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Cálculo Diferencial e Integral I: Operaciones con sucesiones convergentes

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

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Introducción

Después de haber revisado la definición de sucesión convergente y haber calculado el límite de varias sucesiones, es momento de probar algunos resultados que nos permitan conocer qué sucede con las operaciones entre sucesiones convergentes. En esta entrada demostraremos que la suma y el producto de sucesiones convergentes dan lugar a nuevas sucesiones que convergen a la suma y producto de los límites respectivamente.

Suma de sucesiones convergentes

Daremos inicio con la prueba de que la suma sucesiones convergentes también converge y lo hace a la suma de los límites correspondientes.

Proposición. Sean $\{a_n \}$ y $\{ b_n \}$ dos sucesiones tales que
$$\lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ y } \lim_{n \to \infty} b_n = M$$
Entonces se tiene
$$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = L + M$$

Demostración.

Empleando la definición, lo que debemos demostrar es que para todo $\varepsilon > 0$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0$ se satisface que $|(a_n + b_n) – (L + M) |< \varepsilon$.

Iniciamos la prueba dando un valor arbitrario para épsilon. Sea $\varepsilon > 0$.

Notemos que 

$$|(a_n + b_n) – (L + M) | = |(a_n – L ) + (b_n – M) | \leq |a_n – L| + |b_n – L| \tag{1}$$

La observación (1) es particularmente útil ya que tenemos una expresión que podemos usar de forma individual para cada sucesión; por hipótesis, ambas sucesiones son convergentes, es decir,
$$\lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ y } \lim_{n \to \infty} b_n = M$$

Por tanto podemos tomar un valor arbitrario positivo, en este caso consideremos $\frac{\varepsilon}{2} > 0$, de tal forma que para este valor existe $n_1 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_1$, se cumple $$|a_n – L | < \frac{\varepsilon}{2} \tag{2}$$ 

Análogamente, existe $n_2 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_2$, se cumple $$|b_n – M | < \frac{\varepsilon}{2} \tag{3}$$

Consideremos $n_0 = max\{n_1, n_2 \}$. De esta forma, si $n \geq n_0$, se tiene que $n \geq n_1$ y $n \geq n_2$. Por tanto, si $n \geq n_0$, también se cumplen (2) y (3). Entonces

\begin{align*}
|(a_n + b_n) – (L+M)|& \leq |a_n – L| + |b_n – M| \text{, por (1)} \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \text{, por (2) y (3)} \\
& = \varepsilon
\end{align*}

$$\therefore |(a_n + b_n) – (L + M) | < \varepsilon$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = L + M$$

$\square$

La demostración anterior tiene varios puntos en los que hacer hincapié con el fin de poder aclarar dudas que podrían surgir. Iniciamos escribiendo lo que buscamos demostrar, que básicamente es ver que se cumple la definición de sucesión convergente; una vez aclarado lo que buscamos demostrar, se da un $\varepsilon$ arbitrario que sea positivo puesto que si se cumple para un valor cualquiera, entonces se cumple para todos, tal y como es requerido para cumplir la definición. Posteriormente, realizamos una manipulación algebraica de $|(a_n + b_n) – (L + M) |$ para entenderla en términos de cada sucesión, lo cual resulta muy útil dado que sabemos que dichas sucesiones convergen de forma individual. En el siguiente paso, se ocupa el hecho de que $\{ a_n \}$ y $\{ b_n \}$ convergen, es decir, cumplen que para cualquier valor positivo, existe un natural tal que a partir de dicho punto la distancia de los elementos de la sucesión están lo suficientemente cerca del límite; considerando que esto sucede para cualquier valor positivo, podemos especificar uno en particular y elegimos el valor positivo $\frac{\varepsilon}{2}$ y hacemos valer la definición para nuestras sucesiones. Finalmente, definimos el valor $n_0$ que habíamos estado buscando como el máximo de $n_1$ y $n_2$ y concluimos haciendo uso de los pasos anteriores.

A continuación probaremos qué sucede cuando se multiplica una sucesión por un valor real constante.

