Teoría de los Conjuntos I: Buenos órdenes

Introducción.

En esta sección trataremos con un tipo particular de conjuntos ordenados, en donde será de mucha importancia el concepto de mínimo.

Concepto

Definición: Sea $(A,\leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Decimos que $A$ es un conjunto bien ordenado si cada subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. En este caso al orden $\leq$ se le llama buen orden.

Ejemplo:

Consideremos el conjunto $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ ordenado con la inclusión. Afirmamos que $(A,\subseteq)$ es un buen orden. En efecto: supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto no vacío. Tenemos distintas posibilidades para $B$ y son las siguientes: $B=\set{\emptyset}$ o bien $B=\set{\set{\emptyset}}$ o bien $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Si $B=\set{\emptyset}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$. Si $B=\set{\set{\emptyset}}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\set{\emptyset}$. Finalmente, si $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entones $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$, pues $\emptyset\subseteq\emptyset$ y $\emptyset\subseteq\set{\emptyset}$.

Así, en cualquier caso $B$ tiene mínimo. Por lo tanto, $(A,\subseteq)$ es un conjunto bien ordenado.

$\square$

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un conjunto bien ordenado $(A,\leq)$. A partir de este conjunto bien ordenado construiremos otro conjunto que también resultará ser bien ordenado.

Por el Axioma de Buena Fundación sabemos que $A\notin A$, por lo cual, $W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío distinto de $A$. Definamos la relación de orden $\preceq$ en $W$ como sigue: $A\preceq A$, $a\preceq A$ para todo $a\in A$ y $a_1\preceq a_2$ si y sólo si $a_1\leq a_2$ para cualesquiera $a_1,a_2\in A$.

Notemos que esta nueva relación de orden definida en $W$ coincide con la relación de orden de $A$ si nos restringimos únicamente a comparar elementos de $A$.

Afirmamos que $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado. Para mostrarlo supongamos que $B\subseteq W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío y veamos que tiene mínimo en el orden $\preceq$. Si $B=\set{A}$, entonces el mínimo de $B$ es $A$.

Podemos suponer ahora que $B\cap A\not=\emptyset$.

Como $B\cap A\subseteq A$ es un conjunto no vacío, entonces tiene un elemento mínimo en el orden $\leq$. Sea $b\in B\cap A$ el mínimo de este conjunto en el orden $\leq$ y veamos que $b\preceq x$ para cualquier $x\in B$. Supongamos entonces que $x\in B$ es cualquier elemento. Si $x\in B\cap A$, entonces $b\leq x$ y en consecuencia, $b\preceq x$. Si ahora $x\notin B\cap A$ se sigue que $x=A$ y, por definición de la relación $\preceq$, sabemos que $b\preceq A$, por lo que $b\preceq x$. De esta manera, $b=\min(B)$ en el orden $\preceq$.

Esto demuestra que cualquier subconjunto no vacío de $W$ tiene mínimo y, por tanto, $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado.

$\square$

Ahora, veamos una consecuencia directa de que un conjunto sea bien ordenado.

Proposición: Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.

Demostración:

Como $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, todo subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. Así, si tomamos dos elementos cualesquiera $a_1,a_2\in A$ se sigue que $\set{a_1,a_2}$ es un subconjunto no vacío de $A$, por lo que tiene elemento mínimo. En consecuencia, $a_1\leq a_2$ o $a_2\leq a_1$.

Esto demuestra que cualesquiera dos elementos de $A$ son $\leq-$comparables, por lo que $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.

$\square$

Veamos ahora algunos resultados relacionados con conjuntos acotados en un conjunto bien ordenado.

Proposición: Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado. Se cumple lo siguiente:
Si $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente, entonces, $B$ tiene supremo.

Demostración:

Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado.
Supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente. Sea $C=\set{a\in A:(\forall b\in B)(b\leq a)}$, el cual es un subconjunto no vacío de $A$, pues por hipótesis $B$ está acotado superiormente, es decir, existe $a\in C$.

Como $A$ está bien ordenado por $\leq$, entonces, existe el mínimo de $C$ en el orden $\leq$, es decir, existe $c\in A$ tal que $c=\min(C)$. Luego, como $c$ es el mínimo del conjunto de cotas superiores de $B$, concluimos que $c=\sup(B)$.

Esto demuestra que todo subconjunto de $A$ que esté acotado superiormente tiene supremo, lo cual concluye la prueba.

Por la proposición anterior y el hecho de que todo subconjunto no vacío de un conjunto bien ordenado tiene mínimo, podemos concluir lo siguiente:

Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado y $B\subseteq A$ es no vacío y acotado superiormente (inferiormente), entonces, $B$ tiene una mínima cota superior (máxima cota inferior).

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar lo aprendido en esta sección:

  • Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos bien ordenados. Demuestra que el orden lexicográfico horizontal en $A\times B$ es un buen orden.
  • Demuestra que si $A$ admite un buen orden, entonces $\mathcal{P}(A)$ admite un orden lineal.
  • Sea $(A, \leq_A)$ un conjunto totalmente ordenado. Prueba que existe $L\subseteq A)$ tal que
    1) $\leq_A$ es un buen orden en $L$,
    2) para cualquier $x\in A$ existe $y\in L$ tal que $x\leq_A y$.

Más adelante

En la siguiente entrada hablaremos acerca de funciones que relacionan conjuntos ordenados, tales funciones poseerán la característica de ser biyectivas y llevaran el nombre de isomorfismos.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de buenos órdenes:

Álgebra Superior II: El principio del buen orden

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