3.8. MATRICES CONJUGADAS: matrices de cambio de base

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

El resultado que veremos nos dice que si conocemos la matriz asociada a una transformación respecto a ciertas bases y queremos saber cómo se ve esa transformación con respecto a otras bases, basta con conjugarla usando las matrices de cambio de base correspondientes.

Una continuación muy clara de la entrada anterior: las matrices usadas para realizar cambios de base.
Pero esta vez pensando en el inicio y final de una transformación.

Recordemos que las matrices no son la transformación, sino una forma de describirla que depende de las bases elegidas.

Teorema (3.8.1.): Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente. Sean $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $\Gamma$ y $\Gamma’$ bases ordenadas de $W$. Sea $T \in \mathcal{L}(V,W)$.
Se cumple que existen $P \in \mathcal{M}_{m \times m}(K)$ y $Q \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertibles tales que $[ T ]_{B’}^{\Gamma’} = P^{-1} [ T ]_{B}^{\Gamma} Q.$

Demostración:

Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensiones finitas $n$ y $m$ respectivamente, $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $\Gamma$ y $\Gamma’$ bases ordenadas de $W$. Consideremos $T \in \mathcal{L}(V,W)$. Usando la proposición (3.6.1) de la entrada 3.6 tenemos que:

$[ id_W ]_{\Gamma}^{\Gamma’} [ T ]_{B}^{\Gamma} [ id_V]_{B’}^{B}$$=[ id_W \circ T \circ id_V]_{B’}^{\Gamma’}$$=[ T]_{B’}^{\Gamma’}$

Si definimos $P = [ id_V ]_{\Gamma’}^{\Gamma}$ y $Q = [ id_V ]_{B’}^{B}$, entonces por el corolario (3.6.2) de la entrada 3.6 notamos que $P \in \mathcal{M}_{m \times m}(K)$ y $Q \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ son invertibles y dado que $P^{-1} = [ id_V ]_{\Gamma}^{\Gamma’}$, tenemos: $P^{-1} [ T ]_{B}^{\Gamma} Q = [ T ]_{B’}^{\Gamma’}.$

Corolario (3.8.2.): Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $T \in \mathcal{L}(V,V)$. Se cumple que:

Existe $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible tal que $[ T ]_{B’}^{B’} = P^{-1} [ T ]_{B}^{B} P.$

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$, $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ y $T \in \mathcal{L}(V,V)$.

Consideremos la matriz $P = [ id_V ]_{B’}^{B} \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$.
Entonces por el corolario (3.6.2) de la entrada 3.6 $P$ es invertible con $P^{-1} = [ id_V ]_{B}^{B’}$. Además, usando la proposición (3.6.1) de la entrada 3.6 tenemos que

$P^{-1} [ T ]_{B}^{B} P$$=[ id_V ]_{B}^{B’} [ T ]_{B}^{B} [ id_V ]_{B’}^{B}$$=[id_V \circ T \circ id_V ]_{B’}^{B’}$$=[ T ]_{B’}^{B’}.$

Definición: Sean $A, C \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$. Si existe $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible tal que $A = P^{-1} C P,$ decimos que $A$ y $C$ son matrices conjugadas.

En el corolario anterior, las matrices $[ T ]_{B’}^{B’}$ y $[ T ]_{B}^{B}$ son matrices conjugadas.

Ejemplo

  • Sea $T : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la reflexión con respecto a $\mathcal{L} = \langle (2,1) \rangle$. Sean $B’ = (e_1 , e_2)$ y $B = ((2,1) , (-1,2))$.
    $[T ]_{B’}^{B’} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$

Justificación. $[ T ]_{B’}^{B’}$ $= [ id_{\mathbb{R}^2} ]_{B}^{B’} [ T ]_{B}^{B} [ id_{\mathbb{R}^2}]_{B’}^{B}$ $= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ $=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ $=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}$

Veamos ahora que todo par de matrices conjugadas son las matrices asociadas a una misma transformación lineal, con respecto a ciertas bases:

Teorema (3.8.3.): Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$.
Si $A, C \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ son tales que $A = P^{-1} C P$ para alguna $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible, entonces se cumple que:

Existen $T \in \mathcal{L}(V,V)$ y $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ tales que $[ T ]_{B}^{B} = A$ y $[ T ]_{B’}^{B’} = C.$

Demostración: Sea $V$ un $K$ – espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $A, C \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$. Supongamos que $A = P^{-1} C P$ para alguna $P \in \mathcal{M}_{n \times n}(K)$ invertible.

Buscamos $B$ y $B’$ bases ordenadas de $V$ con $P = [ id_V ]_{B}^{B’}$.

Consideremos $B’ = (w_1 , … , w_n)$ cualquier base ordenada de $V$ y $B = (v_1 , … , v_n)$ con $v_j = p_{1j}w_1 + … + p_{nj}w_n.$

Veamos que $B$ es también una base ordenada de $V$:

1) Veamos que es l.i.
Sean $\lambda_1 , … , \lambda_n \in K$ tales que $\theta_V = \lambda_1 v_1 + … + \lambda_n v_n$.

