3.2. MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: definición y ejemplos

Por Jennyfer Paulina Bennetts Castillo

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

INTRODUCCIÓN

Cuando aprendimos sobre transformaciones lineales, vimos cómo una regla sencilla puede convertir un vector en otro dentro de un espacio. Pero, ¿cómo podemos representar esa transformación de manera compacta, ordenada y útil para hacer cálculos? Aquí es donde entra la matriz asociada a una transformación lineal: una herramienta poderosa que traduce la acción de transformar en un lenguaje que ya conocemos muy bien.

Además de ayudarnos a manejar las transformaciones lineales, las matrices nos permiten ingresar las instrucciones a los ordenadores
Si este video te gustó, podrías despúes investigar cómo se relacionan la geometría proyectiva, los videojuegos y el álgebra lineal

Relacionar una transformación lineal con una matriz nos permite aprovechar todas las ventajas del álgebra matricial: sumar, multiplicar, invertir, y entender cómo se comportan los vectores al pasar por la transformación. Descubrir que detrás de cada transformación hay una matriz que la representa es como encontrar el “manual de instrucciones” que hace el trabajo detrás de escena. Ahora aprenderemos cómo construir ese manual y por qué es tan útil.

Nota: Dada $A=\begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m \times n}(K)$ con $K$ un campo, la columna $j$ de $A$ se denotará por $col_j(A)= \begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$.

MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición: Sean $V,W$ $K$-espacios vectoriales de dimensión finita, $B = (v_1,v_2,…,v_n)$, $\Gamma = (w_1,w_2,…,w_m)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente y $T\in\mathcal{L}(V,W)$. Llamamos matriz de $T$ respecto a $B$ y $\Gamma$ a la matriz $[ T ]^{\Gamma}_{B}$$\in\mathcal{M}_{m\times n}(K)$ donde para toda $j\in \{ 1,2,…n \}$ tenemos que $col_j( [ T ]^{\Gamma}_{B} )=[ T(v_j) ]_{\Gamma}$.

Observación: Si $[ T ]^{\Gamma}_{B}= \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1j} & … & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mj} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, entonces $T(v_j)= a_{1j}w_1 + … + a_{mj}w_m$.

Ejemplos

  • Sean $V=\{ a+bx+cx^2 + dx^3 | a,b,c,d\in\mathbb{R} \}$, $W=\{ e+fx+gx^2 | e,f,g\in\mathbb{R} \}$ y $T:V\longrightarrow W$ donde $\forall p(x)\in V (T(p(x))=p'(x)$.
    Sean $B =(1,x,x^2,x^3)$, $\Gamma =(1,x,x^2)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente.
    Entonces se cumple que:
    $[T ]^{\Gamma}_{B}= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ y $\forall p(x)\in V \;([ T(p(x))]_{\Gamma} = [ T]^{\Gamma}_{B} [ p(x) ]_{B})$

Justificación. Tenemos que:
$T(1)=1’=0$. Así, $T(1)=(0)1+0x+0^2$.
$T(x)=x’=1$. Así, $T(x)=(1)1+0x+0x^2$.
$T(x^2)=(x^2)’=2x$. Así, $T(x^2)=(0)1+2x+0x^2$.
$T(x^3)=(x^3)’=3x^2$. Así, $T(x^3)=(0)1+0x+3x^2$.

$[T ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}_{3 \times 4}$

Ahora bien, sea $p(x)=a + bx + cx^2 + dx^3 \in V$.
Entonces $[p(x)]_{B} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$ y $T(p(x))=p'(x)=b+2cx+3dx^2$.

Por lo tanto, $[T ]^{\Gamma}_{B} [ p(x) ]_{B} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 2c \\ 3d \end{pmatrix} =[ T(p(x))]_{\Gamma}$.

