Introducción
De manera intuitiva podemos considerar a un espacio métrico como un conjunto en el cual se puede hablar de la “distancia” entre sus elementos, por lo que definir lo que entendemos por distancia es de suma importancia. Para ello en esta entrada introduciremos los conceptos de distancia o métrica y espacio métrico. Es importante considerar que estos conceptos se analizan en primera instancia en un curso de Cálculo III y con mayor detalle en un curso de Análisis Matemático, por lo que es recomendable acompañar estos conceptos con algún material complementario, pues algunos resultados de los espacios métricos se darán por válidos y/o conocidos. Puedes consultar los libros Metric Spaces de Satish Shirali y Metric Spaces de Mícheál Ó Searcoid, o cualquier libro sobre topología de espacios métricos.
En la entrada anterior la métrica euclidiana
Hablar de la «topología» en
Lo anterior nos motiva a definir algunos conjuntos de puntos de
como un espacio métrico
Definición 7.1. (Métrica y espacio métrico.)
Un conjunto
. si y solo si .- Simetría:
. - Desigualdad del triángulo:
.
Dicha función
Ejemplo 7.1.
- a) Consideremos al conjunto de los números reales
. La función dada por: utilizando las propiedades del valor absoluto es fácil verficar que es una métrica en .
- b) Si
, entonces para y en se define: - La función
es llamada la métrica euclidiana en .
- c) Sea
cualquier conjunto no vacío, entonces se define a la métrica discreta en como la función:
Usando la definición del módulo es fácil probar que la distancia euclidiana, dada en la definición 6.1 de la entrada anterior, es una función
Proposición 7.1. (El espacio métrico
El conjunto
Demostración. Sean
, se sigue de la definición del módulo de un número complejo.- Ejercicio.
- Ejercicio.
- Queremos probar que:
o equivalentemente que:
Sean
Observación 7.1.
De acuerdo con la proposición 7.1 y la definición 7.1 tenemos que
Definición 7.2.
Dado
De acuerdo con la entrada anterior sabemos que las ecuaciones:
Definición 7.3. (Disco o
Dado
Figura 40: Circunferencia de centro


de la circunferencia
Observación 7.2.
En ocasiones será necesario trabajar con una
Análogamente se puede hablar de un disco cerrado perforado como el conjunto
Definición 7.4. (Punto interior y conjunto abierto.)
Sea
Al conjunto de puntos interiores de
De acuerdo con la definición de
Figura 41: Disco abierto y cerrado con centro


Definición 7.5. (Conjunto cerrado.)
Un conjunto
Observación 7.3.
Comunmente denotaremos a los conjuntos abiertos de
Ejemplo 7.2.
Utilizando la desigualdad del triángulo es fácil verificar que:
- a) El conjunto
es abierto en , figura 42a.
- b) El conjunto
es cerrado en , figura 42b.
- c) El conjunto
no es abierto ni cerrado en , figura 43.
- d) Los conjuntos
y son conjuntos abiertos y cerrados en , ¿por qué?
Figura 42: Conjuntos del ejemplo 7.1 inciso a) y b).