Proposición. Sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $\mathbb{R}$ y $k \in \mathbb{R}$, $k$ fijo, entonces 

$$\lim_{n \to \infty} k \cdot a_n = k \cdot L $$

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$

Notemos 

$$ |k \cdot a_n – k \cdot L| = |k(a_n – L)| = |k||a_n – L |$$

Así, consideremos $\frac{\varepsilon}{|k|} > 0 $. Como $$\lim_{n \to \infty} a_n = L,$$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0$

\begin{gather*}
\Rightarrow & |a_n – L | < \frac{\varepsilon}{|k|} \\ \\
\Rightarrow & |k||a_n – L| < \varepsilon \\ \\
\Rightarrow & |k \cdot a_n – k \cdot L| = |k||a_n – L | < \varepsilon
\end{gather*}

$$\therefore |k \cdot a_n – k \cdot L| < \varepsilon$$

$$\lim_{n \to \infty} k \cdot a_n = k \cdot L $$

$\square$

Haciendo uso de las dos proposiciones anteriores, podemos probar fácilmente que la diferencia de dos sucesiones convergentes converge a la diferencia de sus límites.

Corolario. Sean $\{a_n \}$ y $\{ b_n \}$ dos sucesiones tales que
$$\lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ y } \lim_{n \to \infty} b_n = M$$
Entonces se tiene
$$\lim_{n \to \infty} (a_n – b_n) = L – M$$

Demostración.

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} (a_n – b_n) & = \lim_{n \to \infty} (a_n +(- 1 \cdot b_n)) \\
& = \lim_{n \to \infty} a_n +\lim_{n \to \infty} (- 1 \cdot b_n) \\
& = L + (-1 \cdot M) \\
& = L – M
\end{align*}

$$\therefore \lim_{n \to \infty} (a_n – b_n) = L – M$$

$\square$

Producto de sucesiones convergentes

Para probar que el producto de sucesiones convergentes converge al producto de sus límites, haremos uso de una propiedad que poseen las sucesiones convergentes y esto es que toda sucesión convergente está acotada, lo que significa que existe un número real que «encierra» a la sucesión, es decir, existe un intervalo en el cual todos los términos de la sucesión quedan contenidos. La definición formal se presenta a continuación.

Definición. Se dice que una sucesión $\{a_n \}$ de números reales está acotada si existe un número real $M > 0$ tal que $|a_n| \leq M$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Proposición. Sea $\{ a_n \}$ una sucesión en $\mathbb{R}$. Si $\{ a_n \}$ es convergente, es decir, si existe $L \in \mathbb{R}$ tal que $$\lim_{n \to \infty} a_n = L,$$ entonces $\{ a_n \}$ está acotada. 

Demostración.

Sea $\varepsilon = 1$, como $\{ a_n \}$ converge, entonces existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n \geq n_0$ se tiene que $|a_n – L| < 1$. Además, sabemos que $|a_n| – |L| \leq |a_n – L | < 1$, de lo cual se sigue que

$$|a_n| < 1 + |L| \quad \forall n \geq n_0$$ 

Notemos que hasta ahora la cota que tenemos es útil únicamente para $n \geq n_0$. Para los primeros $n_0 – 1$ elementos de la sucesión, consideremos $\hat{M} = max \{ a_1, a_2, …, a_{n_0-1} \}$. Así, la cota para toda nuestra sucesión será $M = max \{ \hat{M}, 1 + |L| \}$.

Si $1 \leq n \leq n_0 – 1$, entonces $$|a_n| \leq \hat{M} \leq M \Rightarrow |a_n| \leq M \tag{1}$$

Por otro lado, si $n \geq n_0$, entonces $$|a_n| \leq 1 + |L| \leq M \Rightarrow |a_n| \leq M \tag{2}$$

Por (1) y (2), se sigue que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que $|a_n| \leq M$. De lo que se concluye que la sucesión $\{a_n\}$ está acotada.

$\square$

Observación. Criterio de no convergencia: Dado que toda sucesión convergente está acotada, entonces si una sucesión no está acotada no puede ser convergente.

