que el conjunto sea tal que . Sea un vector unitario en la dirección del vector . Si la función es continua en los puntos del segmento y tiene derivadas direccionales en la dirección del vector en los puntos del segmento , entonces existe , tal que donde .
Una consecuencia del teorema anterior es el teorema Teorema. Sea una función definida en el conjunto abierto de . Si las derivadas parciales son continuas en entonces f es diferenciable en Vamos a dar una idea de la demostración para el caso n=2
Teorema del Valor Medio para Funciones de
Teorema. Sea una función definida en el conjunto abierto de . Si se pide que el conjunto sea tal que . Sea un vector unitario en la dirección del vector . Si la función es continua en los puntos del segmento y tiene derivadas direccionales en la dirección del vector en los puntos del segmento , entonces existe \, tal que donde .
Demostración. Considere la función dada por ciertamente la función es continua en pues lo es en . Ademas
[]
de modo que para , existe y es la derivada direccional de en en la dirección del vector . Aplicando entonces el teorema del valor medio a la función , concluimos que existe un múmero que da \ es decir de modo que
Ahora para la verisón del teorema 3
Teorema 5. Sea una función definida en el conjunto abierto de . Si las derivadas parciales son continuas en entonces f es diferenciable en
Demostración. Vamos a probar que donde
para ello tenemos que sumando un cero adecuado trabajaremos
Considerando la función por lo tanto tenemos que este limite existe y nos dice que es es continua en este caso en el intervalo . Por lo tanto aplicando el TVM en dicho intervalo se obtiene es decir Analogamente
Considerando la función por lo tanto tenemos que este limite existe y nos dice que es es continua en este caso en el intervalo . Por lo tanto aplicando el TVM en dicho intervalo se obtiene es decir
Sustituimos en y obtenemos
es decir por lo tanto ahora bien si se tiene y Analogamente y en consecuencia por lo tanto f es diferenciable en
En esta sección estudiaremos los conjuntos convexos del espacio . Intuitivamente decimos que un conjunto convexo es aquel que dados dos puntos del conjunto, el segmento de linea que los une también pertenece a ese conjunto.
Definición. Dados , al segmento rectilineo que une dichos puntos lo denotamos
Definición. Sea . Se dice que es convexo si dados dos puntos de k, el segmento que los une está contenido en es decir
Ejemplo. Una bola abierta es un conjunto convexo Demostración. Sea y consideremos vamos a ver que tenemos que
y por lo tanto
y de esta manera
Ejemplo. El cuadrado es un conjunto convexo Demostración. Sean , y vamos a ver que , tenemos que como son tal que
entonces
por lo que por lo tanto
Teorema. Si son conjuntos convexos tales que entonces es un conjunto convexo.
Demostración. Sean entonces para todo i se tiene que como es convexo entonces para todo i, por lo tanto por lo tanto es convexo.
Teorema. Un conjunto convexo es conexo
Demostración. Dado un conjnuto X convexo, si X no fuera conexo entonces existirian A,B conjnutos abiertos separados tales que y y si consideramos entonces el segmento se puede parametrizar como y podríamos construir los abiertos y estos abiertos proporcionarían una disconexion para el segmento rectilineo pues ya hemos probado que un segmento rectilineo es conexo, por lo tanto X es conexo.
Ejemplo. Un conjunto Conexo no es convexo, considere el conjunto Vamos a mostrar que A es conexo pero no convexo\ Dado tomamos tres casos\ Caso (1) y=0 y \ Consideremos el segmento que esta dado por y como para todo . Se tiene que esta contenido en A.\ Caso (2) y . En este caso el segmento que esta dado por se tiene que para se tiene el punto , entonces en este caso también dicho segmento esta contenido en A.\ Caso (3) y . En este caso el segmento que esta dado por se tiene que para se tiene el punto , entonces en este caso también dicho segmento esta contenido en A. Solo falta ver que el conjnuto A no es convexo
Si consideramos el punto y el punto se tiene que y sin embargo el punto pero no pertenece a A, es decir
Más adelante
Traea Moral
1.-Determina si los siguientes conjuntos son convexos:
2.-Demuestra o da un contraejemplo. La unión de dos conjuntos convexos siempre es convexos.
Sea el conjunto de soluciones de la desigualdad lineal:
3.- Demuestra que es convexo.
4.- Grafica y verifica geométricamente su convexidad.
5.-Describe un conjunto en $\mathbb{R}^2 que sea conexo pero no convexo.
