Introduccion

$\mathbf{\text{Aproximación de Taylor para funciones }}f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$

El caso de la aproximación con $n=2$ nos queda
$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{1}{1!}(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot (y-y_0))+$$

$$\frac{1}{2!}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x-x_0{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y-y_0{)}^2)+R_2$$
Donde la expresión azul se puede escribir

$$\frac{1}{1!}(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot (y-y_0))=\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\cdot (h_1,h_2,h_3)$$
y la expresión en rojo

$$\frac{1}{2!}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}p(x-x0{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}p(x-x0)(y-y_0)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}p(y-y0{)}^2)$$ Define una forma cuadratica que
podemos escribir

$$\frac{1}{2!}(x-x_{0}y-y_0)\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)$$

Por lo que el desarrollo de Taylor se puede escribir
$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\cdot (h_1,h_2,h_3)+\frac{1}{2!}(x-x_{0}y-y_0)\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)$$

A la matriz

$$\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right)$$

se le conoce como matriz Hessiana y se denota $H(x_0,y_0)$ por lo que el desarrollo de Taylor se puede escribir
$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\cdot (h_1,h_2,h_3)+\frac{1}{2!}(x-x_{0}y-y_0)(H(x_0,y_0))\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)$$

$\mathbf{\text{Aproximación de Taylor para funciones }}f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$

Sea $f:A\subset {\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ y sea $F(t)=f(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_{3}t)$ con $t\in [0,1]$, de esta manera f recorre el segmento de $[x_0,y_0,z_0]$ a $[x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_{3}t]$. Se tiene entonces que usando la regla de la cadena

$$F^{\prime }(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_{3}t)\cdot \frac{d(x_0+h_{1}t)}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_{3}t)\cdot \frac{d(y_0+h_{2}t)}{dt}+$$

$$\frac{\partial f}{\partial z}(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_{3}t)\cdot \frac{d(z_0+h_{3}t)}{dt}=$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_3)\cdot h_1+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_3)\cdot h_2+\frac{\partial f}{\partial z}(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t,z_0+h_3)\cdot h_3$$

Vamos ahora a calcular $F^{´´}(t)$

$$F^{´´}(t)=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x}{h}_1+\frac{\partial f}{\partial y}{h}_2+\frac{\partial f}{\partial z}{h}_3)h_1+\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}{h}_1+\frac{\partial f}{\partial y}{h}_2+\frac{\partial f}{\partial z}{h}_3)h_2+\frac{\partial }{\partial z}(\frac{\partial f}{\partial x}{h}_1+\frac{\partial f}{\partial y}{h}_2+\frac{\partial f}{\partial z}{h}_3)h_3=$$

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}{h}_1^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{h}_1{h}_2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}{h}_2^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}{h}_3{h}_1+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}{h}_3{h}_2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}{h}_3^2$$
Ahora bien si se aplica la fórmula de Taylor con la forma del residuo de Lagrange a la función $$F(t)=f(x_0+h_{1}t,y_0+h_{2}t)$$ y ponemos $t=0$, y $n=2$ se tiene

$$F(t)=F(0)+\frac{1}{1!}{F}^{\prime }(0)t+\frac{1}{2!}{F}^{´´}(0)t^2+R_2$$

ahora bien con $t=1$, $x=x_0+h_1$, $y=y_0+h_2$, $z=z_0+h_3$

$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)p(x-x_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)p(y-y_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)p(z-z_0)+$$

$$\frac{1}{2!}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}p(x-x_0{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}p(x-x_0)(y-y_0)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}p(y-y_0{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}p(z-z_0)(x-x_0)+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}p(z-z_0)(y-y_0))$$

$$+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}p(z-z_0)+R_2$$
Donde la expresión en azul se puede escribir

$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)p(x-x_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)p(y-y_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)p(z-z_0)=\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\cdot (h_1,h_2,h_3)$$

y la expresión en rojo
$$\frac{1}{2!}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}{h}_1^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{h}_1{h}_2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}{h}_2^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}{h}_3{h}_1+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}{h}_3{h}_2+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}{h}_3^2)$$

se puede ver como producto de matrices

$$\frac{1}{2!}(h_1{h}_2{h}_3){\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}\end{array}\right)}_p\left(\begin{array}{c}h1\\ h_2\\ h_3\end{array}\right)$$

La matriz
$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z\partial y}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}\end{array}\right)$$
se le conoce como matriz Hessiana y se le denota $H(x_0,y_0,z_0)$, por lo que la aproximación de Taylor se puede escribir

$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\cdot (h_1,h_2,h_3)+\frac{1}{2!}(h_1{h}_2{h}_3)H(x_0,y_0,z_0)\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ h_3\end{array}\right)$$