Ahora que hemos probado la proposición anterior, podríamos preguntarnos si el regreso es cierto, es decir, ¿toda sucesión acotada converge? La respuesta es no y, de hecho, el contraejemplo lo revisamos en una entrada anterior: $\{ (-1)^n \}$. Se demostró que es una sucesión no convergente y está acotado por $1$.

Finalmente estamos listos para probar la convergencia del producto de sucesiones.

Proposición. Sean $\{a_n \}$ y $\{ b_n \}$ dos sucesiones tales que
$$\lim_{n \to \infty} a_n = L \text{ y } \lim_{n \to \infty} b_n = M$$
Entonces se tiene
$$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = L \cdot M$$

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Notemos que

\begin{align*}
|a_n b_n – LM| & = |a_n b_n – a_n M + a_n M – LM| \\
& \leq |a_n (b_n – M)| + M (a_n – L)| \\
& = |a_n | |b_n – M| + |M| |a_n – L|
\end{align*}

Además, como $\{a_n\}$ es convergente, entonces está acotada, es decir, existe $J > 0$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}$, entonces $|a_n| \geq J$. De la expresión anterior se sigue

\begin{align*}
|a_n b_n – LM| & \leq |a_n | |b_n – M| + |M| |a_n – L| \\
& \leq J|b_n – M| + |M| |a_n – L| \text{, pues } J > 0 \\
\end{align*}

$$\therefore |a_n b_n – LM| \leq J|b_n – M| + |M| |a_n – L| \tag{1}$$

Consideremos $K = max\{J, |M| \}$ y, por tanto, tenemos también que $K \geq 1$. De $(1)$ tenemos que

$$|a_n b_n – LM| \leq K|b_n – M| + K|a_n – L| \tag{2}$$

Consideremos $\frac{\varepsilon}{2K} > 0$.

\begin{gather*}
\text{Como } \lim_{n \to \infty} a_n = L \Rightarrow \exists n_1 \in \mathbb{N}, \text{ tal que } \forall n \geq n_1, |a_n-L| < \frac{\varepsilon}{2K} \\

\text{Como } \lim_{n \to \infty} b_n = M \Rightarrow \exists n_2 \in \mathbb{N}, \text{ tal que } \forall n \geq n_2, |b_n-L| < \frac{\varepsilon}{2K}
\end{gather*}

Tomemos $n_0 = max\{n_1, n_2\}$. Si $n \geq n_0$, entonces $n \geq n_1$, $n \geq n_2$ y junto con $(2)$ se sigue que

\begin{align*}
|a_n b_n – LM| & \leq K|b_n – M| + K|a_n – L| \\
& < K \left( \frac{\varepsilon}{2K} \right) + K \left( \frac{\varepsilon}{2K} \right) \\
& = \varepsilon
\end{align*}

$$\therefore |a_n b_n – LM| < \varepsilon$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = L \cdot M $$

$\square$

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Prueba que si $\{a_n \}$ y $\{b_n \}$ son dos sucesiones tales $\{ a_n \}$ y $\{a_n+b_n\}$ convergen, entonces $\{b_n \}$ también converge.
  • Prueba que si $\{a_n \}$ y $\{b_n \}$ son dos sucesiones tales $\{ a_n \}$ converge a $L \neq 0$ y $\{a_n \cdot b_n\}$ converge, entonces $\{b_n \}$ también converge.
  • Usando las proposiciones demostradas en esta entrada, encuentra el límite de las siguientes sucesiones:
    • $\{ c \cdot \frac{1}{n} \}$, con $c \in \mathbb{R}$.
    • $\{ \frac{10}{n} – 7\}$
    • $\{ \frac{2n^2-n}{n^2} \cdot \left( \frac{10}{n} – 7 \right) \}$

Más adelante…

En la siguiente entrada revisaremos el caso de la división entre sucesiones convergentes. Complementaremos nuestro estudio revisando una categoría especial de sucesiones llamadas monótonas y probaremos diversas propiedades de las mismas.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»