Proposición:Si A y B son subconjuntos abiertos de , entonces es un conjunto abierto de . Demostración. Sea . Se tiene entonces que ó . Si , entonces, puesto que A es abierto existe tal que , luego Si , entonces, puesto que B es abierto existe tal que , luego . En cualquiera de los casos, existe una bola abierta contenida en . es abierto.
Proposición. Si A y B son subconjuntos abiertos de , entonces es un conjunto abierto de . Demostración. Sea . Se tiene entonces que y . Puesto que A es abierto tal que . Puesto que b es abierto tal que .\Sea , entonces se tiene que Por lo tanto y , o sea .
Proposición. Si A y B son subconjuntos cerrados de , entonces es un conjunto cerrado de . Demostración. Para mostrar que es un conjunto cerrado, tenemos que mostrar que es un conjunto abierto, al ser A, B conjuntos cerrados entonces son conjuntos abiertos y por leyes de D’morgan ahora bien por el resultado anterior se tiene que la intersección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, esto prueba que es un conjunto abierto, por lo tanto es un conjunto cerrado.
Proposición. Si A y B son subconjuntos cerrados de , entonces es un conjunto cerrado de . Demostración. Para mostrar que es un conjunto cerrado, tenemos que mostrar que es un conjunto abierto, al ser A, B conjuntos cerrados entonces son conjuntos abiertos y por leyes de D’morgan ahora bien por el resultado anterior se tiene que la unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, esto prueba que es un conjunto abierto, por lo tanto es un conjunto cerrado.
Generalizaciones de la proposiciones anteriores de la familias de conjuntos.
Proposición. La unión arbitraria de conjuntos abiertos en es un conjunto abierto en . Demostración. Sea una colección de subconjuntos de tal que es un conjunto abierto en . Sea . Sea . Entonces existe tal que y como es un conjunto abierto, existe tal que Por lo tanto A es abierto.
Propposición. La intersección finita de conjuntos abiertos en es un conjunto abierto en . Demostración. Sean subconjutos abiertos de . Sea . Sea . Entonces para toda . Cada es un conjunto abierto. Por lo tanto existe tal que para toda . Sea . Entonces Por lo tanto y por lo tanto B es un conjunto abierto.
Proposición. La unión finita de conjuntos cerrados en es un conjunto cerrado en . Demostración. Sean conjuntos cerrados y sea . Entonces el cual es un conjunto abierto de . Por lo tanto B es un conjunto cerrado de .
Proposición. La intersección finita de conjuntos cerrados en es un conjunto cerrado en . Demostración. Sea una colección de subconjuntos de tales que cada es cerrado en . Por lo tanto para cada , es un conjunto abierto en . Sea tal que es un conjunto abierto en . Por lo tanto A es un conjunto cerrado en .
Definición. Un elemento se dice que es un de , si existe una bola abierta con centro en contenida en es decir si tal que . Denotamos por al conjunto formado por todos estos puntos, es decir y diremos que este conjunto es el interior de A.
Ejemplo. Determinar el con
Solución. Primero analicemos la figura, ¿qué pasa si tomamos un en y un ?, ¿qué podemos observar?. Si recordamos la densidad de los irracionales sabemos que podemos encontrar un irracional entre y , entonces si tomamos el punto podemos ver que esta dentro de , pero no es un punto de . Esto pasa para toda y todo en . Entonces, podemos afirmar que el . Ademas, podemos decir que para todo en y todo se tiene que . Usando el mismo argumento, pero ahora para los racionales, podemos decir que para cualquier y se tiene que . Todo esto dentro del cuadrado . Entonces, podemos afirmar que .
¿Que podemos decir del exterior? De lo anterior podemos deducir que . Entonces, demostremos la siguiente afirmación:
Afirmación: Demostración. Sean y . Mostraremos que , es decir, que para cualquier punto de y cualquier radio , la bola siempre contiene puntos de , es decir, que no tiene puntos interiores. Como , entonces y por la densidad de los irracionales sabemos que siempre existe un tal que …… Tomemos el punto y calculemos su distancia con : Veamos por que se cumple . De tenemos que , restando tenemos como esto es positivo, le podemos sacar el valor absouto y se mantiene la desigualdad y sabemos que . Por lo tanto, . Entonces, como , tenemos que , pero como esto implica que . Por lo tanto, . Podemos observar que , es decir, que para todo se tiene que siempre interseca a . Por lo tanto, .