$\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= [ \theta_V ]_{B’}$ $= [ \lambda_1 v_1 + … + \lambda_n v_n ]_{B’}$ $= \lambda_1 [ v_1 ]_{B’} + .. + \lambda_n [ v_n ]_{B’}$ $= \lambda_1 \begin{pmatrix} p_{11} \\ \vdots \\ p_{n1} \end{pmatrix} + … + \lambda_n \begin{pmatrix} p_{1n} \\ \vdots \\ p_{nn} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} \lambda_1 p_{11} + … + \lambda_n p_{1n} \\ \vdots \\ \lambda_1 p_{n1} + … + \lambda_n p_{nn} \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} p_{11} & … & p_{1n} \\ \vdots \\ p_{n1} & … & p_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$ $= P \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$

Entonces $\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= P \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$

y en consecuencia $P^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}.$

Así, $\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$

$\therefore \lambda_1 = … \lambda_n = 0$

2) $| B | = n = \dim V$.

Dado que la lista $B=(v_1 , … , v_n)$ es linealmente independiente, en particular no tiene repeticiones, es decir $v_i\neq v_j$ para todo $i\neq j$. Entonces, $| B | = n = \dim V$.

Por 1) y 2), $B$ es una base ordenada de $V$.

Dado que definimos $P = [ id_V ]_{B}^{B’}$, entonces $P^{-1} = [ id_V ]_{B’}^{B}$.

Sabemos que existe $T : V \longrightarrow V$ lineal con $C = [ T]_{B’}^{B’}$ (ya que por el teorema (3.5.2) de la entrada 3.5 la transformación $\psi : \mathcal{L}(V,V) \longrightarrow \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ con $\psi (S) = [S ]_{B’}^{B’}$ para toda $S\in \mathcal{M}_{n \times n} (K)$ es un isomorfismo). Veamos ahora que $A = [ T ]_{B}^{B}$. Como $A = P^{-1} C P$, usando la la proposición (3.6.1) de la entrada 3.6 tenemos que

$A = P^{-1} C P$ $= [ id_V ]_{B’}^{B} [ T ]_{B’}^{B’}[id_V ]_{B}^{B’}$ $= [ id_V \circ T \circ id_V ]_{B}^{B} = [ T ]_{B}^{B}$.

Proposición (3.8.4.): Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente y $T \in \mathcal{L}(V,W)$.
Entonces existen $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ tales que:

$[ T ]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} I_r & 0_{r \times (n-r)} \\ 0_{(m-r) \times r} & 0_{(m-r) \times (n-r)} \end{pmatrix}$ con $r = \dim Im T$

Demostración: Sean $V$ y $W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita $n$ y $m$ respectivamente y $T \in \mathcal{L}(V,W)$. Sea $s =\dim Núc T$ y $\{ u_1 , … , u_s \}$ una base de $Núc T$.
Completamos a una base ordenada de $V$: $B = (v_1 , … , v_r , u_1 , … , u_s)$ con $n = r+s$.

Por el Teorema de la dimensión, teorema (2.3.1.) de la entrada 2.3:
$\dim Im T$ $= \dim V – \dim Núc T$ $= n-s = r.$
Por la demostración de ese teorema $( T(v_1) , … , T(v_r) )$ es una base ordenada de $Im T$.
Completamos a una base ordenada de $W$: $\Gamma = ( T(v_1) , … , T(v_r) , w_1 , … , w_t ).$

Para $j \in \{ 1 , … , r \}$: $[ T(v_j) ]_{\Gamma}= e_j$.
Para $j \in \{ 1 , … , s \}$: $[ T(u_j) ]_{\Gamma} =[ \theta_W ] = 0_{m \times 1}.$

Entonces, $[ T ]_{B}^{\Gamma} = \begin{pmatrix} I_r & 0_{r \times (n-r)} \\ 0_{(m-r) \times r} & 0_{(m-r) \times (n-r)} \end{pmatrix}$ con $r = \dim Im T$.

Tarea Moral

  1. Sean $V=W= \mathbb{R}^2$ y $T \in \mathcal{L}(V,W).$
    Considera $B = ( (1,1) , (1,-1) )$ base ordenada de $\mathbb{R}^2$ y $\mathcal{C}$ la base canónica de $\mathbb{R}^2.$
    Sea $A = [ T ]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
    Encuentra $[ T ]_{B}^{B}$
    Sugerencia: $[ T ]_{B}^{B} = P^{-1}AP$ donde $P$ es la matriz de cambio de base de $B$ a $\mathcal{C}$
  2. Considera las siguientes matrices:
    $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$
    $P = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$
    $A = P^{-1}CP.$
    Sea $B’ = ( (1,1) , (1,2) )$ una base ordenada de $\mathbb{R}^2.$
    Encuentra $T \in \mathcal{L} ( \mathbb{R}^2 , \mathbb{R}^2)$ (dando de manera explicita su regla de correspondencia) y $B$ (otra base ordenada de $\mathbb{R}^2$) tales que $A = [ T ]_{B}^{B}$ y $C = [ T ]_{B’}^{B’}.$

Más adelante…

Abriremos la puerta a una nueva manera de “medir” y “orientar” los vectores, no solo en el plano o el espacio, sino en cualquier espacio vectorial. Definiremos el concepto de producto interno y veremos cómo éste nos permite hablar de «ángulos y ortogonalidad» en contextos abstractos. Eso dará lugar al subespacio ortogonal, el cual permite descomponer espacios vectoriales en partes independientes que pueden estudiarse por separado, simplificando muchos problemas algebraicos y geométricos.

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