Consideremos la transformación de coordenadas polares $$T:(0,\mathrm{\infty })\times \mathbb{R}⟶{\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$$ $$(r,\theta )⟶(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$

En el dominio quitamos $r=0$ porque ahí la función no es inyectiva. Sin embargo, con este dominio, sigue sin ser inyectiva.

Vamos a ver opciones de dominio.

$A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ tales que $T{|}_A$ sea inyectiva.

¿Qué hace la función inversa?

$A=(0,\mathrm{\infty })\times (0,2\pi )$

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B={\mathbb{R}}^2\setminus \{(x,0)|x\ge 0\}$

¿Cuál es la regla de correspondencia de $T^{-1}:B\subset {\mathbb{R}}^2⟶A\subset {\mathbb{R}}^2$?

$$(x,y)⟶(r,\theta )$$ $$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

$\theta =\{\begin{array}{lcc}\arccos \frac{x}{\sqrt{x^{+}{y}^2}}& si& y>0con\arccos :(-1,1)\to (0,\pi )\\ \\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)& si& x<0con\arctan :(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})\\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}& si& y<0con\arccos :(-1,1)\to (\pi ,2\pi )\end{array}$

$\theta =f(x,y)$

El conjunto $B$ es abierto. Veamos que pasa si tomamos un punto en la frontera de $B$. Por ejemplo el punto $(1,0)$. Podemos calcular límites.

$$\{(x_n,y_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}⟶(1,0)$$

$x_n=1;y_n=\frac{1}{n}$

¿Existe el límite de $\{\theta (x_n,y_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}$ ?

El $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\theta (x_n,y_n)=0.$

$\{T^{-1}(x_n,y_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}⟶(1,0)$

$u_n=1;v_n=\frac{-1}{n}$

¿Existe el límite de $\{\theta (u_n,v_n){\}}_{n\in \mathbb{N}}$ ?

El $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\theta (u_n,v_n)=2\pi .$

Luego no existe el $\underset{(x,y)\to (1,0)}{lim}{T}^{-1}(x,y)$

Otra opción: $A=(0,\mathrm{\infty })\times (-\pi ,\pi )$

https://www.geogebra.org/classic/knrkr3yb

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B={\mathbb{R}}^2\setminus \{(x,0)|x\le 0\}$ entonces $\theta$ queda de la siguiente manera:

$\theta =\{\begin{array}{lcc}\arccos \frac{x}{\sqrt{x^{+}{y}^2}}& si& y>0con\arccos :(-1,1)\to (0,\pi )\\ \\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)& si& x>0con\arctan :(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\to (\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}& si& y<0con\arccos :(-1,1)\to (-\pi ,0)\end{array}$

ahora existe $\underset{(x,y)\to (1,0)}{lim}{T}^{-1}(x,y)$, nótese que además ahora el punto $(1,0)$ está en $B$, más aún $T^{-1}(1,0)=(1,0)$. Sin embargo, ahora el punto $(-1,0)$ no está en $B$. Al elegir perdemos algunos puntos.

Otra opción es definir $B={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,y)|y\ge 0\}$ y $A=(0,\mathrm{\infty })\times (\frac{-3\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

También puede ser $B={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,y)|y\le 0\}$ y $A=(0,\mathrm{\infty })\times (\frac{-\pi }{2},\frac{3\pi }{2})$

https://www.geogebra.org/classic/h2wjamfs

Otra opción diferente es:

Dada $f:(0,\mathrm{\infty })⟶\mathbb{R}$ consideramos la gráfica de $\theta =f(r)$

$A=\{(r,\theta )|r>0,f(r)–\pi <\theta <f(r)+\pi \}$

$f(r)=r;r=\theta$ es una espiral.

$T{|}_A$ es inyectiva.

$$T(r_1,{\theta }_1)=T(r_2,{\theta }_2)$$

$$r_1=r_2$$

y $\theta$ queda bien definida.

https://www.geogebra.org/classic/havzdrbv

Ejemplo

$A=\{(r,\theta )|r>0,r–\pi <\theta <r+\pi \}$

En la circunferencia de radio $\pi .$

$$x^2+y^2={\pi }^2$$

En la circunferencia de radio $2\pi .$

$$x^2+y^2=(2\pi {)}^2$$