Afirmación: Demostración. Primero mostraremos que . Sea y . Ya probamos que , falta probar que . (Para que se cumpla la definición de frontera). Tenemos varios casos para y : Supongamos que y . Por la densidad de los números racionales, sabemos que existen tal que: Entonces, y además y . Así podemos ver lo siguiente: lo que nos dice que el punto , y por tenemos que . En este caso juntaremos los casos que faltan. Escogiendo a como en , tenemos lo siguiente: (a) Si y nos fijamos en la pareja , (b) Si y nos fijamos en la pareja , y (c) Si y nos fijamos en la pareja . Podemos observar que estos puntos están en , pues sus entradas pertenecen a los racionales. Por lo tanto, . Por lo tanto, .
Afirmación: Demostración. Primero mostremos que . Sea y supongamos que ó , (la otra posibilidad es que ó , pero se hace de manera análoga). (1) Si , entonces tomamos . Vamos a mostrar que . Observemos que . Sea , sabemos que pero , entonces entonces multiplicando por , tenemos que , lo cual implica que . Así tenemos que . Entonces, . Por lo tanto, por , , lo cual implica que . (2) Si , entonces tomamos . Vamos a mostrar que . Observemos que . Sea , sabemos que
Vamos a mostrar que . Observemos que .\ Sea , sabemos que
entonces tenemos que , lo cual nos dice que . Así tenemos que . Entonces, . Por lo tanto, por , , lo cual implica que . Por lo tanto, . De la proposición tenemos que , en nuestro caso obtuvimos que . Entonces,
y de esto obtenemos las siguientes igualdades De tenemos y de tenemos , entonces De tenemos , entonces
entonces
así tenemos
Entonces, por y tenemos que . Y de esta igualdad y de tenemos que .
Proposición: Si , entonces: (1) (2) (3) (a) , (b) y (c) (4) (5) y .
Demostración. (1) Por demostrar que . Sea por definición que existe tal que . Como (por definición de bola), entonces . Por lo tanto, .
(2) Por demostrar que . Sea por definición que existe tal que . Como (por definición de bola), entonces . Por lo tanto, .
3_aPor demostrar que . Supongamos por contadicción que , esto implica que existe y , esto implica por (1) y (2) que y , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, .
3_b Por demostrar que . Supongamos por contadicción que , esto implica que existe y . Así, tenemos lo siguiente: Existe tal que , y Para todo se tiene que y . En particular, por , para tenemos que , lo cual contradice la hipótesis . Por lo tanto, .
3_c Por demostrar que . Supongamos por contradicción que , esto implica que existe y . Así, tenemos lo siguiente: Para todo se tiene que y , y Existe tal que . Así, por tenemos que existe tal que , lo cual contradice la hipótesis . Por lo tanto, .
(4) Por demostrar que . Como , se tiene que . Falta ver que . Sea , como entonces tenemos tres casos:
Existe tal que , entonces por definición tenemos que ,
existe tal que , entonces por defición tenemos que , o para todo se tiene que y , entonces por definición . Así tenemos que, . Por lo tanto, .
(a) Por demostrar que . Sea , por definición se tiene que existe tal que , pero esta es la definición de un punto exterior de . Por lo tanto, . . Sea , por definición se tiene que existe tal que , pero esta es la definición de un punto interior de . Por lo tanto, . Por lo tanto, .
Definición. Sea . Definimos la cerradura de A, que denotamos por , como
Proposición. Sea . Las siguientes afirmaciones son ciertas: (1) es un conjunto abierto (2) es un conjunto abierto (3) es un conjunto cerrado (4) es un conjunto cerrado. Demostración. (1) Sea , entonces existe tal que . Sea , existe tal que por lo que y por tanto . (2) Como y de acuerdo al inciso anterior este conjunto es abierto. (3) Tenemos que ambos conjuntos son conjuntos abiertos y la unión de conjuntos abiertos es abierta, entonces este conjunto es abierto y por tanto es cerrado. (4) Se tiene que el cual es conjunto abierto, por lo tanto es un conjunto cerrado.
Punto de Acumulación
Definición. Sea y . Se dice que (1) es un punto de acumulación de A, si toda bola abierta con centro en contiene un punto de A distinto de es decir Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el de A y se le denota . (2) es un punto aislado de A si no es un punto de acumulación de A, es decir, si existe tal que
Ejemplo. Sea Muestre que es un punto de acumulación de A. Solución. Vamos a considerar el punto , para . Tenemos entonces que
(1) pues
(2) Tenemos que
Tenemos entonces que . Por lo tanto Por lo tanto es un punto de acumulación de A.