Definición 7.6. (Punto exterior y punto frontera.)
Sea
Por otra parte, diremos que
Al conjunto de los puntos exteriores de
Definición 7.7. (Punto de acumulación o punto límite y punto aislado.)
Sea
Si se cumple que
Al conjunto de puntos de acumulación lo denotaremos como
Definición 7.8. (Punto de adherencia.)
Sea
Al conjunto de puntos de adherencia lo llamaremos la cerradura o la clausura de
De acuerdo con la definición de
De hecho, dado un espacio métrico
Proposición 7.2.
Consideremos al espacio métrico
Demostración.
Supongamos que
Supongamos que a
Ejemplo 7.3.
Veamos que no necesariamente todo punto de un conjunto cerrado debe ser un punto de acumulación del mismo. Consideremos al conjunto:
Es claro que
Definición 7.9. (Conjunto acotado.)
Un conjunto
Esta definición nos dice que
Ejemplo 7.4.
Sea
- a) Los puntos interiores de
son el conjunto .
- b) Los puntos exteriores de
son el conjunto .
- c) La frontera de
es el conjunto .
- d) Los puntos de acumulación de
son el conjunto .
- e) El punto
es un punto aislado de .
- f) Tomando
es claro que el conjunto es acotado ya que para todo .
De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo (y Análisis Matemático) sabemos que en un espacio métrico, en este caso en
Proposición 7.3.
Sea
- Los conjuntos
y son abiertos en . - Para todo
, la -vecindad de , es decir el conjunto: es un conjunto abierto en . - Para todo
, el disco cerrado, es decir el conjunto: es un conjunto cerrado en . . . . .- Si
, entonces:
a) .
b) . - La unión de un número arbitrario de conjuntos abiertos en
es también un conjunto abierto en . - La intersección de un número finito de conjuntos abiertos en
es un conjunto abierto en . - La intersección de un número arbitrario de conjuntos cerrados en
es también un conjunto cerrado en . - La unión de un número finito de conjuntos cerrados en
es un conjunto cerrado en .
Demostración.
- Ejercicio.
- Dadas las hipótesis, sea
. Tomemos y sea . Considerando la desigualdad del triángulo tenemos que para todo se cumple que: por lo que para todo .
- Dadas las hipótesis, sea
. Tomemos , entonces para todo existe: De acuerdo con la desigualdad del triángulo, para todo se cumple que: de donde se sigue que , por lo que . Entonces por lo tanto, todo disco cerrado es un conjunto cerrado en . - Ejercicio.
- Ejercicio.
- Ejercicio.
- Ejercicio.
- Ejercicio.
- Sea
, con un conjunto de índices, una colección de conjuntos abiertos en . Tomemos a , entonces , para algún , así por la definición 7.4 tenemos que existe tal que , por lo que es abierto. - Sean
subconjuntos abiertos de y sea . Tenemos que para , por lo que por la definición 7.4 se tiene que para cada existe tal que . Si tomamos a , entonces para cada , con , se cumple que . Entonces , por lo que es abierto. - Ejercicio.
- Ejercicio.
Es posible encontrar la prueba de estas propiedades en algún libro de topología o de topología de espacios métricos, como Topología de espacios métricos de Ignacio L. Iribarren.
Definición 7.10. (Conjunto denso.)
Sea
Ejemplo 7.5.
- a) El conjunto de los números racionales
es denso en con la métrica usual de , .
- b) El conjunto
es denso en con la métrica euclidiana.
Tarea moral
- Prueba que las siguientes funciones
, con , dadas por: son también una métrica en . - Considera la observación 7.2 y argumenta porqué esos conjuntos se pueden definir respectivamente como:
¿Cómo son esos conjuntos en ? ¿Cerrados, abiertos o ninguno de los dos? Describe al conjunto de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación y de adherencia. ¿Son acotados esos conjuntos? - Argumenta porqué los conjuntos
y son abiertos y cerrados en , ejemplo 7.2(c). - Completa la demostración de las proposiciones 7.1 y 7.3.
- Hasta ahora sabemos que
. Por otra parte, de nuestros cursos de cálculo sabemos que un intervalo abierto en , es decir el conjunto: es un conjunto abierto en . Prueba que dicho conjunto no es abierto en . - Utilizando la definición describe cómo son los siguientes conjuntos de
, es decir ¿son abiertos o cerrados o ninguna de las dos en ? ¿Son acotados?
a) Sean con , definimos: b) .
c) .
- Considera a los siguientes conjuntos:
a) .
b) .
c) .
De acuerdo con la proposición 7.2 tenemos que es un conjunto abierto en , mientras que y son conjuntos cerrados en . Describe los puntos interiores, exteriores y frontera de cada uno de los tres conjuntos.
- Considera al siguiente conjunto:
el cual está representado en la figura 46. Prueba que:
a) es un conjunto abierto en .
b) .
c) Los puntos de acumulación de son precisamente la clausura de , es decir .
d) no es cerrado en .
e) no es acotado en .
Más adelante…
En esta entrada hemos hecho una breve descripción de la topología de los espacios métricos, en particular analizamos la topología del plano complejo
En esta entrada hemos visto que existe una estrecha relación entre la topología de
La siguiente entrada abordaremos las sucesiones en
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