(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

No todos los productos escalares se comportan igual. Algunos, al igual que el producto punto usual, se comportan de forma bastante manejable y tienen propiedades que esperaríamos en un producto entre vectores como el hecho de que el único vector ortogonal a todos los demás sea el vector nulo (no degenerados) o el hecho de que el único vector ortogonal a sí mismo sea el vector cero (definidos positivos). Más adelante estas propiedades nos permitirán dar una buena definición de la norma de un vector, lo que no solo amplía nuestra visión del espacio, sino que nos prepara para explorar aplicaciones en física, geometría y más allá.

PRODUCTO ESCALAR DEGENERADO Y NO DEGENERADO

Definición: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial, $\langle\;\; ,\; \rangle$ un producto escalar en $V$. Decimos que $\langle \;\; ,\; \rangle$ es no degenerado si $V^{ \perp } = \{ \theta_V \}$, es decir, si para toda $v \in V$

$\forall w \in V (\langle v , w \rangle = 0)\Rightarrow v = \theta_V$.

En caso contrario decimos que $\langle \;\;, \;\rangle$ es degenerado.

Ejemplos

• Sean $K = \mathbb{R}$, $V = \mathbb{R}^n$
  Si definimos $\forall u,v \in V (\langle u , v \rangle = u \cdot v)$ se tiene que este producto escalar es no degenerado

Justificación. Sea $v=(x_1,\dots ,x_n) \in \mathbb{R}^n$ tal que $\forall w \in \mathbb{R}^n (\langle v , w \rangle = 0)$, entonces $\forall w \in \mathbb{R}^n (v \cdot w = 0)$.

En particular $v \cdot v = 0$, es decir, $ x_1^2+\cdots +x_n^2= 0$.
Por tanto, $x_1=\cdots =x_n$ y en consecuencia $v = \theta_\mathbb{R^n}$.
De donde, el producto punto usual en $\mathbb{R}^n$ es no degenerado.

• Sean $K = \mathbb{R}$, $V = \mathcal{C}[0,1]$
  Definamos $\forall f,g \in \mathcal{C}[0,1] \left( \langle f,g \rangle = \int_{0}^{1} f(t) g(t) dt \right)$. Este producto escalar $\langle\;\; ,\;\rangle$ no degenerado.

Justificación. Sea $f \in V$ tal que $\forall g \in \mathcal{C}[0,1] \langle f , g \rangle = 0$.

En particular, $\langle f , f \rangle = 0$, es decir, $\int_{0}^{1} f^2 (t) dt = 0$.

Pero $\forall t \in [0,1] f^2 (t) \geq 0$ y $f$ es continua, entonces por propiedades de cálculo podemos concluir que $f$ es la función constante cero, es decir, $f = \theta_{\mathcal{C}[0,1]}$.
De donde el producto entre funciones así definido es no degenerado.

PRODUCTO ESCALAR DEFINIDO POSITIVO

Definición: Sea $V$ un $\mathbb{R}$ – espacio vectorial, $\langle \;\; ,\; \rangle$ un producto escalar en $V$. Decimos que $\langle \;\; ,\; \rangle$ es definido positivo si se cumplen dos condiciones:

a) $\forall v \in V (\langle v,v \rangle \geq 0)$
b) $\langle v ,v \rangle = 0 \iff v = \theta_V$

Ejemplos

• Sea $K = \mathbb{R}$, $V = \mathbb{R}^n$
  Definamos $\forall u,v \in V (\langle u , v \rangle = u \cdot v)$. Este producto escalar $\langle\;\; ,\;\rangle$ es definido positivo.

Justificación. $\forall v \in V:$ $\langle v , v \rangle = v \cdot v = x_1^2+\cdots +x_n^2 \geq 0$
$\langle v,v \rangle = 0 \iff x_1^2+\cdots +x_n^2 = 0 \iff \forall i (x_i^2=0) \iff v = \theta_{\mathbb{R}^n}$

• Sea $K = \mathbb{R}$, $V = \mathbb{R}^n$
  Sea $\mu \in \mathbb{R}$
  Deefinamos para todos $u = (x_1 , … , x_n)$, $v = (y_1 , … , y_n) \in \mathbb{R}^n$ $\langle u,v \rangle = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \mu x_i y_i = \mu (u \cdot v) $. Tenemos que $\langle\;\; ,\;\rangle$ es un producto escalar y es:
  definido positivo si y sólo si $\mu > 0$,
  no degenerado si y sólo si $\mu \neq 0.$

Justificación. Primero veremos que es un producto escalar y después analizaremos qué pasa en los casos de $\mu > 0$ y $\mu \neq 0$

Veamos que. $\langle \;\;,\; \rangle $ es un producto escalar.