Más adelante
En la siguiente sección continuaremos estudiando topológicamente los conjuntos importantes obtenidos a partir de la caracterización de puntos de
Tarea Moral
1.- Si 𝕟 es un conjunto arbitrario demuestra que
2.- Sea prueba que: no puede ser cerrado y abierto a la vez.
3.- Sea prueba que:
4.-Sean y subconjuntos de . Indica y prueba si las siguientes afirmaciónes son ciertas.
a) Si entonces
b)
c)
5.- Sea un subconjunto de Prueba que: Si y es abierto, entonces (es decir, de los conjuntos abiertos que están contenidos en , es el más «grande»).
Supongase que se quieren hallar los valores extremos (máximo ó mínimo) de una función sujeta a la restircción ; esto es, que está en el circulo unitario. Con mayor generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar sujeta a la condición adicional de que también satisfaga una ecuación donde es alguna función y es una constante. En el ejemplo y ]. El conjunto de dichas es un conjunto de nivel de .
En general, sean y funciones dadas, y sea el conjunto de nivel de con valor . Recordar que el conjunto de nivel son los puntos con ] Cuando se restringe a , de nuevo tenemos el concepto de máximos locales o mínimos locales de (extremos locales), y un máximo (valor mayor) o un minimo absoluto (valor menor) debe ser un extremo local.
é Sean y funciones con valores reales dados. Sean y , y sea el conjunto de nivel de con valor . Suponer . Si (f restringida a s) tiene un máximo o un mínimo local en , en , entonces existe un número real tal que .
ó Para el espacio tangente o plano tangente de en es el espacio ortogonal a y para arbitraria podemos dar la misma definición de espacio tangente de en . Esta definición se puede motivar al considerar tangentes a trayectorias que estan en , como sigue: si es una trayectoria en y , entonces es un vector tangente a en , pero Por otro lado usando regla de la cadena de manera que , esto es, es ortogonal a .
Si tiene un máximo en , entonces tiene un máximo en . Por cálculo de una variable, . Entonces por regla de la cadena Asi, es perpendicular a la tangente de toda curva en y entonces tambien es perpendicular al espacio tangente completo de en . Como el espacio perpendicular a este espacio tangente es una recta, y son paralelos. Como , se deduce que es multiplo de .
Si al restringirse a una superficie , tiene un máximo o un mínimo local en , entonces es perpendicular a en .La geometria de los valores extremos restringidos.
Sea la recta que pasa por inclinada a , y sea daa asi . Hallar los extremos de .
ó Aqui y por lo tanto hacemos y . Tenemos . Los extremos relativos de deben hallarse entre los puntos en que es ortogonal a , esto es, inclinada a . Pero , que tiene la pendiente deseada sólo cuando , o cuando está sobre la recta L, que pasa por el origen inlinada a . Esto puede suceder en el conjunto sólo para el unico punto en el que se intersecan L y S. Al referirnos a las curvas de nivel de se indica que este punto es un mínimo relativo de (Pero no de ).
Sea dada asi y sea el círculo de radio 1 alrededor del origen. Hallar los extremos de .
ó El conjunto es la curva de nivel para con valor . Donde , . La condición de que en , es decir que y son pararlelos en , es la misma que las curvas de nivel sean tangentes en . Asi los puntos extremos de son y . Evaluando hallamos que son mínimos y son máximos. Usando Multiplicadores de lagrange y \ \quad cuya solución es , .
Maximizar la función sujeta a la restricción
ó Buscamos y tales que , y la solución es , comprobando los valores de en estos puntos podemos ver que el primer punto produce el máximo de y el segundo el mínimo.
Hallar los puntos extremos de sujeto a las dos condiciones y
ó Aquí hay dos restricciones asi, debemos encontrar y tales que Calculando gradientes e igualando componentes, obtenemos
De (3) y asi , .
Como la segunda implica . Asi y . Entonces los extremos deseados son .
Por inspección da un máximo relativo y un mínimo relativo.
La condición implica que tambien está acotada. Se deduce que el conjunto de restricciones es cerrada y acotada,
Por lo tanto tiene un máximo y un mínimo en que se deben alcanzar en y respectivamente.