  • Sean $V=\{ a+bx+cx^2 + dx^3 | a,b,c,d\in\mathbb{R} \}$, $W=\{ e+fx+gx^2 | e,f,g\in\mathbb{R} \}$.
    Sean $B =(1,x,x^2,x^3)$, $\Gamma =(1,x,x^2)$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente. Si $S\in \mathcal{L}(V,W)$ es tal que $[S ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$, entonces $\forall a+bx+cx^2+dx^3\in V \;(S(a+bx+cx^2+dx^3)$$=(a-b+4d)+(b+2c+d)x+(a+c+2d)x^2)$

Justificación. Sea $a+bx+cx^2+dx^3\in V$.
$S(1)=1(1)+0x+1x^2=1+x^2$
$S(x)=-1(1)+1x+0x^2=-1+x$
$S(x^2)=0(1)+2x+1x^2=2x+x^2$
$S(x^3)=4(1)+1x+2x^2=4+x+2x^2$

Entonces $S(a+bx+cx^2+dx^3)=aS(1)+bS(x)+cS(x^2)+dS(x^3)$$=a(1+x^2)+b(-1+x)+c(2x+x^2)+d(4+x+2x^2)$$=a+ax^2-b+bx+2cx+cx^2+4d+dx+2dx^2$$=(a-b+4d)+(b+2c+d)x+(a+c+2d)x^2$

  • Sea $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ donde $\forall (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 (T(x,y,z)=(2x+y,x-y+3z))$.
    Sean $B = ((1,2,0),(0,3,4),(1,-1,0))$ y $\mathcal{C}_3=(e_1,e_2,e_3)$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^3$
    Sean $\Gamma = ((1,-1),(0,1))$ y $\mathcal{C}_2=(e_1,e_2)$ bases ordenadas de $\mathbb{R}^2$.
    Entonces $[T ]^{\mathcal{C}_2}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
    $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
    $[T ]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$
    $[ T ]^{\Gamma}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$

Justificación. Calculemos una a una:

$T(1,2,0)=(4,-1)=4e_1-1e_2$
$T(0,3,4)=(3,9)=3e_1+9e_2$
$T(1,-1,0)=(1,2)=1e_1+2e_2$
Entonces $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -1 & 9 & 2 \end{pmatrix}$

$T(e_1)=(2,1)=2e_1+1e_2$
$T(e_2)=(1,-1)=1e_1-1e_2$
$T(e_3)=(0,3)=0e_1+3e_2$
Entonces $[ T ]^{\mathcal{C}_2}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

$T(1,2,0)=(4,-1)=4(1,-1)+3(0,1)$
$T(0,3,4)=(3,9)=3(1,-1)+12(0,1)$
$T(1,-1,0)=(1,2)=1(1,-1)+3(0,1)$
Entonces $[ T]^{\Gamma}_{B} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 12 & 3 \end{pmatrix}$

$T(e_1)=(2,1)=2(1,-1)+3(0,1)$
$T(e_2)=(1,-1)=1(1,-1)+0(0,1)$
$T(e_3)=(0,3)=0(1,-1)+3(0,1)$
Entonces $[ T ]^{\Gamma}_{\mathcal{C}_3} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

Tarea Moral

  1. Sea $T: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^n$ con $T(x_1,x_2,…,x_n)=(x_n,x_{n-1},…,x_1)$
    Sea $B=\Gamma = (e_1,e_2,…,e_n)$ la base canónica
    Calcula $[T]^{\Gamma}_{B}.$
  2. Sea $T: \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ con $T(A)=A^t$.
    Sean $B=\Gamma=(E_{11},E_{1,2},E_{2,1},E_{22})$ la base canónica y
    $v=\begin{pmatrix} -7 & \frac{1}{2} \\ \pi & 0 \end{pmatrix}.$
    Calcula $[ T ]^{\Gamma}_{B}$ y $[ v ]_{B}$. Calcula $[ T(v)]_{\Gamma}$ y $[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}$ y compáralos.

Más adelante…

En la siguiente entrada nos centraremos en un único resultado:
Sean $V,W$ $K$ – espacios vectoriales de dimensión finita con $B$ y $\Gamma$ bases ordenadas de $V$ y $W$ respectivamente y $T\in \mathcal{L}(V,W)$.
Entonces para todo $v\in V$ se cumple que $[ T(v)]_{\Gamma} =[ T ]_{B}^{\Gamma} [ v ]_{B}.$

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