Sean $u,v,w \in \mathbb{R}^n$ y $\lambda , \mu \in \mathbb{R}$. Gracias a las propiedades del producto punto usual en $\mathbb{R}^n$ tenemos que

$\langle v , u \rangle = \mu ( v \cdot u ) = \mu ( u \cdot v ) = \langle u , v \rangle$

$\langle u+v , w \rangle = \mu ( (u+v) \cdot w ) = \mu ( u \cdot w + v \cdot w )$ $= \mu ( u \cdot w ) + \mu ( v \cdot w ) = \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle$

$\langle \lambda u,v \rangle = \mu (( \lambda u ) \cdot v) = \mu (\lambda (u \cdot v)) = \lambda (\mu (u \cdot v)) = \lambda \langle u , v \rangle .$

Analicemos ahora en qué casos es definido positivo y en cuáles es no degenerado:

Caso 1 $\mu = 0$.

$\langle v,w \rangle = \mu (v \cdot w) = 0$ para cualesquiera $v,w \in \mathbb{R}^n$
Por lo tanto, $\left( \mathbb{R}^n \right)^{\perp} = \mathbb{R}^n$.
Entonces para todo $w\in \mathbb{R}^n$ $\langle v,w \rangle = 0$ sin necesidad de que $v = \theta_{\mathbb{R}^n}$, por lo cual es un producto degenerado y no es definido positivo.

Caso 2 $\mu \neq 0$.

Sea $v \in \mathbb{R}^n$ tal que $\langle v,w \rangle = 0$ para todo $w \in \mathbb{R}^n$.
En particular $0 = \langle v , v \rangle = \mu (v \cdot v) = \mu (x_1^2+\cdots +x_n^2 )$
Como $\mu \neq 0$, entonces $x_1^2+\cdots +x_n^2 = 0$, por lo que $x_i^2=0$ para toda $i$, lo que implica que $v = \theta_{\mathbb{R}^n}$.

$\therefore \langle \;\; , \;\rangle$ es no degenerado.

Caso 2.a $\mu > 0$

$\langle v,v \rangle = \mu (v \cdot v) = \mu (x_1^2+\cdots +x_n^2) \geq 0$ para toda $v \in \mathbb{R}^n$.

Dado $v \in \mathbb{R}^n$, se tiene que si $0 = \langle v , v \rangle$, entonces $0 = \langle v , v \rangle = \mu (v \cdot v) = \mu (x_1^2+\cdots +x_n^2 )$, pero como $\mu > 0$, entonces $x_1^2+\cdots +x_n^2 = 0$, por lo que $x_i^2=0$ para toda $i$, y esto solo ocurre si $v = \theta_{\mathbb{R}^n}.$

$\therefore \langle \;\; , \; \rangle$ es definido positivo.

Caso 2.b $\mu < 0$

Sabemos que si $v = \theta_{\mathbb{R}^n}$, entonces $\langle v,v \rangle = 0$.

Pero si $v \neq \theta_{\mathbb{R}^n}$, entonces $x_1^2+\cdots +x_n^2>0$. Como además $\mu<0$, tenemos que $\langle v,v \rangle = \mu (x_1^2+\cdots +x_n^2) < 0$, por lo cual el producto escalar no es definido positivo.

Tarea Moral

1. Sean $K = \mathbb{R}$ y $V = \mathbb{R}^2$.
   Considera el producto $\langle (x_1 , y_1) , (x_2 , y_2) \rangle = x_1 x_2 – y_1 y_2$ para cualesquiera $(x_1 , y_1) , (x_2 , y_2) \in \mathbb{R}^2$.
   ¿Es un producto escalar?
   En caso de que sí lo sea: ¿Es no degenerado? ¿Es definido positivo?
2. Sean $K = \mathbb{R}$ y $V = \mathbb{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$
   Considera el producto $\langle A,B \rangle = tr(A^{T} B)$ para cualesquiera $A,B \in \mathbb{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$
   ¿Es un producto escalar?
   En caso de que sí lo sea: ¿Es no degenerado? ¿Es definido positivo?
   Responde las mismas preguntas si ahora consideramos el producto $\langle A,B \rangle = tr(A B)$ para cualesquiera $A,B \in \mathbb{M}_{n \times n}(\mathbb{R})$.

Más adelante…

Ahora buscaremos trabajar con productos en espacios vectoriales que se comporten lo suficientemente bien para poder generalizar nociones importantes que se tienen en $\mathbb{R^n}$, a los que llamaremos productos internos. Esto nos permitirá traducir ideas geométricas al lenguaje del álgebra, permitiendo que las herramientas geométricas se apliquen en espacios abstractos —por ejemplo, espacios de funciones, de imágenes o de datos— donde la intuición visual ya no alcanza.

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