$\mathbf{\text{Ejemplo}}$ Considere la función $f(x,y)=e^{2x+3y}$
$f[(0,0)+(x,y)]=f(0,0)+\mathrm{\nabla }f(0,0)\cdot (x,y)+\frac{1}{2}[xy]H(0,0)\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+r_2(x,y)$

donde ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{r(x,y)}{x^2+y^2}=0}}$

$\mathrm{\nabla }f=\left({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}}\right)=(2e^{2x+3y},3e^{2x+3y})\therefore \mathrm{\nabla }f(0,0)=(2,3)$

$$H(x,y)=\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}\\ {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}& {\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4e^{2x+3}& 6e^{2x+3y}\\ 6e^{2x+3y}& 9e^{2x+3y}\end{array}\right]\therefore H(0,0)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& 9\end{array}\right)$$

Así

Así $f(x,y)=f(0,0)+(2,3)\cdot (x,y)+\frac{1}{2}[xy]\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 6& 9\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]+r(x,y)$
$\therefore e^{2x+3y}=1+2x+3y+2x^2+6xy\frac{9}{2}{y}^2+r(x,y)$

$\mathbf{\text{Extremos Locales}}$

Entre las caracteristicas geometricas básicas de la gráficas de una función estan sus puntos extremos, en los cuales la función alcanza sus valores mayor y menor.

$\mathbf{\text{Definición 1.}}$ Si $f:u\subset {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ es una función escalar, dado un punto $x_0\in u$
se llama mínimo local de $f$ si existe una vecindad $v$ de $x_0$ tal que $\mathrm{\forall }x\in v$ ,$f(x)>f(x_0)$. De manera analoga, $x_0\in u$ es un máximo local si existe una vecindad $v$ de $x_0$ tal que $f(x)<f(x_0)$, $\mathrm{\forall }x\in v$. El punto $x_0\in u$ es un extremo local o relativo, si es un mínimo local o máximo
local.

En la expresión del desarrollo de Taylor
$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)\cdot (h_1,h_2,h_3)+\frac{1}{2!}(x-x_{0}y-y_0)(H(x_0,y_0))\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)$$
Si consideramos los valores para los cuales

$$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0)$$
es decir los puntos críticos del gradiente entonces nuestra aproximación de Taylor nos queda

$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(x-x_{0}y-y_0)(H(x_0,y_0))\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)$$
que se puede escribir
$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=\frac{1}{2!}(x-x_{0}y-y_0)(H(x_0,y_0))\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)$$

por lo que el signo del lado izquierdo $f(x,y)-f(x_0,y_0)$ dependerá del signo de la expresión
$$\frac{1}{2!}(x-x_{0}y-y_0)(H(x_0,y_0))\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)$$

es decir dependerá del signo de la forma
$$\frac{1}{2!}(h_1{h}_2){\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\end{array}\right)}_p\left(\begin{array}{c}h1\\ h_2\\ h_3\end{array}\right)$$

$\mathbf{\text{Teorema 1.}}$ Sea $B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$ y $H(h)=\frac{1}{2}[h_1,h_2]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)$ entonces $H(h)$ es definida positiva si y solo si $a>0$ y $ac-b^2>0$

$Demostración.$ Tenemos $$H(h)=\frac{1}{2}[h_1,h_2]\left[\begin{array}{cc}a{h}_1& b{h}_2\\ b{h}_1& c{h}_2\end{array}\right]=\frac{1}{2}(a{h}_1^2+2b{h}_1{h}_2+c{h}_1^2)$$
si completamos el cuadrado
$$H(h)=\frac{1}{2}a{(h_1+\frac{b}{a}{h}_2)}^2+\frac{1}{2}(c-\frac{b^2}{a})h_2^2$$
supongamos que $h$ es definida positiva. Haciendo
$h_2=0$ vemos que $a>0$. Haciendo $h_1=-\frac{b}{a}{h}_2$ $c-\frac{b^2}{a}>0$ ó $ac-b^2>0$. De manera analoga $H(h)$ es definida negativa si y solo si $a<0$ y $ac-b^2>0$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/14.0.0/svg/25fb.svg">}$

Criterio del máximo y del mínimo para funciones de dos variables Sea $f(x,y)$ de clase
$C^3$ en un conjunto abierto $u$ de ${\mathbb{R}}^2$. Un punto $x_0,y_0$ es un mínimo local (Estricto) de $f$ si se cumple las siguientes tres condiciones:

$I)$ $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$
$II)$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)>0$
$III)$ $\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\right)-{\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\right)}^2>0$ en $(x_0,y_0)$ (Discriminante). Si en II) tenemos $<0$ en lugar de $>0$ sin cambiar III)
hay un máximo local.

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