27. Material de prueba: Conjuntos compactos

Por Mariana Perez

Motivación: para funciones $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ un teorema importante es que dada $f \big|_{[a, b]} \longrightarrow \mathbb{R}$, y $f$ continua, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

La generalización es, si $f$ es continua, $f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}; f \big|_K$ con $ K $ compacto, entonces $f$ alcanza un valor máximo y un valor mínimo.

Definición: Sea $K \subseteq \mathbb{R}^n$.

Decimos que una familia de abiertos $\big\{ A_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}$ es una cubierta abierta de $K$ si $$K \subseteq \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$$

Decimos que $K$ es compacto si toda cubierta abierta de $K$ tiene una subcubierta finita. Existe $\{ A_1, A_2, …, A_n\} $ con $ A_i \in \big\{ A_{\lambda} \big\}_{\lambda \in \Lambda}.$ $$K \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^n A_i$$

Proposición: Todo conjunto compacto es cerrado y acotado.

Demostración:

Sea $K$ un conjunto compacto.

$\big[$ (a) por demostrar: $K$ es cerrado, es decir $K = \overline{K} = K \cup \partial K \big]$

Basta demostrar que $ \partial K \subseteq K. $

Supongamos que existe $\vec{L} \in \partial K $ tal que $\vec{L} \neq K. $

Como $\vec{L} \in \partial K $ en toda vecindad perforada de $\vec{L} $ existen elementos de $K.$

Consideremos la siguiente cubierta abierta de $K.$

$A_1 = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > 1 \big\}$

$A_2 = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{2} \big\}$

$\vdots$

$A_i = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \|\vec{x} \, – \, \vec{L} \| > \frac{1}{i} \big\}$

$\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ es una cubierta abierta de $K.$

$$K \subseteq \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} A_i = \mathbb{R}^n \setminus \{ \vec{L}\}$$

y cada $A_i$ es abierto, por que son exteriores de un círculo.

Como $K$ es compacto existe una subcubierta finita y $K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_m}.$

Sea $N = máx \big\{ i_1, i_2, \dots, i_m \big\}$ por lo que $K \subseteq A_N.$

Entonces $\vec{L}$ seria un punto aislado. (CONTRADICCIÓN; pues $\vec{L}$ está en $\partial K$)

$\therefore$ $K$ es cerrado.

$\big[$ (b) por demostrar: $K$ es acotado. $\big]$

Plan: proponer una cubierta de $K$ que sea conveniente para lo que queremos demostrar.

Sea $A_m = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \| x\| < m \big\}$ abiertos.

Entonces $ \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m = \mathbb{R}^n $ y $ K \subseteq \bigcup\limits_{m \in \mathbb{N}} A_m.$

Pero como $K$ es compacto, existe una subcubierta finita tal que $ K \subseteq A_{i_1} \cup A_{i_2} \cup \dots \cup A_{i_r}.$

Sea $M = máx \big\{ i_1, i_2, \dots, i_r \big\}.$

Luego $K \subseteq A_M = \big\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \big| \, \| \vec{x} \| < M \big\}$

$\therefore K $ está acotado. $_{\blacksquare}$

https://www.geogebra.org/classic/sawfrk66

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