Consideremos la transformación de coordenadas polares $$T : (0, \infty ) \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2 \setminus \{ (0, 0)\}$$ $$(r, \theta) \longrightarrow (x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$$

En el dominio quitamos $r = 0$ porque ahí la función no es inyectiva. Sin embargo, con este dominio, sigue sin ser inyectiva.

Vamos a ver opciones de dominio.

$A \subseteq \mathbb{R}^2$ tales que $T |_A$ sea inyectiva.

¿Qué hace la función inversa?

$A = (0, \infty) \times (0, 2\pi)$

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (x, 0) | x \geq 0 \}$

¿Cuál es la regla de correspondencia de $T^{-1}: B \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow A \subset \mathbb{R}^2 \; $?

$$ (x, y) \longrightarrow (r, \theta)$$ $$ r = \sqrt{ x^2 + y^2 }$$

$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x < 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (\pi, 2\pi) \end{array} \right.$

$\theta = f (x, y)$

El conjunto $B$ es abierto. Veamos que pasa si tomamos un punto en la frontera de $B$. Por ejemplo el punto $(1, 0)$. Podemos calcular límites.

$$\{ (x_n, y_n) \}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1, 0)$$

$x_n = 1; y_n = \frac{1}{n}$

¿Existe el límite de $\{ \theta (x_n, y_n) \}_{n \in \mathbb{N}}$ ?

El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( x_n, y_n) = 0.$

$\{ T^{-1} (x_n, y_n)\}_{n \in \mathbb{N}} \longrightarrow (1,0)$

$u_n = 1; v_n = \frac{-1}{n}$

¿Existe el límite de $\{ \theta (u_n, v_n) \}_{n \in \mathbb{N}}$ ?

El $\lim_{n \rightarrow \infty} \theta( u_n, v_n) = 2\pi.$

Luego no existe el $\lim_{(x,y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$

Otra opción: $A = (0, \infty) \times (-\pi, \pi)$

https://www.geogebra.org/classic/knrkr3yb

La imagen de $A$ bajo $T$ es $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{ (x, 0) | x \leq 0 \}$ entonces $\theta$ queda de la siguiente manera:

$\theta = \left \{ \begin{array}{lcc} \arccos \frac{x}{\sqrt{x^+y^2}} & si & y > 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (0, \pi) \\ \\ \arctan \left( \frac{y}{x} \right) & si & x > 0 \; con \; \arctan : (-\infty, \infty) \rightarrow (\frac{- \pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \\ \\ \arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & si & y < 0 \; con \; \arccos: (-1, 1) \rightarrow (-\pi, 0) \end{array} \right.$

ahora existe $\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 0)} T^{-1} (x, y)$, nótese que además ahora el punto $(1, 0)$ está en $B$, más aún $T^{-1}(1,0) = (1,0)$. Sin embargo, ahora el punto $(-1, 0)$ no está en $B$. Al elegir perdemos algunos puntos.

Otra opción es definir $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, y) | y \geq 0 \}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{-3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

También puede ser $B = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0, y) | y \leq 0 \}$ y $A = (0, \infty) \times (\frac{- \pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$

https://www.geogebra.org/classic/h2wjamfs

Otra opción diferente es:

Dada $f : (0, \infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ consideramos la gráfica de $\theta = f(r)$

$A = \{ (r, \theta) | r > 0, f(r) – \pi < \theta < f(r) + \pi \}$

$f(r) = r ; \; \; r = \theta $ es una espiral.

$T|_A$ es inyectiva.

$$T (r_1, \theta_1) = T (r_2, \theta_2)$$

$$r_1 = r_2$$

y $\theta$ queda bien definida.

https://www.geogebra.org/classic/havzdrbv

Ejemplo

$A = \{(r, \theta) | r>0, \, r- \pi < \theta < r + \pi \}$

En la circunferencia de radio $\pi.$

$$x^2+y^2=\pi^2$$

En la circunferencia de radio $2\pi.$

$$x^2+y^2=(2\pi)^2$$